[r]
(1)Chuyên ðề: HỆ PHÝÕNG TRÌNHÐẠI SỐ I Hệ gồm một pt bậc ị một pt bậc ĩ:
Bài tập: Giải hệ phương trình sau : a)
4 y 2 x
8 y 4 x
2
b)
1 y 3 x 2
24 xy x
2
c)
3 y x 2
0 6 y 3 x 2 y xy 3 x
2
d)
84 y 4 x 3
49 ) y x (
2
e)
13 y xy x
4 y x
2
f)
90 xy
9 y x
g)
2 y x
164 y
x 2
h) 2
x xy 28
y xy 12
i)
2
x 2y 2xy 5
x 2y 7
) (
) (
2 1
j)
2
x y 41
x y 9
) (
) (
2 1
j)
2 y 2 2 y x
1 1 y x
l/
18 ) 3 y )( 2 x (
36 y 2 x 3
m/
0 6 y x xy
2 y 3 x 2
II Hệ phýõng trình ðối xứng loại ị:
A LÝ THUUYẾT
1 Ðịnh lý Viét cho phýõng trình bậc 2:
Nếu phýõng trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thìự
1
1.
b S x x
a c P x x
a
Ngýợc lại, nếu số x1, x2 có
1
x x S
x x P
thì x1, x2 là nghệm phýõng trình X2 SX + P = 2 Ðịnh nghĩaự Hệ Pt ðối xứng loại có dạngự
( , ) 0
( , ) 0
f x y g x y
, trong ðó ( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x g x y g y x
(Trong mỗi pt thay x cho y y cho x pt ðó khơng thay ðổi ậ 3.Cách giải:
Býớc ớự Ðặt ðiều kiện ịnếu cóậ
Býớc ặự Ðặt S = x + y, P = xy với ðiều kiện S, P và S2 4P
Býớc ởự Thay x, y bởi S, P vào hệ phýõng trìnhứ Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viétðảo tìm x, y Chú ý:
+ Cần nhớự x2 + y2 = S2– 2P, x3 + y3 = S3– 3SP
+ Ðôi ta phải ðặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv + Có hệ phýõng trình trở thành ðối xứng loại 1 sau ðặt ẩn phụứ 4 Bài tậpự
Loại 1: Giải hệ phýõng trình
Ví dụ ớ Giải hệ phýõng trình
2
3
30 35 x y xy x y
GIẢI
Ðặt S x y, P xy, ðiều kiện S2 4P Hệ phýõng trình trở thànhự 30
P SP 30
S
S 5 x y 5 x 2 x 3
(2)Ví dụ ặ Giải hệ phýõng trình 3 3
( ) 2
2 xy x y x y
GIẢI
Ðặt t y S, xt P, xt, ðiều kiện S2 4P Hệ phýõng trình trở thànhự
3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
Ví dụ ở Giải hệ phýõng trình
2
2
1 1 4 1 1
4 x y
x y x y
x y
GIẢI Ðiều kiện x 0,y 0
Hệ phýõng trình týõng ðýõng vớiự 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
Ðặt 1 1 1 1
S x y , P x y , S 4P
x y x y
ta cóự
2
1 1
x y 4
S 4 S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
1
x 2
x 1 x
1 y 1
y 2
y
Ví dụ ầ Giải hệ phýõng trình
2 2 8 (1)
4 (2)
x y xy
x y
GIẢI Ðiều kiện x y, 0 Ðặt t xy0, ta cóự
2
xy t và (2) x y 162t Thế vào ịớậủ ta ðýợcự
2
t 32t128 8t t 4 Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
Loại 2:Ðiều kiện tham số ðể hệ ðối xứng loại ịkiểuậ 1 có nghiệm Phýõng pháp giải chung:
+ Býớc ớự Ðặt ðiều kiện ịnếu cóậứ
+ Býớc ặự Ðặt S = x + y, P = xy với ðiều kiện S, P và S2 4P (*)
+ Býớc ởự Thay x, y bởi S, P vào hệ phýõng trìnhứ Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ðiều kiện ịếậ tìm m Chú ý:
Khi ta ðặt ẩn phụu = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm xác ðiều kiện của u, v
(3)1 1 3
x y
x x y y m
GIẢI Ðiều kiện x y, 0 ta cóự
3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x ) ( y ) 1 3m
Ðặt S x y 0, P xy 0,
S 4P. Hệ phýõng trình trở thànhự
S 1 S 1
P m
S 3SP 1 3m
Từ ðiều kiện
S 0, P 0, S 4P ta có
1
0 m
4
Ví dụ ặ Tìm ðiều kiện m ðể hệ phýõng trình 2 2
3 9 x y xy m x y xy m
có nghiệm thựcứ GIẢI
2
x y xy m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9 x y xy 3m 9
Ðặt S Ệ x ợ yủ P Ệ xyủ
S 4P. Hệ phýõng trình trở thànhự
S P m
SP 3m 9
Suy S và P nghiệm phýõng trình
t mt3m9 0
S 3 S m 3
P m 3 P 3
Từ ðiều kiện ta suy hệ có nghiệm
2
3 4(m 3) 21
m m 3 2 3
(m 3) 12 4
Ví dụ ở Tìm ðiều kiện m ðể hệ phýõng trình 4 1 4 3
x y
x y m
có nghiệmứ GIẢI
Ðặt u x4 0, v y1 0 hệ trở thànhự
2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5 uv
2
Suy u, v là nghiệm ịkhông âmậ 21 3m
t 4 t 0
2
(*)
Hệ có nghiệm (*) có ặ nghiệm không âm
/ 3m 13
0
0 13 2
S 0 m 7
21 3m 3
0 P 0
2
Ví dụ ầ Tìm ðiều kiện m ðể hệ phýõng trình
2 4 4 10
x y x y
(4)2
2
2
2
2
(x 4 x) (y 4 y) 10 x y 4 x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4 x)(y 4 y) m
(x 4 x 4) (y 4 y 4) 18
(x 4 x 4 4)(y 4 y 4 4) m
Ðặt 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0 Hệ phýõng trình trở thànhự
u v 18 u v 18
uv m 24 uv 4(u v) m 16
Suy u, v là nghiệm ịkhông âmậ pt:
t 18 t m24 0 (*) Hệ ðã cho có nghiệm pt (*) có nghiệm khơng âm
S 0 24 m 1
P 0
B BÀI TẬP
Baøi 1. Giải hệ phương trình sau :
a) 31 ) y x ( 2 xy y x 11 y xy x 2 b) 13 y xy x 4 y x 2 c) 28 y x 4 xy 2 d) 8 y x y x 5 y x xy 2 e ) 6 xy y x y x 3 y x xy 2 f) 2 ) 1 y ( y ) 1 y x ( x 4 y x y x 2 g) 5 y x 3 y x
2 h)
2
x xy y 4
x y xy 2
i) 41 y xy x 91 y xy x 2
Baøi 2. Giải hệ phương trình sau:
a) 13 y 1 x 1 5 y 1 x 1 2 b) 5 y x 6 13 x y y x c) 4 3 y 1 x 1 3 10 y x y x 2 d) 2 3 y 3 2 x 3 3 y x 2 e) 1
x 2 y 5 x 2 y
x 2 y 6 x 2 y
f)
2
x y x y 8
xy(x 1)(y 1) 12
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
a) 2 xy 9 y x 3 b) 3 xy 82 y x 4 c) 5 y x 35 y x 3 d) 20 xy y x 65 y x 2 3
Bài 4 Giải hệ phýõng trình sau:
(5)1)
3
5 2
1 x y
x y x y
2)
2
4 2
5
13
x y
x x y y
3) 30
35 x y y x x x y y
4)
2
4
2 8 2
x y
x y xy
5)
2
18 ( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y
6)
2
2
1 ( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 9
x y
xy x y
x y
7)
2
2
1 1 4 1 1
4 x y
x y
x y
x y
8)
7 1
78 y
x
y x x y
x xy y xy
9)
2 3
4
280 x y
x y x y
10)
4
6
1 1
x y
x y
11)
28 ) y x ( 3 y x
11 xy y x
2
(ĐH Quốc Gia Hà Nội Khối D – 2001)
12)
30 xy y x
11 y x xy
2
ĐH GTVT Hà Nội – 2001
13)
21 y x y x
7 xy y x
2 4
2
Học Viện HC Quoác Gia – 2001
14)
35 y x
30 xy y x
3
2
ÑHM – ÑC – 1997
15)
6 xy y x
1 y xy x
2
ĐH Đà Nẵng – 2001
16)
6 y x 4 x
9 ) y x 2 )( 2 x ( x
2
Đại Học An Ninh – 1997
17)
6 1 y 1 x 1 x y 1 y x
3 1 y 1 x
Đại Học Thủy Sản Nha Trang – 2001
II Gải hệ phýõng trình có tham số: 1 Giải biện luận:
a) x2 y 24 2
x y m
b) x4 y 4m 4
x y m
2 Tìm giá trị m: a) 5 4 4
1 x y xy
x y xy m
có nghiệm
b) 2 2 2
1 x y xy m x y xy m
(6)c)
2
2
4
2 1
x y
x y m
có ðúng hai nghiệm
3 x2 xy2 y m
x y m
(1II)
a Giải hệ phýõng trình m =
b Tìm giá trị m ðể hệ phýõng trình ðã cho có nghiệmứ 4 2 2
3 8 x xy y m x y xy m
(7I)
a Giải hệ phýõng trình khi m = 7/2
b Tìm giá trị m ðể hệ phýõng trình ðã cho có nghiệmứ 5 x2 xy 2y m 1
x y xy m
(40II)
a Giải hệ phýõng trình khi m=2
b Tìm giá trị m ðể hệ phýõng trình ðã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0 III Hệ phýõng trình ðối xứng loại 2:
1 Hệ phýõng trình ðối xứng loại ĩ hai ẩn:
A Ðịnh ghĩa:
( , ) 0 1
( , ) 0 2
f x y f y x
Cách giảiự Lấy ịớậ (2) hoặc ịặậ (1) ta ðýợcự ịxy)g(x,y)=0 Khi ðó xy=0 hoặc g(x,y)=0 + Trýờng hợp ớự xy=0 kết hợp với phýõng trình ịớậ ịặậ suy ðýợc nghiệmứ
+ Trýờng hợp ặự g(x,y)=0 kết hợp với phýõng trình ịớậ ợ ịặậ suy nghiệm ịtrong trýờng hợp hệ phýõng trình trở hệ ðối xứng loại ớậ thơng thýờng vơ nghiệmứ
B Các ví dụ:
Ví dụ ớự Giải hệ phýõng trình
3
3 8 1 3 8 2
x x y
y y x
(I)
GIẢI Lấy ịớậ (2) ta ðýợcự (x - y)(x + xy + y + 5) = 02 Trýờng hợp ớự ịIậ
3
x = 3x + 8y x = y
3 x = 0
x - 11x = 0
x = ± ớớ
x = y
x = y
Trýờng hợp ặự ịIậ
2
3
x +xy+y +5=0 x +y =11 x+y
(hệ vô nghiệmậ
Vậy hệ phýõng trình ðã cho có tập nghiệm:
(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
Ví dụ ặự Giải hệ phýõng trình
4
1 1 1 1
x y
y x
GIẢI Ðặtự4 x - = u 0; y - = v4 0
(7)Hệ phýõng trình trở thành
4
4
u + + v = 1 u + v = 0 v + + u = 1 v + u = 0
u = 0
v = 0
(Do u, v ≥ ả)
x = 1 y = 1
Vậy hệ có nghiệm (1,1) Ví dụ ặự Cho hệ phýõng trình
2
x y y m
y x x m
(I)
a Tìm m ðể hệ phýõng trình có nghiệmứ
b Tìm m ðể hệ phýõng trình có nghiệm nhấtứ Giảiự
(I)
2
2
2
2
x = y x = y
x = y - y + m x - 2x + m = 0 x = ± y
x - y = y - y - x + x
x = y - y + m x = - y x = - y
x = y - y + m
x = y - y + m y + m = 0
a) Hệ phýõng trình có nghiệm
' x
' y
Ä ả 1 - m 0 m 1
m 0
- m 0 m 0
Ä ả
b) Hệ phýõng trình có nghiệm
' x
' y
' x
' y
Ä Ệ ả Ä ≥ ả Ä ≥ ả Ä Ệ ả
1 - m = 0 - m < 0 1 - m < 0
- m = 0
m =
Vậy m =
C Bài tập:
1.Giải hệ phýõng trình sauự a/
2
2
x 3xy y 4
x 3xy y 4
) 2 (
) 1 (
b/
2
2
2x y y 14
x x 2y 14
c/
2 x y 3 y 2
2 y x 3 x 2
2
2
) 2 (
) 1 (
d)
1 x 2 y
1 y 2 x
2
e)
x 2 y 3 y
y 2 x 3 x
2
f)
x y 2 y
y x 2 x
3
g)
x y 2 x 2 y
y x 2 y 2 x
2
2
2.Giải hệ phýõng trình sauự a
1 3 2
1 3 2
x
y x y
x y
b
2
2
3 2
3 2
x y x y x
y
c
3
1 2 1 2
x y
y x
(8)3) Giải hệ phýõng trình sauự
a)
2 1 x y 2
2 1 y x 2
b)
x 2 ) x 1 ( y
y 2 ) y 1 ( x
2
c)
x 1 x y 2
y 1 y x 2
2
4) Giải hệ phýõng trình sauự
a)
4 3 x 1 . y
4 3 y 1 . x
2
b)
2 2
2 2
x y
y x
c) 5 2 7
5 2 7
x y
y x
5 Cho hệ phýõng trình
2
( ) 2 ( ) 2
x x y m
y x y m
a Giải hệ với m =
b Tìm m ðể hệ có nghiệm nhất 6 Tìm m ðể hệ:
3 2
3 2
7 7
x y x mx
y x y my
có nghiệm nhất
IV HỆ ÐẲNG CẤP ≠ẬC HỏI
1 Lý thuyếtự
* Hệ ðẳng cấp bậc có dạng:
) 2 ( '
' ' '
) 1 (
2
2
d y c xy b x a
d cy bxy ax
* Phýõng pháp giảiự
+ Ðặt
' ) ' ' ' (
) (
2
2
d t c t b a x
d ct bt a x tx y
+ Kiểm tra x = a'b'tc't 0có thỏa hệ hay khơngẤ
+ Xét x0 và a'b'tc't 0 Ta lấy
) 2 (
) 1 (
ta ðýợcự
' '
'
'
2
d d t c t b a
ct bt a
0 ' ' ) ' ' ( ) ' '
(
cd dc t bd db t ad da ; giải PT ðể tìm t và thay t
vào hệ ta tìm ðýợc x sau ðó tìm ðýợc y tx 2 Ví dụ: Giải hệ phýõng trìnhự
2
2
2 3 9 *
4 5 5
x xy y
x xy y
GIẢI + Với x = 0: Hệ phýõng trình ðã cho vơ nghiệmứ
+ Với x ≠ ảự Ðặt y = tx Hệ phýõng trình týõng ðýõng với
2
2
1 2 3 9 1 1 4 5 5 2
x t t
x t t
Lấy ịớậ(2) ta ðýợcự 15t213t+2=0 2
3 t ; 1
5 t
(9) Với 2 3
t : ta có 3 2
y x, thay vào ịếậ ta ðýợc nghiệm ịởấặậủ ị3;2) Với 1
5
t : ta có 1 5
y x, thay vào ịếậ ta ðýợc nghiệm 5 2; 2 , 5 2; 2
2 2 2 2
3 Bài tập:
1) Giải hệ phýõng trình sau: a)
2
2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
b)
2
2
6 2 56
5 49
x xy y x xy y
c)
3
3
2 3 5
6 7
x x y y xy
2) Giải hệ PT sau:
a)
3 3
2
2
y xy x
y xy x
b)
15 3
9 5
38 4
5 3
2
2
y xy x
y xy x
c)
2 0 3
2
2
y y x x
y xy x
d)
2 2
2
9 3 2
2
2
y xy x
y xy x
V Một số hệ phýõng trình khác:
Tổng hợp kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý ðể giảiứ
1.
2 2
( , )
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y
HD: Biến ðổi phýõng trình xyx yx2 2y2 (x + y)(x 2y 1) = ÐSự x = 5; y =
2.
4 2
2
2 2 9
( , )
2 6 6
x x y x y x
x y
x xy x
ÐSự x = 4; y = 17
4
3.
2
4
5 4 5 1 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
HD: Biến ðổi hệ phýõng trình thànhự
2
2
5 4 5
4 x y xy x y xy
x y xy
Ðặt:
2
u x y
v xy
ÐSự
3
3
5
1 4
3 25
2 16
x x
y y
4.
3
1 1
1
2 1
x y
x y
y x
(10)HD: (1) x y 1 1 0
xy
ÐSự 1;1 , 1 5; 1 5 , 1 5; 1 5
2 2 2 2
5.
2
y x y x
x y x y
HD: 3 y x y x y x1 x y 0
ÐSự 1;1 , 3 1; 2 2
6.
2 2
2
2 3
2 3
y y
x x x
y
7)
1 6
7 .
2
x y
x y xy
8)
2 5
2 3 2
x y xy
x y
y x
9)
2
2
1 1 5 1 1
9
x y
x y
x y
x y
10)
2
2 2 6
( 1) 4
x x y y
xy xy x y
11)
2
2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
12)
3 4
2
x y x y
x y x y
xy
13)
2
18 ( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y
14)
5 .
( ) 6
x
x y
y x
x y
y
15)
2
2
1 1 4 1 1
4
x y
x y
x y
x y
16)
7 1
78
x y
y x xy
x xy y xy
17) (2 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
18) 2(3 2 )( 1) 12
2 4 8 0
x x y x
x y x
19)
2
2 2
6
1 5
y xy x
x y x
20)
3 3
2
1 19
6
x y x
y xy x
21)
3 3
2
8 27 18
4 6
x y y
x y x y
22) 3
1 1 4
x y xy
x y
23) 2 2
2
1 1
3 .
1 1 3 2
7
xy
x y
x y xy
x y
24)
3
3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y
Tìm m ðể hệ phýõng trình có nghiệm thựcứ
HD: Ðặt u x 1,v y 1
x y
, ðiều kiện u 2,v 2 ÐSự 7 2, 22 4m m
GV: Hồ Ðình Sinh_Tổ tốn