Ðề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An môn Toán Bảng B

Bài 4: Cho tứ diện SABC ,trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các ñiểm D,E,F.Biết rằng các mặt phẳng ABF,BCD,ACE cắt nhau tai M và ñường thẳng SM cắt mặt phẳng DÈ tại N,cắt mặt NP MP =3 p[r]

MATH.VN ðỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NGHỆ AN MÔN TOÁN BẢNG B Câu 1: a)Tìm giá trị tham số m ñể phương trình sau có nghiệm (m-3)x + (2− m) x + (3 − m) = b) Chứng minh : ( sin x x ) ⟩ cosx với x ∈ (0; π ) Câu 2: a) Tìm GTNN và GTLN A = x + 1−x với x ∈ (0; π ) b, giải hệ phương trình  x − y sin x = e sin y  sin x − cos y = sin x + cos y −1  π  x, y ∈ (0; )  Câu 3:Giải phương trình nghiệm nguyên π cos[ (3x + x + 160 x + 800 )] = Câu 4: a)Trong hệ trục 0xy cho tam giác ABC có diện tích là ðiểm A(3; −2) ; B(2; −3) và trọng tâm G thuộc ñường thẳng 3x − y − = Tính bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC b) Cho ñường tròn (C) có phương trình : x2 − 2x + y2 − 4y + = ðiểm M thuộc ñường thẳng (d) x − y + = từ M kẻ tiếp tuyến tới C hai tiếp ñiểm là A và B Chứng mình ñường thẳng AB ñi qua ñiểm cố ñịnh M di chuyển trên (d ) NGHỆ AN CHỌN TUYỂN QUỐC GIA VÒNG  y = x −3  Bài 1:giải hệ: (2 z − + y ) y = + y  x2 + z − 4x =  Bài 2:cho số nguyên a,chứng minh phương trình: x − x3 + ( a + 2) x − 11x + a = không thể có nhiều 1nghiệm nguyên  x0 = Bài 3:cho dãy số thực xn xác ñịn bởi:   xn +1 = + xn − + xn , ∀n ∈ N Lop12.net MATH.VN n Ta xác ñịnh dãy yn công thức yn = ∑ xi 2i , ∀n ∈ N * ,tìm công thức tổng quát dãy yn i =1 Bài 4:cho các số nguyên dương a,b,c khác thỏa mãn: a b c  b + c + a ∈ z  a + b + c ∈ z  c a b 3a 2b c Chứng minh: + + − a − b − c ≥ b c a Bài 5:Trong mặt phẳng tọa ñộ oxy cho ñiểm có tọa ñộ là các số nguyên,trong ñó không có ñiểm nào thẳng hang.Chứng minh tồn ít nhát tam giác có ñỉnh là ñiểm trên có diẹn tích là số chẵn Bài 6:Cho ñường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ñiểm K,(O’) nằm (O).ðiẻm A Nằm trên (O) cho ñiểm A,O,O’ không thẳng hang.Các tiếp tuyến AD và AE (O’) cắt (O) lần lựot B và C(D,E là các tiếp ñiểm).ðường thẳng AO’ cắt (O) F.Chứng minh các ñường thẳng BC,DE,FK ñồng quy Bài 7:cho n ≥ 2, n ∈ N Kí hiệu A = {1, 2, , n } ,tập B A ñược gọi là tập tốt B khác rỗng và trung bình cộng các phần tử B là số nguyên,Gọi Tn là số các tập tốt A.Chứng minh Tn – n là số chẵn NGHỆ AN CHỌN TUYỂN QUỐC GIA VÒNG Bài 1:giải phương trình: 16 x − 24 x + 12 x − = x Bài 2:Tìm tất các số nguyên a,b,c thỏa mãn ñiều kiện 1<a<b<c và abc chia hết cho (a-1)(b-1)(c-1) Bài 3:cho a,b,c,x,y,z là các số thực thay ñổi thỏa mãn: ( x + y )c − ( a + b) z = Tìm GTNN của: F = a + b + c + x + y + z + ax+by+cz Bài 4:Tìm tát các các hàm f : R → R cho: f ( x + cos(2009y))=f(x)+2009cos(f(y)),∀x,y ∈ R Bài 5: cho tam giác ABC thay ñổi,gọi H là trực tâm ,O là tâm ñường tròn ngoại tiếp và R là bán kính OH ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Xác ñịnh GTNN số K cho <K R Bài 6:Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.M và N là các ñiểm thay ñổi trên các cạnh AB và CD MA NC PM AB cho = ðiểm P thay ñổi trên ñoạn thẳng MN cho = Chứng minh tỉ số diện MB ND PN CD tích tam giác PAD và PBC không phụ thuộc vào vị trí M và N Bài 7:Gọi S là tập hợp các số nguyên dương ñồng thời thỏa mãn ñiều kiện sau: 1.Tồn phàn tử x,y thuọc S cho (x,y)=1 2.Với bất kì a,b thuộc S thì tổng a và b thuộc S Gọi T là tập hợp tát các số nguyên duơng khong thuộc S.Chứng minh số phần tử T là hửu hạn và không nhỏ S (T ), ñó S (T ) là tổng các phàn tử tập T(nếu T = φ thì S (T ) =0) SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 THPT 2004-2005 Bài 1: a) Tìm giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: x + x + − x − x + = m b) Giải phương trình: 2003x + 2005 x = 4006 x + 2 Lop12.net MATH.VN + cos8x Bài 2: a) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: f ( x) = + 2cos4x b) Tìm m ñể tồn cặp số (x,y) không ñồng thời o và thỏa mãn phương trình: (4m − 3) x + (3m − 4) y + (m − 1) x + y = Bài 3:Tìm tất cảc các ña thức p(x) thỏa mãn: P( x) + P(1) = [P(x+1)+P(x-1)],∀x 2 Bài 4: a) cho a,b,c,d là số thực thỏa mãn ñiều kiện: a + b = 1, c + d = ,chứng minh rằng; 9+6 b) Trong mặt phẳng Oxy cho họ ñường tròn (Cm): x + y − 2(m − 1) x − ( m + 6) + m + 10 , m ≠ Chứng minh rằng: các ñường tròn (Cm) luôn luôn tiếp xúc với tai ñiẻm cố ñịnh m thay ñổi ac + bd + cd ≤ SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 THPT 1997-1998 Bài 1: cho phương trình: x + x + 12 x + − 36 = a) Chứng minh phương trình có nghiệm số trên (0,10) b) Tìm nghiệm nguyên phương trình trên Bài 2: a) Xác ñịnh số ño góc A tam giác ABC,biết tổng các nghich ñảo số ño cạnh AB,AC nghịch ñảo số ño ñường phân giác góc xen cạnh b) Giải phương trình: SinxSin2xSin3x+CosxCos2xCos3x=1 Bài 3:Với giá trị nào m thì số nghiệm phương trình: 15 x − 2(6m + 1) x − 3m + 2m = không nhiều số nghiệm phương trình: (3m − 1) 12 x + x + x = (36 m − 9) 28 m − 0, 25 x − (k − 1) x + k ,khi < x ≤ k − k + ,k là tham số dương x b) Trong hệ trục tọa ñộ cho ñiểm M(2,4).Xét các tam giác có cạnh vuông góc với Oy và hai ñỉnh nằm trên parabol y = x ; x ∈ [-1,1] nhận M là trung ñiểm cạnh cọn lại.Xác ñịnh tam giác có diện tích lớn nhất.Tính diện tích Bài 4: a) Tìm giá trị nhỏ y = SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 THPT 1999-2000 xy  2 x + y + x + y = Bài 1: a) Giải hệ phươmng trình:   x + y = x2 − y  b) Chứng minh với số nguyên a phương trình: x − 2001x + (2000 + a ) x − 1999 x + a = không thể có nghiệm nguyên 17 − b) Cho x và y là hai số dương thay ñổi có tổng 1,m là số dương cho trước.Tìm giá trị m bé tổng: S = + x +y xy Bài 2: a) Cho xy + yz + zx = −1 ,chứng minh rằng: x + y + z ≥ Lop12.net MATH.VN U1 =  Bài 3:cho dãy số {U n } xác ñịnh sau:  +Un U n +1 = − 2U , ∀n ≥ n  Chứng minh dãy số {U n } không tuần hoàn Bài 4: Cho tứ diện SABC ,trên các cạnh SA,SB,SC lấy các ñiểm D,E,F.Biết các mặt phẳng (ABF),(BCD),(ACE) cắt tai M và ñường thẳng SM cắt mặt phẳng (DÈ) N,cắt mặt NP MP =3 phẳng (ABC) P.Chứng minh: NS MS Bài 5: Cho hình hộp ABCDA1 B1C1 D1 có tất các cạnh ñều và AC1 Các góc phẳng ñỉnh góc tam diện ñỉnh A tạo mặt hình hộp ñều a) Tính số ño các góc phẳng ñỉnh góc tam diện ñỉnh A nói trên b) Một mặt phẳng cắt các cạnh AB,AD,AA1 tương ứng M.N.P và cắt AC1 Q.Chứng 1 1 = + + minh: AQ AM AN AP SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 THPT 2000-2001 Bài 1: a) Cho a,b,c,m là số thực ( a ≠ 0, m > 0) thỏa mãn ñiều kiện: a b c + + =0 m + m +1 m Chứng minh rằng: b − 4ac ≥ b) Hãy xác ñịnh tất các hàm liên tục f : R → R thỏa mãn ñẳng thức : f ( x ) + f ( x) = x + x Bài 2: a) Cho n,m là số tự nhiên không nhỏ 2,hãy tìm tất các nghiệm nguyên phương trình: n x + n x + + n x = y b) Hãy xác ñịnh m ñể phương trình: sin x + (1 + s inx) = m có nghiệm Bài 3:Trong mặt phẳng cho 2001 ñiểm và ñiểm ñả cho tìm ñược ñiểm có khoảng cách giũa chúng nhỏ 4.Chứng minh tồn hònh tròn có bán kính chứa không ít 1001 ñiểm Bài 4: a) Cho họ ñường cong (Cm) có phương trình: m( x + y ) − 2(2m + 1) x + y + m + = ,m là tham số Chứng tỏ (Cm) là ñường tròn với m khác không.Tìm tập hợp tâm các ñường tròn ñó b) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ñiẻm (3,1).Tìm phương trình ñường thẳng ñi qua M và cắt hai nửa trục Ox,Oy tương ứng A và B cho tổng (OA + OB) có giá trị bé SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 THPT 2001-2002 x + (sin α ) x + sin α − x +1 a) Tìm α ñể hàm số có cực ñại – cực tiểu và ycñ + yct = -6 b) Tìm α ñể ycñ.yct > Bài 2: a) chứng minh ∀x : −1 ≤ x ≤ ta có: ≤ − x + + x ≤ c) Tìm các giá trị k ñể phương trình sau có nghiệm: sin x + cos x = k cos x Bài 1: Cho hàm số y = Lop12.net MATH.VN  2− a0 = Bài 3: a) Cho dãy {an } xác ñịnh sau:  a = a (4a − 10a + 5) , ∀n ≥ n n n  n +1 Tìm số hạng tổng quát an b) Cho a,b,c là ñộ dài cạnh tam giác.Xét các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = π s inx sin y sin z + + Tìm giá trị lớn biểu thức: P ( x, y, z ) = a b c Bài 4: a) Một mặt phẳng Oxy cho ñiểm A (-4,0),B(4,0).ðiểm M di ñộng mặt phẳng cho tam giác MAB có tích tang hai góc ∠MAB, MBA Chứng minh M luôn chạy trên elip (E) cố ñịnh b) Cho tam giác ABC.m là ñiểm di ñộng trên cạnh CB.hạ MN,MQ tương ứng vuông góc và song song với AB( N ∈ AB, Q ∈ AC ) Gọi P là hình chiếu Q trên AB và I là tâm hình chữ nhật MNPQ.Tìm quỹ tích I M chạy trên CB SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 THPT 2002-2003 Bài 1: a) Cho x ≤ t ,chứng minh x3 − x ≤ t − 3t + ,ñẳng thức xảy nào? b) Chứng minh phương trình x3 + y − z = không có nghiệm nguyên x, y, z ≠ sin x sin x Bài 2: a) Tìm các ñiểm trong[0,π ] ,tại ñó hàm số f ( x) = s inx+ + ñạt giá trị cực ñại-cực tiểu  x2 = y3 + y + y + k  b) Chứng minh hệ phương trình:  y = z + z + z + k có nghiệm  z = x3 + x2 + x + k  Bài 3: Tren mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy cho họ ñường tròn ( C ): x + y − 2α x = và họ ñường thẳng ( D ) : ax+ay-aα =0 ( a là tham số, α là số dương) a) Chứng minh ñường thẳng (D) luôn ñi qua tâm ñường tròn ( C ) và luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh b) Tìm quỹ tích giao ñiểm (D) và ( C ) cos(x-y)=1   x − y = 2π Bài 4:xác ñịnh giá trị m ñể hệ sau tương ñương:  m + xy , 2  x3 − y = x − y  x + y = m  SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 THPT 2003-2004  xf ( x − 1) = ( x − 3) f ( x), ∀x ∈ R Bài 1: a) Tìm hàm số f ( x) = ax + bx + cx + d , a ≠ ,biết   f (3) = − bx ( x + a )e , x < có ñạo hàm x = b) Xác ñịnh a,b ñể hàm số: f ( x) =  ax + bx + 1, x ≥ Bài 2: a) Cho dãy số un có un = −n + 8n3 − 0, 5n + 4n, n ∈ N * ,tìm số hạng lớn dãy số ñả cho b)Cho các số thực a,b,c và số nguyên dương n thỏa mãn: 5c( n + 2) + 6( a + b) = π Chứng minh phương trình: asin n x + bcos n x + c s inx+c=0 luôn có nghiệm khoảng (0, ) Lop12.net MATH.VN Bài 3: a) Nhận dạng tam giác ABC biết rằng: 1 1 1 + + = + + 3 4 + cos AcosB + cos BcosC + cos CcosA + Cos A + Cos B + Cos 4C b) Có 120 cầu xếp sát vừa ñầy hình chop tam giác ñều có tát các cạnh nhau( cầu lớp trên tiếp xúc ñúng với cầu lớp dưới).Hỏi có bao nhiêu xếp ñáy hình chóp Bài 4: Trong hệ tọa ñộ trực chuẩn Oxy a) Cho ñiểm A(1;3),B(7;0),C(2;5).Tìm phương trình ñường tròn có bán kính nhỏ chứa bên trên nó ba ñiểm ñả cho x2 y b) Cho elip có phương trình: + = 1, a > b > a b Hai ñiểm M,N di ñộng trên elip cho góc MON 900.Chứng minh MN luôn tiếp xúc với ñường tròn cố ñịnh và tìm giá trị lớn và bé diện tích tam giác MON ðỀ THI SINH VIÊN GIỎI ðHXD HÀ NỘI GIẢI TÍCH u1 > 2, n ≥ ∞  Bài 1: Cho dãy số thực {un }n =1 ,biết  6(un + 1) ,tìm lim un n →∞ un +1 = u + n  Bài 2:Cho hàm số f ( x) liên tục trên[2;+∞) ,khả vi trên khoảng (2; +∞) và thỏa mãn ñiều  f (2) =  Chứng minh tồn x0 > cho f '( x0 ) = − kiện  x0  f ( x) ≤ x , ∀x ≥ Bài 3:Cho hàm số f ( x) khả vi trên R.Gỉa thiết tồn các số thực a < b < c < d , b − a = d − c b d a c cho ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx Chứng minh tồn x0 ∈ R ñể f '( x0 ) = Bài 4:Cho hàm số f ( x) có ñạo hàm liên tục trên ñoạn[a,b],a<b,f(a)=0 Chứng minh rằng: b (max f(x) ) ≤ (b − a ) ∫ f '2 ( x)dx, x ∈ [ a, b ] a ∞ Bài 5:Cho chuỗi số dương hội tụ ∑ an ,chứng tỏ dãy số {an } ñơn ñiệu giảm thì lim nan = n →∞ n =1 ðẠI SỐ Bài 1:Giải phương trình trên trường số phức: ( z + 1)9 − = Chứng minh rằng: π 2π 8π sin sin sin = 9 128 Bài 2:A,B ∈ w n ( R ) là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB − BA = B ChỨNG minh det B = Bài 3: A,B ∈ w n ( R ) là hai ma trận ñối xứng cấp n.Chứng minh trị rieng A và trị riêng B ñều dương thì các giá trị riêng A + B dương  6 Bài 4:Cho ma trận A =   Tìm a,b biết u = (3,1) và v = (2,1) là hai véc tơ riêng A a b  A = A Bài 5: Cho A,B là ma trận vuông cấp n,biết A + B = I và r ( A) + r ( B ) ≤ n Chứng minh   B = B HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC NĂM 2008 ðỀ THI:MÔN GIẢI TÍCH Lop12.net MATH.VN  a1 = a2  Bài 1: cho dãy số {an } ñược xác ñịnh sau:  Tính a2008  an + = a + an , n = 1, 2, n +1  2008 2008 2008 + + + n Bài 2:Tính lim n →∞ n 2009 Bài 3:Gỉa sử hàm số f ( x) liên tục trên [ 0, π ] , f (0) = f (π ) = và thỏa mãn ñiều kiện f '( x) < 1, ∀x ∈ ( 0, π ) Chứng minh rằng: i) ∃c ∈ ( 0, π ) cho f '(c) = t anf(c) π , ∀x ∈ ( 0, π ) Bài 4:Cho hàm số f ( x) liên tục trên [ 0,1] và thỏa mãn ñiều kiện: xf ( y ) + yf(x) ≤ 1,∀x,y ∈ [ 0,1] ii) f ( x) < Chứng minh rằng: ∫ f ( x)dx ≤ π Bài 5:Gỉa sử f ( x) là hàm số liên tục trên [ 0,1] với f (0) = 0, f (1) = và khả vi ( 0,1) Chứng minh 1−α =1 f '( x1 ) f '( x2 ) Bài 6:Cho hàm số g ( x) có g ''( x) > 0, ∀x ∈ R Gỉa sử hàm số f ( x) xác ñịnh và liên tục trên R và thỏa  f (0) > g (0)  mãn các ñiều kiện: π π g '(0) < + f x dx g ( ) (0) π ∫ 0 Chứng minh tồn c ∈ [ 0, π ] cho f (c) = g (c) với α ∈ ( 0,1) luôn tồn x1 , x2 ∈ ( 0,1) cho: α + HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC NĂM 2008 ðỀ THI:MÔN GIẢI TÍCH  x1 = x2 = Bài 1:Gỉa sử dãy số { xn } ñược xác ñịnh theo công thức:  ,Tính x2009 ?  xn = (n − 1)( xn −1 + xn − ), n = 3, Bài 2:Cho hàm số f : [ 0,1] → R có ñạo hàm cấp hai liên tục và f ''( x) > trên [ 0,1] Chứng minh 1 0 rằng: ∫ f (t )dt ≥ 3∫ f (t ) dt − f (0)  f ( x) ≤ + 2009 x, ∀x ∈ R Bài 3:Tìm tất các hàm số: f : R → R thỏa mãn các ñiều kiện:   f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y ) − 4, ∀x, y ∈ R Bài 4:Gỉa sử f ( x), g ( x ) là các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn ñiều kiện: f ( g ( x)) ≡ g ( f ( x)), ∀x ∈ R Chứng minh phương trình f ( x) = g ( x) không có nghiệm thực thì phương trình f ( f ( x)) = g ( g ( x)) không có nghiệm thực  x = y =   Bài 5:Cho hai dãy số { xn } và { yn } xác ñịnh theo công thức:  xn +1 = xn + + xn2 , n = 2,3,  yn  yn +1 = , n = 2,3,  + + yn2  Lop12.net Chứng minh rằng: xn yn ∈ ( 2, 3) , n = 2,3, và lim yn = MATH.VN n →∞ Bài 6:Thí sinh làm hai câu sau: a) Cho P ( x) là ña thức bậc n với hệ số thực.Chứng minh phương trình x = P ( x) có không quá n + nghiệm thực b) Cho f ( x) − x và f ( x) − x là hàm số ñơn ñiệu tăng trên R.Chứng minh hàm số f ( x ) − x là hàm ñơn ñiệu tăng trên R HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC NĂM 2008 ðỀ THI:ðẠI SỐ x + y + z =  Bài 1:Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn ñẳng thức sau:  x + y + z =  x3 + y + z =  n +1 Chứng tỏ với số tự nhiên n ta luôn có x + y n +1 + z n +1 =  −2008 2010  Bài 2:Tồn hay không ma trận thực A vuông cấp cho: A2010 =   −2009   Bài 3:Cho A,B,C là các ma trận vuông cấp n cho C giao hoàn với A và B, C = E (E là ma trận ñơn vị) và AB = 2( A + B )C a) Chứng minh AB = BA b) Nếu có thêm ñiều kiện A + B + C = ,hãy chứng tỏ rank ( A − C ) + rank ( B − C ) = n  0 0 −1    −7  Bài 4:Tính A2009 ,trong ñó: A =  −5     −9  1 0 0    Bài 5:Tìm tất các ma trận vuông A cấp n (n ≥ 2) cho với ma trận vuông B cấp n,ta ñều có det( A + B) = det A + det B BÀI 6:Thí sinh chọn hai câu sau: 2 x1 + x2 − x3 + x4 + x5 − x6 =  − x1 + x2 + x3 + x4 + x5 − x6 =  x1 − x2 + x3 + x4 + x5 − x6 = a) Giải hệ phương trình:  −2 x1 − x2 − x3 + x4 + x5 − x6 = 2 x1 + x2 + x3 − x4 − x5 + x6 =  − x1 + x2 + x3 − x4 + x5 + x6 = b) Ưng với ña thức P(x) với hệ số thực và có nhiều nghiệm thực,gọi d(P) là khoảng cách nhỏ hai nghiệm thực nó.Gỉa sử các ña thức với hệ số thực P(x) và P(x) + P’(x) ñều có bậc k(k>1) và có k nghiệm thực phân biệt.Chứng minh d(P + P’) ≥ d ( P ) ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC ðHXD HÀ NỘI MÔN:GIẢI TÍCH Lop12.net MATH.VN Bài 1: Tìm số α cho dãy số {un } α  u1 = ñược xác ñịnh  hội tụ u = (α + u ), ∀n ∈ N * n  n +1 Khi ñó tính lim un n →∞ Bài 2:Cho hai hàm số f ( x), g ( x ) xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [ a, b ] ,khả vi trên khoảng ( a, b ) và f ( a ) = f (b) = Chứng minh phương trình: g '( x) f ( x) + f '( x) = có nghiệm trên [ a, b ] Bài 3:Cho hàm số f ( x) liên tục trên [ 0,1] thỏa mãn ñiều kiện f (0) = f (1) Chứng minh tồn c ∈ [ 0,1] cho f (c) = f (c + ) Bài 4: với n ∈ N * ñặt I n = ∫ x n e x dx Chứng minh { I n } là dãy giảm.Hãy tìm mối liên hệ I n +1 và I n Tính lim nI n n →+∞ Bài 5:Tìm tát các hàm liên tục f : R → R thỏa mãn các ñièu  f (1) = −1 kiện:  ∀x, y ∈ R : f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + xy MÔN:ðẠI SỐ  1 2008 Bài 1:Cho A là ma trận cấp xác ñịnh bởi: A =   ,tính A − 1   Bài 2:Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A3 = I n ,trong ñó I n là ma trận ñơn vị cấp n Chứng minh rằng: Rank ( A − I n ) + Rank ( A2 + A + I n ) = n ( A − I n ) 2008 = Bài 3: Cho A,B là hai ma trận vuông cấp n cho AB = BA,giả thiết thêm  2009 =0 ( B − I n ) a) Tìm tất các giá trị riêng A và B b) Chứng minh AB,A + B là các ma trận khả nghịch Bài 4: Cho V và W là hai không gian véc tơ hữu hạn chiều trên trường số thực R.Gỉa sử U là không gian W, f : V → W là ánh xạ tuyến tính.ðặt S = f −1 (U ) Chứng minh rằng: dim S + dim W ≥ dim V + dim U Bài 5:Cho A là ma trận ñối xứng xác ñịnh dương cõ 2008.Gỉa sử y = (1,2,…,2008)∈ R 2008 yAm +1 yT tính lim ,trong ñó yT ma trận vec tơ cột Y m →∞ yAm y T Bài 6: Cho M n là không gian các ma trận vuông cấp n và cho Pk [x] là không gian véc tơ các ña thức theo n biến số,bậc k.Một ánh xạ f : M n → Pk [x] ñược coi là bất biến f ( B −1 AB) = f ( A) với ma trận khả nghịch B ∈ M n Gỉa sử X là ma trận cho trước,kí hiệu: P( X ) = det(λ.I n − X ) = λ n + a1 ( X )λ n −1 + + an −1 ( X )λ + an ( X ) Chứng minh rằng: a) f k ( X ) là ña thức bậc k tức là f k (tX ) = t k f k ( X ), ∀t ∈ R b) f k ( X ) là ánh xạ bất biến Bài 7: Cho P ( x) và Q ( x) là các ña thức với hệ số phức có bậc khác 0.Gỉa sử với ω ∈ c thỏa mãn P(ω ) = thì ñều suy Q (ω ) = và ngược lại.ðồng thời ω ∈ c thỏa mãn P(ω ) = thì suy Q (ω ) = và ngược lại.Chứng minh P( x ) ≡ Q( x) TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 1999 Lop12.net MATH.VN Bài 1:Khảo sát biến thiên hàm số f ( x) xác ñịnh trên toàn R,ñược cho x  ,x ≠ x + sau: f ( x) =  + e x  0, x = Bài 2:Tìm các số thực a,b,c thỏa mãn a − 2b + 3c − 16 = cho biểu thức f = 2a + 2b + 2c − 4a − 4b − 4c + 15 ñạt giá trị nhỏ Bài 3:Chứng minh phương trình: a.cosx+b.sin2x+c.cos3x=x có nghiệm trên [ −π , π ] , ∀a, b, c ∈ R Bài 4:Tìm hàm số f ( x) xác ñịnh và liên tục trên [ 0,1] ,biết ≤ f ( x) ≤ 1, ∀x ∈ [ 0,1] và f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0,1] TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2000  xn > Bài 1: cho dãy số { xn } xác ñịnh sau:  ,chứng mình dãy số { xn } hội tụ  xn = ln(1 + xn −1 ), ∀n ≥ ñến giới hạn l và tính l Bài 2:Chứng minh f ( x) là hàm số xác ñịnh trên R, thỏa mãn ñiều kiện f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ R thì f ( x) là hàm Bài 3: f ( x) là hàm số xác ñịnh và liên tục x ≠ ,lấy giá trị không âm,thỏa mãn ñiều x kiện: f ( x ) ≤ k ∫ f (t ) dt , ∀x ≥ ,trong ñó k là số dương.Chứng minh rằng: f ( x ) = 0, ∀x ≥ 0 x Gợi ý:xét biến thiên hàm số F ( x) = e − kx ∫ f (t ) dt trên ( 0, +∞ ) Bài 4: Hàm số f ( x) thỏa mãn ñiều kiện f ''( x) ≥ 0, ∀x ∈ R .Chứng minh rằng: f [tx+(1-t)y] ≤ tf(x)+(1-t)f(y),∀x,y ∈ R,∀t ∈ ( 0,1) Bài 5: Cho các số thực k1 , k2 , , kn khác ñôi một.Chứng minh rằng: a1e k1x + a2 ek2 x + + an e kn x = 0, ∀x ∈ R và a1 = a2 = = an TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2001 Bài 1:Cho hàm số f ( x) = u0 = ex Xét dãy số {un } xác ñịnh  + ( x + 1) un +1 = f (un ), ∀n ∈ Z 1  a) Chứng minh phương trình f ( x) = x có nghiệm α ∈  ,1 2  1  b) Chứng minh un ∈  ,1 , ∀n ∈ Z + 2  1  c) Chứng minh f '( x) tăng trên  ,1 Suy tồn số k ∈ ( 0,1) 2  cho un − α = k un − α với n nguyên dương d) Chứng minh lim un = α n →∞ Bài 2: Với hai số x,y thuộc R ta ñặt d ( x, y ) = x− y ,chứng minh với ba số x,y,z thuộc R ta luôn 1+ x − y có: d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) Bài 3: Cho hàm số f ( x) có f ''( x) và a < b,chứng minh rằng: 10 Lop12.net a) f [λ x1 + (1 − λ ) x2 ]>λ f(x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ), ∀x1 , x2 ∈ [ a, b ] , ∀λ ∈ ( 0,1) MATH.VN a+b ) a Bài 4: Cho a < b và hàm số f ( x) có f '( x) liên tục trên R thòa mãn f (a ) = f (b) = và b b) ∫ f ( x)dx ≤ (b − a) f ( b ∫ f '( x) dx = m Chứng minh rằng: f ( x) ≤ a m , ∀x ∈ [ a, b ] TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2002 x ≥ mx + x 1+ x a) Gải bất phương trình m = b) Tìm m ∈ R lớn cho bất phương trình có nghiệm ñúng với x ∈ R   x1 = − Bài 2: cho dãy số { xn } xác ñịnh sau:  ,chứng minh dãy { xn } có giới hạn x  x = n − 1, n ≥  n +1 n → ∞ và tìm giới hạn ñó a0 =  Bài 3: Cho các số thực , i = 0, 2002 thỏa mãn:  a2002 a1 a0 + + + 2003 Bài 1:Cho bất phương trình: Chứng minh phương trình: a0 + a1 x + + a2002 x 2002 = có nghiệm trên [ 0,1] Bài 4:cho hàm số y = f ( x) có ñạo hàm cấp hai f ''( x) ≥ trên toàn R và a ∈ R cố ñịnh.Tìm giá trị lớn hàm số g ( x) = f ( x) + ( a − x ) f '( x) trên R TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2003 Bài 1:Tìm ña thức P ( x) có bậc bé nhất,ñạt cực ñại x = với P(1) = và ñạt cực tiểu x = và P(3) =  P( x) ≥ P ''( x), (i ) Bài 2: Có tồn hay không ña thức P(x) thỏa mãn hai ñiều kiện:  , ∀x ∈ R  P '( x) ≥ P ''( x).(ii ) Bài 3: a) Cho hàm số f(x) xác ñịnh và f’(x) > với ∀x ∈ R Biết tồn x0 ∈ R cho f ( f ( f ( f ( x0 )))) = x0 Chứng minh f ( x0 ) = x0  x = y3 + y −   y = z + 2z − c) Giải hệ phương trình:   z = t + 2t − t = x + x −   x1 = ,tính lim(n xn ) Bài 4:Cho dãy số { xn } thỏa mãn:  n →∞  x1 + x2 + + xn = n xn TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2004 a (2 x3 − x ) + b( x3 + x − 1) − c(3 x3 + x ) =1 x ±∞ a (5 x − x ) − bx + c (4 x + 1) + x + x Bài 2:Chứng minh với tham số m,phương trình: x3 − x − m( x − 1) luôn có nghiệm Bài 1:Tìm các số a,b,c cho: lim 11 Lop12.net MATH.VN Bài 3: f(x) là hàm số xác ñịnh trên [0,1],lấy giá trị trên [0,1] thỏa mãn ñiều kiện: f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0,1] Chứng minh tồn x0 ∈ [ 0,1] cho f ( x0 ) = x0 b Bài 4: a) Chứng minh f(x) liên tục trên [a,b] thì: ∫ a b f ( x) dx ≤ ∫ f ( x) dx a b) Chứng minh hàm số f(x) có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [a,b] và thỏa mãn ñiều kiện f(a) = b M (b − a ) f(b) = thì: ∫ f ( x)dx ≤ ,trong ñó M = max a ≤ x ≤ b f '( x) Dấu ñẳng thức xảy nào? a TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2005 u0 =  Bài 1: Cho dãy số {un } xác ñịnh sau:  un = un −1 + u , n ≥  n −1 a) Chứng minh dãy số không dẫn tới giới hạn hữu hạn n → ∞ b) Chứng minh rằng: lim un = +∞ n →∞ Bài 2:Cho hàm sô f(x) liên tục,ñơn ñiệu trên ñoạn [0,b] và a ∈ [ 0, b ] ,chứng minh rằng: a b 0 b ∫ f ( x )dx ≥ a ∫ f ( x)dx  f ( x) >   π Bài 3: f(x) là hàm số liên tục trên ñoạn 0,  thỏa mãn: π ,chứng tỏ phương f ( x ) dx <  2 ∫ 0 π   trình f ( x) = s inx có nghiệm khoảng  0,     α  x sin( ), x ≠= , α là số dương.Với giá trị nào α ,hàm số f(x) có Bài 4:Cho hàm số f ( x) =  x 0, x = ñạo hàm x Bài 5:Tìm tất các hàm số f(x) có ñạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn hệ thức f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + xy, ∀x, y ∈ R TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2006 Bài 1:Phương trình: x3 − ax + = ,(a là tham số) có bao nhiêu nghiệm? u0 ∈ R  Bài 2:Cho dãy số {un } xác ñịnh sau:  u = u + n ∫0 t − un dt , ∀n ∈ N  n +1  a) Chứng minh rằng: đó là dãy số tăng và u0 ≥ thì: un +1 = 2un − ,từ ñó chứng minh lim un = +∞ n →∞ b) Chứng minh ≤ u0 < hay u0 < thì lim un = +∞ n →∞ Bài 3: Với n nguyên dương,ñặt I n = ∫ x n ln(1 + x ) dx 12 Lop12.net MATH.VN a) Tính lim I n n →∞ c b) Gỉa sử c ∈ ( 0,1) ,ñặt An = ∫ x n ln(1 + x )dx, Bn = ∫ x n ln(1 + x ) dx ,chứng minh: lim n →∞ c An =0 Bn Bài 4: a) Tìm hàm số f(x) xác ñịnh trên R liên tục x = cho f(2x)= f(x) , ∀x ∈ R c) Tìm nhứng hàm số g(x) xác ñịnh trên R,có ñạo hàm x = cho g(2x) = 2g(x) , ∀x ∈ R Bài 5:Cho x và y là hai ñường thẳng chéo nhau.A và B là hai ñiểm cố ñịnh trên x.CD là ñoạn thẳng có chiều dài l cho trước trượt trên y.Tìm vị trí CD cho diện tích toàn phần tứ diên ABCD là nhỏ TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2007 Bài 1:Cho phương trình: ( − x + x )3 − x(1 − x) = m (1) (m là tham số) a) Gỉai phương trình (1) m = b) Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm π π 4 0 Bài 2:Với n là số nguyên dương ñặt: U n = ∫ x n −1 (s inx) 2n dx, Vn = ∫ x n −1 (cosx) 2n dx Chứng minh rằng: a) lim U n = lim Vn = n →+∞ n →+∞ b) 2U n + Vn ≤ π2 32 , ∀n ≥ Bài 3: Giả sử f : R + → R + là hàm số liên tục thỏa mãn f ( f ( x)) = ( x + 1)5 + Chứng minh rằng: a) Nếu f ( x1 ) = f ( x2 ) thì x1 = x2 f ( x + 1) =1 f ( x) Bài 4: Cho mặt phẳng (P) và hai ñiểm C,D hai phía ñối với (P) cho CD không vuông góc với (P).Hãy xác ñịnh vị trí hai ñiểm A,B thuộc (P) cho AB = a (a > cho trước) và tổng ñộ dài CA + AB + BD ñạt giá trị nhỏ Bài 5: Cho ki , i = 1, n là các số thực dương khác ñôi một.Chứng minh b) Hàm số f(x) ñơn ñiệu tăng và lim x →+∞ n rằng: ∑ λi cos(k i x) = 0, ∀x ∈ R ⇔ λi = i =1 13 Lop12.net