Chuyên đề Giới hạn ôn thi đại học

Định nghĩa: a Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.. Một vài giới hạn đặc b[r]

Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là n dần tới vô cực, un có thể nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: lim u  hay u n  n  + n  n  b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a n dần tới vô cực ( n   ), lim  un  a   Kí hiệu: lim  un   a hay u n  a n  + n n  Chú ý: lim  un   lim  un  n Một vài giới hạn đặc biệt 1 a) lim  , lim k  , n  * n n n b) lim q  với q    c) Lim(un)=c (c là số) => Lim(un)=limc=c Một số định lý giới hạn dãy số a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có :  un  wn n  * và lim    lim  wn   a  lim  un   a b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim  un    lim  un   lim    a  b lim  un   lim un lim  a.b lim un lim  un  a   ,  n  *; b  lim   b   lim un  lim  un   a ,  un  ,a   Tổng cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q  lim Sn  lim u1 1 q Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  un    n dần tới vơ cực  n    un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: lim(un)=  hay un   n   b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  n   lim  un    Ký hiệu: lim(un)=  hay un   n   c) Định lý: _ Lop12.net Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học   o Nếu : lim  un   un  ,n  * thì lim 0 un B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  un o Nếu : lim  un    thì lim P n với P,Q là các đa thức: Q n Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P là a0, hệ số cao Q là b0 thì chia a tử số và mẫu số cho nk để đến kết : lim  un   b0 Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=0 Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=  f n Giới hạn dãy số dạng: un  , f và g là các biển thức chứa gn Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp CÁC VÍ DỤ 3n2  2n  5 3  2 3n  2n  n n n 3 lim  lim lim 2 7n  n  7n  n    n n2 n2 Giới hạn dãy số (un) với un  o o o o o C 1 n2   4n 1  n   4n 1 n n lim  lim  lim   3n  2 3n  3 3 n n lim   n  2n   n   lim n2  2n   n  n2  2n   n n2  2n   n   lim n  2n   n 2 n2  2n   n 2n  2n  n  lim  lim  lim  1 11   3 n2  2n   n 1  1 n     1 n n n n   2 n2  2n   n là biểu thức liên hợp n2  2n   n _ Lop12.net Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học  1  1  1                2  8  2  n1    Tổng cấp số nhân lùi vô  1 1    2 và số hạng đầu u1=1 n3  2n  1  3 n  2n  n n   lim  lim n  lim 1 2n  n  2n  n    n n n3 n3 n   n   n    n  n  n2    lim n   n  lim  n    n  n  n2 hạn có công bội q     lim  lim    3 n2  n  2    n 3  n  n  n2  n  2  n  n  n D BÀI TẬP Tìm các giới hạn: 7n  n a) lim 5n  2n  b) lim n2 3n2  c) lim n 4 6n3  3n  d) lim 7n  n Tìm các giới hạn sau:      n a) lim n2  3 Tìm các giới hạn sau: 3n2   n2  a) lim n 3  lim n2n  n  2  n  n  n2 0 n2  2n  e) lim 7n  n  n2  f) lim 4n2  8n3  g) lim 2n  h) lim  n2  2n   n i) lim  b) lim 5sin  n   7cos  n  2n  b) lim  n 1  n   n3  2n  n  _ Lop12.net Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học c) lim  n2   n2   h) lim  a  a  a  a   a d) lim  b  b2  b3  b   b n 2n3 e) lim n  3n2  n n   1 f) lim  n 1 2n2   1  n g) lim  n2  n  3n  n2   n6  n   n2  a  1, b  2n n  n  i) lim  n  1 n      1  1  j) lim                n   1  k) lim      n2  n2  n   n 1  Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: 2n3  11n  a) lim n2  b) lim n2   n2  c) lim  n n3  n2  n      GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L x dần tới a với dãy số (xn), xn  K và xn  a , n  * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f  x    L x a Một số định lý giới hạn hàm số: a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L thì giới hạn đó là b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim  f  x    L , lim  g  x    M thì: x a x a lim  f  x   g  x    lim  f  x    lim  g  x    L  M x a x a x a lim  f  x  g  x    lim  f  x   lim  g  x    L.M x a lim x a x a x a  f  x   L f  x  lim  x a  ,M0 g  x  lim  g  x   M x a lim f  x   lim  f  x    L ; f  x   0, L  x a x a _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)  f(x)  h(x) x  K , x  a và lim  g  x    lim  h  x    L  lim  f  x    L x a x a x a Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]=  thì ta nói f(x) dần tới vô cực x dần tới a, kí hiệu: lim  f  x     x a b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) =  có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L x dần tới vô cực, kí hiệu: lim  f  x    L x  c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a n  * , thì ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : lim  f  x   Nếu đòi hỏi với x a dãy số (xn), xn < a n   thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: lim  f  x   * x a B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: f x   Giới hạn hàm số dạng: lim 0 x a g  x    o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a)2 o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp f x    Giới hạn hàm số dạng: lim  x  g  x    o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý x   thì coi x>0, x   thì coi x<0 đưa x vào khỏi bậc chẵn  Giới hạn hàm số dạng: lim  f  x  g  x    0.  Ta biến đổi dạng:   x   Giới hạn hàm số dạng: lim  f  x   g  x     -  x    f  x  g x o Đưa dạng: lim x  f  x  g x C CÁC VÍ DỤ x  x   2    2   12 lim     3 x 2 x2  2   2 _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học  x   x  1  lim x     Chia tử và mẫu cho (x-2) x  3x   lim lim   x 2 x 2 x 2 x2 x2 x 1  x 1  3x   x    3x  x 1   lim  lim lim x 3 x 3 x 3 3x  3x  x 1  3x  3 x  32 x 1             x  3 3.3  3  x  3  x  3    lim  lim     x  3  x     x        12 x 3   x 3  x  3x     xlim 3 x  3x  x 3 lim   (vì tử dần còn mẫu dần 0).Cụ thể:  x 3 x 3  lim x  x     x 3 x  2x2  x   x  1 x  x  2x3  x2  lim  lim  lim  x 1 x  x  x  x 1 x 1  x  1 x    x  1  x       2x2  x  3   2x  x  x2 x x2   lim  lim  lim x  x  x  x2  x2  1 1 2 x x lim x   x 1 x 1 x  lim    lim lim x  x  x  x x x2 1 x 1 x  2 x 1 x  lim x  lim      1 lim  lim   x  x  x  x   x x x x    x  x   x  1  10.Cho hàm số : f  x    x+a Tìm a để hàm số có giới hạn x dần tới x>1     x và tìm giới hạn đó Giải Ta có : lim  f  x    lim x  x   x 1 x 1 x 1   _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học xa  a 1 x 1 x 1 x Vậy lim  f  x     a    a  lim  f  x    lim x 1    x  2 x2  2x  x3  0 11 lim  lim  lim x  x   12 Dạng   x 2 x  x 2 x 2 x2 0 x3  2x  1  3 x  2x  x x x  Dạng    12 lim  lim  lim  3 x  x  x  2x  2x    2 3 x x 3x  x  3x  x    2 x2 13 lim  x  x   lim  lim  3 x  x  x  x x  x x   x x   x2 1   2    x x   lim   6 x  1 1 x  14 lim x   x    x   x   lim x  x3  lim x2  x   x x   lim    D BÀI TẬP Tìm các giới hạn sau: a) lim x  x  10  lim  x x 0 b) x 3  7x x2  x 1 x  c) lim   x      x2  x   x   x2  x   x x2  x   x    lim x x   x   x2 x2  x   x x3 1 x x  lim  Dạng x  x   x x     x x2 x x  x  15 d) lim x 3 x 3 2 x  3x  e) lim x 1 x2  x3  x2  x  f) lim x 1 x 1 _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học x  a4 g) lim x a x  a Tìm các giới hạn : a) b) c) d) x  3x  h) lim x 7 x2 x   x2  x  lim x 0 x x x2 lim x 2 4x   1 x 1 lim x 0 3x x 1 lim x 1 x2   e) lim x  3x   x  2 x 2 2 x  3x  f) lim x 1 x  x  x  x2  4x  g) lim x 3 x 3 x  5x  x h) lim x 1 1  x  i) lim x 2 Tìm các giới hạn sau: 3x  5x  a) lim x  x2  2 x  1  x    b) lim x   x  1 x  11  x  x  3x   x  1  5x  3 lim  x  1  x  1 c) x  d) lim x   x2  4x  x  sin  x   cos  x  x  x2  x  Tìm giới hạn bên phải, bên trái hàm số f(x) x=x0 và xét xem lim  f  x   có e) lim x  x0 tồn không các trường hợp sau:  2x   x>1  a) f  x    x x0 = 5 x   x  1   x2  x   b) f  x    x  x2  x     x2  c) f  x    x  1  x   x>1  x  1  x<2   x  2 x0 = x0 = _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học x  3x  d) f  x   x0 = x  5x  Tìm các giới hạn: b) lim x  x   x a) lim  x x   x  x   x        HÀM SỐ LIÊN TỤC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số liên tục điểm trên khoảng: o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) Hàm số gọi là liên tục điểm x0  (a;b) nếu: lim  f  x    f  x0  Điểm x0 đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián x  x0 đoạn hàm số o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục điểm x0  (a;b)  lim  f  x    lim  f  x    lim  f  x    f  x0  x  x0 x  x0 x  x0 o f(x) xác định trên khoảng (a;b) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nó liên tục điểm thuộc khoảng o f(x) xác định trên khoảng [a;b] gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nó liên tục  lim  f  x    f  a   x a trên khoảng (a;b) và   f  x    f  b   xlim b   Một số định lý hàm số liên tục: f x o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục x0 thì: f  x   g  x  , f  x  g  x  ,  g  x   0 g x liên tục x0 o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định chúng o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và giá trị trung GTLN và GTNN trên đoạn đó  Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn ít điểm c (a;b) cho f(c) = Tức là có ít nghiệm thuộc khoảng (a;b) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học  g  x  f x  Xét tính liên tục hàm số dạng:    a o Tìm lim  g  x   Hàm số liên tục x0  lim  g  x    a x  x0  x  x0   x=x  x  x0 g  x   x<x   Xét tính liên tục hàm số dạng: f  x   a  x=x    x>x  h  x   lim  f  x    lim  g  x   x  x0  x  x0  o Tìm :  lim  f  x    lim  g  x   Hàm số liên tục x = x0 x  x0  x  x0  f  x0    lim  f  x    lim  f  x    f  x0   a x  x0 x  x0 Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b] o Chứng tỏ f(a).f(b)<0 Khi đó f(x) = có ít nghiệm thuộc (a;b) Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời và trên khoảng f(x)=0 có nghiệm C CÁC VÍ DỤ  x2   x  1 a là số Xét tính liên tục hàm  Cho hàm số: f  x    x  a  x=1  số x0 = Giải Hàm số xác định với x thuộc R Ta có f(1) = a  x  1 x  1  lim x   x2  lim  lim   x 1 x  x 1 x 1 x 1 Nếu a=2 thì hàm số liên tục x0 = Nếu a  thì hàm số gián đoạn x0 =  x   x  0 Cho hàm số: f  x    Xét tính liên tục hàm số x0 = x x     10 _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học Giải Hàm số xác định với x thuộc R Ta có f(0) = lim  f  x    lim x  x 0 x 0   lim  f  x    lim x    0= lim  f  x    lim x x 0 x 0 x 0 x 0 Vậy hàm số không liên tục x0 = ax   x  1 Cho hàm số: f  x    Xét tính liên tục hàm số trên toàn x +x-1 x     trục số Giải x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục Khi x = 1: Ta có f(1) = a+2 lim  f  x    lim  ax    a  x 1 x 1 lim  f  x    lim x  x   x 1 x 1 Hàm số liên tục x0 = a = -1 Hàm số gián đoạn x0 = a  -1 Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số a = -1.Hàm số liên tục trên  ;1  1;     a  -1 D BÀI TẬP Xét xem các hàm số sau có liên tục x không, chúng không liên tục thì các điểm gián đoạn a) f(x) = x3 – 2x2 + 3x +  x  16  x  4  2x  d) f  x    x  b) f  x   x  3x  8  x=4   x  5x  c) f  x   x2  2x ax  x  2 Cho hàm số: f  x    a là số Tìm a để f(x) liên tục x>2    x, đó hãy vẽ đồ thị hàm số Chứng minh phương trình: a) 3x2+2x-2=0 có ít nghiệm b) 4x4+2x2-x-3=0 có ít hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1) 11 _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net Chuyên đề GIỚI HẠN ôn thi Đại học c) d) e) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt x4-x-3=0 có nghiệm thuộc (1;2) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2] Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R:  3x  1  x>2  b) f  x     a) f  x    x   x  a ax   x  2   x<0   x  0 Xét tính liên tục x0 các hàm số f(x) các trường hợp sau: 1  x   x   x =  a) f  x     x 1  x  2   x -x +2x-2  b) f  x    x 1 4   x -x-6 x x 3     c) f  x   a  b   x  1  x  1 x  3x   x  0  x=3 x0 =  ại x0 = và x0 = 12 _ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net