Đang tải... (xem toàn văn)
Câu VII a 1,0 điểm: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b2,0 điểm 1.[r]
(1)Sở Gíao dục & Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc Trường THPT Xuân Hoà KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ ĐỀ THI MÔN Toán; Khối A Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang I/- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7, điểm) Câu I (2,0 điểm): Cho hàm số y x 2m x (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Chứng minh đường thẳng y = x + luôn cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m Câu II (2,0 điểm): Giải phương trình: sin x cos x 4(sin x cos x) 3 x y y 16 x Giải hệ phương trình: 2 1 y 5(1 x ) cos x tan x Câu III (1,0 điểm): Tính giới hạn lim x 0 x.sin x Câu IV (1,0 điểm): Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đương thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S, cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC x x3 x x Câu V (1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) x2 x II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh làm phần ( phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ ( 3; 0) và qua điểm M (1; 33 ) Hãy xác định toạ độ các đỉnh (E) x x x x Giải phương trình: 2.27 18 4.12 3.8 Câu VII a (1,0 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm cho tam giác ABC vuông A Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ mx Câu VII.b(1,0 điểm): Tìm m để hàm số: y có hai điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn x -Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………; Số báo danh:……………… Lop12.net (2) ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Khối A Lưu ý : Học sinh làm theo cách khác mà đúng cho điểm tối đa Câu I Đáp án Điểm (1, điểm) Khảo sát… Với m=1, hàm số trở thành: y x x * Tập xác định: R * Sự biến thiên + y ' x3 x x( x 1) y ' x Ta có: y ' x 0; y ' x Hàm số nghịch biến khoảng ;0 và đồng biến khoảng 0; ; 0, 25 0, 25 đạt cực tiểu x=0; y(0)=1 + Giới hạn: lim y lim y x x Bảng biến thiên: x y' y - 0, 25 0 + * Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng 0,25 -1 2 ((1, điểm) Chứng minh đường thẳng … Số giao điểm hai đồ thị tương ứng với số nghiệm phương trình: x 2m x x x( x3 2m x 1) (*) x Phương trình (*) có nghiệm x 2m x 0(**) x=0 Ta chứng minh phương trình: x3 2m x (**) có đúng nghiệm khác với giá trị m * Nếu m=0 thì pt(**) trở thành: x3 x pt(*) có đúng nghiệm 0,25 0,25 Lop12.net (3) II Nếu m , Xét hàm số f ( x) x3 2m x trên R Ta có: f '( x) x 2m 0, x R f(x) luôn đồng biến trên R f ( x) có nhiều nghiệm Ta có: f(0) = -1; f(1) =2m2 >0 f (0) f (1) pt f ( x) có nhiều nghiệm thuộc (0; 1) Vậy pt (**) có đúng nghiệm khác (đpcm) (1, điểm) Giải phương trình: sin x cos x 4(sin x cos x) (1) ĐK: x R (1) sin x cos x 4(sin x cos x) 2sin x.cos x cos 2 x 4(cos x sin x) (cos x sin x)(cos x sin x) 2(cos x sin x) 0,25 0,25 0,25 (cos x sin x) (cos x sin x)(cos x sin x) 2 (2) Xét hai khả xảy cho (2): * TH1: cos x sin x tan x x (cos x sin x)(cos x sin x) k 0,25 * TH2: cos(2 x ).cos( x ) 4 cos x cos( x ) (*) cos x (3) cos( x ) (4) 0,25 Xét: cos( x ) x 2m 2 3 3x 6m 3 6m ) ( Vô lý với (3)) Lúc đó: cos x cos( k x3 y y 16 x 2.(1, điểm) Giải hệ phương trình: 2 1 y 5(1 x ) x( x 16) y ( y 4) x( x 16) x y (1) HPT 2 (2) y x y x Vậy (*) vô nghiệm., nên (1) có nghiệm: x 0,25 x Pt (1) x 16 xy (3) +) x = thay vào (2) ta y 2 x 16 +) x , pt (3) y thay vào (2) ta được: 5x 124 x 132 x 256 x Nếu x = thì y = -3 Nếu x =-1 thì y = Vậy HPT có các nghiệm: (x; y) =( 0; 2); (0; -2); (1; -3); (-1; 3) 0,25 0,5 0,25 Lop12.net (4) III cos x tan x (1, điểm) Tính giới hạn: I= lim x 0 x.sin x sin x cos x I lim x 0 x.sin x 2sin x sin x I lim( ) 1 x 0 x x.cos x (1 điểm): Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Từ giả thiết suy ABC S vuông C kết hợp với d ( SAC ) Suy BC ( SAC ) 600 Do đó SCA 2sin x IV 0,5 0,5 0,5 Do ABC vuông C và AB =2a AC BC a Trong tam giác vuông SAC ta có SA AC.tan 600 a A B C Trong tam giác SAB có: SB SA2 AB a 10 SAB 900 nên tứ diện SABC nội tiếp mặt cầu đường kính SB Do SCB SB a 10 2 2 Vậy S mc 4 R 10 a (Đ.V.D.T) Suy bán kính mặt cầu V Vi.a x x3 x x (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x) x2 2x Tập xác định hàm số là R x x3 x x ( x x) 4( x x) Ta có: f ( x) = x2 2x x2 2x ( x x 2) 1 f ( x) x2 2x 2(do x x ) x 2x x 2x Đẳng thức xảy x x x Vậy Minf(x) = x =1 1.(1 điểm): Hãy xác định toạ độ các đỉnh (E) (E) có tiêu điểm F1 ( 3;0) nên c Phương trình chính tắc (E) có dạng: x2 y (a>b>0) a b2 33 528 ) (E) 1(1) và a b c b thay vào a 25b 528 25b 478b 1584 (1) ta được: 2 b 25b b 22 b 22 Suy ra: a 25 a Vậy (E) có bốn đỉnh là: (-5;0); (5; 0); (0;- 22 ); (0; 22 ) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Ta có: M (1; 0,5 0,25 Lop12.net (5) (1,0 điểm): Giải phương trình: 2.27 x 18 x 4.12 x 3.8 x Ta có PT 2.33 x x.32 x 4.22 x 3x 3.23 x 3x 3 3 Chia hai vế cho 23 x : PT 2 2 2x 0,25 x 3 4 2 0,25 x 3 Đặt t , đk: t>0 PT trở thành: 2 2t t 4t t 1 2t t t 1 t Do t >0 nên t= x 3 3 Khi t , ta có: x KL: Nghiệm PT là x 2 2 ViIa VI.b 0,25 0,25 (1,0 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ 0,5 Từ giả thiết bài toán ta có C 42 cách chọn chữ số chẵn (vì không có số 0) và C 52 10 cách chọn hai chữ số lẻ => cã C 52 C 52 = 60 số thoả mãn bài toán 0,5 Mỗi số có 4! số thành lập Vậy có tất C 42 C 52 4! = 1440 số (1 điểm): Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn Gọi A(2; 1); B(b; 0); C(0; c); b, c > Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông A nên 0,25 AB AC c 2b O b 1 S ABC AB AC (b 2) 22 (c 1) (b 2) b 4b 0,5 2 Do b S max b =0 Suy B(0; 0); C(0; 5) 0,25 2.(1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ Từ giả thiết bài toán ta thấy có C 52 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có VII.b chữu số đứng đầu ) vµ C53 =10 cách chọn hai chữ số lẻ => cã C 52 C53 = 100 số chọn 0,5 Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C 52 C 53 5! = 12000 số Mặt khác số các số lập trên mà có chữ số đứng đầu là C 41 C 53 4! 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thoả mãn YCBT 0,5 (1 điểm): Tìm m để hàm số: y mx có hai điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn x Lop12.net (6) Ta có: y ' mx x2 0,25 Hàm số có hai cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt khác m 0(*) Khi m<0 đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A ; m , B ; 2 m AB 16 m m m m AB 0,25 0,25 16 m 16 ( không đổi) m m AB 16( m) m m 0,25 Kết hợp với điểu kiện (*) ta m KL: Lop12.net (7)