Đang tải... (xem toàn văn)
Từ đó ứng với 6 điểm trên conic, ta có 6 - 1!/2 = 60 luïc giaùc khaùc nhau 2 Ñònh lí Pascal : Ba giao điểm của các cạnh đối diện của hình lục giác nội tiếp trong một conic nằm trên một đ[r]
(1)ĐƯỜNG THẲNG PASCAL - ỨNG DỤNG - PHÁT TRIỂN Lê Hữu Dũng Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, TP Đà Nẵng ==================== Ñònh lí Pascal veà hình luïc giaùc noäi tieáp laø ñònh lí cô baûn cuûa lyù thuyeát thieát dieän conic Blaise Pascal công bố vào năm 1640 (lúc ông 16 tuổi) Đó là dạng tổng quát định lí Pappus (Hy lạp cổ đại) Đối ngẫu nó là định lí Brianchon (công bố năm 1806 tức là gần 200 năm sau định lí Pascal) Bản thân Pascal đã suy 200 hệ qủa từ định lí thần kì này! Trong chuyên đềø này ta chứng minh định lí này theo phương pháp xạ ảnh, phương pháp tọa độâ và trình bày số bài tóan ứng dụng, mở rộng … 1) Khaùi nieäm, kí hieäu: Hình lục giác nội tiếp đường conic ứng với điểm nằm bất kì trên conic 1, 2, 3, 4, 5, gọi là các đỉnh lục giác Các đường nối 12, 23, 34, 56, 61 goïi laø caùc caïnh cuûa luïc giaùc Caùc caëp caïnh 12 vaø 45; 23 vaø 56; 34 vaø 61 laø caùc cạnh đối diện hình lục giác Theo ngôn ngữ Graph thì lục giác là xích Hamilton trên đồ thị đủ K6 Từ đó ứng với điểm trên conic, ta có (6 - 1)!/2 = 60 luïc giaùc khaùc 2) Ñònh lí Pascal : Ba giao điểm các cạnh đối diện hình lục giác nội tiếp conic nằm trên đường thẳng (gọi là đường thẳng Pascal lục giác ) Chứng minh theo phương pháp xạ ảnh: Trong hình hoïc xaï aûnh, tính chaát neâu ñònh lí naøy laø tính chaát xaï aûnh Neáu nó đúng trên lọai conic thì đúng trên conic khác Vì ta cần chứng minh nó đúng với điểm A, B, C, D, E, F trên đường tròn hình vẽ bên cạnh : chứng minh J, K, L thẳng hàng AÙp duïng ñònh lí Menelaus cho GHI vaø caùt tuyeán cuûa noù: DKC, AJB and ELF HK/GK GC/IC ID/HD = HA/GA GB/IB IJ/HJ = HF/GF GL/IL IE/HE = Nhân đẳng thức trên ta có: HK/GK GL/IL IJ/HJ (ID.IE/IB.IC) (HF.HA/HD.HE) (GC.GB/GA.GF) = Các thừa số ngoặc 1, suy ra: HK/GK GL/IL IJ/HJ = Do đó K, J, L thẳng hàng (theo định lí Menelaus đảo) Báo Toán 43 Lop12.net (2) * Bình luận: Chứng minh trên phụ thuộc vào hình vẽ và phải dựa trên khái niệm mặt phẳng xạ ảnh và ánh xạ xạ ảnh - lí thuyết ngoài chương trình phổ thông Dưới đây là cách chứng minh túy đại số (chỉ dựa hòan tòan vào kiến thức toán trường phổ thông) * Chứng minh phương pháp tọa độ : Gọi (S): F(x, y) = ax by cxy dx ey f là đường conic (đường cong bậc 2) hệ mặt phẳng tọa độ Oxy và 1, 2, 3, 4, 5, là đỉnh lục giác nội tiếp conic (S) hình bên Ta chứng minh các điểm M, N, P thẳng hàng Đặt phương trình các đường thẳng nối điểm i và j laø i j ( x , y ) Ai j x B i j y C i j Xét đường cong bậc ba: (C): G( x, y ) 24 16 35 34 26 15 Deã thaáy (C) caét (S) taïi ñieåm 1, 2, 3, 4, 5, Bây chọn 24 16 35 thì: 24 16 35 N M P với điểm A(x, y) thuộc (S) : F(x, y ) = cho 24 16 35 ta coù G(x, y) = Suy G(x, y) chia heát cho F(x, y) Do đó g(x, y) có thể phân tích thành dạng G(x, y) = F(x, y) (Ax + By + C) = tức là đường bậc ba (C) có thể phân rã thành conic (S) và đường thẳng(d): Ax + By + C=0 Gọi M, N, P có tọa độ (x, y) là giao điểm các cặp cạnh đối 15, 24; 16, 34; 26, 35 thì G( x, y ) 24 16 35 34 26 15 suy M, N, P thuoäc (C) Mặt khác M, N, P không thuộc (S) Do đó M, N, P phải thuộc (d), tức là M, N, P thẳng hàng trên đường thẳng (d) Vậy định lí Pascal đã chứng minh, túy đại số ! 3) Heä quûa: Luïc giaùc noäi tieáp conic coù theå suy bieán thaønh nguõ giaùc (khi coù moät caëp ñænh trùng nhau), tứ giác (khi có cặp đỉnh trùng nhau), tam giác (khi có cặp đỉnh trùng ) Từ đó ta có thể suy trực tiếp các hệ qủa sau: 1) Nếu ngũ giác 12345 nội tiếp conic, các cặp đường thẳng 12, 45; 23, 51; 34 vaø tieáp tuyeán taïi seõ caét theo ñieåm thaúng haøng 2) Nếu tứ giác nội tiếp conic, các cặp cạnh đối diện cùng với các cặp tiếp tuyến taiï các đỉnh đối diện cắt theo điểm thẳng hàng 3) Neáu tam giaùc noäi tieáp moät conic, caùc tieáp tuyeán taiï caùc ñænh seõ caét cạnh đối diện theo điểm thẳng hàng 4) Áp dụng định li Pascal conic là cặp đường thẳng ta có định lí Pappus: Trong mặt phẳng, cho các điểm 1, 3, thuộc đường thẳng d và các điểm 2, 4, thuộc đường thẳng d’ Các cặp cạnh 12 và 45; 23 và 56; 34 và 61 cắt theo ñieåm thaúng haøng Báo Toán 44 Lop12.net (3) 4) Đối ngẫu: Bằng phép đối cực conic, ta suy định lí Branchion (đối ngẫu định lí Pascal) nhö sau: Neáu caïnh cuûa luïc giaùc laø tieáp tuyeán cuûa moät conic thì caùc đường thẳng nối cặp đỉnh đối diện lục giác đồng quy 5) Vài bài tóan ứng dụng tiêu biểu: Baøi toùan 1: Cho ABC Gọi BD, CE và BB’, CC’ là các phân giác, đường cao ứùng với đỉnh B, C Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc AB, AC N, M Chứng minh MN, DE, B’C’ đồng quy Giaûi: Goïi hình chieáu cuûa C, B leân BD, CE A là P, Q B' Dễ chứng minh C' M P Q N NMI= A / = ICP suy S D NMI buø = IMP suy E I N, M, P thaúng haøng Tương tự M,N, Q thẳng hàng, B đó M, Q, N, P thẳng hàng Luïc giaùc BCPB’C’ Q noäi tieáp đường tròn đường kính BC B’C’ PQ = S, QC BC’ = E, PB B’C = D, neân theo ñònh lí Pascal : S, E, D thẳng hàng, tức là MN, DE, B’C’ đồng quy Sø Baøi toùan 2: Cho ABC Đường tròn (O) thay đổi qua BC cắt AC, AB B’,C’ Gọi K là trực tâm AB’C’ và P = BB’ CC’ Chứng minh PK qua điểm cố định Giải: Gọi trực tâm ABC là H A (giao điểm đường cao BN, CN) C’Q, B’P là đường cao cuả AB’C’ S laø giao ñieåm cuûa BQ, CP Dễ dàng chứng minh PQ // BC Phép vị tự tâm S tỉ số - SQ / SB: Q P bieán B thaønh Q, bieán C thaønh P, K B' bieán CM thaønh PB’, bieán BN thaønh QC’ S C' P đó biến H = CM BN thành K = PB’ QC’ N M Do đó H, S, K thẳng hàng (1) H B AÙp duïng ñònh lí Pappus cho P, C’ B vaø C, B’, Q naèm treân AB vaø AC ta coù K, P, S thaúng haøng (2) Từ (1) và (2) suy H, P, S, K thẳng hàng, đó PK qua điểm H cố định Báo Toán 45 Lop12.net C C (4) Baøi toùan 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) A, B cắt S Một cát tuyến quay quanh S cắt CA, CB M, N và cắt (O) P, Q Chứng minh (M, N, P, Q) = -1 Giaûi: K Veõ tieáp tuyeán ME, MF cuûa (O) caét SA, SB E A taïi K, L AÙp duïng ñònh lí Branchion cho luïc giaùc C ngoại tiếp có các cạnh KE, EM, ML, LB, BS, SK I Q N P ta có BE, SM, KL đồng quy S Tương tự với lục giác ngoại tiếp có các cạnh MD, DL, SL, SA, AK, KM ta có AD, SM, LK đồng B quy Do đó BE, AD, SM đồng quy giao điểm I D L cuûa SM, KL AÙp duïng ñònh lí Pascal cho luïc giaùc noäi tieáp ADEEBC với I = AD BE, N’= DE BC, M = EE CA ta coù I, N’ , M thaúng haøng Suy N’ N tức là N thuộc ED Do ED là đường đối cực M (O) nên (M, N, P, Q) = -1 Baøi toùan 4: Cho điểm A, B, C, D thuộc parabol (P) Gọi a, b là tiếp tuyến (P) A, B và M = AC b, M’ = BC a, N = AD b , N’ = BD a Chứng minh a) AB, CD, M’N, N’M đồng quy (nếu AB cắt CD) b) (O, B, M, N) = (A, O, M’, N’) A Giaûi: a) AÙp duïng ñònh lí Pascal cho luïc giaùc noäi tieáp CAABBD với : S = AB DC, N’= AA BD, M = BB CA ta coù S, N’, M thaúng haøng Tương tự xét lục giác nội tiếp AABBCD với: S = AB DC, M’= AA BC, N = BB DA B ta coù S, M’, N thaúng haøng C D Do đó AB, MN’, NM’ đồøng quy S N' S M b) Goïi I = AC SM’ Theo ñònh nghóa tæ soá keùp ta coù: N M' (N, B, M, O) = (AN, AB, AM, AO) O = (AN, AS, AI, AM’) = (MN, MS, MI, MM’) = (MO, MN’, MA, MM’) = ( O, N’, A, M’) Báo Toán 46 Lop12.net M (5) Bài tóan 5: Qua điểm A thuộc hyperbol (H) dựng đường thẳng m và n song song các tiệm cận Đường thẳng d qua tâm I (H) cắt (H) B, C và cắt m, n M,N Chứng minh (M, N , B, C) = -1 Giaûi: Goïi D, E laø ñieåm baát kì thuoäc (H) khaùc A Tieáp tuyeán taïi D, E cuûa (H) caét taïi S N Ứng với cặp vị trí D, E xét đường thaúng d’ qu a S vaø cuøng phöông d, B A Goïi N’ = AD d’ , M’ = AE d’ vaø giao M ñieåm cuûa d’ vaø (H) laø B’, C’ Áp dụng định lí Pascal, tương tự bài ta có m I (M’, N’ , B’, C’) = -1 (1) Cho D, E dần tới vô cùng trên các nhánh vô n tận (H) cho đường AD dần tới n, và đường AE dần tới m Khi đó S I , d’ d, B’ B , C’ C C N’ N = n d; M’ M = m d; Do đó (1) dẫn đến : (M, N , B, C) = -1 TÓAN ĐỀ NGHỊ: Bài tóan 6: Cho A, B, C, D thuộc đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) A, D cắt S Gọi P = AB CD, Q = AC BD Chứng minh S, P, Q thẳng haøng Bài tóan 7: Cho tứ giác AB C D Gọi S = AB CD, S’ = BC AD, N thuộc cạnh AD , M thuộc cạnh AB, P = NS MS’, Q = NB DM Chứng minh P, Q, C thaúng haøng Bài tóan 8: Cho I, J thuộc đường tròn (O) Lấy A, B thuộc tiếp tuyến (P) I, J Vẽ AC, BD tiếp xúc (O) với C, D là tiếp điểm Gọi P = AC ID, Q = BD JC Chứng minh PQ và AB cắt trên IJ Bài tóan 9: Cho P ABC Gọi P1, P2 là hình chiếu P lên AC, BC và Q1, Q2 là hình chiếu C lên AP, BP Gọi P3 là hình chiếu P leân AB Chứn g minh S thuộc đường tròn (P1 P2 P3) Bài tóan 10: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy C’, A’, B’ thuộc cung AB, BC, CA A’B’C’ cắt ABC thành lục giác Chứng minh các đường chéo nối đỉnh đối lục giác đồng quy Bài tóan 11: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O,R) Đường tròn (O’,R’) tiếp xúc với (O) T và tiếp xúc với cạnh AB, AC E, F Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp I ABC thuộc đọan EF Báo Toán 47 Lop12.net (6) 6) Mở rộng, phát triển: Ứng với điểm trên conic, ta có 60 lục giác khác nhau, phát sinh 60 đường thẳng Pascal khác Trong 60 đường đó, đường qua 20 điểm gọi là điểm Steiner, các điểm này lại điểm nằm trên 15 đường thẳng gọi là đường thẳng Plucker Các đường Pascal đường lại đồng quy tập gồm 60 điểm khác gọi là các điểm Kirkman Ứng với điểm Steiner có điểm Kirkman cho điểm đó nằm trên đường thẳng gọi là đường thẳng Cayley Có 20 đường thẳng Cayley thế, đó đường lại qua 15 ñieåm goïi laø caùc ñieåm Salmon … Và thế, trùng trùng Duyên khởi, định lí Pascal mở cảnh giới viên dung vô ngại Sau đây là bài ấn tượng, mở rộng và phát triển từ định lí Pascal: Baøi toùan Mobius: Cho moät (4n + 2) - giaùc noäi tieáp moät coânic Caùc caëp cạnh đối diện cắt 2n + điểm Nếu 2n điểm các điểm đó thẳng hàng thì điểm còn lại nằm trên đường thẳng đó Định lí Staud: Cho đường bậc không suy biến (S) ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng d bất kì qua cực O AB (S) cắt CA, CB M, N Chứng minh M và N liên hiệp (S) Định lí Fréjer: Nếu f là phép đối hợp khác phép đồng conic (S) tức làø ánh xạ xạ ảnh f : (S ) (S ), f f 1 ø thì đường thẳng nối điểm tương ứng qua ñieåm coá ñònh goïi laø ñieåm Freùjer cuûa f * Chuù thích: Có thể xây dựng khái niệm ánh xạ xạ ảnh (chỉ dùng kiến thức tóan phổ thông) sau: Phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng là phép biến hình – biến đường thẳng thành đường thẳng Phép chiếu xuyên tâm O từ mặt phẳng (đường thẳng) (P) lên mặt phẳng (đường thaúng) (Q) laø pheùp bieán hình bieán ñieåm A baát kì thuoäc (P) thaønh ñieåm A’ laø giao điểm đường thẳng OA với (Q) AÙnh xaï xaï aûnh cuûa mp (P) leân maët phaúng (Q) laø tích caùc pheùp chieáu xuyeân taâm vaø các phép biến đổi tuyến tính Biên soạn: Lê hữu Dũng Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Báo Toán 48 Lop12.net (7) Đà nẵng 9.2006 Báo Toán 49 Lop12.net (8)