Đề 18 thi tuyển sinh đại học 2010 môn thi: Toán – Khối A

2 Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng.. 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:..[r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010 Môn Thi: TOÁN – Khối A Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI THAM KHẢO I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y 2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3;0) và N(–1; –1) Câu II: (2 điểm) 3x  cos x  cos 1) Giải phương trình: 4cos4x – cos2x 2) Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + =  K =    sin x .e x dx   cos x  Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh bên Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Câu V: (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 52  a  b  c  2abc  27 II PHẦN RIÊNG: (3 điểm) A Theo cương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là 5x – 2y + = và 4x + 7y – 21 = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm nó trùng với gốc tọa độ O 2) Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x 1 y z    2 và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = Câu VII.a: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = cos x sin x(2cos x  sin x) với < x ≤  B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 3y – = và đường tròn (C): x2 + y2 – 4y = Tìm M thuộc (D) và N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3;1) 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x2 y z4   2 và hai điểm A(1;2; –1), B(7; –2;3) Tìm trên (d) điểm M cho khoảng cách từ đó đến A và B là nhỏ Câu VII.b: (1 điểm) Cho    cos 2   i sin 2    Tìm các số phức β cho β3 = α ––––––––––––––––––– Hướng dẫn Câu I: 2) MN: x + 2y + = PT đường thẳng (d)  MN có dạng: y = 2x + m Lop12.net Gọi A, B  (C) đối xứng qua MN Hoành độ A và B là nghiệm PT: 2x   2x  m x 1  2x2 + mx + m + = ( x ≠ –1) (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt  (1) có  = m2 – 8m – 32 > Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm (1) x1  x2   m m ; x1  x2  m   I   ;   2   Trung điểm AB là I  ( theo định lý Vi-et) Ta có I  MN  m = –4, (1)  2x2 – 4x =  A(0; –4), B(2;0) Câu II: 1) PT  cos2x + cos 3x =2 cos x    3x cos   x  k  m8 (k ; m   )   x  2x   3x  2x 1  2) Nhận xét; x =  là các nghiệm PT PT  x = 8n Dựa vào tính đơn điệu  PT có các nghiệm x =  Câu III: Ta có  sin x   cos x x x  2sin cos x 2  tan x x 2cos 2cos 2   e x dx x   e x tan dx x 2cos 2 K=  =  e2 AMS   Câu IV: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm BC  Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, I  SO; N là hình chiếu I trên SM, MI là AMS   phân giác  a Ta có SO = OM tan = tan ( Với a là độ dài cạnh đáy) Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2 r = OI = OM.tan  = tan   tan   a2 a2 a2 a tan    1 12 12 4  tan  4 tan Vậy V =    tan   Câu V: Vì a + b + c = nên độ dài cạnh nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: – a, – b, – c  (1  a )(1  b)(1  c)  27 28 56   ab  bc  ca  abc    2ab  2bc  2ca  2abc  27 27 56 52   (a  b  c)  (a  b  c  2abc)    a  b  c  2abc  27 27 đẳng thức xảy a = b = c = 3 – (a + b + c) Dấu  3 (1  a )(1  b)(1  c) >0  Câu VI.a: 1) Giả sử AB: 5x – 2y + = 0; AC: 4x + 7y – 21 =  A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y =  B(–4; –7) A nằm trên Oy, đường cao AO nằm trên trục Oy  BC: y + = 2) Gọi A(a; 0; 0)  Ox  d(A; (P)) = d(A; d)  2a d ( A; ( P ))   2a 22  12  22  2a ; d ( A; d )  8a  24a  36 8a  24a  36  4a  8a  24a  36  4a  24a  36  Lop12.net  4(a  3)   a  Vậy có điểm A(3; 0; 0) Câu VII.a: Vì cosx ≠ nên chia tử và mẫu hàm số cho cos3x ta được: y = Đặt t = tanx  t  (0; 3] y’ = 1 t2 2t  t x   x 1 Khảo sát hàm số y = t  3t  4t (2t  t ) ; y’ = trên nửa khoảng  tan x tan x  tan x    0;   3 Từ BBT  giá trị nhỏ hàm số x =  Câu VI.b: 1) M  (D)  M(3b+4; b)  N(2 – 3b; – b)  4 N  ;   5 N  (C)  (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) =  b  0; b   38  ; ,  5 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) M   2) Ta có AB  (6; 4;4)  AB//(d) Gọi H là hình chiếu A trên (d) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P)  (d)  (P): 3x – 2y + 2z + = H = (d) (P)  H(–1;2;2) Gọi A là điểm đối xứng A qua (d)  H là trung điểm AA  A(–3;2;5) Ta có A, A, B, (d) cùng nằm mặt phẳng Gọi M = AB(d) Lập phương trình đường thẳng AB  M(2;0;4) Câu VII.b: Gọi β = r( cos + isin)  β3 = r3( cos3 + isin3) r  3 r  3       Ta có: r3( cos3 + isin3) =  cos  i sin     2 2 k 2 3    k 2  3        Suy β = 3  cos  2  k 2   i sin  2  k 2   9       Lop12.net