Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy ABC thỏa mãn: IA 2 IH , góc giữa SC và mặt đáy ABC bằng 0 60 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ [r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN, Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm) Câu I ( điểm) Cho hàm số y x (1 2m) x (2 m) x m (1) m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x y góc , biết cos 26 Câu II (2 điểm) 2x log 21 4 4 x 2 Giải bất phương trình: sin x.2 cos x 1 cos x cos x cos x Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I 1 x 1 2x dx Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA 2 IH , góc SC và mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x y z xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z x yz y zx z xy PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x y , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt phẳng (P): x + y + z - = Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Câu VII.a (1 điểm) Cho khai triển: 1 x x x B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) 10 a a1 x a x a14 x14 Hãy tìm giá trị a Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), các đường thẳng 1: x + y – = và đường thẳng 2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B thuộc 1 và điểm C thuộc 2 cho tam giác ABC vuông cân A Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x y z ,đường thẳng d: x y 1 z 1 1 3 Gọi I là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm (P), vuông góc với d và cách I khoảng VII.b:( điểm) Tính giá trị biểu thức: 2k 2008 2010 S C2010 3C2010 32 C2010 (1) k C2010 31004 C2010 31005 C2010 Hết -1 Lop12.net (2) ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 MÔN:TOÁN, Khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Khảo sát hàm số m = Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x + a) TXĐ: R b) SBT •Giới hạn: lim y ; lim y x Điểm 0,25 x •Chiều biến thiên: Có y’ = 3x2 6x; y’=0 x =0, x =2 x + y’ + + + y Hàm số ĐB trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; +), nghịch biến trên (0 ; 2) •Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4; y Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = c) Đồ thị: Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2) I 0,25 0,25 0,25 -1 x 2(1đ) Tìm m Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến có véctơ pháp n1 (k ;1) d: có véctơ pháp n2 (1;1) Ta có cos n1 n2 n1 n2 26 0,5 k1 12k 26k 12 2 k 1 k 2 k 1 Yêu cầu bài toán thỏa mãn ít hai phương trình: y / k1 (1) và y / k (2) có nghiệm x có nghiệm x ( m ) x m / / có nghiệm 3 x 2(1 2m) x m 0,25 Lop12.net (3) 1 8m 2m m ; m 1 m m 4m m m ; m II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình 2x log x Bpt x log 9 12 x 0,25 2x log x 2(1) 2x 3(2) 2 log 4 x 0,25 3x x 2x 16 8 x Giải (1): (1) 4 x x 16 x 17 x x 2x 4 x Giải (2): (2) 4 x 17 9x x 4 16 Vậy bất phương trình có tập nghiệm ; ; 17 2(1đ) Giải PT lượng giác Pt sin x(2 cos x 1) (cos x cos x) (cos x 1) (2 cos x 1) sin x(2 cos x 1) 4 sin x cos x sin x (2 cos x 1) 0,25 0,25 0,25 0,5 (2 cos x 1)( sin x sin x 1) • sin x sin x sin x cos x 2 sin( x x ) 1 0,25 k 2 x k 2 (k Z ) • cos x x 2 k 2 0,25 2 2 k 2 ; x k 2 và x k (k Vậy phương trình có nghiệm: x 3 Z) III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân x 1 I 2x dx 0,25 Lop12.net (4) t 2t dx (t 1)dt và x •Đặt t x dt 2x Đổi cận x t 4 4 (t 2t 2)(t 1) t 3t 4t 2 •Ta có I = dt dt t dt 2 22 22 2 t t t t dx 1t 2 3t ln t 2 t = = ln IV (1đ) 0,5 0,25 Tính thể tích và khoảng cách S •Ta có IA 2 IH H thuộc tia đối tia IA và IA = 2IH BC = AB 2a ; AI= a ; IH= AH = AI + IH = 0,25 IA a = 2 3a K A B I H C •Ta có HC AC AH AC AH cos 45 HC a Vì SH ( ABC ) ( SC ; ( ABC )) SCH 60 SH HC tan 60 • VS ABC • 0,25 a 15 1 a 15 a 15 S ABC SH (a ) 3 2 0,25 BI AH BI (SAH ) BI SH 0,25 Ta có d ( K ; ( SAH )) SK 1 a d ( K ; ( SAH )) d ( B; ( SAH ) BI d ( B; ( SAH )) SB 2 2 Lop12.net (5) V (1đ) Tim giá trị lớn P x y z x xy y zx z xy x y z Vì x; y; z , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P = 2 x yz y zx z xy P 0,25 2 yz zx xy 1 1 1 yz zx xy x y z y z z x x y xyz xyz 2 xyz xyz Dấu xảy x y z Vậy MaxP = 0,5 0,25 PHẦN TỰ CHỌN: Câu VIa(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Viết phương trình đường tròn… KH: d1 : x y 0; d : x y Điểm 0,25 d1 có véctơ pháp tuyến n1 (1;1) và d có véctơ pháp tuyến n2 (1;1) • AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ phương n1 (1;1) phương trình AC: x y 3 x y C AC d Tọa độ C là nghiệm hệ: C (1;4) 2 x y x yB • Gọi B( x B ; y B ) M ( B ; ) ( M là trung điểm AB) 2 xB y B B(1;0) Ta có B thuộc d1 và M thuộc d nên ta có: yB x B • Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng: x y 2ax 2by c Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có 6a c 9 a 1 b Pt đường tròn qua A, B, C là: 2a c 1 2a 8b c 17 c 3 2 x y x y Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P) 0,25 0,5 Lop12.net (6) •Gọi n (a; b; c) O là véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 0,25 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0 b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3 2a c a (a 2c) c 2 2a 16ac 14c 0,5 a c a 7c •TH1: a c ta chọn a c Pt (P): x-y+z+2=0 0,25 TH2: a 7c ta chọn a =7; c = Pt (P):7x+5y+z+2=0 VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển (2 x 1) nên 4 1 x 10 ( x x 1) (1 x)14 (1 x)12 (1 x)10 16 16 14 6 • Trong khai triển 1 x hệ số x là: C14 • Ta có x x 0,25 Trong khai triển 1 x hệ số x là: C126 12 Trong khai triển 1 x hệ số x là: C 10 6 10 6 6 C14 C12 C106 41748 16 16 1(1đ) Tìm tọa độ điểm C x y • Gọi tọa độ điểm C ( xC ; y C ) G (1 C ; C ) Vì G thuộc d 3 x y 31 C C y C 3 xC C ( xC ;3 xC 3) • Vậy hệ số a VI.b(2đ) 0,5 0,25 0,25 •Đường thẳng AB qua A và có véctơ phương AB (1;2) ptAB : x y xC xC 11 11 11 AB.d (C ; AB) d (C ; AB) 2 5 xC 1 xC 11 xC 17 • S ABC 0,5 Lop12.net (7) • TH1: xC 1 C (1;6) 17 17 36 C ( ; ) TH2: xC 5 2(1đ) Viết phương trình đường thẳng 0,25 • (P) có véc tơ pháp tuyến n( P ) (1;1;1) và d có véc tơ phương u (1;1;3) I d ( P) I (1;2;4) • vì ( P); d có véc tơ phương u n( P ) ; u (4;2;2) 2(2;1;1) 0,25 • Gọi H là hình chiếu I trên H mp(Q) qua I và vuông góc Phương trình (Q): 2( x 1) ( y 2) ( z 4) 2 x y z Gọi d1 ( P) (Q) d1 có vécto phương n (P) ; n( Q ) x (0;3;3) 3(0;1;1) và d1 qua I ptd1 : y t z t Ta có H d1 H (1;2 t ;4 t ) IH (0; t ; t ) 0,5 t • IH 2t t 3 x 1 y z 2 1 x 1 y 1 z 1 TH2: t 3 H (1;1;1) pt : 2 1 Giải phương trình trên tập số phức • TH1: t H (1;5;7) pt : VII.b 1đ 0,25 ĐK: z i zi ta có phương trình: w ( w 1)( w w 1) iz w w 1 i w w w w i zi 1 z • Với w iz • Đặt w 0,5 Lop12.net (8) • Với w 1 i z i 1 i (1 i ) z 3i z iz 0,5 1 i z i 1 i (1 i ) z 3i z • Với w iz Vậy pt có ba nghiệm z 0; z và z VI.b 2đ B 1 B(a; –a) C 2 C(b; 9-b) AB AC ABC vuông cân A 2 AB AC 0,5 2ab - 10a - 4b + 16 = (1) 2 2a - 8a = 2b 20b 48 (2) a = không là nghiệm hệ trên 5a - (1) b = Thế vào (2) tìm a = a = a-2 Với a = suy b = Với a = suy b = Via 2.Gọi I là trung điểm AB I ( 1; 1; 1) +) MA2 + MB2 = 2MI2 + IA2 + IB2 Do IA2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI nhỏ M là hình chiếu I lên mặt phẳng (P) x-1 y-1 z-1 = = +) Phương trình đường thẳng MI : 1 M là giao điểm MI và mặt phẳng (P) Từ đó tìm M(2; 2; 2) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 VIIb Ta có: 1 i 1 i C 3C C (1) C 2010 2010 (cos sin )2 Mà 1 i 1 i 3 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 = 2.22010 cos670 2.22010 Vậy k k 2k 2010 2010 2008 2010 31004 C2010 31005 C2010 -2010 -2010 sin cos 3 S = 22010 -Hết Lop12.net (9) Lop12.net (10)