Bài 4 : Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.. viết phương trình mặt cầu đi [r]
(1)Trang ĐỀ THI THỬ SỐ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 -2011 Môn Thi: TOÁN – Khối A Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề I) Phần chung (7 điểm) Bài 1: Cho hàm số y = x3 –3mx2 +9x +1 (1), với m là tham số 1) Khảo sát vẽ (C) m = 2) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x +1 Bài : 1) Giải phương trình (2cosx –1)(2sinx +cosx) = sin2x –sinx x y 2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x x y y 3m Bài : 1) Tính tích phân I = ln x x dx 2) Chứng minh phương trình sau có đúng nghiệm x5 -x2 -2x -1 = lớn Bài : Chứng minh đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD tứ diện ABCD là đường vuông góc chung AB và CD thì AC = BD và AD = BC II) Phần riêng (3 điểm) A Phần Bài 5a: 1) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có các điểm A(–1 ; 0), B(4 ; 0), C(0 ; m) với m khác Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ ABC theo m Xác định m để ∆ ABG vuông G 2) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x +y +z –2 = viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) 2009 Bài 6a: Tính i i i i B Phần Bài 5b: Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a; 0; 0), B(–a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(–a; 0; b) đó a >0, b > 1) Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b 2) Cho a, b thay đổi luôn thỏa mãn a +b = Tìm a, b để khoảng cách đường thẳng B1C và AC1 lớn Bài 6b: Một tổ chuyên môn gồm thầy và cô giáo, đó thầy P và cô Q là vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất cho hội đồng có thầy, cô và thiết phải có thầy P cô Q không có hai _hết _ Lop12.net (2) Trang ĐAP ÁN Nội dung Lời giải chi tiết Bài 1: Cho hàm số 1) y = x -6x +9x +1; D = R y = x3 –3mx2 +9x +1 (1), y’ = 3x2 -12x +9 với m là tham số y’ = thì x = (y = 5) và x = (y = 1) 1) Khảo sát vẽ (C) m = BBT x: -∞ +∞ y’ + - + +∞ y -∞ y y” = 6x -12 = x = Điểm uốn (2; 3) 2) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x +1 Hoành độ điểm uốn là nghiệm y” = 6x2 -6m = => x = xu = m => điểm uốn (m; -2m3 +9m +1) Vì điểm uốn thuộc (d) nên -2m3 +9m +1 = m+1 <=> 2m3 -8m = Vậy ĐS m = ; m = và m = -2 Bài : 1) Giải phương trình (2cosx –1)(2sinx +cosx) = sin2x –sinx (2cosx -1)(2sinx +cosx) = sin2x -sinx <=> (2cosx -1)(2sinx +cosx) = sinx(2cosx -1) <=> (2cosx -1)(sinx +cosx) = <=> cosx = sinx = –cosx <=> cosx = tgx = –1 <=> x = 2) Tìm m để hệ phương trình sau x y x x y y 3m có nghiệm k 2 x = Cách 1: (Hệ đối xứng loại 1) Đặt S = x y ≥ và P = k (k Z) x y ≥ (đk: S2 ≥ 4P) S S Hệ thành P m S 3PS 3m S Để thỏa đề bài thì P m ĐS ≤ m ≤ S P 4m Cách 2: Đặt X = x và Y = y 0 (1) Y X Hệ <=> 3 X Y 3m (2) Từ (1) và điều kiện X ≥ và Y ≥ nên ≤ X ≤ Thay (1) vào (2) ta pt X2 –X +m = (*) Giả thiết thì (*) có ít nghiệm <=> ∆ ≥ và ≤ X2 ≤ 1<=> ≤ m ≤ 1/4 Lop12.net x (3) Trang Bài : 1) Tính tích phân I = ln x x dx Ñaët u ln x x du dv dx 2x dx x x 1 v x (hay đây là chọn C = 1) I = (x –1).ln(x2 –x) 1 – dx x 2 = 2ln6 –ln2 – 2 x ln x 2 = 2ln2 +2ln3 –ln2 –[2 –ln3 +ln2] = 3ln3 –2 là ĐS 2) Chứng minh phương trình sau có đúng nghiệm x5 –x2 –2x –1 = lớn (nhận xét, loại toán chứng minh phương trình có nghiệm mà không giải nó vận dụng BBT hay định lí lagrăng) Pt <=> x5 = (x +1)2 , vì VP ≥ nên => điều kiện x ≥ Khi ≤ x < thì VT < và VP > nên pt không có nghiệm ≤ x ≤ * x > 1, ta đặt y = x5 -x2 -2x -1 => y’ = 5x4 -2x -2 => y” = 20x3 -2 có nghiệm x0 < BBT1 x y" y' - x0 + - + + BBT2 x - + + y' + + + y y0 -3 nên từ BBT ta có phương trình có nghiệm Bài 4: Gọi I và K là trung điểm Chứng minh đường cạnh AB và CD thẳng nối trung điểm hai Vẽ đoạn thẳng A’B’ // = AB nhận K cạnh AB và CD tứ diện làm trung điểm I ABCD là đường vuông góc ● chứng minh B’C = A’D chung AB và CD thì Vì BB’ // AA’ // IK là IK là đường AC = BD và AD = BC vuông góc chung AB và CD B nên BB’ B’C và AA’ A’D Hai tam giác vuông BCB’ và ADA’ có BB’ = AA’ và CB’ = A’D nên ta C suy AD = BC A ● Chứng minh tương tự ta có AC = BD Thí sinh chọn phần sau đây: A Phần Bài 5a : 1) Trong mặt phẳng m m m GA ; GB ; G(1 ; ), , Oxy cho ∆ABC có các điểm 3 3 A(–1 ; 0), B(4 ; 0), C(0 ; m) ∆ GAB vuông G nên GA.GB <=> m = ± với m khác Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ ABC theo m Xác định m để ∆ ABG vuông G 2) Trong không gian Oxyz Gọi phương trình mặt cầu (S): cho ba điểm A(2; 0; 1), x2 +y2 +z2 +2Ax +2By +2Cz +D = B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt 2C D 5 4 A A 1 2 A B phẳng (P): x +y +z –2 = D 1 viết phương trình mặt cầu Giả thiết thì 2 A B 2C D 3 C 1 qua điểm A, B, C và có A B C D tâm thuộc mặt phẳng (P) 2 Vậy phương trình (S) là :x +y +z –2x –2z +1 = Lop12.net A' D K B' (4) Bài 6a: Tính i i2 i3 i2009 Trang Ta có i 2010 (1 i)(1 i i i3 i 2009 ) Mà i 2010 nên i i i3 i 2009 , 1 i 2009 hay là i i i i 1 i B Phần Bài 5b: Trong không gian C1(0; 1; b) => CA (a; –1; 0), B1C (a; 1; –b), AC (–a; 1; b) Oxyz cho hình lăng trụ đứng => B1C , AC = (2b; 0; 2a) ABC.A1B1C1 Biết A(a; 0; 0), B(–a; 0; 0), B1C , AC CA ab C(0; 1; 0), B1(–a; 0; b) Ta có d = d(B1C; AC1) = = = a2 b2 đó a >0, b > B1C , AC 1) Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b Cách 1: Do a +b = nên a2 +b2 = 16 –2ab 2) Cho a, b thay đổi ab x Đặt x = ab thì d = có miền xác định (0; 4] luôn thỏa mãn a +b = 16 x a2 b2 Tìm a, b để khoảng cách (a-b)2 ≥ <=> a2 +b2 ≥ 2ab <=> (a +b)2 ≥ 4ab đường thẳng B1C và a b AC1 lớn ab x > nên d có miền xác định (0; 4] <=> 16 x x 16 x 16 x d’ = > nên d tăng 16 x 16 x 16 x ab = và a +b = 4, hay a = b = Cách 2: Áp dụng Côsi lần mẫu và lần tử ta có ab ab d= = ab a b 2 2ab 2 2 a b Dấu xãy a = b và a +b = 4, hay a = b = Vậy max d = d(4) = Bài 6b: Một tổ chuyên môn gồm thầy và cô giáo, đó thầy P và cô Q là vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất cho hội đồng có thầy, cô và thiết phải có thầy P cô Q không có hai Chọn ngẫu nhiên người vào nhóm (không có thứ tự) => không gian mẫu gồm C125 792 (phần tử) Gọi A là biến cố cần tìm xác suất -Có mặt thầy P và không có mặt cô Q, có C62 C42 = 90 -Không có thầy P và có cô Q, có C63 C41 = 80 - => n(A) = 80 + 90 = 170 n( A) 170 0, 215 Vậy P(A) = n() 792 Lop12.net (5)