Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau 3 a 1 nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số và phải bằng nhau.. Chuyên đề BĐT cauchy..[r]
(1)Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY) Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số Đối với số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT BĐT thường xảy giá trị các biến tướng ứng không Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là cần thiết Một kỹ thuật chính là xây dựng thuật toán thứ tự gần (kỹ thuật điểm rơi) Kỹ thuật chủ yếu đây thường là các giá trị trung gian xác định theo cách chọn đặc biệt để tất các dấu đẳng thức đồng thời xảy Tham số phụ đưa vào cách hợp lý để phương trình xác định chúng có nghiệm Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy n Cho soá a1 a2 an n thực khoâng a1 , a2 , , an (n 2) aâm a1a2 an Daáu “=” xaûy vaø chæ a1 n ta luoân a2 an coù Moät vaøi heä quaû quan troïng: (a1 a2 an ) a1 1 a2 an n2 với 0, i 1, n n2 với 0, i 1, n a1 a2 an Cho 2n soá döông ( n Z , n ): a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ta coù: a1 n 1 a2 an (a1 b1 )(a2 b2 ) (an bn ) n a1a2 an n b1b2 bn Bài toán mở đầu: VD1 Cho Khi đó ta có hệ với Ta có thì Rõ ràng với bài toán trên là kết BĐT Cauchy Nếu thay điều kiện Bài 1: Cho a Tìm Min S hay a hay … thì lời giải bài toán nào?? a Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (2) Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Bình luận và lời giải : +Sai lầm : S a a a a a S +Nguyên nhân : S a điều này mâu thuẫn với giả thiết a +Xác định điểm rơi : Ta thấy a tăng thì S càng lớn nên dẫn đến dự đoán a=3 thì S nhận giá trị nhỏ Và 10 S a Do BĐT Cauchy xãy dấu đẳng thức điều kiện các số tham gia phải a nên ta đưa tham số cho điểm rơi a = thì cặp số và phải Với a=3 cho cặp số a 3 a 3 +Lời giải đúng : S a a a a Đẳng thức xãy Bài 2: Cho a 8a a a a 8.3 10 MinS 10 3 Tìm Min S a a2 +Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (3) Trường THPT chuyên Quang Trung a GV: Nguyễn Việt Hải 2 a2 4 +Sai lầm : S a a2 a a2 7a a a2 7a 8a 7a 8.2 7.2 9 Với a=2 thì S +Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a thì 8a là đánh giá sai “ Ta phải làm để sử dụng BĐT Cauchy khử hết biến số a mẫu số và tử số +Lời giải đúng : S a a2 a Đẳng thức xãy Bài 3: Cho a a2 a 6a 33 a a 8 a2 6.2 S a, b Tìm S a b ab ab +Sai lầm : Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (4) Trường THPT chuyên Quang Trung S ab ab S GV: Nguyễn Việt Hải +Nguyên nhân : S ab ab ab a b 2 1 (vô lí ) +Lời giải đúng : Đặt ab t t ab a b điều này dẫn đến bài toán Cho t Tìm S t t Với t t 4 t 4 16 Ta có : S t Với t t t 16 t hay a b 15t 16 t 15.4 16 t 16 thì S 17 17 Lời giải bài 3: Do Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (5) Trường THPT chuyên Quang Trung t a b GV: Nguyễn Việt Hải nên S ab ab ab 16ab 15 16ab a Đẳng thức xãy b ab Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn a b c b2 a2 S c2 b2 16ab 15 16 a b 17 S 17 Tìm a2 c2 +Sai lầm : S 33 a2 b2 b c2 c a2 36 a b2 b2 c2 c2 a2 3.6 S +Nguyên nhân : S a b c a b c a b c 3 trái với giả thiết +Xác định điểm rơi : Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (6) Trường THPT chuyên Quang Trung a b a2 c b2 a2 c2 c2 b2 GV: Nguyễn Việt Hải 4 16 +Lời giải đúng : 1 2 16 b16 b a2 S b2 1 2 16 c16 c 16 17.17 a2 1616 b 32 17.17 Với a 16 17.17 16 a b c b c a2 1616 b 32 a b c 2b 16 a2 1616 b 32 17 17 a 16 b16 17 217 (2a.2b.2c) thì S a 17.17 17 217 2a 2b 2c 15 17 b 16 c16 17 c 16 a 16 17 17 Bài 5: Cho a,b,c>0 và a 2b 3c S 1 2 16 a 16 a c2 20 Tìm c Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (7) Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Lời giải : Ta dự đoán S=1 điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 Sử dụng BĐT Cauchy ta có : a a a a a 4 a b b b b b b c 16 c c 16 c 16 c c 3a b c a 2b c (1) Mà a 2b 3c a 20 b 3c (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế S 13 S 13 Đẳng thức xãy a 2, b 3, c * Bài tập tương tự: Bài 6: Cho a, b, c ab 12; bc Chứng minh rằng: S ( a b c) ab bc ca abc 121 Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} Tìm S a b b c 33 c a Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (8) Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Bài 8: Cho tam giác ABC Tìm T sin A sin B sin C sin A sin B sin C Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn Tìm T cos2 B sin A cos2 C sin B x, y , z Baøi 10 Cho 1 x y z sin C cos2 A Tìm GTLN cuûa P 2x y z x 2y z x y 2z 18 x z 10 Lời giải Sai lầm 1: 1 2x Ta coù P MaxP y z 1 x 2y z 1 x y 2z y 10 Sai lầm 2: P 33 xyz 33 x.2 yz 33 xy z 11 3 2x y z 11 33 x 2y z 11 33 x y 2z 10 Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rôi MaxP 10 2x y z 2y 2z x x z y x y z (vn) , tức là không tồn ( x, y, z ) D : P Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt x soá 2x 10 y z neân taùch caùc x x cho daáu baèng xaåy Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (9) Trường THPT chuyên Quang Trung 2x y z Caùch 1: Ta coù 16 P x y z Caùch 2: Ta coù x 1 1 x x y z P 1 16 x y MaxP x x x x y y z 1 x x z y GV: Nguyễn Việt Hải z x x y z y z x y z 1 16 x y x z 2x y z 4 x.x y.z 2x y z , tương tự và ta có: z , vaäy MaxP x 16 x Daáu “=” xaûy x z y y y z 4 x yz y z , maët khaùc: , tương tự ta có: z , suy ra: Ta có thể thể mở rộng bài toán 10 Thành bài toán tổng quát sau x, y , z Cho 1 x y Với , , z Tìm GTLN cuûa P x y z x y z x y z N Chuyên đề BĐT cauchy Lop12.net (10)