Kinh nghiệm: Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải về tính tổng trong bài toán tổ hợp

Qua kinh nghiệm phân tích tìm lời giải nhờ việc tìm các phép biến đổi trên phần tử đại diện trong bài toán tính tổng trong tổ hợp dựa vào khai triển Niu-Ton.. Ta rút ra lược đồ cách giải[r]

Kinh nghiệm dạy toán tính tổng đại sô tổ hợp Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải vÒ tÝnh tæng bµi to¸n tæ hîp (NguyÔn TiÕn Minh T.H.P.T Hång lam Hång LÜnh Hµ TÜnh) Trong các bài toán tính các tổng liên quan đến tổ hợp, cái khó là việc định hướng tìm lời giải cho dễ tiếp thu, không máy móc tiếp thu thụ động Việc tìm các phép biển đổi trên phần tử đại diện mà cụ thể là trên số hạng tổng quát nhị thức Niu-Tơn , từ đó trình bày lời giải cách tự nhiên có hiệu lực để gi¶i lo¹i to¸n nµy Bài viết này nhằm đưa các ví dụ mà mấu chốt là việc trình bày ý tưởng nói trên I C¸c vÝ dô minh ho¹ Bµi to¸n1 TÝnh tæng S  12 C n  2 C n2   n C nn Ph©n tÝch: Ta h·y xuÊt ph¸t tõ khai triÓn: 1  x n  C n0  C n1 x  C n2 x   C nn x n (*) Ta h·y t×m mèi liªn quan gi÷a sè h¹ng tæng qu¸t cña tæng S vµ sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) Hay nói cách khác là từ số hạng tổng quát (*) các phép toán nào để biÕn thµnh sè h¹ng tæng qu¸t cña S ? - Sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) lµ u k  x k C nk - Sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ v k  k C nk Tìm các phép toán biến đổi cho từ u k  v k  x k  ?   k đây mòi tªn biÓu thÞ mét phÐp to¸n cÇn t×m Ta b¾t ®Çu k x  ( x k ) / ( lấy đạo hàm)  kx k 1 ( nhân với x)  kx k (lấy đạo hàm)  k x k 1 (cho x= )  k Vì các phép toán đã tìm trên phần tử đại diện nên phải thực trên vế tổng S Theo sơ đồ đó ta có thể ghi lại cách tự nhiên lời giải sau Lêi gi¶i: n + XuÊt ph¸t tõ khai triÓn 1  x   C n0  C n1 x  C n2 x   C nn x n - + Lấy đạo hàm vế ta có: n1  x  n 1  C n1  xC n2  x C n3   nx n C nn + Nh©n c¶ vÕ víi x ta cã: nx(1  x) n 1  xC n1  x C n2  x C n3   nx n C nn + Lấy đạo hàm vế ta có: n(1  x) n 1  (n  1)(1  x) n  nx  C n1  2 xC n2  x C n3   n x n 1C nn + Cho x =1 ta cã : S = n(n  1).2 n  Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net Kinh nghiệm dạy toán tính tổng đại sô tổ hợp NhËn xÐt: râ rµng viÖc tr×nh bµy lêi gi¶i chØ lµ mét “ viÖc ghi l¹i” mµ th«i 2  1 23  2 n 1  n Cn  C n   Cn Bµi to¸n TÝnh tæng S  C n  n 1 Ph©n tÝch: - Sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) lµ x k C nk (1) k 1  x k 1 1k 1  (2)  k 1 k 1 k 1 k 1  - Ta phải tìm các phép biến đổi từ x k  k 1 nhËn xÐt r»ng sè mò k ë x k n©ng lªn mò (k+1) cã ®­¬c nhê phÐp lÊy nguyªn hµm cña hµm x k b k 1 b b k 1 a k 1 Phép biến đổi 1:  x k dx  x   (3) a k 1 k 1 k 1 a PhÐp tÝnh 2: So s¸nh (3) vµ (2) ta suy : b = vµ a = vËy tÝch ph©n cÇn lÊy ë phép biến đổi có cận đã xác định - Sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ Lêi gi¶i Ta cã : 1  x n  C n0  C n1 x  C n2 x   C nn x n   x2 x3 n 1 n  n  (  x ) dx  C x  C n  C n   x C n   1  n n 1  1 1  x n1   2C  2 C  C   n1 C n    C  C  C   C n    n n n n n n n n  n 1 2 2 n 1   n 1  n 1 S n 1 Bµi to¸n XÐt tæng S = 2 2 2C 20n  c 22n  C 24n  C 26n   C 22nn   C 22nn Víi n > TÝnh n biÕt: S 2n  2n  8192 = 13 Ph©n tÝch: - sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) lµ: x k C 2kn Để “lấp đầy” các số hạng tổng đầy đủ sử dụng (*) ta xét: 2 2 2 P  C 20n  C 21n  C 22n  C 23n  C 24n   C 22nn 2n  Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net Kinh nghiệm dạy toán tính tổng đại sô tổ hợp   C 2kn  2. C 2kn  k 1  k 1  - Từ đó ta có các phép biến đổi từ số hạng tổng quát (*) đến số hạng tổng qu¸t cña P nh­ sau: 1 k 1 1  x k dx  x  k  k  Nh©n víi Tìm Mối liên hệ P và S từ đó suy S và tìm đươc n Sè h¹ng tæng qu¸t cña P lµ: - Lêi gi¶i Ta cã : 1  x   1  x  2n 2n  C 20n  C 21n x  C 22n x   C 22nn x n  1  1 dx   C 20n x  C 21n x  C 22n x   C 22nn   2n   0 (1  x) n 1 1 1  C 20n  C 21n  C 22n  C 23n   C 22nn  2n  2n    2 n 1  2  2C 20n  C n1  C 22n   C 22nn (1) 2n  2n  1 MÆt kh¸c:  (1  x) 2n 1 1 dx  C 20n  C 21n  C 22n  C 23n   C 22nn  2n  2 2 2  2C 20n  C 21n  C 22n  C 23n   C 22nn (2) 2n  2n  Trõ vÕ cña (1) vµ (2) ta cã : 2 n 1 8192   n  (dễ dàng chứng minh đó là nghiệm nhất) S= 2n  13 Bµi to¸n TÝnh tæng S  n 1 C n1  2.2 n  C n2  3.2 n 3 C n3   nC nn Ph©n tÝch: -Sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ : k n  k C nk = n (k x k ) cho x= 1 - sè h¹ng tæng qu¸t (*) lµ : x k C nk ta có các phép biến đổi sau: 1.lấy đạo hàm (x) k là kx k 1 2.nh©n víi n 3.Cho x= 1 4.Chia cho Lêi gi¶i Tõ : (1+x) n  C n0  C n1 x  C n2 x   C nn x n §¹o hµm c¶ vÕ ta cã: Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net Kinh nghiệm dạy toán tính tổng đại sô tổ hợp n(1  x) n 1  C n1  xC n2  x C n3   nx n 1C nn Nh©n c¶ 2vÕ víi n : n.n(1  x) n 1  n C n1  2.2 n xC n2  3.2 n.x C n3   n.2 n x n 1C nn Cho x=2 1 ta cã: n.3 n 1  n.C n1  n 1 C n2  3.2 n  C n3  n.2C nn Chia vÕ cho ta cã: S = n.3 n 1   n Bài to¸n T×m hÖ sè cña x10 khai triÓn:  x  x  x biÕt r»ng C 2nn11  C 2nn21   C 22nn1   (1) Lời giải Trước hết ta tìm n từ đẳng thức (1) XuÊt ph¸t tõ 1  x 2 n1  C 20n1  C 21n1 x  C 22n1 x   C 2nn11 x n1  C 2nn21 x n   C 22nn1 x n  C 22nn11 x n1 (2) Tõ (2) cho x =1 ta cã: 2 n 1  C 20n 1  (C 21n 1  C 22n 1   C 2nn 1 )  (C 2nn11  C 2nn21   C 22nn1 )  C 22nn11 Do C 2kn 1  C 22nn11 k  C 21n 1  C 22nn1 :; C 22n 1  C 22nn11 ; C 2nn 1  C 2nn11  2 n 1   2(2  1)  n  Ta cã: 1  x  x x    1  x (1  x )   1  x  (1  x) n 4 4  ( x  1) (1  x )   C x (1) 4 k 0 k k Sè h¹ng tæng qu¸t cña khai triÓn lµ: (1) k x k 3i C 4k C 4i víi i; k lµ c¸c sè tù nhiªn  k ; i  Theo bµi ta cÇn t×m: k + 3i = 10 k  hÖ sè cña x10 lµ: i C 41 C 43  C 44 C 42  22 Bµi T×m n biÕt S  2C n0  3C n1  4C n2   (n  2)C nn  320 sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ (k  2)C nk  kC nk  2C nk ta cÇn tÝnh tæng Lêi gi¶i XuÊt ph¸t tõ: 1  x n  C n0  C n1 x  C n2 x   C nn x n (*) LÊy d¹o hµm c¶ vÕ ta cã: nx(1  x) n 1  xC n1  x C n2  x C n3   nx n C nn Cho x = ta cã: n.2 n 1  C n1  2C n2  3C n3   nC nn (1) Trong (*) cho x =1 ta cã: n  C n0  C n1  C n2   C nn Nh©n c¶ vÕ víi th× cã: Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net k C i 0 i i (x ) Kinh nghiệm dạy toán tính tổng đại sô tổ hợp n 1  2C n0  2C n1  2C n2   2C nn (2) Céng (1) vµ (2) ta cã: n n 1  n 1  2C n0  (1  2)C n1  (2  2)C n2  (3  2)C n3   (n  2)C nn   n 1 (n  4)  2n  320 n4 Do n > nªn vÕ ph¶i lín h¬n nªn n < vµ n > Thö ta thÊy chØ cã n = tho· m·n VËy n = Bµi Chøng minh r»ng: S = C 20n  C 22n  C 24n   n C 22nn  2 n 1 (2 n  1) n n 1  n 1  S  n n 1  n 1  320  6.5   n  Lêi gi¶i: Ta xÐt thªm P  3C 21n  33 C 23n  35 C 25n  n 1 C 22nn 1 Ta cã S + P = C 20n  3C 21n  C 22n  33 C 23n  C 24n   n 1 C 22nn 1  n C 22nn Tõ : 1  x   C 20n  C 21n x  C 22n x   C 22nn x n cho x = ta cã: S +P = 24n L¹i cho x = - ta cã: S – P = 22n 4n  2n  2 n 1 (2 n  1) Tõ hÖ trªn ta suy S  2n II Kết luận Qua kinh nghiệm phân tích tìm lời giải nhờ việc tìm các phép biến đổi trên phần tử đại diện bài toán tính tổng tổ hợp dựa vào khai triển Niu-Ton Ta rút lược đồ cách giải sau: n Gi· sö cÇn tÝnh tæng S =  f (k )C k 0 k n Ta phải trải qua các bước sau XuÊt ph¸t tõ khai triÓn: 1  x   C n0  C n1 x  C n2 x   C nn x n (*) n sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ u k  f (k )C nk Sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) lµ x k C nk Tìm dãy các phép toán thực trên số hạng tổng quát (*) để biến thành số hạng tổng quát S theo sơ đồ: x k  g (k )   f (k ) ( nhiều lúc phải viêt f(k) = h(n).g(k) + v(n) u(k) Khi đó các phép toán thực trên xk phải thực theo nhiều bước ) Trình bày lại lời giải tường minh theo các bước đa cho lấy x giá trị đặc biêt đã xác định đã định hướng tổng S Việc làm trên giúp người học chủ động tự tìm lời giải loại toán trên , tiếp thu chủ động gây hứng thú học tâp, đồng thời có khả sáng tạo nhiều bµi to¸n míi vµ kh«ng phô thuéc vµo c¸c tµi liÖu cã s½n III Mét sè bµi to¸n tù gi¶i theo c¸ch thøc trªn 2009 TÝnh tæng S = 1.2.C 2009  2.3.C 2009  3.4.C 2009   2008.2009.C 2009 TÝnh tæng S = n 1 C n1  2.2 n  C n2  3.2 n 3 C n3   nC nn 2007 2008 TÝnh tæng S = 2009C 2008  2008C 2008  2007C 2008   2C 2008  C 2008  T×m sè h¹ng chóa x5 khai triÓn:  x  x  x  10 Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net Kinh nghiệm dạy toán tính tổng đại sô tổ hợp 1 1 C nn n TÝnh tæng S = C n0  C n1  C n2 2  C n3   n 1 1.C n 2.C n1 3.C n2 (n  1)C nn Cho biÕt C n  C n  C n  211 TÝnh tæng S =     A11 A2 A3 An11 7.Chứng tỏ tổng sau không chia hết cho với số nguyên dương n S = n C 20n  n  C 22n  n  C 24n   C 22nn   C 22nn 8.Gọi a3n 3 là hệ số x3n-3trong khai triển (x2+1)n(x+2)n Tìm n để a3n 3  26n Tìm hệ số x10trong khai triển (1+x)10(x+1)10từ đó suy giá trị tổng S = C   C   C  10 10 2 10     C1010 10 T×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo x khai triÓn biÓu thøc: n 1 2  x  x  x  với n là số nguyên dương cho: C n  2n  An 1 2 8192 C 22nn  11 T×m sè tù nhiªn n tho· m·n: 2.C 20n  C 22n  C 24n   2n  2n  §s: n =6 n   12 T×m hÖ sè cña x khai triÓn  x   biÕt n tho· m·n: x  n 1 2 6560 C nn  2C 0n + C n1  C n2   n 1 n 1 21 §s: HÖ sè cÇn t×m b»ng 2 2010 C 2010 21 C 2010 2 C 2010 2010 C 2010    (có thể biến đổi trực tiếp 13.TÝnh tæng S = 1.2 2.3 3.4 2011.2012 k k  1k C 2010 ) (k  1)(k  2) §s: 2011 100 14 TÝnh S = 4C100  8C100  12C100   200C100 §s: 100 99 2004 2008 15 TÝnh S = C 2009  C 2009  C 2009   C 2009  C 2009 §s: 1003 2 2007 ( xÐt khai triÓn sè phøc 1  i  2009 ) 2 2n 121 C nn  15.Tìm n nguyên dương: C n0  C n1  C n2   n 1 n 1 §s: n =4 Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net Kinh nghiệm dạy toán tính tổng đại sô tổ hợp Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net