1, Chứng minh rằng khi t thay đổi , các đ−ờng thẳng này luôn tiếp xúc với một đ−ờng tròn cố định... §Ò chÝnh thøc.[r]
(1)Lop12.net (2) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2000 - 2001 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* M at h C om Bµi : ( ®iÓm ) Tìm tất giá trị tham số a để ph−ơng trình : x − 3x − a = có ba nghiệm phân biệt , đó có đúng hai nghiệm lớn Bµi : ( ®iÓm ) Trên mặt phẳng toạ độ cho các đ−ờng thẳng có ph−ơng trình : x sin t + y cos t + cos t + = , đó t là tham số 1, Chứng minh t thay đổi , các đ−ờng thẳng này luôn tiếp xúc với đ−ờng tròn cố định 2, Gäi (x0 ; y0) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x sin t + y cos t + cos t + = ⎨ 2 ⎩ x + y + 2y − = Chøng minh r»ng : x 02 + y02 ≤ w .V n Bµi : ( ®iÓm ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : cos x + cos x + y= cos x + w W Bµi : ( ®iÓm ) Trên mặt phẳng toạ độ cho hai đ−ờng thẳng d1 , d2 có ph−ơng trình : (d1) : 4x +3y + = (d2) : 3x – 4y – = H·y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn tiÕp xóc víi hai ®−êng th¼ng trªn vµ cã t©m n»m trªn ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh : x – 6y – = Bµi : ( ®iÓm ) Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với x > x2 x e >1+ x + Lop12.net (3) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2001 - 2002 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi : ( ®iÓm ) −2x + (m + 2)x + m Cho hµm sè: y = 2x − m ,Tìm các điểm cố định đồ thị hàm số m thay đổi , Tìm các đ−ờng tiệm cận đồ thị hàm số , Với giá trị nào m thì hàm số đã cho có cực đại , cực tiểu Bµi : ( ®iÓm ) , Tìm m để : 9x + 20y + 4z − 12xy + 6xz + mzy ≥ víi mäi sè thùc x , y , z , Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè a , b , c kh¸c vµ m > tho¶ m·n hÖ thøc : a b c + + =0 m + m +1 m th× ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 1) Bµi : ( ®iÓm ) 1, Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè : y = cos x + sin x + a sin x cos x xác định với giá trị x 2, T×m d¹ng cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n : ⎧cot gA − cot gB = A − B ⎨ ⎩1000A + 1001B = 2π Bµi : ( ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , gäi d1 , d2 , d3 lµ kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm M n»m phÝa tam giác đến các cạnh tam giác 8S3 , Chứng minh bất đẳng thức : d1d d ≤ , đó S là diện tích tam 27abc giác ABC ; a , b , c là độ dài các cạnh tam giác , Lập bất đẳng thức t−ơng tự cho tứ diện không gian Bµi : ( ®iÓm ) Cho ®−êng trßn t©m O , ®−êng kÝnh AB = 2R Qua ®iÓm M thuéc ®−êng trßn , kÎ ®−êng th¼ng MH vu«ng gãc víi AB ( H thuéc AB ) §iÓm I thuéc ®−êng th¼ng MH tho¶ m·n : IM = 2IH T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I M di chuyÓn trªn ®−êng trßn Lop12.net (4) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2002 - 2003 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi : ( ®iÓm ) h C om x víi x ≥ ⎪⎧e Cho hµm sè y = ⎨ ⎪⎩ x + x + víi x < Tính đạo hàm hàm số điểm x = Bµi : ( ®iÓm ) LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè sau : y = x n (2 − x) víi n nguyªn d−¬ng Bµi : ( ®iÓm ) Tìm a để hàm số sau có cực tiểu mà không có c−c đại : y = x + 4ax + 3(a + 1)x + .V n M at Bµi : ( ®iÓm ) (1) Cho ph−¬ng tr×nh : x + mx − = 1, Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã mét nghiÖm d−¬ng 2, Xác định m để ph−ơng trình (1) có nghiệm Bµi : ( ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho hai ®iÓm A(a ; 0) , B(0 ; a) (víi a > 0)vµ ®−êng trßn (ξ) cã ph−¬ng tr×nh : w W w x + y − 2ax − m 2y + a = ( m lµ tham sè ) , Chøng minh r»ng ®−êng trßn (ξ) tiÕp xóc víi Ox t¹i A T×m giao ®iÓm thø hai P cña ®−êng trßn (ξ) vµ ®−êng th¼ng AB , LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (ξ′) ®i qua P vµ tiÕp xóc Oy t¹i B , Hai ®−êng trßn (ξ) vµ (ξ′) c¾t t¹i P vµ Q Chøng minh r»ng m thay đổi đ−ờng thẳng PQ luôn qua điểm cố định Bµi : ( ®iÓm ) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng : x + y − = , 7x − y + = cã chøa ®iÓm M0(-1 ; 5) Bµi : ( ®iÓm ) Cho c¸c sè thùc x1 , x2 , … , x2002 , y1 , y2 , … , y2000 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau : 1) e ≤ x1 ≤ x ≤ ≤ x 2002 < y1 ≤ y ≤ ≤ y 2000 2) x1 + x + + x 2002 ≥ y1 + y + + y 2000 x1 x x 2002 > y1 y y 2000 Chøng minh : Lop12.net (5) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2003 - 2004 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi : ( ®iÓm ) x4 Cho hµm sè y = − 3x + x − , Chøng minh r»ng hµm sè cã cùc trÞ , Cho tam giác có toạ độ đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trên , tìm toạ độ träng t©m tam gi¸c Bµi : ( ®iÓm ) , Tìm tập hợp các điểm M cho từ đó có thể kẻ đ−ợc tiếp tuyến với parabol y = 4x − x và hai tiếp tuyến đó vuông góc 17 , Tính diện tích tam giác có đỉnh là điểm M( ; ) và các tiếp điểm các tiếp tuyến đó qua điểm M Bµi : ( ®iÓm ) 1, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧⎪ x − 3x = y3 − 3y ⎨ 6 ⎪⎩ x + y = 2, Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh ; 3x + 2ax + − 32 x + 4ax + a + = x + 2ax + a Bµi : ( ®iÓm ) Cho hä ®−êng cong ( Cm) cã ph−¬ng tr×nh : x2 y2 + =1 m m − 16 đó m là tham số , m ≠ , m ≠ ±4 , Tuỳ theo giá trị m , xác định tên gọi đ−ờng cong đó , Gi¶ sö A lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®−êng th¼ng x = vµ A kh«ng thuéc trôc hoµnh Chøng minh r»ng víi mçi ®iÓm A lu«n cã ®−êng cong hä ( Cm) ®i qua A , Khi m = h·y tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong trªn Bµi : ( ®iÓm ) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lu«n cã : 1 ⎞ ⎛ + + cot gA + cot gB + cot gC + 3 ≤ ⎜ ⎟ ⎝ sin A sin B sin C ⎠ 2 Lop12.net (6) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2004 - 2005 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* w W w .V n M at h C om Bµi : ( ®iÓm ) Cho ®−êng cong (Cm) cã ph−¬ng tr×nh : y = (m + 1)x − 3(m + 1)x − (6m − 1)x − 2m , Chứng minh (Cm) luôn qua ba điểm cố định thẳng hàng m thay đổi , Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ để (Cm) không qua với m Bµi : ( ®iÓm ) Xác định dạng tam giác ABC : a cos A + b cos B + c cos C a + b + c = a sin A + b sin B + c sin C 9R Bµi : ( ®iÓm ) x y2 + =1 Cho parabol y = x − 2x vµ elip 1, Chứng minh parabol và elip luôn có bốn giao điểm có hoành độ x1 , x2 , , x3 ,x4 tho¶ m·n −1 < x1 < < x < < x < < x < 2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua giao ®iÓm trªn Bµi : ( ®iÓm ) ⎧2z + = x + x + x ⎪ 1, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨2y + = z + z + z ⎪ ⎩ 2x + = y + y + y x x ⎛ 1+ a2 ⎞ ⎛ 1− a2 ⎞ , Gi¶i ph−¬ng tr×nh : ⎜ ⎟ = víi < a < ⎟ −⎜ ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ Bµi : ( 2®iÓm ) Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [ 0;1] tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(0) = f(1) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh : f (x) = f (x + ) 2004 lu«n cã nghiÖm thuéc [ 0;1] Lop12.net (7) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2005 - 2006 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi : ( ®iÓm ) x − 3x + 3x + a Cho hµm sè : y = x , Tìm a để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị , Chứng minh các điểm cực trị này luôn nằm trên parabol cố định a thay đổi Bµi : ( ®iÓm ) Cho hai ph−¬ng tr×nh : x + x + 2m − = (1) x + 2x + 2m + = (2) , Tìm m để hai ph−ơng trình có nghiệm chung , Tìm m để hai nghiệm ph−ơng trình này nằm khoảng hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vµ ng−îc l¹i Bµi : ( ®iÓm ) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh : 1) 5sin x + cos 2x + cos x = 2) 2007 x − 2006 x = 2005x − 2004 x Bµi : ( ®iÓm ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn có ph−ơng trình : x + y = 1 , ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn t¹i ®iÓm M , biÕt tia OM hîp víi chiÒu d−¬ng trôc Ox mét gãc a π , Giả sử a thay đổi từ đến , tiếp tuyến trên thay đổi theo và quýet đ−ợc miền trên mặt phẳng toạ độ Tính phần diện tích giới hạn miền đó và đ−ờng thẳng y = Bµi : ( 2®iÓm ) Tìm các giá trị m để hệ sau có nghiệm : 1− m ⎧ 2 ⎪ x + 2xy − 7y ≥ 1+ m ⎨ 2 ⎪⎩3x + 10xy − 5y ≤ Lop12.net (8) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2006 - 2007 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi : ( ®iÓm ) w .V n M at h C om x − 2x + m Cho hµm sè : y = (Cm ) víi m ≠ x−2 , Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A , B cho các tiếp tuyến với đồ thị A , B vuông góc , Tìm m để tam giác tạo tiếp tuyến bất kì đồ thị (Cm) với hai tiÖm cËn cã diÖn tÝch b»ng Bµi : ( ®iÓm ) , Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 1 2cos 2x −1 + = cos 2x + log (3cos 2x − 1) 2 , Tìm giá trị nhỏ a để hệ sau có nghiệm : 2 ⎪⎧ x + 4xy + 12y ≥ 72 ⎨ 2 ⎪⎩3x + 20xy + 80y = a Bµi : ( ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC §−êng ph©n gi¸c AD ( D ∈ BC ) , ®−êng cao CH ( H ∈ AB ) lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh : x – y = , 2x + y + = C¹nh AC ®i qua ®iÓm M(0 ; -1) vµ AB = 2AM H·y viÕt ph−¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC w W Bµi : ( ®iÓm ) Trên hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng (C) có ph−ơng trình : x + y = Tìm m để trên đ−ờng thẳng y = m có đúng điểm cho từ điểm đó kẻ đ−ợc đúng hai tiếp tuyến đến (C) và cặp tiếp tuyến tạo thành góc 45D Bµi : ( 5®iÓm ) , Chøng minh r»ng víi mäi x > ta cã : x −1 ln x < x , Tìm số thực α thoả mãn bất đẳng thức : α≤ − n , víi mäi n nguyªn d−¬ng ln(1 + ) n Lop12.net (9) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2007 - 2008 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi : ( ®iÓm) Cho hai sè m , p ( m ≠ ) x − m2 Xét đồ thị (Cm): y = vµ (Cp): y = x − (2 p − 1) x x 1, Tìm điều kiện m và p để hai đồ thị tiếp xúc 2, Giả sử hai đồ thị tiếp xúc , chứng minh tiếp điểm chúng thuéc thÞ hµm sè y = x – x3 Bµi : (2 ®iÓm ) BiÕt r»ng ph−¬ng tr×nh : x3 + x + ax + b = cã nghiÖm ph©n biÖt Chøng minh r»ng : a2 – 3b > Bµi : ( ®iÓm ) 1, Tìm m để hệ sau có nghiệm : log ( x + 3) ⎪⎧ x ≥ ⎨ ⎪⎩1 + log (m − x) ≥ log ( x + 1) 2, Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm : (2m − 1) x + + (m − 2) − x + m − = Bµi : ( ®iÓm) 1, Cho tam gi¸c ABC víi B (1 ; 2) , ®−êng ph©n gi¸c cña gãc A cã ph−ơng trình 2x + y + = (d) Tìm toạ độ các đỉnh A và C biết khoảng cách từ C đến (d) hai lần khoảng cách từ A đến (d) và C nằm trªn trôc tung 2, Cho A(0 ; 4) vµ B(-4 ; 0) XÐt ®−êng th¼ng Δ : ax + by + = ( a2 + b2 > 0) lu«n tiÕp xóc víi ®−êng trßn : x2 + y2 = 16 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng khoảng cách từ A và B đến Δ Bµi 5: (2 ®iÓm) Gäi xi lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh : x − 2ai x + (ai − 1) ≤ ( i = 1; n ) vµ ≤ ≤ 5, i = 1; 2; ; n x12 + x22 + + xn2 x + x + + xn Chøng minh r»ng : ≤1+ n 2n Lop12.net (10) Së gi¸o dôc - ®μo t¹o Th¸i b×nh K× thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2008 - 2009 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi : ( ®iÓm) 1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = x − x − (ξ) 2, Gọi d là đ−ờng thẳng qua M(2 ; 0) và có hệ số góc k Tìm k để đ−ờng thẳng d c¾t (ξ) t¹i ®iÓm ph©n biÖt Bµi : (4 ®iÓm ) ⎧ x1 = ⎪ 1, Cho dãy (xn) xác định : ⎨ 2008 víi n ≥ x = + n + ⎪ + xn ⎩ Chứng minh dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó 2, Tìm m để ph−ơng trình : x + y + 2x(y − 1) + m = có nghiệm Bµi : ( ®iÓm ) Cho < a, b, c, d < T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 1 1 F = log a (b − ) + log b (c − ) + log c (d − ) + log d (a − ) 4 4 Bµi : ( ®iÓm) 1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x − x − 2008 + 16064x = 2008 2, T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cos x − sin x − cos 2x + sin 2x = tho¶ m·n 2008 < x < 2009 Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC biÕt A(1 ; -2), hai ®−êng ph©n gi¸c cña gãc B vµ C lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh lµ (d1) : 3x + y – = vµ (d2) : x – y – = LËp ph−¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC Bµi 6: (4 ®iÓm) Cho tam diện vuông Oxyz và điểm A cố định bên tam diện Gọi khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx , Oxy lần l−ợt là a , b , c Một mặt ph¼ng ( α ) qua A c¾t Ox , Oy , Oz lÇn l−ît t¹i M , N , P a b c 1, Chøng minh r»ng + + =1 OM ON OP 2, Xác định vị trí mặt phẳng ( α ) để thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ Khi thÓ tÝch tø diÖn OMNP nhá nhÊt , h·y chØ râ vÞ trÝ ®iÓm A 3, Chøng minh r»ng : ( MN + NP + PM)2 ≤ 6(OM + ON + OP ) Bµi 7: (2 ®iÓm) ⎧0 < a ≤ b ≤ c ≤ d Cho ⎨ Chøng minh r»ng : a b b c c d d a ≥ a d d c c b b a ⎩ bc ≤ ad w W w .V n M at h C om Lop12.net (11) ĐỀ THI NĂM HỌC 2000 - 2001 Ngày thi: 25 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Dong Thap Bài 1: Cho dãy số xác định sau: n un = ∑ ; ∀n ∈ Ν và n ≥ i =1 i ( i + 1)( i + )( i + ) Tìm lim un x →+∞ Bài 2: Cho phương trình: y − y + 11 y − = (1) 2 a Chứng minh tan 10 ; tan 50 ; tan 700 là nghiệm phân biệt phương trình (1) b Tính P = tan 100 + tan 500 + tan 700 Bài 3: Tìm tất các đa thức P ( x) có hệ số nguyên cho ta có: x.P ( x − 20) = ( x − 2000).P ( x) ; ∀x ∈ Ζ Bài 4: Cho hình chóp S ABC đỉnh S ; SA = x ; SB = y ; SC = z a Chứng minh VS ABC = x y.z.VS A ' B 'C ' ; với SA ' = SB ' = SC ' = đơn vị dài A '; B '; C ' nằm tương ứng trên các tia SA; SB; SC b Xác định x, y, z để diện tích xung quanh hình chóp S ABC 3k ( k là số thực cho trước) và thể tích nó lớn Bài 5: Cho a, b, c là số thực dương và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ ab bc ca Lop12.net (12) ĐỀ THI NĂM HỌC 2001 - 2002 Ngày thi: 24 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa điều kiện abc = Chứng minh rằng: + ab + bc + ca 18 + + ≥ 3 3 3 c a b a +b +c h C om Bài 2: Cho x, y là số thỏa mãn điều kiện: x − y −1 ≤ x + 3y − ≤ 2 x + y − ≥ at a Chứng minh: x + y ≤ 10 M b Tìm tất các giá trị x, y để: x + y = 10 .V n Bài 3: Cho phương trình: x n + x n −1 + x n − + + x + x − = (1), n nguyên dương a Chứng minh với n thì phương trình (1) có nghiệm dương xn b Tìm lim xn w x →+∞ w W Bài 4: Cho tam giác ABC có BC > CA > AB Gọi D là điểm nằm trên đoạn BC Trên phần nối dài BA phía A chọn điểm E Biết BD = BE = CA Gọi P là giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD với cạnh AC Gọi Q là giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: a Tam giác AQC và tam giác EPD là hai tam giác đồng dạng b Ta có: BP = AQ + CQ Bài 5: Cho tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi tạo thành góc tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm góc tam diện Một mặt phẳng (α ) qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) là a, b, c a Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn b Tính OA, OB, OC theo a, b, c để thể tích tứ diện OABC là nhỏ Lop12.net (13) ĐỀ THI NĂM HỌC 2002 - 2003 Ngày thi: 24 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: a Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a4 b4 c4 d4 a+b+c+d + + + ≥ 2 2 2 2 ( a + b ) ( a + b ) (b + c ) (b + c ) ( c + d ) (c + d ) ( d + a ) ( d + a ) b Cho số thực dương a, b, c, d , e, f Chứng minh rằng: (a + b + c) + (d + e + f ) 2 ≤ a + d + b + e2 + c + f Bài 2: Kí hiệu Ν * là tập các số nguyên dương Tìm tất các hàm f : Ν* → Ν * thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: ( i ) : f ( n + 1) > f ( n ) ( ii ) : f ( f ( n ) ) = n + 2002, ∀n ∈ Ν * Bài 3: Cho dãy {an } , n ∈ Ν * xác định bởi: a1 = a2 = 1; a3 = an + 2.an +1 + p với p ∈ Ν * a = n + an Định p để số hạng dãy {an } là số nguyên Bài 4: Cho đa thức f ( x ) = x n + a1 x n −1 + a2 x n − + + an là đa thức bậc n ≥ có các nghiệm thực b1 , b2 , , bn Cho x > bi , ∀i = n Chứng minh: 1 + + + f ( x + 1) x − bn x − b1 x − b2 ≥ 2n Bài 5: Cho tứ diện ABCD có các cạnh xuất phát từ A đôi vuông góc với Gọi a là cạnh lớn xuất phát từ A và r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện Chứng minh rằng: ( ) a ≥ 3+ r Lop12.net (14) ĐỀ THI NĂM HỌC 2003 - 2004 Ngày thi: 23 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Giải phương trình sau: + − x (1 − x ) − (1 + x ) = + − x2 Bài 2: om a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( x + y + z ) biết: y + yz + z = − x b Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức: h C a + b + c + < ab + 3b + 2c .V n M at Bài 3: Trong tam giác ABC ta dựng các đường phân giác AA ', BB ', CC ' ; giao điểm A ', B ', C ' thuộc các cạnh BC , CA, AB Các giao điểm này lập thành tam giác A ' B ' C ' Chứng minh rằng: S A ' B 'C ' 2abc = S ABC ( a + b )( b + c )( c + a ) w Bài 4: Cho Ζ là tập các số nguyên Cho hàm f : Ζ → Ζ thỏa mãn các điều kiện: ( i ) : f ( −1) = f (1) với x, y ∈ Ζ W ( ii ) : f ( x ) + f ( y ) = f ( x + xy ) + f ( y − xy ) w a Chứng minh f ( − n ) = f ( n ) , ∀n ∈ Ν b Tìm tất các hàm f có tính chất nói trên Lop12.net (15) ĐỀ THI NĂM HỌC 2004 - 2005 Ngày thi: 14 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Với số thực x, y, z tùy ý, ta đặt: S = x + y + z ; P = xy + yz + zx ; Q = xyz a Chứng minh: x3 + y + z = S − 3SP + 3Q b Hãy biểu diễn x + y + z theo S , P và Q Bài 2: Tìm đa thức f ( x ) có tất các hệ số là số nguyên không âm nhỏ và thỏa mãn f ( ) = 2004 Bài 3: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh AB là cạnh chung Hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( ABEF ) vuông góc với Tìm vị trí đường vuông góc chung hai đường thẳng AE và BD Bài 4: Với số nguyên dương a = a1a2 ak , k ∈ Ν * , ta đặt: T ( a ) = a1 + a2 + + ak ( tổng các chữ số a ) Dãy số { xn } , n ∈ Ν * xác định sau: x = (T ( 2004 ) )2004 2004 xn = (T ( xn −1 ) ) Chứng minh dãy { xn } , n ∈ Ν * bị chặn Bài 5: Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Cho AB = c; BC = a; CA = b Chọn I là điểm bất kì tam giác ABC ; gọi x, y, z là các khoảng cách từ I đến các cạnh BC , CA, AB Chứng minh: x+ y+ z≤ a + b2 + c 2R Lop12.net (16) ĐỀ THI NĂM HỌC 2005 - 2006 Ngày thi: tháng 10 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tính tổng: S = t an10 t an20 + t an20 t an30 + + t an20040 t an20050 Bài 2: a Cho P ( x ) là đa thức với hệ số nguyên cho: om P ( a ) = P ( b ) = P ( c ) = với a, b, c là các số nguyên đôi khác Chứng minh phương trình P ( x ) = không có nghiệm nguyên b Tìm đa thức f ( x ) bậc cho f ( x ) − chia hết cho ( x − 1) và f ( x ) h C chia hết cho x3 M at Bài 3: a Tổng số nguyên dương 2310 Chứng minh tích hai số này không chia hết cho 2310 V n b Tìm nghiệm nguyên ( x, y ) phương trình y = x + y + ( x + 1) y + x w Bài 4: a Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) Các đường thẳng vẽ qua A, B, C W đôi song song, cắt đường tròn ( O ) các điểm A1 , B , C1 ( khác với A, B, C ) Chứng minh trực tâm các tam giác A1 BC , B1CA, C1 AB thẳng hàng w b Cho tam giác ABC cạnh đơn vị dài Đường thẳng ( d ) không qua bất kì đỉnh nào tam giác Gọi α , β , γ là góc ( d ) và theo thứ tự với các đường thẳng qua các cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Tính: M = sin α sin β sin γ + cos α cos β cos γ Bài 5: Cho dãy {un } , n nguyên dương, xác định sau: u1 = n ui S Đặt = ∑ un − un n − u u u = + i = i +1 n +1 n 2005 Tìm lim S n x →+∞ Lop12.net (17) ĐỀ THI NĂM HỌC 2006 - 2007 Ngày thi: 22 tháng 10 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tìm tổng các số nguyên dương từ m đến n , kể m và n ( m < n ) , suy tổng các số 1000 và 2000 mà không chia hết cho Bài 2: Tìm tất các số thực x cho k = x+2 là số nguyên x + 4x + Bài 3: Chứng minh a, b, c là cạnh tam giác tương ứng với các đỉnh A, B, C thì: a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b + + ≥ C A B sin sin sin 2 Bài 4: Tìm tất các đa thức dạng f ( x ) = x3 + ax + bx + c , với a, b, c là các số nguyên, cho a, b, c là nghiệm f ( x ) 1+ x Đặt: Gn ( x ) = x + f ( x ) + f ( f ( x ) ) + + f f ( f ( x ) ) , số hạng sau cùng f lặp Bài 5: Cho F (1) = F ( ) = 1, F ( n + ) = F ( n + 1) + F ( n ) và hàm số f ( x ) = ( lại n lần Chứng minh: Gn (1) = F (1) F ( 2) + F ( 2) F ( 3) ) + + F ( n + 1) F ( n + 2) Bài 6: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn cho trước kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn A và B Chọn điểm S nằm trên dây cung AB Tia PS cắt cung nhỏ PR.PQ AB R và cắt cung lớn AB Q Chứng minh: PS = PR + PQ Bài 7: Chứng minh số nguyên dương n tùy ý luôn biểu diễn dạng tổng các số hạng r 3s với r , s là các số nguyên không âm Lop12.net (18) ĐỀ THI NĂM HỌC 2007 - 2008 Ngày thi: 14 tháng 10 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: a Tìm tất các số nguyên m cho phương trình x + ( m − m ) x − m3 + = có nghiệm nguyên ( ) x − + + − log ( ) +1 x ≤ om b Giải bất phương trình: log Bài 2: a Giải phương trình: 4sin x − 4sin x + ( sin x + s in4x ) + = h C b Cho các số thực x1 , x2 , , xn thỏa mãn sin x1 + 2sin x2 + + n sin xn = a , với n là số nguyên dương, a là số thực cho trước, ≤ a ≤ n ( n + 1) M at Xác định các giá trị x1 , x2 , , xn cho tổng S = s in2x1 + 2s in2x2 + + n s in2xn đạt giá trị lớn và tìm giá trị lớn này theo a và n w .V n Bài 3: a Cho số thực a, b, c thỏa abc = Chứng minh: 1 + + ≥ a ( b + c ) b6 ( c + a ) c6 ( a + b ) w W b Cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn điều kiện: cot A ( cot A + cot B ) A+ B = cot − cot B Chứng minh tam giác ABC là tam A+ B cot + cot B giác cân Bài 4: Cho tam giác ABC , trên các cạnh BC , CA, AB lấy các điểm A ', B ', C ' cho AA ', BB ' và CC ' đồng quy điểm M Gọi S1 , S , S3 là diện tích MA ' MB ' MC ' các tam giác MBC , MCA, MAB và đặt = x, = y, = z MA MB MC Chứng minh rằng: ( y + z − 1) S1 + ( x + z − 1) S + ( x + y − 1) S3 = Lop12.net (19) Bài 5: Cho dãy {un } , n là số nguyên dương, xác định sau: u1 = + un − u , un > = n +1 un Tính u n và chứng minh rằng: u1 + u2 + + un ≥ + π 1 1 − n −1 Bài 6: Cho đa thức f ( x ) = x3 + ax + bx + b có nghiệm x1 , x2 , x3 và đa thức g ( x ) = x3 + bx + bx + a Tính tổng: S = g ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) theo a, b Lop12.net (20) ĐỀ THI NĂM HỌC 2008 - 2009 Ngày thi: 16 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Giải phương trình: ( tan x − cot x ) = tan x + cot x − h C Câu 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 − y = om Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D là trung điểm cạnh AB , E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh AB = AC thì IE vuông góc với CD Câu 4: Cho dãy số { xn } , n ∈ Ν * xác định bởi: .V n M at x1 = Tìm giới hạn dãy un với: xn 2008 = + x x n +1 n 2008 xn 2007 x12007 x2 2007 + + + un = x2 x3 xn +1 a Cho x, y, z ≥ và 2 1 + + = Chứng minh rằng: x y z w Câu 6: W w Câu 5: Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng: ( C0n ) + ( C1n ) + + ( Cnn ) = C2nn x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 b Cho đa thức f ( x ) = x3 − x − có nghiệm là a, b, c Hãy tính: S= 1+ a 1+ b 1+ c + + 1− a 1− b 1− c Câu 7: Cho điểm A ( 0;3) và parabol ( P ) : y = x Gọi M là điểm thuộc ( P ) có hoành độ xM = a Tìm a để độ dài AM là ngắn Từ đó chứng tỏ đoạn AM là ngắn thì AM vuông góc với tiếp tuyến M ( P ) 10 Lop12.net (21)