Đề thi học sinh giỏi môn: Toán lớp 11

HƯỚNG DẪN CHẤM: TOÁN LỚP 11 Chú ý: Cách giải khác hướng dẫn chấm, mà đúng thì vẫn cho điểm theo thang điểm Câu.. DƯƠNG ĐÌNH CHIẾN - LS..[r]

MÔN: TOÁN LỚP 11 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I.(5đ) Giải các phương trình sau: 1) x  x   ; 2) 12  x  14  x  Câu II.(5đ) a ( p  a )  b ( p  b)  c ( p  c ) Cho tam ABC thỏa mãn: sin A  cos A  abc Chứng minh ABC vuông: Câu III.(4đ) k k 2 k 1 Tìm k   cho: C14  C14  2C14 Câu IV.(3đ) Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác với chu vi p Chứng minh: 1 1 1    2    p a p b p c a b c Câu V.(3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: x  y  14  0; x  y   Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C? ……………… Hết……………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh……………… ……………… DƯƠNG ĐÌNH CHIẾN - LS Số báo danh……………… Trang Lop12.net HƯỚNG DẪN CHẤM: TOÁN LỚP 11 Chú ý: Cách giải khác hướng dẫn chấm, mà đúng thì cho điểm theo thang điểm Câu Nội dung Điểm 1) +2=0  - + = 0 - 4) - 2) = 2 2  x (x + 2)(x - 2) - (x - 2) =  (x - 2)(x + 2x - 1) =0  x2     x  2x 1  +) x2 - =  x2 =  x =   x  1  +) x + 2x - =    x  1  2.(loai ) x6 I (5đ) 5x2 x6 4x2 x2 x2(x4 (x2 0,25đ 0,25đ 0,5đ x2 = 1   x   1  0,25đ Kết luận: PT đã cho có nghiệm: x =  ;  x   1  0,25đ 2) 12  x  14  x  0,25đ 3 Đặt u = 12  x ; v = 14  x Ta có: u  v  u  v    3 u  v  26 (u  v)  3uv(u  v)  26  u   u  v  v  1    u  1 uv  3   v  3 +) u =  12  x =  12 - x = 27  x = - 15 +) u = -  12  x = -  12 - x = -  x = 13 Kết luận: PT đã cho có nghiệm: x = - 15, x = 13 a ( p  a )  b ( p  b)  c ( p  c) a (b  c  a )  b (a  c  b)  c (a  b  c)  abc 2abc 2 2 2 2 a (b  c  a )  b(a  c  b )  c(a  b  c ) = 2abc 2 2 b c a a  c  b2 a  b2  c2 = cosA + cosB + cosC    2bc 2ac 2ab Khi đó dẳng thức đã cho  sin A  cosA = cosA+cosB+cosC  sinA= cosB+cosC A A A B-C A B-C  sin cos  sin cos  cos  cos 2 2 2   B  A  B  C A  C  B    ABCvuông    A  C  B A B  C C     VT  II (5đ) 0,5đ 0,5đ DƯƠNG ĐÌNH CHIẾN - LS 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5 1 0.5 1 Trang Lop12.net III (4đ) §iÒu kiÖn k  N ,  k  12 Ta cã : 14! 14! 14! C14k  C14k 2  2C14k 1   2 k !14  k !  k  !12  k !  k  1!13  k !     k  113  k  14  k 13  k   k   k  1   k   k  1  14  k 13  k    k  14  k   4k  48k  128   k   k  (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn k  N ,  k  12 ) 1 Chứng minh x, y  : 1 (1)   x y x y 1 1 4    p a p b 2p a b c 1 4 1 4    ;    p b p c 2p bc a p c p a 2p c a b Áp dụng (1) ta có: IV (3đ) Do đó 1 1 1    2    p a p b p c a b c 1 Dấu dẳng thức xẩy và a  b  c   Tọa độ A là nghiệm hệ 4x  y  14   x  4  A(–4, 2) 2x  5y   y2 V (3đ) Vì G(–2, 0) là trọng tâm ABC nên 3x G  x A  x B  x C x B  x C  2 (1)   3y G  y A  y B  y C y B  y C  2 Vì B(xB, yB)  AB  yB = –4xB – 14 (2) 2x C(xC, yC)  AC  y C   C  ( 3) 5 Thế (2) và (3) vào (1) ta có x B  x C  2 x B  3  y B  2    2x C  4x B  14    2 x C   y C  Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 0,25 0,75 1 ……………… Hết……………… DƯƠNG ĐÌNH CHIẾN - LS Trang Lop12.net