Tài liệu luyện thi đại học - Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số fx.gx Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh... + Kết luận: nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đường Ví duï Giaûi caù[r]

chithanhtranvl@gmail.com PHÖÔNG TRÌNH, BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HAØM SỐ MŨ Caùc ñònh nghóa:  an  a.a a   n  Z , n  , a  R  , a  a  a    n thừa số  a n   m an a n n  Z ,a  R / 0 a0  1 a   vaø a  , m  Z , n  Z  n m   a vaø a  m n  m an   a  , m  Z , n  Z  n m a Caùc tính chaát : 2.1 Các tính chất biểu thi đẳng thức: a,b  R \ 0 và m,n  Z Ta coù: a) am an  amn b) am a n c) (am )n  (an )m  am.n  amn a an e) ( )n  n b b d) (a.b)n  an.bn 2.2 Các tính chất biểu thị bất đẳng thức: an  bn  n   a)  a  b   an  bn  n    b) a   am  an m  n c)  a   am  an m  n y  ax Haøm soá muõ:   a  1  Taäp xaùc ñònh : D  R  Tính ñôn ñieäu: ◙ a > Taäp giaù trò : x y  a  a x1  a x2  a x1  a x2 1  a 1 a  y = ax ( a>1 ) x x -1    -2  -3  0, x  R  y  ax y= ( 0<a<1 ) x x  x nghòch bieán treân R  x  x Đồ thị hàm số y  a x   a  1 ax a : y  a x đồng biến trên R ◙ < a < : y  ax  T  R y  ax  a 1  1 a a -1  Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com Haøm soá muõ y = ex ( e = 2,71828…) Taäp xaùc ñònh : D  R  Tính đơn điệu: e >  y  ex đồng biến trên R   Đồ thị hàm số y = ex BBT x  Taäp giaù trò : y   f'(x) y = ex e  f(x) x    x1  x2  ex1  ex2  T  R  ex  0, x  R   1 y  ex   e -2 e 1/e -1 x O -1 B KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HAØM SỐ LÔGARÍT Ñònh nghóa:  Với: a > , a  và N > loga N  M  N  aM  logarit thaäp phaân ( cô soá 10 ): lg x  log10 x  logarit Neper ( cô soá e = 2,71828…): ln x  loge x Caùc tính chaát :  loga  , loga a    a  1  loga aM  M   a  , M  R  , aloga N  N   a  , N    Với:  a  , N1  , N2  Ta có: loga N1.N2   loga N1  loga N2  N  vaø loga    loga N1  loga N2  N2  Với:  a  , N1  , N2  Ta có: loga N1.N2   loga N1  loga N2  loga x   loga x   a  , x   vaø  log a x loga x  vaø log a x  N  vaø loga    loga N1  loga N2  N2  loga x   loga x  loga x  0  a  , Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net   a  1 x  ,   0 - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com Công thức đổi số :  Với:  a  ,0  b  và N  Ta có: logb N   Heä quaû:  loga N  loga b.logb N vaø loga b.logb a  log c log a a b c b Ñaëc bieät:  a  , c  ,  b  1 Haøm soá logarít:   loga N loga b   a  1 y  loga x Taäp xaùc ñònh: D  R  Tính ñôn ñieäu: ◙ a > Taäp giaù trò: TR : y  loga x đồng biến trên R  ◙ < a < : y  loga x nghòch bieán treân   x1  x2  loga x1  loga x2  R   x1  x2  loga x1  loga x2  Đồ thị hàm số lôgarít: y y  loga x  a  1 x -1 y  loga x   a  1 -2 x a a2   y  loga x  a  1  x a a2   y  loga x   a  1 2  Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com Haøm soá logarit Neper y = lnx (y = logex , e = 2,71828…)   Taäp xaùc ñònh: D  R  Taäp giaù trò: TR Tính đơn điệu: e >  y  ln x đồng biến trên R    Đồ thị hàm số lôgarít Neper: BBT: x y   f'(x)  f(x)  y = lnx O x 1/2 e lùn(1/2) x e y  lnx e2 -1   -2  CAÙC ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN: Ñònh lyù 1: aM  aN  M  N   a  1 Ñònh lyù 2: aM  aN  M  N   a  1 Ñònh lyù 3: aM  aN  M  N  a  1 Ñònh lyù 4: loga M  loga N  M  N 0  a  , Ñònh lyù 5: loga M  loga N   M  N   a  1 Ñònh lyù 6: loga M  loga N  M  N   a  1 M  , N  0 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH, BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT: Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com 6.1 PHÖÔNG TRÌNH, BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ A Phöông trình muõ cô baûn ax = b   a  1 Caùch giaûi: + b   phöông trình voâ nghieäm  x    , vì: a x  0, x  R + b >  phöông trình coù nghieäm x  loga b Ghi nhớ: a x  b  x  loga b 0  a  , Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2x  b) 3x  27 c) 4x  17 d) 5x  b  0 e) 7x 1  2x B Phương trình mũ thường gặp Phương pháp 1: Biến đổi, quy cùng số a  a   f(x) g(x) a f(x)  ag(x)   a a   0  a  (a  1)  f(x)  g(x)   f(x)  g(x) Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau : 2x 1 a) 4 x 3x d) h) 8x x 1 5 b) 0,125.4 x  10 16 x 10 e)  576  2x2  2x   4x  x 1   2      x x5 0,125.8 x 15 i)  x   3x2  5x   1 c) 4.2    4 x f) x5 32 x 7   x2  6x    x x  17 0,25.128 x  x2  x  Phöông phaùp 2: Ñaët aån soá phuï  t  ag(x)  f ag(x)     a  1     f(t)  Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau: x a) 27  12x  2.8x b) x  4.3x  45 c) e6x  3.e3x   d) e2x  4.e2x  e) 32x   4.3x   27  f) 6.9 x  13.6 x  6.4x  g) (  )x  (  )x  cot g2x j) 2 sin2 x 3  h) (2  3)x  (2  3)x  i) 125x  50x  23x 1 k)   x  3 2  x 20 m) 2.4x 1  6x 1  9x 1 Phöông phaùp 3: Logarit hoùa ( laáy logarit hai veá cuûa phöông trình ) f(x)  Daïng 1: ag(x)  f(x)   a  1   g(x)  loga f(x) Daïng 2: a f(x)  bg(x)   a,b  1  loga a f(x)  loga bg(x) Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau: x x2 a) d) x2  2x x  x2  f(x)  g(x).loga b x 1 x x  500  b)  c) e) 2x   3x 2 f) 3x 2.5x 1.7x  245  Phương pháp 4: Biến đổi phương trình dạng tích số f(x).g(x) Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com  f(x)  f(x).g(x)    g(x)  Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau: a) 8.3x  3.2x  24  x b) 12.3x  3.15x  5x 1  20 Phương pháp 5: Phương pháp đồ thị Bài toán: Giải phương trình a x  f(x)   a  1 (1) Cách giải: + (1) là phương trình hoành độ giao điểm đường y  a x   a  1 vaø y = f(x) + Vẽ đồ thị các hàm số y  a x   a  1 vaø y = f(x) + Kết luận: nghiệm phương trình là số giao điểm đường Ví duï Giaûi caùc phöông trình: x  1 b)    2x  13 3 x a)  11  x x c) 2 x  3x  10 x d) 3x  11  x x  1  1  1 e)    x  f)    2x  g)     h) 3x  4x  x 3 3 3 Phương pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ Ghi nhớ: + Nhaåm nghieäm x = x0 + Chứng minh x = x0 là nghiệm ( duøng tính taêng, giaûm cuûa haøm soá muõ ) Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau : a) 4x  5x  b) 3x  4x  5x c) 2x  3x  5x d) 5x  12x  13x x 32 x  1 f)    2x  g) 2x   x h) 2.2x  3.3x  x  3 Phöông phaùp 7: Duøng haøm soá muõ laøm aån soá Ghi nhớ: Chọn (thích hợp) t  a x    a  1 làm ẩn số x e)   Ví duï Giaûi caùc phöông trình     a) x  x2  3x   2x2  b) 32x  2x  3x  9.2x  c) 32x    3x  10  3x 2   x  d) x   x   3x  2x     e) x.2x  x   x   2x  Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa Ghi nhớ: + Chọn (thích hợp) sin t  a x cos t  a x   a  1 + Từ điều kiện x suy điều kiện t Ví duï Giaûi phöông trình a)   22x     22x  2x   b) 4.33x  3x 1   x C BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com Loại 1: Bất phương trình mũ Daïng 1: a x  b   a  1 + b  : Tập hợp nghiệm bất phương trình là S  R + b  0:  a > 1: Tập hợp nghiệm S   loga b ;    a x  b  x  loga b  < a < 1: a x  b  x  loga b Tập hợp nghiệm S    ; loga b  Daïng 2: a x  b   a  1 + b  : Tập hợp nghiệm bất phương trình là S  R + b  0:  a > 1: Tập hợp nghiệm S  loga b ;    a x  b  x  loga b  < a < 1: a x  b  x  loga b Tập hợp nghiệm S    ; loga b Daïng 3: a x  b   a  1 + b  : Tập hợp nghiệm bất phương trình là S   + b  0:  a > 1: Tập hợp nghiệm S    ; loga b a x  b  x  loga b  < a < 1: a x  b  x  loga b Tập hợp nghiệm S   loga b ;    Daïng 4: a x  b   a  1 + b  : Tập hợp nghiệm bất phương trình là S   + b  0:  a > 1: Tập hợp nghiệm S    ; loga b a x  b  x  loga b  < a < 1: a x  b  x  loga b Tập hợp nghiệm S  loga b ;    Loại 2: Bất phương trình mũ đơn giản Phương pháp: Để giải các bất phương trình mũ đơn giản, ta có thể biến đổi đưa bất phương trình mũ bất phương trình đại số 0  a  0  a  Ghi nhớ: , a f(x)  ag(x)   a f(x)  ag(x)   f(x)  g(x) f(x)  g(x) a  a  , a f(x)  ag(x)   a f(x)  ag(x)   f(x)  g(x) f(x)  g(x) a  Toång quaùt: a f(x)  ag(x)    a  1  f(x)  g(x)  Ví duï Giaûi caùc baát phöông trình  1 a)   3 x x2  4x 12 x 1 x d) 2  3   x b)  3 x 2 e)   5 h) 22x 1  22x 2  22x   448 c) 9 2 x 2   5 x  10   x 3 x 1   10  f) 0,4x  2,5x 1  1,5 i) 16 x  4x    g) j) 4x  2.52x  10x k) x 1 x3 4x x  3x 3x 3x  4 3 6.1 PHÖÔNG TRÌNH, BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com A Phöông trình logarit cô baûn loga x  b   a  1 loga x  b  x  ab Caùch giaûi: Duøng ñònh nghóa logarit   a  1 ln x  b  x  eb lg x  b  x  10b Ví duï Giaûi caùc phöông trình a) ln  x(x  1)  b) lg x  lg  x  1  d) log4 log2 x  log2 log4 x  c) log3  x  1  log3 x  e) log2 x  log3 x  log4 x  log20 x B Phương trình logarit thường gặp Phương pháp 1: Biến đổi, quy cùng số 0  a  loga f(x)  loga g(x)   f(x)  g(x)  Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau :     a) log2 x2  3x   log2 x2  7x  12   log2 d) log2 (4x  4)  x  log (2x 1  3) c) ln  x  1  ln  x    ln  x    b) ln x  ln  x  1    1 e) lg x2  x   lg 5x  lg 5x Phöông phaùp 2: Ñaët aån soá phuï  f) lg x2  4x   lg8x  lg 4x  t  loga g(x) f loga g(x)    a  1   f(t)  Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau: 2  1   b) lg2 x  lg3 x   lg x c) a)  log2 x  log2 x  lg x  lg x d) log2 x  log2 x  e) log22 x  log2 x   f) log5 5x  log25 5x 1     g) logx  logx 5x  2,25  logx     h) ln3 x  3ln2 x  ln x  12  Phöông phaùp 3: Phöông phaùp muõ hoùa, logarit hoùa g(x)  loga g(x)  f(x)   a  1   f(x) g(x)  a Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau:    a) lg x2  x   x  lg  x      c) lg 6.5x  25.20x  x  lg25  b) log2  x  log3 x d) e2 ln x  x  e) e4 ln x  x Phương pháp 4: Biến đổi phương trình dạng tích số f(x).g(x)  f(x)  f(x).g(x)    g(x)  Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau: a) log2 x  2.log7 x   log2 x.log7 x b) log  x   log5 x  log3  x   c) ln x.ln  x  1  ln x e)  log9 x   log3 x.log3   d) log2  3x  1 log3 x  log2  3x  1 2x   Phương pháp 5: Phương pháp đồ thị Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com   a  1 Bài toán: Giải phương trình loga x  f(x) (1) Cách giải: + (1) là phương trình hoành độ giao điểm đường y  loga x   a  1 vaø y = f(x) + Vẽ đồ thị các hàm số y  loga x   a  1 vaø y = f(x) + Kết luận: nghiệm phương trình là số giao điểm đường Ví duï Giaûi caùc phöông trình: a) log2 x   x b) log3 x  11  x c) log x  3x d) log4 x  x e) log x  16 x f) log3 x   x Phương pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu hàm số logarit Ghi nhớ: + Nhaåm nghieäm x = x0 + Chứng minh x = x0 là nghiệm ( duøng tính taêng, giaûm cuûa haøm soá logarit ) Ví duï Giaûi caùc phöông trình sau : a) log2 x  log5  2x  1  c) log2 x  2x   d) x 1   log2 x b) log2 (x2  x  6)  x  log2 (x  2)    e) log2 x2   x  log2 8  x    Phöông phaùp 7: Duøng haøm soá logarit laøm aån soá Ghi nhớ: Chọn (thích hợp) t  loga x   a  1 làm ẩn số Ví duï Giaûi caùc phöông trình a)  log2 x    x   log2 x  2x         b) lg2 x2   x2  lg x2   5x2  c) lg2 x  lg x.log2 4x  log2 x  C BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Loại 1: Bất phương trình logarit Daïng 1: loga x  b   a  , b  R   a > 1: loga x  b  x  ab  < a < 1: loga x  b   x  ab Daïng 2: loga x  b 0  a  , b  R  a > 1: loga x  b  x  ab  < a < 1: loga x  b   x  ab Daïng 3: loga x  b 0  a  , b  R  a > 1: loga x  b   x  ab  < a < 1: loga x  b  x  ab Daïng 4: loga x  b 0  a  ,   Tập hợp nghiệm S   ; ab  Tập hợp nghiệm S  ab ;   Tập hợp nghiệm S  ab ;    Tập hợp nghiệm S  ; ab       Tập hợp nghiệm S   ab ;    Tập hợp nghiệm S  ; ab b  R Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com chithanhtranvl@gmail.com  Tập hợp nghiệm S  ; ab   b b  < a < 1: Tập hợp nghiệm S  a ;   loga x  b  x  a  Loại 2: Bất phương trình logarit đơn giản Phương pháp: Để giải các bất phương trình logarit đơn giản, ta có thể biến đổi đưa bất phương trình logarit bất phương trình đại số Ghi nhớ: a  a   loại 1: loga f(x)  loga g(x)    g(x)  f(x)  g(x)  f(x)  g(x)  0  a  0  a   loga f(x)  loga g(x)    f(x)  0  f(x)  g(x) f(x)  g(x)  loga x  b   x  ab a > 1:  Toång quaùt: a  f(x)   loga f(x)  loga g(x)   g(x)   a  1  f(x)  g(x)   a  loga f(x)  loga g(x)   0  f(x)  g(x) loại 2:  a    f(x)  f(x)  g(x)  0  a  0  a   loga f(x)  loga g(x)    g(x)  f(x)  g(x)  f(x)  g(x)  Toång quaùt: a  f(x)   loga f(x)  loga g(x)   g(x)   a  1  f(x)  g(x)   Ví duï 1: Giaûi caùc baát phöông trình   a) log x2  2x   4 2 d) log3  x    log3  x    g)  1  lg x  lg x   c) log20,2 x  5log0,2 x  6 2x2  0 x7 f) log log2 x2  b) log3 log x2   e) log h) log4 x  33logx  i)   ln x  0 ln x  Ví duï 2: Giaûi caùc baát phöông trình Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com 10 chithanhtranvl@gmail.com   a) lg x2  x   lg   x  c)  2x   ln  x  1  b) ln x   ln x   3ln2  Ví duï 3: Giaûi caùc baát phöông trình a) logx (5x2  8x  3)  b) log2 log3 x   c) log  x  3x  x2   e) log2 3x   2.log d) logx log9 (3  9)  f) log2x 64  log 23 3x  3  x  x2 Ví duï 4: Giaûi caùc baát phöông trình log3  2x   b) log3  (SPVinh98) c)    1 x  (BKHN99) x2  5x   log x   log  x   1  a) logx  x    4  d) log3 e) log 2x2  3x    e) log23 x  5log22 x  log2 x   f) ln 3ex   2x d)  x    lg x  1  log  x  1 x 2 x 16   (NH98) (QGHCM99) BAØI TAÄP LAØM THEÂM B1 Cho phöông trình: 4x2  m.2x 1  2m  (1) Giaûi phöông trình m = 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 cho x1 + x2 =3 B2 YDượcHCM99 loga (35  x3 ) 1.Giaûi baát phöông trình:  ( a laø tham soá döông vaø khaùc 1) loga (5  x) 2.Xác định các giá trị tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm: 4x – m.2x + m +   log  y  x   log4 y  B3 KA2004 Giaûi heä phöông trình:   2 x  y  25 B4 KA2002 Cho phương trình: log32 x  log32 x   2m   (2), với m là tham số Giaûi phöông trình (2) m = 2 Tìm m để phương trình (2) có ít nghiệm thuộc đoạn 1;3  B5 Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 5.16 x  2.81x  m.36 x B6 Tìm m sau cho baát phöông trình:  log5 (x2  1)  log5 (x2  4x  m)  coù nghieäm x  [2,3] B7 Tìm m để phương trình: 31 x  1 x  2m  có nghiệm B8 Cho baát phöông trình: log2 x2   log2  ax  a  (BK93) Giaûi baát phöông trình a = –2 Tìm các giá trị a để bất phương trình có nghiệm Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net - chithanhtranvl@gmail.com 11 chithanhtranvl@gmail.com  x2  3x  B9 Cho haøm soá f(x)  1  2 m  1   cos2 x 1 sin2 x 2 ( KTruùcHN95)  2m Tìm m để f(x)  với x B10 Cho baát phöông trình: x 2x  x2  x2  ax.2x  a.2x 2x  x2 (QGHCM95, KA) Tìm các giá trị a để bất phương trình có ít nghiệm x > B11 (QGHCM95, KB) x x Giaûi phöông trình   Tìm a để hệ bất phương trình sau đây có nghiệm x  x 3    1  log2  a  x   log2 x4    x y  a  0 a  a  B12 Cho heä phöông trình:   x  y  b2  b   Giaûi heä b = Tìm a để hệ phương trình có nghiệm với b  0;1    B13 Cho baát phöông trình log2 x2  ax   (BK94) Giaûi baát phöông trình a = Tìm giá trị lớn tham số a để x = là nghiệm bất phương trình B14 (YDược 95) Tìm a để x  R , f(x)   x    x  a  Cho baát phöông trình: m.92x x 2  (2m  1).62x  x  m.42x  x  Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với x  B15 Giaûi caùc heä phöông trình, heä baát phöông trình sau: x  x  y 2y  9 x y   2  12  a)  b)  c)  x y 2  y x 2  18  2y   x  3y 2x    64 x  x y  4x  4y  2x  2y  d)  (YDược HCM98) e)   x  y  1  x  y  2   42x  y 512x  y   22x  y 1  x  1 lg2  lg 2x 1   lg 7.2x  12   f)  g)  y3  4x   ln(y2  2x)  logx  x       Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh Lop12.net   - chithanhtranvl@gmail.com  12