Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết đến 0,25 điểm nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó.. Trong trường hợp sai só[r]
(1)UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2012 – 2013 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30 tháng năm 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,5 điểm) 1/ Rút gọn biểu thức sau: A 10 10 2/ Giải phương trình: x x 2x 19 2x+39 Bài (2,0 điểm) 1/ Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 4a 5b 9c Chứng minh phương trình ax bx c luôn có nghiệm xy y x 7y 2/ Giải hệ phương trình: x y x y 12 Bài (1,5 điểm) 1/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 2/ Phân chia chín số: 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm tùy ý, nhóm ba số Gọi T1 là tích ba số nhóm thứ nhất, T2 là tích ba số nhóm thứ hai, T3 là tích ba số nhóm thứ ba Hỏi tổng T1 T2 T3 có giá trị nhỏ là bao nhiêu? Bài (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung BC cố định khác đường kính Gọi A là điểm chuyển động trên cung lớn BC đường tròn (O) cho tam giác ABC nhọn; AD,BE,CF là các đường cao tam giác ABC Các đường thẳng BE, CF tương ứng cắt (O) các điểm thứ hai là Q, R 1/ Chứng minh QR song song với EF EF R 3/ Xác định vị trí điểm A để chu vi tam giác DEF lớn 2/ Chứng minh diện tích tứ giác AEOF Bài (1,5 điểm) 1/ Tìm hai số nguyên a, b để a 4b là số nguyên tố 2/ Hãy chia tam giác bất kì thành tam giác cân đó có tam giác -Hết (Đề thi gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh:……………………… ………………… Số báo danh:……….……… Lop12.net (2) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2012 – 2013 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên toán, tin) Bài Đáp án Điểm 1/ Rút gọn biểu thức sau: A 10 10 1,5 Nhận xét A 0,25 A 10 10 4 10 10 0,25 82 6 82 (2,5 điểm) 1 62 0,25 0,25 1 0,25 Vậy A 0,25 Giải phương trình: x x 2x 19 2x+39 (*) 1,0 Đặt t x 2x 19 0,25 t ( nhËn) t 5 (lo¹i) (*) trở thành: t t 20 0,25 t x 2x 19 16 x 2x 35 0,25 x x 5 0,25 1/ Cho 4a 5b 9c , chứng minh phương trình ax bx c luôn có nghiệm 1,0 Xét trường hợp a = Nếu b = thì từ 4a 5b 9c , ta suy c = 0, đó phương trình (1) nghiệm đúng với x 0,25 c b Trường hợp a , (1) là phương trình bậc hai Từ 4a 5b 9c , ta có 4a 9c Suy ra, b Còn b , phương trình (1) trở thành bx c , có nghiệm x 0,25 (2,0 điểm) b 4ac (4a 9c) 16a 28ac 81c (2a 7c) 12a 32c 4ac 0 25 25 25 Do đó, (1) có hai nghiệm phân biệt Vậy trường hợp, (1) luôn có nghiệm xy y x 7y 2/ Giải hệ phương trình: x y x y 12 ĐK: y x x y y x Hệ tương đương với , đặt u x y, v ta có hệ: y x x y 12 y Lop12.net 0,25 0,25 1,0 u v uv 12 0,25 (3) u u v v 0,25 x x 3 Với u 4, v ta có hệ y y x y 0,25 12 x x Với u 3, v ta có hệ y x y y 0,25 1/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Từ a + b + c = ta có + a = (1 – b) + (1 – c) (1 b)(1 c) (Vì a, b, c <1 nên – b ; – c ; – a là các số dương) (1,5 điểm) 1,0 0,25 Tương tự ta có + b (1 c)(1 a) và + c (1 a)(1 b) 0,25 Nhân các vế ba BĐT ta có: 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c đpcm 0,25 Dấu xảy và a b c 2/ Phân chia chín số: 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm tùy ý, nhóm ba số Gọi T1 là tích ba số nhóm thứ nhất, T2 là tích ba số nhóm thứ hai, T3 là tích ba số nhóm thứ ba Hỏi tổng T1 T2 T3 có giá trị nhỏ là bao nhiêu? Ta có: T1 T2 T3 3 T1.T2 T3 T1.T2 T3 1.2.3.4.5.6.7.8.9 72.72.70 713 0,25 0,5 0,25 Do đó, T1 T2 T3 213 mà T1 ,T2 ,T3 nguyên nên T1 T2 T3 214 Ngoài ra, 214 72 72 70 1.8.9 3.4.6 2.5.7 Nên giá trị nhỏ T1 T2 T3 là 214 Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung BC cố định khác đường kính Gọi A là điểm chuyển động trên cung lớn BC đường tròn (O) cho tam giác ABC nhọn; AD,BE,CF là các đường cao tam giác ABC Các đường thẳng BE, CF tương ứng cắt (O) các điểm thứ hai là Q, R 0,25 1,0 1/ Chứng minh QR song song với EF A (2,5 điểm) Q BFC 900 nên tứ giác BCEF Vì BEC nội tiếp đường tròn đường kính BC E R O F B D 0,25 C BCF Suy ra, BEF 0,25 Lop12.net (4) BQR BQR sđ B Mà BCF R nên BEF Suy ra, QR / /EF 0,25 0,25 2/ Chứng minh diện tích tứ giác AEOF EF R 0,5 ECF mà EBF sđ AQ, ECF sđ A Vì tứ giác BCEF nội tiếp nên EBF R nên 2 AQ AR Do đó, OA QR mà QR / /EF nên OA EF EF.OA EF.R Vì OA EF nên SAEOF 2 3/ Xác định vị trí điểm A để chu vi tam giác DEF lớn Tương tự câu 2, 2SBFOD FD.R, 2SCDOE DE.R Mà tam giác ABC nhọn nên O nằm tam giác ABC Suy ra, 2SABC 2SAEOF 2SBFOD 2SCDOE R DE EF FD Vì R không đổi nên đẳng thức trên suy chu vi tam giác DEF lớn và diện tích tam giác ABC lớn Mà SABC BC.AD với BC không đổi nên SABC lớn AD lớn Khi đó, A là điểm chính cung lớn BC 1/ Tìm hai số nguyên a, b để a 4b là số nguyên tố a 4b a 2ab 2b (1,5 điểm) 2 a 2ab 2b Vì a 2ab 2b 0;a 2ab 2b Nên a 4b nguyên tố Một thừa số là còn thừa số là số nguyên tố a b 2 (1) b TH1: a 2ab 2b a b b a b 2 (2) b *Với (1) b a M (loại) a b *Với (thỏa mãn) a b 1 a b 2 (3) b TH2: a 2ab 2b a b b a b 2 (4) b *Với (3) b a M (loại) a a 1 *Với (thỏa mãn) b b Vậy các cặp số a; b cần tìm là: 1;1 , 1; 1 , 1;1 , 1; 1 Lop12.net 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) 2/ Hãy chia tam giác bất kì thành tam giác cân đó có tam giác 0,5 C F E O D G A B Trường hợp 1:Tam giác ABC không cân Giả sử AB là cạnh lớn tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm A, bán kính AC cắt AB D Vẽ cung tròn tâm B, bán kính BD cắt BC E Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CE cắt AC F Vẽ cung tròn tâm A, bán kính AF cắt AB G Dễ dàng chứng minh điểm C, D, E, F,G thuộc đường tròn tâm O với O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Nối điểm đó với O, nối A, B với O, nối F với G, D với E ta tam giác cân: AGF,OGF,ODG, BDE,ODE,OCE,OCF Trong đó, có ba tam giác là: OCE,OCF,OGD 0,25 A I D G B F 0,25 H E C Trường hợp 2: Tam giác ABC cân Giả sử tam giác ABC cân A Gọi D, E, F, G, H, I là trung điểm các đoạn thẳng: AB, BC, CA, DE, EF, FD Khi đó, ta có tam giác cân ADF, BDE, CEF, DGI, EGH, FHI, GHI đó ba tam giác là: ADF, BDE, CEF Các chú ý chấm: Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác điểm tối đa Với các cách giải đúng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống điểm chi tiết (đến 0,25 điểm) không vượt quá số điểm dành cho bài phần đó Trong trường hợp sai sót nhỏ có thể cho điểm phải trừ điểm chỗ sai đó Với Bài và Bài 5.2 không cho điểm bài làm học sinh không vẽ hình Mọi vấn đề phát sinh quá trình chấm phải trao đổi tổ chấm và cho điểm theo thống tổ Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn điểm Lop12.net (6)