Đề Toán - Thi thử Đại học - lần 6

Tính thể tích của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với B’C.. Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao..[r]

Môn Toán THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) x 1 Cho hàm số y  x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C  hàm số x 1 b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1  m Câu II (2 điểm)   a) Tìm m để phương trình sin4 x  cos4 x  cos 4x  2sin 2x  m  có nghiệm trên  0;   2 1 b) Giải phương trình log  x  3  log4  x 1  log2  4x Câu III (2 điểm)  a) Tìm giới hạn L  lim  3x2 1  2x2 1 1 cos x x0 98 100 50 b) Chứng minh C100  C100  C100  C100   C100  C100  2 Câu IV (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  4a  9b 16c  9a 16b  4c  16a  4b  c B PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn Câu Va (2 điểm) a) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình C1  : x2  y2  y   và C2  : x2  y2  6x  y 16  Lập phương trình tiếp tuyến chung C1 và C2  b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm AA’ Tính thể tích khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh BM vuông góc với B’C Câu VIa (1 điểm) x 1 y z  Cho điểm A2;5;3 và đường thẳng d : Viết phương trình mặt phẳng   chứa   2 d cho khoảng cách từ A đến   lớn Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao Lop12.net Môn Toán Câu Vb (2 điểm) a) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết (H) tiếp xúc với đường thẳng d : x  y   điểm A có hoành độ b) Cho tứ diện OABC có OA  4, OB  5, OC  và AOB  BOC  COA  60 Tính thể tích tứ diện OABC Câu VIb (1 điểm) Cho d2 : mặt phẳng x 5  y6 z 5 5  P  : x  y  2z 1  và các đường thẳng d1 : x 1 y 3 z   , 3 Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) và đường  thẳng MN cách (P) khoảng Câu I a) điểm x 1 có tập xác định D  R \ 1 x 1 ĐÁP ÁN x 1 x 1 x 1 Giới hạn: lim  1; lim  ; lim     x x 1 x1 x 1 x1 x 1 2 Đạo hàm: y '   0, x   Hàm số nghịch biến trên các khoảng  x 12 Tập xác định: Hàm số y  0,25 0,25 ;1 và 1;  Hàm số không có cực trị Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1; tiệm cận ngang y  Giao hai tiệm 0,25 cận I 1;1 là tâm đối xứng Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình b) Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y  Học sinh tự vẽ hình Lop12.net x 1 C ' x 1 0,25 0,5 x 1 x 1 Số nghiệm  m số giao điểm đồ thị y  x 1 x 1 Suy đáp số m  1; m  1: phương trình có nghiệm và y  m 0,25 0,25 m  1: phương trình có nghiệm 1  m  1: phương trình vô nghiệm Câu II a) điểm 4 Ta có sin x  cos x   sin 2x và cos4x   2sin x 2 0,25 0,25 Do đó 1  3sin 2x  2sin 2x   m   Đặt t  sin 2x Ta có x  0;   2x 0;   t 0;1  2 Suy f t   3t  2t   m, t 0;1 b) Ta có bảng biến thiên 0,25   10 Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 0;    m  1 Giải phương trình log  x  3  log4  x 1  log2 4x 2 Điều kiện:  x  0,25 2   x  3 x 1  4x 0,25 0,25 Trường hợp 1: x  0,25  2  x  2x   x  Trường hợp 1:  x   2  x 0,25  6x    x    Vậy tập nghiệm (2) là T  2;  Câu III a)  3x 1  2x 1 Tìm L  lim x0 1 cos x Lop12.net Môn Toán Môn Toán 3 2x 1 1  1 cos x   x0 0,25 2x 1 1  lim 1 cos x x0 Xét L  lim 0,25  3x 1 1 Ta có L  lim   x0  1 cos x  2x 2 x  sin  2x   1 2  3x 1 1 Xét L  lim  lim x0 1 cos x x0 0,25 3x 2   x 2sin  3x 21  3x3 121      Vậy L  L 1 L 2   b) 0,25   C 100 Chứng minh C 100 C 100 C Ta có 1 i  100 2 100 0,5  C100  C100i  C100i   C100 i    C 100  C 100 C 100 C 50 100 2 100 100   100 100C  C100  100 C  99 100 i Mặt khác 1 i  Câu IV 0,5  1 2i  i  2i  1 i  100 100 50 50   2i   2 50 Vậy C 100 C 100  C 100   C 100 2 Cho a, b, c thoả a  b  c  Tìm GTNN a b c a b c a b c M   16  16   16         a Đặt u  a;3 ;b4 c, v  ;3 c; a , wb ;3 ; b c M  uvw     M  u v w        a  b2 b     a c   b c   a c Theo cô – si có    0,25  b 0,5 abc  Tương tự … 0,25 Vậy M  29 Dấu xảy a  b  c  Câu Va a) c Học sinh tự vẽ hình C1  : I1 0; 2, R1  3; C2  : I2 3; 4, R2  0,25  Gọi tiếp tuyến chung C1  , C2  là  : Ax  By  C  A  B   là tiếp tuyến chung C1  , C2    2 1  d  I1;    R1  2B  C  A  B   d  I2 ;    R2  3A  4B  C  A2  B2  2 Lop12.net 2 0,25 Môn Toán Từ (1) và (2) suy A  2B C  3A  2B Trường hợp 1: A  2B 0,5 Chọn B   A   C  2    : 2x  y    3A  2B Thay vào (1) 2 A  2B  A  B  A  0; A   B   : y   0;  : 4x  3y   Trường hợp 2: C  b) Gọi H là trung điểm BC  d  M ; BB 'C   AH  2 0,25 a a a S BB 'C  BB '.BC   V  'C AH S  BB 'C MBB 2 12 Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Ta có B 'C  MI ; B 'C  BC '  B 'C  MB 0,25 0,5 Câu VIa (Học sinh tự vẽ hình) Gọi K là hình chiếu A trên d  K cố định; 0,25 Gọi   là mặt phẳng chứa d và H là hình chiếu A trên   Trong tam giác vuông AHK ta có AH  AK 0,25 Vậy AHmax  AK    là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK Gọi    là mặt phẳng qua A và vuông góc với d     : 2x  y  2z 15  0,25  K 3;1; 4   là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK    : x  y  z   Câu Vb a) Gọi  H  : x a  y b 0,25 0,25 2 2 1 (H) tiếp xúc với d : x  y    a  b  x   y   A 4; 2   H   0,25 16   2 a2 b 2 Từ (1) và (2) suy a  8;b    H  : x  y 1 0,5 b) (Học sinh tự vẽ hình) Lấy B’ trên OB; C’ trên OC cho OA  OB '  OC '  Lop12.net 0,25 Môn Toán Lấy M là trung điểm B’C’  OAM   OB 'C ' 0,25 Kẻ AH  OM  AH  OB 'C ' Ta có AM  OM   MH  23 46  AH  0,25 15  OB.OC.sin BOC  OBC 2 Vậy V OABC  AH S OBC  10 0,25 Gọi M 1 2t;3  3t; 2t  , N 5  6t '; 4t '; 5  5t ' 0,25 S Câu VIb d  M ;  P   2t 1   t  0;t  Trường hợp 1: t   M 1;3;0 , MN  6t ' 4;4t ' 3; 5t ' 5     MN  nP  MN.nP   t '   N 5;0; 5 0,25 Trường hợp 2: t   M 3; 0; 2 , N  1; 4; 0 0,25 Kết luận 0,25 Lop12.net