Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng P, biết D đi qua A và vuông góc với d.. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO.[r]
(1)Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 ĐỀ THI ĐẠI HỌC: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1) A- 2011 Cho hai điểm A ( 2;0;1) , B ( 0; -2;3) và mặt phẳng ( P ) : x - y - z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = Bài giải: ì2 x - y - z + = ïï 2 Gọi M ( x; y; z ) , ta có M Î ( P ) và MA = MB Û í( x - ) + y + ( z - 1) = ï 2 ïî x + ( y + ) + ( z - 3) = ì2 x - y - z + = ìx = 2y - ïï ï Û íx + y - z + = Û í z = 3y ï ï7 y - 11y + = 2 î îï( x - ) + y + ( z - 1) = æ 12 ö Û ( x; y; z ) = ( 0;1;3) ( x; y; z ) = ç - ; ; ÷ è 7 7ø æ 12 ö Vậy ta có M ( 0;1;3) M ç - ; ; ÷ è 7 7ø 2) A- 2011 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z - x - y - z = và điểm A ( 4;4;0 ) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB Bài giải: (S) có tâm I ( 2;2;2 ) , bán kính R = Nhận xét: O và A cùng thuộc (S) Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r = OA = 3 Khoảng cách: d ( I , ( P ) ) = R - r = (P) qua O có phương trình dạng: ax + by + cz = a + b + c > (*) ( ) (P) qua A, suy ra: a + b = Þ b = - a 2( a + b + c) 2c 2c d ( I, ( P ) ) = = Þ = Þ a + c = 3c Þ c = ± a 2 2 2 a +b +c 2a + c 2a + c Theo (*) suy (P): x - y + z = x - y - z = x - y +1 z = = 3) B- 2011 Cho đường thẳng D : và mặt phẳng ( P ) : x + y + z - = Gọi I là -2 -1 giao điểm D và ( P ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với D và MI = 14 Bài giải: ì x - y +1 z = = ï Tọa độ điểm I là nghiệm hệ: í -2 -1 Þ I (1;1;1) ïî x + y + z - = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (2) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 ìa + b + c - = ìï MI ^ D ïï Û ía - 2b - c + = Gọi M ( a; b; c ) , ta có: M Î ( P ) : í ïî MI = 14 ï 2 ïî( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) = 224 ìb = 2a - ïï Û íc = -3a + ï 2 îï( a - 1) + ( a - ) + ( -3a + 3) = 224 Û ( a; b; c ) = ( 5;9; -11) ( a; b; c ) = ( -3; -7;13) Vậy ta có M ( 5;9; -11) M ( -3; -7;13) x + y -1 z + = = và hai điểm A ( -2;1;1) , B ( -3; -1;2 ) Tìm -2 tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D cho tam giác MAB có diện tích Bài giải: Gọi M Î D , suy tọa độ M có dạng M ( -2 + t;1 + 3t; -5 - 2t ) Þ AM = ( t;3t; -6 - 2t ) ; AB = ( -1; -2;1) Þ é AM, AB ù = ( -t - 12; t + 6; t ) ë û ét = 2 SDMAB = Û ( t + 12 ) + ( t + ) + t = 180 Û t + 12t = Û ê ët = -12 4) B- 2011 Cho đường thẳng D : Vậy M ( -2;1; -5) và M ( -14; -35;19 ) x +1 y z - = = Viết phương trình đường -2 thẳng D qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox Bài giải: Mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với d, có phương trình: x + y - z + = Gọi B là giao điểm trục Ox với (P), suy D là đường thẳng qua các điểm A, B Ta có: B Î Ox Þ B ( b;0;0 ) thỏa mãn phương trình b + = Þ B ( -1;0;0 ) 5) D- 2011 Cho điểm A (1;2;3) và đường thẳng d : ì x = + 2t ï Phương trình D : í y = + 2t ï z = + 3t î x -1 y - z = = và mặt phẳng ( P ) : x - y + z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D , bán kính và tiếp xúc với mp(P) Bài giải: Gọi I là tâm mặt cầu Do I Î D Þ I (1 + 2t;3 + 4t; t ) 6) D- 2011 Cho đường thẳng D : Mặt cầu tiếp xúc với (P) Û d ( I , ( P ) ) = Û ( + 2t ) - ( + 4t ) + 2t Suy I ( 5;11;2 ) I ( -1; -1; -1) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net ét = =1Û ê ët = -1 Tổ Toán THPT Phong Điền (3) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Phương trình mặt cầu: ( x - 5) + ( y - 11) + ( z - ) = ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 2 2 2 x -1 y z + = = và mặt phẳng (P): -1 x - y + z = Gọi C là giao điểm D và (P), M là điểm thuộc D Tính khoảng cách từ M 7) A- 2010 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D : đến mp(P), biết MC = Đường thẳng D có vectơ phương v = ( 2;1; -1) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (1; -2;1) Gọi H là hình chiếu M trên (P), ta có: cos HMC = cos ( v , n ) M Bài giải: H C P Ta có: ˆ - -1 = d ( M, ( P ) ) = MH = MC.cos HMC = MC cos ( v , n ) = 6 6 x +2 y-2 z+3 = = 8) A- 2010 Cho điểm A(0;0; -2) và D : Tính khoảng cách từ A đến D Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt D hai điểm B, C cho BC = Bài giải: Đường thẳng D qua điểm M ( -2;2; -3) , nhận v = ( 2;3;2 ) làm vectơ phương Ta có: MA = ( 2; -2;1) Þ év , MA ù = ( 7;2; -10 ) ë û év , MA ù 49 + + 100 ë û Suy ra: d ( A, D ) = = =3 v 4+9+4 Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt D B và C cho BC = Suy bán kính (S) là: R = D 9) B- 2010 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c), đó b, c > và mặt phẳng ( P) : y - z + = Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) Bài giải: Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x y z + + = 1 b c Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P): y - z + = , suy ra: Ta có: d ( O, ( ABC ) ) = 1 - = (1) b c Û 1 1 = Û + = (2) b c 1 1+ + b c Từ (1) và (2), b, c > suy b = c = 10) B- 2010 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: x y -1 z = = Xác định tọa độ 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net (4) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 điểm M trên trục hoành cho khoảng cách từ M đến D OM Bài giải: Đường thẳng D qua điểm A ( 0;1;0 ) và có vectơ phương v = ( 2;1;2 ) Do M thuộc trục hoành, nên M có tọa độ ( t;0;0 ) , suy ra: AM = ( t; -1;0 ) Þ év , AM ù = ( 2;2t; -t - ) ë û Þ d ( M, D ) = OM Û ét = -1 5t + 4t + = t Û t2 - t - = Û ê ët = Suy M ( -1;0;0 ) M ( 2;0;0 ) 11) D- 2010 Trong kh«ng gian Oxyz, cho hai mp(P): x + y + z - = vµ (Q): x - y + z - = Viết phương trình mp(R) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) Bài giải: Ta có vectơ pháp tuyến (P) và (Q) là: nP = (1;1;1) và nQ = (1; -1;1) , suy ra: éë nP , nQ ûù = ( 2;0; -2 ) là vectơ pháp tuyến (R) Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x - z + D = D D suy ra: Ta có d ( O, ( R ) ) = = Û D = 2 D = -2 2 Vậy phương trình mặt phẳng (R): x - z + 2 = x - z - 2 = ìx = + t x y -1 z ï vµ D : 2) D- 2010 Trong kh«ng gian Oxyz, cho ®êng th¼ng D1: í y = t = = 2 ï îz = t Xác định tọa độ điểm M thuộc D1 cho khoảng cách từ M đến D Ta có: + M Î D1 , nên M ( + t; t; t ) + D qua A ( 2;1;0 ) và có vectơ phương v = ( 2;1;2 ) Do đó: AM = ( t + 1; t - 1; t ) ; év , AM ù = ( - t;2; t - 3) ë û év , AM ù 2t -10t + 17 2t -10t + 17 ë û suy Ta có: d ( M, D ) = =1 = v ét = Û t - 5t + = Û ê ët = Suy M ( 4;1;1) M ( 7;4;4 ) 12) A- 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x - y - z - = và mặt cầu ( S ) : x + y + z - x - y - z - 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn đó Bài giải: (S) có tâm I (1;2;3) , bán kính R = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (5) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 - -3- = < R ; suy đ.p.c.m Khoảng cách từ I đến (P): d ( I , ( P ) ) = Gọi H và r là tâm và bán kính đường tròn giao tuyến, H là hình chiếu vuông góc I trên (P): IH = d ( I , ( P ) ) = 3, r = R - IH = ì x = + 2t ï y = - 2t ï Tọa độ H ( x; y; z ) thỏa mãn: í ïz = - t ïî2 x - y - z - = Giải hệ ta H ( 3;0;2 ) 13) A-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x - y + z - = và x +1 y z + x -1 y - z +1 = = = = và D2: Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 -2 đường thẳng D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Bài giải: D qua A (1;3; -1) và có vectơ phương u = ( 2;1; -2 ) đường thẳng D1: M Î D1 Þ M ( -1 + t; t; -9 + 6t ) MA = ( - t;3 - t;8 - 6t ) , é MA, u ù = ( 8t - 14;20 - 14t; t - ) ë û Þ é MA, u ù = 29t - 88t + 68 ë û é MA, u ù ë û = 29t - 88t + 68 Khoảng cách từ M đến D : d ( M, D ) = u Khoảng cách từ M đến (P): d ( M, ( P ) ) = -1 + t - 2t + 12t - 18 - 12 + ( -2 ) + 2 = 11t - 20 ét = Þ 29t - 88t + 68 = Û 35t - 88t + 53 = Û ê 53 êt = ë 35 53 æ 18 53 ö t = Þ M ( 0;1; -3) ; t = Þ Mç ; ; ÷ 35 è 35 35 35 ø 11t - 20 14) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1;2;1) , B ( -2;1;3) , C ( 2; -1;1) và D ( 0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Bài giải: Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán hai trường hợp sau: Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD Vec tơ pháp tuyến (P): n = é AB, CDù ë û AB = ( -3; -1;2 ) , CD = ( -8; -4; -14 ) Þ n = ( -8; -4; -14 ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (6) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Phương trình (P): x + y + 7z - 15 = Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD Suy (P) cắt CD trung điểm I CD Ta có: I (1;1;1) Þ AI = ( 0; -1;0 ) ; vectơ pháp tuyến (P): n = é AB, AI ù = ( 2;0;3) ë û Phương trình (P): x + 3z - = Vậy (P): x + y + 7z - 15 = (P): x + 3z - = 15) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x - y + z - = và hai điểm A ( -3;0;1) , B (1; -1;3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoản g cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ Bài giải: Gọi D là đường thẳng cần tìm; D nằm mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P) Phương trình (Q): x - y + z + = B K, H là hình chiếu B lên D , (Q) Ta có BK ³ BH nên AH là đường thẳng cần tìm ì x -1 y +1 z - = = ï æ 11 ö Tọa độ H ( x; y; z ) thỏa mãn: í -2 Þ Hç- ; ; ÷ è 9 9ø H îï x - y + z + = A K æ 26 11 ö x + y z -1 Q = = AH = ç ; ; - ÷ Vậy phương trình D : 26 11 -2 è 9 9ø 16) D-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 2;1;0 ) , B (1;2;2 ) , C (1;1;0 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z - 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Bài giải: ìx = - t ï AB = ( -1;1;2 ) , phương trình AB : í y = + t ï z = 2t î D thuộc đường thẳng AB Þ D ( - t;1 + t;2t ) Þ CD = (1 - t; t;2t ) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): n = (1;1;1) Ta có: C không thuộc mặt phẳng (P) æ5 ö CD //( P) Û n.CD = Û (1 - t ) + 1.t + 1.2t = Û t = - Vậy D ç ; ; -1 ÷ è2 ø x +2 y-2 z = = 17) D-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: và mặt 1 -1 phẳng ( P ) : x + 2y - 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng D Bài giải: ìx +2 y-2 z = = ï Tọa độ giao điểm I D với (P) thỏa mãn hệ: í 1 -1 Þ I ( -3;1;1) ïî x + y - 3z + = Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): n = (1;2; -3) , vectơ phương D : u = (1;1; -1) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (7) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ phương v = [ n, u ] = (1; -2; -1) ì x = -3 + t ï Phương trình d : í y = - 2t ïz = - t î 18) A-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A ( 2;5;3) và d : x -1 y z - = = 2 a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng d b) Viết phương trình mp( a ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( a ) lớn Bài giải: a) Đường thẳng d có vectơ phương u = ( 2;1;2 ) Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên d, suy H (1 + 2t; t;2 + 2t ) ; AH = ( 2t - 1; t - 5;2t - 1) Vì AH ^ d suy AH.u = Û ( 2t - 1) + t - + ( 2t - 1) = Û t = Suy H ( 3;1;4 ) b) Gọi K là hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng ( a ) Ta có: d ( A, ( a ) ) = AK £ AH Do đó d ( A, ( a ) ) lớn Û AK = AH , hay K º H Suy ( a ) qua H và nhận AH = (1; -4;1) làm vectơ pháp tuyến Phương trình ( a ) là: 1( x - 3) - ( y - 1) + 1( z - ) = Û x - y + z - = 19) B-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A ( 0;1;2 ) , B ( 2; -2;1) , C ( -2;0;1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng x + y + z - = cho MA = MB = MC Bài giải: a) Ta có: AB = ( 2; -3; -1) , AC = ( -2; -1; -1) Þ n = é AB, AC ù = ( 2;4; -8 ) ë û Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C nhận n làm vetơ pháp tuyến nên có phương trình: ( x - ) + ( y - 1) - ( z - ) = Û x + y - z + = b) Ta có AB AC = nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) trung điểm I ( 0; -1;1) BC ì2 x + y + z - = ï Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình: í x y + z - ïî = = -4 Suy M ( 2;3; -7 ) 20) D-2008 Trong không gian Oxyz ,cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài giải: a) Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: x + y + z + ax + by + 2cz + d = ( * ) a + b + c - d > (**) ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net ) Tổ Toán THPT Phong Điền (8) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 ì6 a + b + d = -18 ï ï6 a + 6c + d = -18 Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta hệ phương trình: í ï6 b + 6c + d = -18 îï6 a + b + 6c + d = -27 Giải hệ phương trình trên và đối chiếu điều kiện (**) ta phương trình mặt cầu: x + y + z - x - y - 3z = æ3 3ö b) Mặt cầu qua A, C, C, D có tâm I ç ; ; ÷ è2 2ø ( ) Gọi phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C là: mx + ny + pz + q = m + n + p > Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình ta được: ì3m + 3n + q = ï í3m + p + q = Þ m = n = p = - q ¹ ï3n + p + q = î Do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: x + y + z - = Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là hình chiếu vuông góc H điểm I trên mặt phẳng (ABC) 3 xyz2 = = Phương trình đường thẳng IH: 1 ìx + y + z - = ïï Tọa đọ điểm H là nghiệm hệ phương trình í x - y - z - = = ï ïî 1 Giải hệ trên ta H ( 2;2;2 ) 21) Dự bị A 1-2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ì5 x - y - z + 13 = x -3 y-3 z -3 d1 : = = ; d2 : í 2 î x - y + 6z - = a) Chứng minh d1 và d2 cắt b) Gọi I là giao điểm d1 và d2 Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc d1 , d2 cho tam giác IAB cân I và có diện tích 41 42 Bài giải: a) Tọa độ giao điểm d1 và d2 ( có )là nghiệm hệ phương trình: ìx -3 y-3 z -3 ï = = ìx = ï ï í5 x - y - z + 13 = Û í y = Vậy d1 cắt d2 giao điểm I (1;1;2 ) ï x - y + 6z - = ïz = î ï î Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (9) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN b) d1 qua điểm M1 ( 3;3;3) có vectơ phương u1 = (2;2;1) ; Luyện thi Đại học 2013 d2 là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến là n1 = (5; -6; -6) ; n2 = (1; -6;6) nên có vectơ phương là [ n1 ; n2 ] = ( -72; -36; -24 ) Chọn vectơ phương là u2 = (6;3;2) Gọi j là góc hai đường thẳng d1 và d2 u1.u2 20 41 Ta có: Þ sin j = - cos2 j = cos j = = 21 u1 u2 21 41 41 = Þ a =1 Giả sử IA = IB = a > Diện tích tam giác IAB là S = IA IB.sin j = a 42 42 Vậy A nằm trên mặt cầu (S) tâm I bán kính 1: (S) : ( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = ì x = + 2t ï y = + 2t ï Ta có A = d1 Ç ( S ) nên tọa độ A là nghiệm hệ phương trình í ïz = + t ïî( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = ì x = + 2t 5 é = Þ = ; = ; = t x y z ï y = + 2t ê ï 3 3 Ûí Þê êt = - Þ x = ; y = ; z = ïz = + t ïî(2t + 2)2 + (2t + 2)2 + (t + 1)2 = êë 3 3 và B = d2 Ç ( S ) nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình ì x = + 6t ì x = + 6t 13 10 16 é t = Þ x = ; y = ;z = ï y = + 3t ï y = + 3t ê ï ï 7 7 Û í Þê í êt = -1 Þ x = ; y = ; z = 12 ï z = + 2t ï z = + 2t ïî( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = ïî(6t )2 + (3t )2 + (2t )2 = êë 7 7 Vậy có cặp điểm A, B cần tìm là: æ 5 ö æ 13 10 16 ö æ 5 ö æ 12 ö Aç ; ; ÷ ; B ç ; ; ÷ Aç ; ; ÷ ; B ç ; ; ÷ è3 3ø è 7 ø è3 3ø è7 7 ø æ 1 ö æ 13 10 16 ö æ 1 ö æ 12 ö Hoặc A ç ; ; ÷ ; B ç ; ; ÷ Aç ; ; ÷ ; B ç ; ; ÷ è3 3ø è 7 ø è3 3ø è 7 ø 22) Dự bị A 2-2008 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 3y - 3z + = , x -3 y z +5 = = đường thẳng d1 : và điểm A ( 4;0;3) , B ( -1; -1;3) , C ( 3;2;6 ) a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính lớn Bài giải: a) Gọi mặt cầu (S) cần tìm có phương trình ( S ) : x + y + z + ax + by + 2cz + d = có tâm I ( -a; -b; -c ) Ta có: A, B, C thuộc (S) và I thuộc (P) nên ta có hệ phương trình: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (10) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 ì8a + 6c + d + 25 = ì8a + 6c + d + 25 = ìa = -1 ï-2 a - b + 6c + d + 11 = ï10a + b + 14 = ïb = -2 ï ï ï Ûí Ûí í ï6 a + b + 12c + d + 49 = ï-2 a + b + 6c + 24 = ïc = -3 ïî-2 a - 3b + 3c + = ïîd = îï-2 a - 3b + 3c + = Phương trình mặt cầu: ( S ) : x + y + z - x - y - z + = có tâm I (1;2;3) b) Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính lớn là mặt phẳng qua tâm I mặt cầu Đường thẳng d qua điểm M(3;0;–5) và có vectơ phương u = (2;9;1) , IM = ( 2; -2; -8 ) Þ é IM, u ù = ( 70; -18;22 ) ë û Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n = ( 35; -9;11) nên có phương trình (Q): 35 ( x - 1) - ( y - ) + 11( z - 3) = Û 35x - y + 11z - 50 = 23) Dự bị B 1-2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d1 : A ( 5;4;3) , B ( 6;7;2 ) x -3 y z +5 = = và hai điểm a) Viết phương trình đường thẳng d2 qua hai điểm A, B Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo b) Tìm điểm C thuộc d1 cho tam giác ABC có diện tích nhỏ Tính giá trị nhỏ đó Bài giải: a) Đường thẳng d1 qua điểm M ( 3;0;5) và nhận u1 = (2;9;1) làm vectơ phương Đường thẳng d2 qua điểm A ( 5;4;3) và nhận u2 = AB = (1;3; -1) làm vectơ phương nên có x -5 y-4 z -3 = = phương trình d2 : Ta có: MA = (2;4;8) và [ u1 , u2 ] = (-12;3; -3) Þ [ u1 , u2 ] MA = -24 + 12 - 24 = -36 ¹ Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo b) Ta có: C thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ C(3 + 2t;9t; -5 + t ) và AC = (2t - 2;9t - 4; t - 8) Þ é AB, AC ù = (12t - 28; -3t + 10;3t + 2) Þ é AB, AC ù = 162t - 720t + 888 ë û ë û 162t - 720t + 888 S ABC = é AB, AC ù = û 2ë Diện tích nhỏ t = 20 25 ö æ 67 Þ C ç ;20; - ÷ và Smin = 22 (đ.v.d.t) 9 ø è ìx - y + = 24) Dự bị B 2-2008 Cho điểm A (1;0; -1) , B ( 2;3; -1) , C (1;3;1) và d: í îx + y + z = a) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d cho thể tích tứ diện ABCD b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua trực tâm H tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài giải: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 10 (11) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN a) AB = (1;3;0); AC = (0;3;2) Þ é AB, AC ù = (6; -2;3) ë û Phương trình mặt phẳng (ABC): x - y + 3z - = Diện tích tam giác ABC : S ABC = éë AB, AC ùû = 2 3V = Gọi h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) : h = S ABC Luyện thi Đại học 2013 ìx - y + = Từ phương trình đường thẳng d: í x + y + z = î Ta có M ( 0;1;3) , N ( -1;0;5) Þ NM = (1;1; -2 ) ìx = t ï Phương trình đường thẳng d: í y = + t ï z = - 2t î Ta có: D Î d Þ D ( t;1 + t;3 - 2t ) Do h = ét = é D(5;6; -7) | - 2t | Þ = Þê Þê 7 ët = -1 ë D(-1;0;5) b) Gọi H ( a; b; c ) là tọa độ trực tâm tam giác ABC: AH = (a - 1; b; c + 1) ; BH = (a - 2; b - 3; c + 1) ; BC = (-1;0;2) ; AC = (0;3;2) Ta có hệ phương trình ì AH BC = ì- a + 2c + = 85 135 -31 ïï ï ; c= Þa= ; b= í BH AC = Þ í3b + 2c - = 49 49 49 ï H Î ( ABC) ï6 a - b + 3c - = î ïî 85 ì ï x = 49 + 6t ï 135 ï - 2t Phương trình đường thẳng cần tìm í y = 49 ï -31 ï ï z = 49 + 3t î x -1 y -1 z = = 25) Dự bị D-2008 Cho mặt phẳng (a): x - y + z + = và: d : -2 a) Tìm tọa độ giao điểm d với (a) Tính sin góc d và (a) b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (a) và (Oxy) Bài giải: a) Tọa độ giao điểm đường thẳng d và mp(a) là nghiệm hệ phương trình : ì2 x - y - = ìx = / ì x -1 y -1 z = = ï ï ï æ3 ö Û í y = Þ A ç ;2; -1 ÷ -2 Û í y + z - = í è2 ø ï ï îï2 x - y + z + = î2 x - y + z + = î z = -1 d có VTCP u = (1;2; -2) ; (a) có vectơ pháp tuyến n = (2; -1;2) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 11 (12) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 u.v Gọi j là góc d và (a) Þ sin j = = u.v b) Tọa độ giao điểm đường thẳng d và mp(Oxy) là nghiệm hệ phương trình : ìx = ì x -1 y -1 z = = ï ï -2 Û í y = Þ B (1;1;0 ) í ï îï z = îz = Mặt cầu có tâm I thuộc d tiếp xúc với (a) và (Oxy) Þ Tâm I là trung điểm AB æ5 1ö Tâm I ç ; ; - ÷ bán kính R = d ( I ;(Oxy) ) = è4 2ø 2 5ö æ 3ö æ 1ö æ Phương trình mặt cầu cần tìm ( S ) : ç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z + ÷ = 4ø è 2ø è 2ø è ì x = -1 + 2t ï và d2 : í y = + t ïz = î x y -1 z + = 26) A-2007 Trong không gian Oxyz, cho d1 : = -1 a) Chứng minh d1 và d2 chéo b) Viết phương trình đườ ng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y - z = và cắt hai đường thẳng d1 và d2 Bài giải: a) + d1 qua M ( 0;1; -2 ) , có vectơ phương u1 = ( 2; -1;1) , + d2 qua N ( -1;1;3) , có vectơ phương u2 = ( 2;1;0 ) Ta có [ u1 , u2 ] = ( -1;2;4 ) và MN = ( -1;0;5) [ u1, u2 ] MN = 21 ¹ Þ d1 và d2 chéo b) Giả sử d cắt d1 và d2 A, B Vì A Î d1 , B Î d2 nên A ( 2s;1 - s; -2 + s ) , B ( -1 + 2t;1 + t;3) Þ AB = ( 2t - 2s - 1; t + s; -s + 5) (P) có vec tơ pháp tuyến n = ( 7;1; -4 ) Ta có AB ^ ( P ) Û AB cùng phương với n ì5t + 9s + = ìs = 2t - 2s - t + s -s + = = Ûí Ûí -4 î4t + 3s + = ît = -2 x - y z +1 = = Phương trình d là: -4 27) B-2007 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z - x + y + z - = và mặt Û phẳng ( P ) : x - y + z - 14 = a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm toạ độ M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn Bài giải: 2 a) (S): ( x - 1) + ( y + ) + ( z + 1) = có tâm I (1; -2; -1) và bán kính R = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 12 (13) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo tròn có bán kính R = 3 nên (Q) chứa I (Q) có cặp vectơ phương là: OI = (1; -2; -1) , i = (1;0;0 ) Þ vectơ pháp tuyến (Q) là: n = ëéOI , i ûù = ( 0; -1;2 ) Phương trình (Q) là: ( x - ) - ( y - ) + ( z - ) = Û y - z = b) Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) Đường thẳng d cắt (S) hai điểm A, B Nhận xét: Nếu d ( A, ( P ) ) ³ d ( B, ( P ) ) thì d ( M, ( P ) ) lớn M º A x -1 y + z +1 = = -1 Tọa độ giao điểm d và (S) là nghiệm hệ phương trình: ì x -1 y + z +1 ï = -1 = í 2 ï î( x - 1) + ( y + ) + ( z + 1) = Giải hệ ta tìm hai giao điểm A ( -1; -1; -3) , B ( 3; -3;1) Phương trình đường thẳng d: Ta có: d ( A, ( P ) ) = ³ d ( B, ( P ) ) = Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn M ( -1; -1; -3) 28) D- 2007 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; ) , B ( -1; 2; ) và đường x -1 y + z = = -1 a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D cho MA2 + MB nhỏ Bài giải: a) Tọa độ trọng tâm: G ( 0;2;2 ) Ta có: OA = (1;4;2 ) , OB = ( -1;2;4 ) Vectơ phương d là: n = (12; -6;6 ) = ( 2; -1;1) thẳng D : x y-2 z-2 = = -1 b) Vì M Î D Þ M (1 - t; -2 + t;2t ) Þ MA2 + MB = 12t - 48t + 76 = 12 ( t - ) + 28 ³ 28 Phương trình đường thẳng d: Ta có: MA2 + MB nhỏ Û t = Khi đó M ( -1;0;4 ) 29) Dự bị 1-A-2007 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-1;3;-2), B(-3;7;-18) và mp ( P ) : x - y + z + = a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho MA +MB nhỏ Bài giải: a) Ta có AB = (-2;4; -16) cùng phương với a = ( -1;2; -8 ) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = ( 2; -1;1) Ta có [ n, a ] = ( 6;15;3) cùng phương với (2;5;1) Phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) là: ( x + 1) + ( y - 3) + 1( z + ) = Û x + 5y + z - 11 = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 13 (14) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 b) Vì khoảng cách đại số A và B cùng dấu nên A, B cùng phía với mặt phẳng (P) Gọi A' là x +1 y - z + = = điểm đối xứng với A qua (P) Phương trình AA' : -1 ì2 x - y + z + = ï Ta có AA' cắt (P) H, tọa độ H là nghiệm hệ: í x + y - z + Þ H (1;2; -1) = = -1 îï ì2 x H = x A + x A ' ï Vì H là trung điểm AA' nên ta có: í2 yH = y A + y A ' Þ A ' ( 3;1;0 ) ï î2 z H = z A + z A ' Ta có A ' B = (-6;6; -18) (cùng phương với (1; -1;3) ) Phương trình đường thẳng A'B : x - y -1 z = = -1 ì2 x - y + z + = ï Vậy tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình: í x - y - z Þ M ( 2;2; -3) = = -1 îï 30) Dự bị 2-A-2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) , ì6 x - y + z = C ( 2;4;6 ) và đường thẳng d: í î6 x + y + z - 24 = a) Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo b) Viết phương trình đường thẳng D // d và cắt các đường thẳng AB, OC Bài giải: a) Ta có vectơ phương đường thẳng AB là (-2;4;0) hay a = (-1;2;0) , vectơ phương đường thẳng OC là (2;4;6) hay b = (1;2;3) và OA = (2;0;0) cùng phương với c = (1;0;0) Lúc đó: é a, b ù c = ¹ Û AB và OC chéo ë û b) Đường thẳng d có vectơ phương ( -12;0;36 ) hay u = ( -1;0;3) Ta có é a, u ù = ( 6;3;2 ) ë û Phương trình mặt phẳng (a) qua A, có PVT é a, u ù : ë û (a ) : ( x - ) + ( y - ) + ( z - ) = Û x + 3y + z - 12 = Ta có é b, u ù = ( 3; -3;1) ë û Phương trình mặt phẳng (b) qua O có vectơ pháp tuyến là n = ( 3; -3;1) : ( b ) : 3x - 3y + z = ì6 x + 3y + z - 12 = Vậy phương trình đường thẳng D song song với d cắt AB, BC là: í î3x - 3y + z = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 14 (15) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 31) Dự bị 1–B-2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A ( -3;5; -5) , B ( 5; -3;7 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z = a) Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) b) Tìm điểm M thuộc (P) cho MA2 + MB nhỏ Bài giải: a) Đường thẳng AB có VTCP a = ( 8; -8;12 ) = ( 2; -2;3) ì x = -3 + 2t ï Phương trình đường thẳng AB: í y = - 2t ï î z = -5 + 3t Điểm I ( -3 + 2t;5 - 2t; -5 + 3t ) Î AB Ç ( P ) ( -3 + 2t ) + ( - 2t ) + ( -5 + 3t ) = Û t = Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) I ( -1;3; -2 ) b) Gọi H là trung điểm đoạn AB AB 2 2 Do đó MA + MB nhỏ Û MH nhỏ Ta để thấy H (1;1;1) , M Î ( P ) Tam giác MAB có trung tuyến MH nên: MA2 + MB = MH + Suy MH nhỏ Û MH ^ (P) và để ý mặt phẳng (P): x + y + z = có vectơ pháp OH = (1;1;1) và OÎ (P) Þ M º O ( 0;0;0 ) Vậy, với M(0, 0, 0) thì MA2 + MB2 nhỏ (khi đó, ta có min(MA2 + MB2) = OA2 + OB2 = (9 + 25 + 25) + (25 + + 49) = 142) 32) Dự bị 1- B- 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A ( 2;0;0 ) , M ( 0; -3;6 ) a) Chứng minh mặt phẳng ( P ) : x + y - = tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO Tìm toạ độ tiếp điểm b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz các điểm tương ứng B, C cho VOABC = (đ.v.t.t ) Bài giải: a) Theo giả thiết A ( 2;0;0 ) , M ( 0; -3;6 ) , O ( 0;0;0 ) Bán kính mặt cầu R = MO = ( -3) + 62 = Khoảng cách từ tâm M mặt cầu đến mặt phẳng (P): x + y - = d ( M, ( P ) ) = 0-6-9 15 =3 = R 5 Vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là: ìx = t ìx y+3 ï = ï Û í y = -3 + 2t (t Î R) í1 ïî z = ï îz = = Thế vào phương trình (P) ta có: t + ( 2t - 3) - = Û t = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 15 (16) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Vậy tọa độ tiếp điểm I mặt cầu với mặt phẳng (P) là t ( 3;3;6 ) Luyện thi Đại học 2013 b) Gọi b là tung độ B, c là cao độ điểm C x y z Vì A ( 2;0;0 ) Î Ox nên phương trình (Q): + + = b c Ta có M ( 0; -3;6 ) Î mặt phẳng (yOz) nên: - + = Û b - 3c = bc (1) b c bc = Þ bc = (2) Ta lại có VOABC = OA.SOBC = bc = 3 ìbc = ìbc = -9 hay í Từ (1) và (2) ta có í î6 b - 3c = î6 b - 3c = -9 ì ïb = Û b = c = hay í îïc = -6 x y z x 2y z + + = - = 3 x - y + z +1 = = 33) Dự bị 1- D-2007 Cho đường thẳng d : và mp ( P ) : x + y + z + = -1 a) Tìm giao điểm M d và P b) Viết phương trình D Ì ( P) cho D ^ d và d ( M, D ) = 42 Vậy có mặt phẳng (Q) có phương trình là: Bài giải: a) Tìm giao điểm M đường thẳng d và mặt phẳng (P) ì x = + 2t ï Phương trình số d: í y = -2 + t có vec tơ phương là a = ( 2;1; -1) ï z = -1 - t î Thế vào phương trình (P): ( + 2t ) + ( -2 + t ) + ( -1 - t ) + = Û t = -1 Þ M (1; -3;0 ) Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có vectơ pháp tuyến là nQ = é a, n P ù = ( 2; -3;1) ë û Suy phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là: Q ( Q ) : ( x - 1) - ( y + 3) + 1( z - ) = Û x - 3y + z - 11 = b) Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu d lên mp(P) là: ìx + y + z + = d': í có vectơ phương a d ' = ( 4;1; -5) î2 x - y + z - 11 = d N M ì x = + 4t ï Þ Phương trình tham số d': í y = -3 + t ï z = -5t î Trên d' tìm điểm N cho MN = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO d' P D 42 Vì N Î d ' Þ N ( 4t + 1; -3 + t; -5t ) (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 16 (17) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ét = 2 MN = ( 4t ) + t + ( -5t ) = 42t = 42 Þ t = Û ê ët = -1 Luyện thi Đại học 2013 * Với t = Þ N2 ( 5; -2; -5) Đường thẳng D1 qua N1 nằm (P), vuông góc d' có vectơ phương a D1 = é n P , a d ' ù = ( -6;9; -3) = -3 ( 2; -3;1) ë û x -5 y+2 z+5 = = Vậy phương trình D1: -3 * Với t = -1 Þ N2 ( -3; -4;5) Đường thẳng D2 qua N2 nằm (P), vuông góc d' có vectơ phương a D2 = é n P , a d ' ù = -3 ( 2; -3;1) ë û x +3 y+4 z-5 = = Vậy phương trình D2: -3 34) Dự bị 1- D-2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp(P): x - y + z - = và x -1 y - z x -5 y z+5 = = ; d2 : = = đường thẳng d1 : -3 -5 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) vuông góc với (P) b) Tìm các điểm M Î d1 , N Î d cho MN // (P) và cách (P) khoảng Bài giải: a) d1 qua A (1;3;0 ) và có vectơ phương a = ( 2; -3;2 ) Mặt phẳng (P) có PVT nP = (1; -2;2 ) Mặt phẳng (Q) chứa d1 và ^ (P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến nQ = é a, nP ù = ( -2; -2; -1) ë û Vậy (Q) qua A có vectơ pháp tuyến nQ = ( -2; -2; -1) nên phương trình (Q): -2 ( x - 1) - ( y - 3) - 1( z - ) = Û x + y + z - = ì x = + 2t ï b) Phương trình trình tham số d1: í y = - 3t Do M Î d1 Þ M (1 + 2t;3 - 3t;2t ) ï z = 2t î ì x = + 6t ' ï Do M Î d2 Þ N ( + 6t ';4t '; -5 - 5t ' ) Phương trình tham số d2: í y = 4t ' ï z = -5 - 5t ' î Vậy MN = ( 6t '- 2t + 4;4t '+ 3t - 3; -5t '- 2t - 5) Mặt phẳng (P) có PVT nP = (1; -2;2 ) Vì MN // (P) Û MN.nP = Û 1( 6t '- 2t + ) - ( 4t '+ 3t - 3) + ( -5t '- 2t - 5) = Û t = -t ' Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) d(M, P) vì MN // (P) + 2t - ( - 3t ) + ( 2t ) - 1+ + é -6 + 12t = ét = Ûê = Û -6 + 12t = Û ê ë -6 + 12t = -6 ët =0 * Với t = Þ t ' = -1 Þ M1 ( 3;0;2 ) , N1 ( -1; -4;0 ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 17 (18) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN * Với t = Þ t ' = Þ M1 (1;3;0 ) , N1 ( 5;0; -5) Luyện thi Đại học 2013 35) A- 2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A ( 0;0;0 ) , B (1;0;0 ) , D ( 0;1;0 ) , A ' ( 0;0;1) Gọi M và N là trung điểm AB và CD a) Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C và MN b) Viết phương trình mp chứa A'C và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc a biết cos a = Bài giải: a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C và song song với MN Khi đó: d ( A ' C, MN ) = d ( M, ( P ) ) æ1 ö æ1 ö Ta có: C (1;1;0 ) , M ç ;0;0 ÷ , N ç ;1;0 ÷ Þ A ' C = (1;1; -1) , MN = ( 0;1;0 ) è2 ø è2 ø Þ é A ' C, MN ù = (1;0;1) ë û Mặt phẳng (P) qua điểm A ' ( 0;0;1) , có vec tơ pháp tuyến là n = (1;0;1) , có phương trình là: ( x - ) + ( y - ) + ( z - 1) = Û x + z - = Vậy d ( A ' C, MN ) = d ( M, ( P ) ) = + -1 = 2 + +1 b) Gọi mặt phẳng cần tìm là (Q): ax + by + cz + d = a + b + c > 2 ( ) ìc + d = Û c = -d = a + b Vì (Q) qua A ' ( 0;0;1) và C (1;1;0 ) nên: í + + = a b d î Do đó, phương trình (Q) có dạng: ax + by + ( a + b ) z - ( a + b ) = Mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp tuyến n = ( a; b; a + b ) , mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến k = ( 0;0;1) 1 nên cos n, k = Vì góc (Q) và (Oxy) là a mà cos a = 6 a+b é a = -2 b Û = Û ( a + b ) = a + b + ab Û ê ë b = -2 a a2 + b2 + ( a + b ) ( ) ( ) Với a = -2 b , chọn b = -1 , mặt phẳng ( Q1 ) : x - y + z - = Với b = -2 a , chọn a = , mặt phẳng ( Q2 ) : x - y - z + = 36) B-2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;1;2 ) và hai đường thẳng: ìx = + t ï d1 : í y = -1 - 2t ; ï î z = + t d2 : x y -1 z +1 = = -1 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ,đồng thời song song với d1 và d2 b) Tìm toạ độ điểm N thuộc d1 và điểm M thuộc d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng Bài giải: a) Vectơ phương d1 và d2 là: u1 = ( 2;1; -1) và u2 = (1; -2;1) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 18 (19) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Þ Vectơ pháp tuyến (P) là: Vectơ n = [ u1 , u2 ] = ( -1; -3; -5) Luyện thi Đại học 2013 Vì (P) qua A ( 0;1;2 ) Þ ( P ) : x + 3y + 5z - 13 = Do B ( 0;1; -1) Î d1 , C (1; -1;2 ) Î d2 B, C Ï ( P ) nên d1 , d2 // ( P ) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): x + 3y + 5z - 13 = b) Vì M Î d1 , N Î d2 nên M ( m;1 + m; -1 - m ) , N (1 + n; -1 - n;2 + n ) Þ AM = ( m; m; -3 - m ) , AN = (1 + n; -2 - n; n ) Þ é AM, AN ù = ( -mn - m - n - 6; -3mn - m - 3n - 3; -5mn - 5m ) ë û A, M, N thẳng hàng Û é AM, AN ù = Û m = 0, n = -1 Þ M ( 0;1; -1) , N ( 0;1;1) ë û 37) D-2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;3) và hai đường thẳng: x -2 y+2 z -3 x -1 y -1 z +1 = = ; d2 : = = -1 -1 a) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 b) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 d1 : Bài giải: a) Mặt phẳng ( a ) qua A (1;2;3) và vuông góc với d1 , có phương trình là: ( x - 1) - ( y - ) + ( z - 3) = Û x - y + z - = Tọa độ giao điểm H d1 và ( a ) là nghiệm hệ: ìx = ìx -2 y+2 z -3 = = ï ï -1 Û í y = -1 Þ H ( 0; -1;2 ) í ïî2 x - y + z - = ï îz = Vì A’ đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm AA’ Þ A ' ( -1; -4;1) b) Vì D qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 , nên D qua giao điểm B d2 và ( a ) Tọa độ giao điểm B d2 và ( a ) là nghiệm hệ: ìx = ì x -1 y -1 z +1 = = ï ï Û í y = -1 Þ B ( 2; -1; -2 ) í -1 ïî2 x - y + z - = ï î z = -2 Vectơ phương D là: u = AB = (1; -3; -5) x -1 y - z - = = -3 -5 38) Dự bị 1- A- 2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , C ( 0;2;0 ) , A ' ( 0;0;2 ) a) Chứng minh A'C vuông góc với BC' Viết phương trình mặt phẳng (ABC') b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng B'C' trên mặt phẳng (ABC') 39) Dự bị 2- A- 2006 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( a ) : 3x + y - z + = và hai Phương trình D là: điểm A ( 4;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB a) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (a ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 19 (20) Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 b) Xác định toạ độ K cho KI vuông góc với mặt phẳng (a ) , đồng thời K cách gốc toạ độ O và mặt phẳng (a ) 40) Dự bị 1- B- 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ìx = + t x - y -1 z ï = = d1 : í y = -1 - t ; d2 : -1 ïz = î a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với đường d2 b) Xác định điểm A trên d1 và điểm B trên d2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ 41) Dự bị - B- 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mp ( P ) : x - y + z + = và các điểm A ( 0;0;4 ) , B ( 2;0;0 ) a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 42) Dự bị 1- D-2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp(P): x - 3y + 11z - 26 = và x y - z +1 x -4 y z -3 = = ; d2 : = = hai đường thẳng d1 : -1 1 a) Chứng minh d1 và d2 chéo b) Viết phương trình đường thẳng D Ì ( P) , đồng thời cắt d1 và d2 x -1 y + z - = = 43) A-2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : và -1 mặt phẳng ( P ) : x + y - z + = a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng D nằm mặt phẳng (P), biết D qua A và vuông góc với d Bài giải: ìx = 1- t ï a) Phương trình tham số d: í y = -3 + 2t ï îz = + t Ta có: I Î d Þ I (1 - t ; -3 + 2t ;3 + t ) , d ( I , ( P ) ) = -2t + ét = Þ d ( I ,( P) ) = Û 1- t = Û ê ët = -2 Vậy có hai điểm I1 ( -3;5;7 ) , I ( 3; -7;1) b) Vì A Î d Þ A (1 - t ; -3 + 2t ;3 + t ) Ta có A Î ( P ) Û (1 - t ) + ( -3 + 2t ) - ( + t ) + = Û t = Vậy A ( 0; -1; ) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = ( 2;1; -2 ) Đường thẳng d có vectơ phương u = ( -1; 2;1) Vì D Ì ( P ) và D ^ d nên D có vectơ phương uD = [ n , u ] = ( 5;0;5 ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền 20 (21)