Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC... KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN Câu I.1 * TXĐ: R 1 điểm Sự biến thiên:.[r]
(1)ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐĂNG NĂM 2010-2011 TRƯỜNG THPT PHÚC THÀNH Môn : Toán Khối A-D TỔ TOÁN-TIN (Thời gian làm bài: 180 phút) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm ) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = -x3+3x2+1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm m để phương trình x3-3x2 = m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt Câu II (2,0 điểm ) SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG Giải bất phương trình: 2.Giải phương trình: x4 x4 x x 16 3 sin x sin x tan x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I ln e ln e x dx x 1 ex Câu IV (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= a Đáy là tam giác ABC cân BAC 1200 , cạnh BC=2a Tính thể tích khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Câu V (1,0 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: a 1 1 b3 c a b c 3bc ca ab 2 a b c II PHẦN RIÊNG (2,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần a b Câu VI.a(2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x y x y và điểm A(4;5) Chứng minh A nằm ngoài đường tròn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) T1, T2, viết phương trình đường thẳng T1T2 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x + y - 2z + = và mặt cầu (S): x y z x y z Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P) Câu VI.b(2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân A có chu vi 16, A,B thuộc đường thẳng d: 2 x y 2 và B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm tam giác ABC Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A tam giác ABC hết -Họ và tên thí sinh Lop12.net Số báo danh (2) KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN Câu I.1 * TXĐ: R (1 điểm) Sự biến thiên: Nội Dung Điểm y' = -3x2 + 6x = -3x(x - 2) 0,25 x y' = x * Hàm số nghịch biến trên (-∞;0) và (2;+∞) Hàm số đồng biến trên (0;2) Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = lim y = + ∞, lim y = - ∞ * x x Bảng biến thiên: x y' -∞ 0 - + +∞ 0,25 +∞ - y -∞ 0,25 *Đồ thị: y'' = -6x + y'' = x = I(1;3) là tâm đối xứng đồ thị Điểm khác : (-1;5) ; (3;1) 0,25 Vẽ đúng , đường cong trơn I.2 * PT đã cho -x3 + 3x2 + = -m3 + 3m2 + Đặt k = -m3 + 3m2 + (1 điểm) * Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đt y = k * Từ đồ thị (C ) ta có: PT có nghiệm phân biệt < k < m (-1;3)\ 0; 2 * II.1 x * Đk: x Đặt t = (1 điểm) x 0,25 0,25 0,25 0,25 x x (t > 0) t 2( L) BPT trở thành: t2 - t - t x (a) 9 - 2x * Với t x 16 - 2x x (b) 9 - 2x 2 4( x 16) (9 x) 0,25 0,25 0,25 Lop12.net (3) * * 145 x< (b) 36 (a) x 0,25 145 *Tập nghệm BPT là: T= ; 36 II.2 * Đk: cosx x k (1 điểm) s inx PT đã cho sin2x + sinxcosx =0 0,25 cos x * sinx( sinx + cosx - )=0 cos x s inx s inx cos x cosx * Sinx = x = k 1 * sinx + cosx = tanx + =0 cos x cos x x k t anx tan x - tanx = x k t anx 3 Vậy PT có các họ nghiệm: x = k , x = k III * Đặt t = e x , Khi x = ln2 t = (1 điểm) x = ln3 t = x x e = t + e dx = 2tdt * 0,25 0,25 0,25 (t 2)tdt 2t = (t )dt t t t t 0 I = 2 0,25 0,25 * d (t t 1) = (t 1)dt + t t 1 0 0,25 * = (t 2t ) 10 0,25 IV * (2 điểm) + 2ln(t2 + t + 1) 10 = 2ln3 - Áp dụng định lí cosin ABC có AB = AC = 2a a2 = AB.AC.sin120 = Gọi H là hình chiếu S S ABC lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC HA = HB = HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 2a BC * Theo định lí sin ABC ta có: = 2R R = = HA sin A Lop12.net 0,25 0.25 0.25 0,25 (4) SHA vuông H SH = SA2 HA2 = 0.25 a a2 = S SH = V S ABC ABC * Gọi hA, hM là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) 0,25 hM SM 1 h M = hA hA SA 2 SBC vuông S S SBC = a2 S * Lại có: VS ABC = hA hA = SBC Vậy hM = d(M;(SBC)) = 3VS ABC a = VSBC 0,25 a V * Ta cm với a, b > có a3 + b3 a2b + ab2 (*) (1 điểm) Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) (a + b)(a - b)2 đúng Đẳng thức xẩy a = b * Từ (*) a3 + b3 ab(a + b) b3 + c3 bc(b + c) c3 + a3 ca(c + a) 2(a3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) * Áp dụng BĐT co si cho số dương ta có: 1 1 1 + + 33 3 = a b c a b c abc 0,25 0,25 (1) (2) * Nhân vế với vế (1) và (2) ta BĐT cần cm Đẳng thức xẩy a = b = c VI.a.1 * Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = (1 điểm) Ta có IA = > R A nằm ngoài đường tròn (C) * Xét đường thẳng 1 : x = qua A có d(I; 1 ) = 1 là tiếp tuyến (C) * 1 tiếp xúc với (C ) T1(4;1) * T1T2 IA đường thẳng T1T2 có vtpt n = IA =(1;2) phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1) x + 2y - = VI.a.2 * Mp(P) có vtpt n P = (1;1;-2) (1 điểm) (S) có tâm I(1;-2;-1) * IA = (2;1;2) Gọi vtcp đường thẳng là u tiếp xúc với (S) A u IA Vì // (P) u n P Lop12.net 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) 0,25 * Chọn u = [ IA , n P ] = (-4;6;1) x 4t * Phương trình tham số đường thẳng : y 1 6t z 1 t VI.b.1 * B = d Ox = (1;0) (1 điểm) Gọi A = (t;2 t - 2 ) d H là hình chiếu A trên Ox H(t;0) H là trung điểm BC * Ta có: BH = |t - 1|; AB = (t 1)2 (2 2t 2)2 3|t - 1| ABC cân A chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| t * 16 = 8|t - 1| t 1 0,25 0,25 0,25 0,25 ) 4 Với t = -1 A(-1;-4 ), B(1;0), C(-3;0) G( 1 ; ) * Với t = A(3;4 ), B(1;0), C(5;0) G( ; VI.b.2 * Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A ABC d là giao tuyến (ABC) với ( ) qua A và vuông góc với (1điểm) BC AC = (-1;1;-5) , BC = (-2;-2;-2) * Ta có: AB = (1;3;-3), [ AB , AC ] = (18;8;2) [ AB , AC ] = (-3;2;1) mp( ) có vtpt n ' = - BC = (1;1;1) 0,25 0,25 0,25 mp(ABC) có vtpt n = * Đường thẳng d có vtcp u =[ n , n ' ] = (1;4;-5) * Phương trình đường thẳng d: x 1 t y 2 4t z 5t Lop12.net 0,25 0,25 (6)