2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C, biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của C đến tiếp tuyến là lớn nhất.. 2 Giải hệ phương trình:.[r]
(1)Trường THPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN Đề số 14 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 2x x +2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến là lớn Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: æ æ pö pö cos2 x tan ç x - ÷ tan ç x + ÷ = 4ø ø tan x - cot x è è ì y +2 =1 ï 2 x ï x + y -1 í ï x + y + x = 22 ïî y Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= I =ò ln x x +1 dx Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa AB và qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a Câu V (1 điểm): Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : < a £ 1; < b £ 1; < c £ Chứng minh rằng: æ ö 1 ç1 + ÷ (a + b + c) ³ + + + a b c è abc ø II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): ( ) ( ) æ 7ö è 3ø 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A -3; , trực tâm H 2;1 , trọng tâm G ç ; ÷ Xác định toạ độ các đỉnh B và C 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z2 - x + y - 8z - = và mặt phẳng (a ) : x - y + z - = Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) và mặt phẳng (a ) Viết phương trình mặt cầu (S¢) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (a ) Câu VII.a (1 điểm): Một đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, nam, đó có danh thủ nam là Vũ Mạnh Cường và danh thủ nữ là Ngô Thu Thủy Người ta cần lập đội tuyển bóng bàn quốc gia từ đội dự tuyển nói trên Đội tuyển quốc gia bao gồm nữ và nam Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển quốc gia cho đội tuyển có mặt hai danh thủ trên Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + = và trung điểm cạnh AC là M(1; 1) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A ( 3; -1; -2 ) , B (1; 5;1) , C ( 2;3;3 ) , đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: ìï23 x +1 + y -2 = 3.2 y +3 x í ïî x + + xy = x + ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M có hoành độ a ¹ -2 thuộc đồ thị (C) có phương trình: y= (a + 2) ( x - a ) + a Û x - ( a + )2 y + a = a+2 ( ) a+2 ( ) Tâm đối xứng I -2; Ta có d I , d = 16 + ( a + ) (d ) a+2 £ 2.4 ( a + ) = a+2 a+2 =2 2 éa = d ( I , d ) lớn Û ( a + ) = Û ê ë a = -4 Từ đó suy có hai tiếp tuyến y = x và y = x + ì æ æ pö pö cos ç x + ÷ ¹ ïcos ç x - ÷ ¹ 0; Câu II: 1) Điều kiện í (*) 4ø 4ø è è ïsin x ¹ 0; tan x - cot x ¹ î æ æ æp ö æ æ æ pö pö pö pö pö Để ý rằng: tan ç x - ÷ tan ç x + ÷ = - tan ç - x ÷ tan ç x + ÷ = - cot ç x + ÷ tan ç x + ÷ = -1 4ø 4ø 4ø 4ø 4ø è è è4 ø è è è cos2 x Û cot x - tan x = cos2 x tan x - cot x 2 - tan x Û =4 Û = Û ( tan x - 1) = tan x tan x + tan 2 x + tan 2 x p p p Û tan x = Û x = + mp Û x = + k ( k Î Z ) : Không thoả điều kiện (*) Khi đó PT trở thành: -1 = Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 2) Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ 0, x + y - ¹ x Đặt u = x + y - 1; v = Hệ PT trở thành: y 2 ì3 ì3 ï + =1 ï Û íu + v = íu v ïîu + + v = 22 ïîu = 21 - 4v (1) (2) év = 3 2 Thay (2) vào (1) ta được: + = Û 2v - 13v + 21 = Û ê êv = 21 - v v ë ì x2 + y2 - = ì ï ìx = ì x = -3 · Nếu v = thì u = 9, ta có Hệ PT: í x Û í x + y = 10 Û í Úí îy = î y = -1 î x = 3y ïy = î ì ì 2 ì x2 + y2 - = ì x + y2 = ï y = ï y = -4 ï ï ï ï 53 Ú 53 · Nếu v = thì u = 7, ta có Hệ PT: í x Ûí Ûí í = ï ïî x = y ï x = 14 ï x = -14 îy ïî 53 ïî 53 So sánh điều kiện ta nghiệm Hệ PT ìu = ln x ì dx 8 x +1 ï ïdu = ( ) dx Câu III: Đặt í Þí Þ I = x + 1.ln x - ò dx = ln - ln - J x dv = x ïî ï x +1 îv = x + · Tính J = ò 3 3 æ x +1 t t2 1 ö dx Đặt t = x + Þ J = ò 2tdt = ò dt = ò ç + ÷ dt 2 x t t + t t è ø 2 æ t -1 ö = ç 2t + ln ÷ t +1 ø è Trần Sĩ Tùng Lop12.net = + ln - ln (3) Từ đó I = 20 ln - ln - Câu IV: Kẻ SO ^ (ABCD) thì O là giao điểm AC và BD Gọi I, J là trung điểm AB và CD; G là trọng tâm D SAC Góc mặt bên (SCD) và đáy (ABCD) là ¶ SJI = 60 Þ DSIJ cạnh a Þ G là trọng tâm DSIJ IG cắt SJ K là trung điểm SJ; M, N là trung điểm SC, SD 3a 3a2 a ; S ABMN = ( AB + MN )IK = ; SK ^ ( ABMN ); SK = 2 3a Suy ra: V = S ABMN SK = 16 IK = ( )( ) Câu V: Vì < a £ 1, < b £ nên a - b - ³ Þ ab - a - b + ³ Þ ³ a + b - ab Þ 1 ³ + - (3) ca c a æ1 1ö 1 Cộng các BĐT (1), (2), (3) vế theo vế ta được: + + ³ 2ç + + ÷ -3 ab bc ca èa b cø Tương tự : 1 ³ + - (1) ab a b 1 ³ + - (2), bc b c (4) Sử dụng BĐT (4) và BĐT Cô–si ta có: æ æ1 1ö ö 1 + + ³ a + b + c + 2ç + + ÷ - ç1 + ÷ (a + b + c) = a + b + c + ab bc ca è abc ø èa b cø ( a + b + c ) æç 1a + 1b + 1c ö÷ + 1a + 1b + 1c - ³2 ( ) è ø æ 1 1ö + + ÷³9 èa b cø Cũng theo BĐT Cô–si ta có : a + b + c ç æ Do đó: ç + è ö 1 1 1 ÷ ( a + b + c ) ³ + + + - = + + + (đpcm) abc ø a b c a b c Dấu "=" xảy Û a = b = c = II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn uuur Câu VI.a: 1) Gọi I là trung điểm BC Ta có AG = æ7 1ö uur AI Þ I ç ; ÷ è2 2ø Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình: x – y – = æ7 1ö ( Vì I ç ; ÷ là trung điểm BC nên giả sử B x B ; yB 2 è ø uuur ) thì C ( - xB ;1 - yB ) và xB - yB - = ( ) uuur ( H là trực tâm tam giác ABC nên CH ^ AB ; CH = -5 + x B ; yB , AB = x B + 3; yB - uuur uuur ìï x - y = ìx = ìx = CH AB = Û í B B Ûí B Úí B ïî( xB - 5)( xB + ) + ( yB - ) = î yB = -2 î yB = Vậy B (1; -2 ) , C ( 6;3) B ( 6;3 ) , C (1; -2 ) 2 ( ) 2) (S ) : ( x - 1) + ( y + ) + ( z - ) = 25 có tâm I 1; -2; và R = Khoảng cách từ I đến (a) là: d ( I ,(a ) ) = < R Þ (a) và mặt cầu (S) cắt ì x = + 2t ï Gọi J là điểm đối xứng I qua (a) Phương trình đường thẳng IJ : í y = -2 - t ïîz = + 2t ì x = + 2t ìt = - ïï y = -2 - t ïï x = -1 Toạ độ giao điểm H IJ và (a) thoả í Ûí Þ H ( -1; -1;2 ) = + = z t y ï ï ïî2 x - y + z - = ïî z = Trần Sĩ Tùng Lop12.net ) (4) Vì H là trung điểm IJ nên J ( -3; 0; ) Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = nên có phương trình: (S¢ ) : ( x + ) + y + z2 = 25 Câu VII.a: Có trường hợp xảy ra: · Trường hợp 1: Đội tuyển có Vũ Mạnh Cường, không có Ngô Thu Thuỷ Số cách chọn nam còn lại là C63 Số cách chọn nữ không có Ngô Thu Thuỷ là C93 Suy số cách chọn trường hợp này là C63 C93 = 1680 (cách) · Trường hợp 2: Đội tuyển có Ngô Thu Thuỷ, không có Vũ Mạnh Cường Số cách chọn nam không có Vũ Mạnh Cường là C64 Số cách chọn nữ còn lại là C92 Suy số cách chọn trường hợp này là C64 C92 = 540 (cách) Vậy số cách chọn đội tuyển bóng bàn Quốc gia là: 1680 + 540 = 2220 (cách) Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Ta có AC vuông góc với BH và qua M(1; 1) nên có phương trình: y = x ì ïx = - æ 2ö ìx - 4y - = Toạ độ đỉnh A là nghiệm hệ : í Ûí Þ Aç - ;- ÷ îy = x è 3ø ïy = - î æ8 8ö Vì M là trung điểm AC nên C ç ; ÷ è3 3ø Vì BC qua C và song song với d nên BC có phương trình: y = x +2 ìx + y + = ï ì x = -4 BH Ç BC = B : í Ûí Þ B ( -4;1) x y = y = + î ïî 2) Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = Gọi D là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = Điểm D cần tìm là giao điểm D và (S) uuur ( ì x = - 2t ï ) Đường thẳng D có vectơ phương AB = -2; 6;3 nên có phương trình: í y = + 6t ( )( Phương trình mặt cầu S : x - Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: 2 ) + ( y + 1) + ( z + ) ïîz = + 3t =9 ì x = - 2t ét = -1 ï y = + 6t ï ê Þ 49 t + 82 t + 33 = Û 33 í z = + 3t êt = ï 2 49 ë ïî( x - ) + ( y + 1) + ( z + ) = · Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = · Với t = - æ 164 51 48 ö 33 Þ Dç ; - ; ÷ (nhận) 49 49 49 ø è 49 ìï23 x +1 + y -2 = 3.2 y + x Câu VII.b: í (1) (2) ïî x + + xy = x + ì x ³ -1 ìx +1 ³ ì x ³ -1 Ta có: ( ) Û í Ûí Ûí î x = Ú y = - 3x î3 x + + xy = x + î x ( x + y - 1) = Trần Sĩ Tùng Lop12.net (5) y -2 = 3.2 y Û + y = 12.2 y Û y = · Với x = thay vào (1) ta được: + ì x ³ -1 thay y = – x vào (1) ta : 23 x +1 + -3 x -1 = 3.2 y = x î · Với í Đặt t = 23 x +1 , vì x ³ -1 nên t ³ - 8 Û y = log2 11 11 (3) ét = - 2 1 Khi đó: (3) : t + = Û t - 6t + = Û ê t ët = + 2 1é log ( + 2 ) - 1ùû ; y = - x = - log2 ( + 2 ) 3ë ì ìx = ï x = éë log2 ( + 2 ) - 1ùû ï Vậy Hệ PT đã cho có nghiệm í và í y log = ï y = - log ( + 2 ) ïî 11 î Suy ra: 23 x +1 = + 2 Û x = ===================== Trần Sĩ Tùng Lop12.net (loại ) (thoả) (6)