Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.. Tính tích phân:.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y 2x 1 x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm trên (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Câu II (2 điểm) x1 y 1 x 6 y Giải hệ phương trình: Giải phương trình: 2(cos x sin x) tan x cot x cot x Câu III (1 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R.Trên đường thẳng vuông góc với (P) O lấy điểm S cho OS = R I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2R M là điểm thuộc (C) H là hình chiếu I trên SM Tìm vị trí M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn đó Câu IV (1 điểm) Tính tích phân: I= dx 1 x x2 1 Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm).Thí sinh làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C Câu VII.a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác ( chữ số đầu tiên phải khác 0) đó phải có chữ số Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: log x log (ax a ) 3 B.Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): x2 y và đường thẳng :3x + 4y =12 Từ điểm M bất kì trên kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh đường thẳng AB luôn qua điểm cố định Câu VII.b (1 điểm) Cho hàm số y x2 4x có đồ thị (C).Giả sử đường thẳng y = kx + cắt (C) x2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I AB k thay đổi Câu VIII.b (1 điểm) Giải phương trình: 1 log2 x x 1 log2 x x2 Lop12.net (2) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Lu ý:Mọi cách giải đúng và ngắn gọn cho điểm tối đa Câu Đáp án I 1.(1,0 điểm) Khảo sát (2,0 điểm) Điểm * Tập xác định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên - Giới hạn và tiệm cận: lim y lim y ; tiệm cận ngang: y = x 0,25 x lim y ; lim y ; tiệm cận đứng: x = - x ( 1) x ( 1) Bảng biến thiên với x - Ta có y ' ( x 1) x - -1 + y’ + + - + y 0,5 - Hàm số đồng biến trên khoảng (- ; -1) và ( -1; + ) * Đồ thị 0,25 (1,0 điểm) Tìm trên (C) điểm Gọi M(x0;y0) là điểm thuộc (C), (x0 - 1) thì y0 x0 x0 0,25 Gọi A, B lần lợt là hình chiếu M trên TCĐ và TCN thì MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | x0 1 - 2| = | | x0 x0 0,25 =2 x0 0,25 Theo Cauchy thì MA + MB x Lop12.net (3) MA + MB nhỏ x0 = x0 = -2.Nh ta có hai điểm cần tìm là (0;1) và (-2;3) II (2,0 điểm) 0,25 1.(1,0 điểm) Giải hệ Điều kiện: x -1, y Cộng vế theo vế trừ vế theo vế ta có hệ x1 x6 y 1 y 4 10 x6 x1 y 4 y 1 0,25 0,25 Đặt u= x x , v = y y Ta có hệ u v10 u v 5 5 2 u v x y 5 là nghiệm hệ (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh Điều kiện:sinx.cosx và cotx Phơng trình tơng đơng 2(cos x sin x) sin x cos x cos x 1 cos x sin x sin x cosx = x = k 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đối chiếu điều kiện pt có họ nghiệm x = III (1,0 điểm) 0,25 k 2 Tìm vị trí S H I O B A M Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R , SI = 2R , 0,25 Lop12.net (4) SM = SO OM R SH = R hay H là trung điểm SM Gọi K là hình chiếu vuông góc H lên mp(MAB) thì HK = SO= R 2 , (không đổi) VBAHM lớn dt( MAB) lớn M là điểm cung AB Tính tích phân Đặt u = x+ x thì u - x= x x 2ux u x u2 1 1 x dx 1 du 2u 2 u Đổi cận x= - thì u = -1 x = thì u = +1 1 1 1 du u I 1 u 2 1 = Câu V (1,0 điểm) 0,5 3 R (đvtt) Khi đó VBAHM= IV (1,0 điểm) 0,25 1 du 1 u 2 1 0,25 1 du 1 u 2 1 1 du (1 u )u 2 1 1 1 u u u du 1 =1 Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có 0,25 0,25 0,25 0,25 a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, a+b>0 và a2+b2-ab ab a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 a b ab a b c 0,5 Tơng tự ta có 1 , b c bc a b c 1 c a ca a b c Cộng theo vế ta có 1 1 1 = + + 3 x y 1 y z 1 z x 1 a b 1 b c 1 c a3 1 1 1 c a b = a b c ab bc ca a b c 0,25 Dấu xảy x=y=z=1 VI a Tìm tọa độ Lop12.net (5) (1,0 điểm) 5 ; ), pt AB: x – y – = 2 3 S ABC = d(C, AB).AB = d(C, AB)= 2 2,M=( Ta có: AB = Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= d(G, AB)= VII a (1,0 điểm) VIII a (1,0 điểm) t (3t 8) = 0,25 t = t = 2 G(1; - 5) G(2; - 2) Mà CM 3GM C = (-2; 10) C = (1; -4) Từ các chữ số Gọi số có chữ số là abcdef Nếu a = thì có cách chọn b, cách chọn c, cách chọn d, cách chọn e, cách chọn f đây có 7.6.5.4.3 = 2520số Nếu b = thì có cách chọn a, cách chọn c, cách chọn d, cách chọn e, cách chọn f đây có 6.6.5.4.3 = 2160số Tơng tự với c, d, e, f Vậy tất có 2520+5.2160 = 13320 số 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 Tìm a để Điều kiện: ax + a > x a ( x 1) Bpt tơng đơng Nếu a>0 thì x +1 >0.Ta có x2 a x 1 Nếu a<0 thì x +1 <0.Ta có x2 a x 1 Xét hàm số y = y’ = x 1 x2 với x - x 1 ( x 1) x x -Ơ y’ -1 0,25 =0 x=1 -1 || + - 0,25 y +Ơ + 2 - a < - Chứng minh Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) Tiếp tuyến A có dạng xx1 yy1 1 0,25 0,25 a> VI b (1,0 điểm) 0,25 Lop12.net (6) Tiếp tuyến qua M nên x0 x1 y0 y1 (1) 1 Ta thấy tọa độ A và B thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt xx0 yy0 M thuộc nên 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0 4 xx0 yy0 xx0 y (12 x0 ) 4 4 4 Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB qua với M thì (x- y)x0 + 4y – = x y 0 y 1 y 40 x1 Vậy AB luôn qua điểm cố định F(1;1) Tìm tập hợp x2 4x y = kx + cắt (C): y Ta có pt x2 x2 4x = kx + có nghiệm phân biệt k x2 Trung điểm I AB có tọa độ thỏa mãn x 2k 3 x2 5x 2k 2 y kx1 y 2x VII b (1,0 điểm) Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong y VIII b (1,0 điểm) Giải phơng trình Điều kiện : x>0 Đặt 1 log2 x =u, 1 log2 x x 5x 2x 2 v ta có pt u +uv2 = + u2 v2 (uv2-1)(u – 1) = u 21 x =1 uv 1 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 Lop12.net (7)