Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự tại A, B A, B không trùng với O sao cho tổng khoảng cách OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất.. Viết phương trình mặt c[r]
(1)www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2013 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN Môn: TOÁN; Khối A, A1và B _ Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3( m + 1) x + 12mx − 3m + (1), với m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B cho hai điểm này cùng với 9 điểm C −1; − lập thành tam giác nhận gốc toạ độ làm trọng tâm 2 π Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin 2x − + 4sin x + = 6 8x − y3 = 63 x, y ∈ R Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 + + − = y 2x 2y x e 2x + Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ln xdx x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA tạo với đáy (ABC) góc 600 Tam = 30 Hình chiếu vuông góc điểm S lên mặt phẳng (ABC) giác ABC vuông B, ACB trùng với trọng tâm G ∆ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu (1,0 điểm) Tìm các giá trị m để phương trình sau có đúng nghiệm thực phân biệt m 1+ x + 1− x + + 1− x2 − = ( ) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh AB hình chữ nhật ABCD biết các đường thẳng AB, BC, CD, DA qua các điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) và diện tích hình chữ nhật 16 Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu qua các điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z − = ( Câu 9a (1,0 điểm) Cho khai triển Niutơn − 3x Tính hệ số a9 biết n thoả mãn hệ thức ) 2n = a + a1x + a x + + a 2n x 2n , n ∈ N* 14 + = C2n 3C3n n B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(4;1) Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự A, B (A, B không trùng với O) cho tổng khoảng cách OA + OB đạt giá trị nhỏ Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;0;0), B(2;−1;2), C(−1;1;−3) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, qua A và cắt mặt phẳng (ABC) theo đường tròn có bán kính nhỏ Câu 9b (1,0 điểm) Giải phương trình: log ( x + 1) + = log − x + log8 ( + x ) HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: …………………………………… ; Số báo danh: ……………………… Lop12.net (2) www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, A1và B Đáp án Câu a) (1,0 điểm) (2đ) Với m = ta có hàm số y = x − 3x + Điểm Tập xác định: D = R 0.25đ Sự biến thiên: y’ = 3x2 − 6x; y’ = ⇔ x = x = Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (0;2) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = với yCĐ = 4, đạt cực tiểu x = 2, yCT = 0.25đ Giới hạn: lim y = −∞, lim y = +∞, x →−∞ x →+∞ Bảng biến thiên: x −∞ +∞ y’ + 0.25đ − 0 + +∞ y −∞ Đồ thị: 0.25đ -1 O b) (1,0 điểm) Ta có: y' = 3x − ( m + 1) x + 12m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B 0.25đ và y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ Khi đó điểm cực trị là A(2;9m), B ( 2m; −4m + 12m − 3m + ) 0.25đ Ba điểm A, B, C lập thành tam giác có gốc toạ độ làm trọng tâm nên ta có + 2m − = 0.25đ ⇔m=− 2 −4m + 12m + 6m + − = Với m = − ta thấy ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên thoả mãn ∆ABC có 0.25đ trọng tâm O là gốc toạ độ Lop12.net (3) www.VNMATH.com π π π − + + = ⇔ − + 4sin x + = 2sin 2x 4sin x 2sin 2x.cos 2cos 2x.sin (1đ) 6 6 ⇔ sin x.cos x + 2sin x + 4sin x = sin x = ⇔ cos x + sin x = −2 sin x = ⇔ x = kπ π 7π + k2π cos x + sin x = −2 ⇔ cos x − = −1 ⇔ x = 6 7π Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = kπ , x = + k2π với (k ∈ Z) 8x − y3 = 63 8x − y = 63 ⇔ (1đ) 2 y + 2x + 2y − x = 6y + 12x + 12y − 6x = 54 3 8x − y3 = 63 8x − y = 63 ⇔ ⇔ 3 2 − − − − + = 8x y 6y 12x 12y 6x ( 2x − 1) = ( y + ) 8x − y3 = 63 8x − ( 2x − 3) = 63 2x − 3x − = ⇔ ⇔ ⇔ y 2x = − y = 2x − y = 2x − x = ⇔ x = − y = 2x − 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ x = x = − ⇔ = y y = e e 1 I = ln xdx + ln xdx ∫ ∫ (1đ) x x e Với I1 = ∫ ln xdx = ln x 1e = 1 x 0.25đ 0.25đ 0.25đ dx du = u = ln x e e dx ln x x Với I = ∫ dx , đặt ta có I = − ln x + ∫ dx ⇒ x 1x dv = x v = − x2 x 1e I2 = − − = − Do đó I = − e x1 e e e 3a ⇒G Gọi K = AG ∩ BC ta có góc SA và (ABC) là GAS AS = 60 ⇒ AG = (1đ) 9a ⇒ AK = 3a Ta có: SG = Lop12.net 0.25đ 0.25đ 0.25đ (4) www.VNMATH.com Đặt AB = x ⇒ AC = 2x, BK = x Ta có: AB2 + BK = AK 3x 81a 9a ⇔ x2 + = ⇔x= 16 Diện tích ∆ABC là: 9a 9a 81a SABC = 3= 2 7 56 Thể tích khối chóp là 81 3a 3a 243a V= = 56 112 S 0.25đ 0.25đ C A G 0.25đ E B Điều kiện: x∈ [−1;1] (1đ) Đặt t = − x + + x ⇒ − x = t − 2; t ' = 1 với ∀ x ∈ (−1;1) 0.25đ − 1− x 1+ x Bảng biến thiên t: x t’ t −1 || + 0 || − 2 đó t ∈ 2;2 Từ bảng biến thiên ta thấy t = có x = 0, 0.25đ t ∈ [ 2;2) có nghiệm x −t + Phương trình đã cho trở thành: m ( t + 3) + t − = ⇔ m = t +3 2 − t − 6t − −t + < nên phương trình đã 0.25đ trên 2;2 , ta có f ' ( t ) = Xét f ( t ) = t +3 ( t + 3) cho có đúng nghiệm và f ( ) < m ≤ f 7a Đường thẳng AB có dạng (1đ) m ( x − ) + n ( y − 5) = 0, m + n ≠ Đường thẳng AD có dạng: n ( x − ) − m ( y − 1) = 0, m + n ≠ Khoảng cách từ P đến AB là m − 3n d1 = d ( P,AB ) = m2 + n ( ) ⇔ 53 < m ≤ 15 −75 A Q(2;1) 0.25đ D M(4;5) 0.25đ P(5;2) B Khoảng cách từ N đến AD là: d = d ( N, AD ) = N(6;5) C m−n 0.25đ m2 + n Diện tích hình chữ nhật 16 nên ta có: d1.d2 = 16 ⇔ ( m−3n)( m− n) = 4( m2 + n2 ) n = −m 3m + 4mn + n = ⇔ n = −3m 0.25đ Lop12.net (5) www.VNMATH.com Với m = −n, chọn m = 1, n = −1 ta có phương trình các cạnh là AB: x − y + = ; CD : x − y − = ; AD: x + y − = ; BC: x + y − 11 = với n = −3m, chọn m = 1, n = −3 ta có AB: x − 3y + 11 = ; CD : x − 3y + = ; AD: 3x + y − = ; BC:3x + y − 23 = 8a Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc (P) và qua A, B, C (1đ) (S) có phương trình dạng: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (S) có tâm I(−a;−b;−c) I∈ (P) ⇔ −2a − 2b − c − = ⇔ 2a + 2b + c = −3(1) A∈ (S) ⇔ + 0a + 2b + 4c + d = (2) B∈ (S) ⇔ + 4a − 4b + 2c + d = (3) C ∈ (S) ⇔ − 4a + 0b + 2c + d = (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có hệ phương trình 2a + 2b + c = −3 d = −2b − 4c − a = −2 5 + 0a + 2b + 4c + d = 2a + 2b + c = −3 b = −3 ⇔ ⇔ + − + + = − + + = 4a 4b 2c d 2a 3b c c = d = −27 5 − 4a + 0b + 2c + d = 2a + b + c = Vậy phương trình mặt cầu (S): x + y + z − 4x − 6y + 14z − 27 = 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 9a (1đ) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ N* 0.25đ 14 2.2 14.2 Ta có: + = ⇔ + = ⇔ ( n − ) + 28 = n − 3n + Cn 3Cn n n ( n − 1) n ( n − 1)( n − ) n 0.25đ ⇔ n − 7n − 18 = ⇔ n = n = −2 (loại) Vậy n = ( Với n = ta có nhị thức cần khai triển là − 3x ) 18 ( ) 0.25đ k Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là a k x k = C18k − x k a = C 18 (− 3) = −3938220 7b x y + =1 Gọi A(a;0), B(0;b) với a, b>0 Đường thẳng AB có dạng: (1đ) a b Ta có OA + OB = a + b M∈ AB nên ta có: + = a b 22 12 ( + 1) mặt khác ta có = + ≥ ⇔a +b≥9 a b a+b a b = a = ⇔ Suy OA + OB ≥ 9, dấu xảy và + = b = a b x y Vậy d có phương trình: + = ⇔ 2x + 3y − 12 = Lop12.net 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ (6) www.VNMATH.com 0.25đ 8b Mặt phẳng ABC có phương trình: x − y − z − = (1đ) Gọi (S) là mặt cầu có tâm I∈Oy và cắt (ABC) theo đường tròn có bán kính r nhỏ Vì I ∈ Oy nên I(0;t;0), gọi H là hình chiếu I trên (ABC) đó là có bán kính đường tròn giao (ABC) và (S) là r = AH = IA − IH t +1 Ta có IA = t + , IH = d(I,(ABC))= t + 2t + 2t − 2t + 0.25đ ⇒ r = t2 +1− = 3 0.25đ Do đó r nhỏ và t = Khi đó I 0; ;0 ,IA = 1 đó phương trình mặt cầu cần tìm là: x + y − + z = 2 9b Điều kiện: x ∈ ( −4; −1) ∪ ( −1;4 ) (1đ) log ( x + 1) + = log − x + log ( + x ) ⇔ log x + + = log ( − x ) + log ( x + ) ⇔ log 4x + = log (16 − x ) ⇔ 4x + = 16 − x x = 4x + = 16 − x x + 4x − 12 = ⇔ ⇔ ⇔ x = −6 2 4x + = x − 16 x − 4x − 20 = x = ± x = Đối chiếu điều kiện là có nghiệm phương trình đa cho là x = − Lop12.net 0.25đ (7)