Bài mới : Hoạt động 1: Luyện tập tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số HĐGV HĐHS NỘI DUNG GV: yêu cầu học sinh HS: suy nghĩ , trả lời nhắc lại pp tính nguyên - Đặt biến số mới hàm[r]
(1)Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 Ngày soạn : Ngày dạy: CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Tiết: 49 – 50 I §1 NGUYÊN HÀM Mục tiêu: Về kiến thức: Hiểu định nghĩa nguyên hàm hàm số trên K, phân biệt rõ nguyên hàm với họ nguyên hàm hàm số Biết các tính chất nguyên hàm Nắm các phương pháp tính nguyên hàm Về kĩ năng: Tìm nguyên hàm số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất nguyên hàm Sử dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm phần để tính nguyên hàm Về tư duy, thái độ: Thấy mối liên hệ nguyên hàm và đạo hàm hàm số Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài II Chuẩn bị: Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập Học sinh: SGK, đọc trước bài III Tiến trình bài học: Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong… Kiểm tra bài cũ: (3’) Câu hỏi: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a/ y = x3 b/ y = tan x Bài mới: Tiết 1: HĐGV Hoạt động 1: Nguyên hàm HĐTP1: Hình thành khái niệm nguyên hàm - Yêu cầu học sinh thực HĐ1 SGK - Từ HĐ1 SGK cho học sinh rút GV: Nguyễn Thu Hà HĐHS - Thực dễ dàng dựa vào kquả KTB cũ Lop12.net NỘI DUNG I Nguyên hàm và tính chất Nguyên hàm Kí hiệu K là khoảng, đoạn khoảng IR Định nghĩa: (SGK/ T93) Năm học 2010 - 2011 (2) Trường THPT Lê Trung Đình nhận xét (có thể gợi ý cho học sinh cần) - Từ đó dẫn đến việc phát biểu định nghĩa khái niệm nguyên hàm (yêu cầu học sinh phát biểu, giáo viên chính xác hoá và ghi bảng) HĐTP2: Làm rõ khái niệm - Nêu vài vd đơn giản giúp học sinh nhanh chóng làm quen với khái niệm (yêu cầu học sinh thực hiện) H1: Tìm Ng/hàm các hàm số: a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ f(x) = trên (0; +∞) x c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞) HĐTP3: Một vài tính chất suy từ định nghĩa - Yêu cầu học sinh thực HĐ2 SGK - Từ đó giáo viên giúp học sinh nhận xét tổng quát rút kết luận là nội dung định lý và định lý SGK - Yêu cầu học sinh phát biểu và C/M định lý Giáo án giải tích 12 - Nếu biết đạo hàm hàm số ta có thể suy ngược lại hàm số gốc đạo hàm - Phát biểu định nghĩa nguyên hàm (dùng SGK) - Học sinh thực cách dễ dàng nhờ vào bảng đạo hàm TH: a/ F(x) = x2 b/ F(x) = lnx c/ F(x) = sinx a/ F(x) = x2 + C b/ F(x) = lnx + C c/ F(x) = sinx + C (với C: số bất kỳ) - Học sinh phát biểu định lý (SGK) - Từ định lý và (SGK) nêu K/n họ nguyên hàm h/số và kí hiệu - Làm rõ mối liên hệ vi phân hàm số và nguyên hàm nó biểu thức (Giáo viên đề cập đến thuật ngữ: tích phân không xác định cho học sinh) HĐTP4: Vận dụng định lý - H/s làm vd2 (SGK): Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cần, chính xác hoá lời giải học sinh và ghi bảng GV: Nguyễn Thu Hà VD: a/ F(x) = x2 là ng/hàm hàm số f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ F(x) = lnx là ng/hàm hàm số f(x) = trên (0; +∞) x c/ F(x) = sinx là ng/hàm h/số f(x) = cosx trên (-∞; +∞) - Chú ý Định lý1: (SGK/T93) C/M Định lý2: (SGK/T94) C/M (SGK) ∫f(x) dx = F(x) + C - H/s thực vd Lop12.net CЄ R Là họ tất các nguyên hàm f(x) trên K *Chú ý: f(x)dx là vi phân ng/hàm F(x) f(x) vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx Vd2: a/ ∫2xdx = x2 + C; x Є(-∞; +∞) b/ ∫1/sds = ln s + C; s Є(0; +∞) Năm học 2010 - 2011 (3) Trường THPT Lê Trung Đình Hoạt động 2: Tính chất nguyên hàm HĐTP1: Mối liên hệ nguyên hàm và đạo hàm: - Từ đ/n dễ dàng giúp học sinh suy tính chất (SGK) - Minh hoạ tính chất vd và y/c h/s thực HĐTP2: Tính chất (SGK) - Yêu cầu học sinh phát biểu tính chất và nhấn mạnh cho học sinh số K+0 - HD học sinh chứng minh tính chất HĐTP3: Tính chất - Y/cầu học sinh phát biểu tính chất - Thực HĐ4 (SGK) (giáo viên hướng dẫn học sinh cần) - Minh hoạ tính chất vd4 SGK và yêu cầu học sinh thực - Nhận xét, chính xác hoá và ghi bảng Hoạt động 3: Sự tồn nguyên hàm - Giáo viên cho học sinh phát biểu và thừa nhận định lý - Minh hoạ định lý vài vd SGK (y/c học sinh giải thích) HĐ4: Bảng nguyên hàm - Cho học sinh thực hoạt động SGK - Treo bảng phụ và y/c học sinh kiểm tra lại kquả vừa thực - Từ đó đưa bảng kquả các nguyên hàm số hàm số thường gặp - Luyện tập cho học sinh cách yêu cầu học sinh làm vd6 SGK và số vd khác gv giao cho Giáo án giải tích 12 c/ ∫costdt = sint + C; t Є(0; +∞) - Phát biểu tính chất (SGK) - H/s thực vd ∫f’(x) dx = f(x) + C - Phát biểu tính chất Vd3: ∫(cosx)’dx = ∫(-sin)dx = cosx +C Tính chất2: - Phát biểu dựa vào SGK - Thực - Học sinh thực Vd: Với x Є(0; +∞) Ta có: ∫(3sinx + 2/x)dx = 3∫(sin)dx + 2∫1/xdx = -3cosx + 2lnx +C - Phát biểu định lý - Thực vd5 ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx k: số khác C/M: (SGK) Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx=∫f(x)dx ±∫g(x)dx C/M: Chứng minh học sinh chính xác hoá Vd4: Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = 3sinx + 2/x trên khoảng (0; +∞) Giải: Lời giải học sinh đã chính xác hoá Sự tồn nguyên hàm - Thực HĐ5 Định lý 3: (SGK/T95) - Kiểm tra lại kquả - Chú ý bảng kquả - Thực vd GV: Nguyễn Thu Hà Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: Lop12.net Vd5: (SGK/T96) Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp: Năm học 2010 - 2011 (4) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 - HD h/s vận dụng linh hoạt bảng cách đưa vào các hàm số hợp a/ = 2∫x2dx + ∫x2/3dx = 2/3x3 + 3x1/3 + C b/ = 3∫cosxdx 1/3xdx 3x = 3sinx +C ln3 c/ = 1/6(2x + 3)6 + C d/ = ∫sinx/cosx dx = - ln/cosx/ +C Bảng nguyên hàm: (SGK/T97) Vd6: Tính ∫[2x2 a/ +∞) + ─ ]dx trên (0; 3√x2 b/ ∫(3cosx - 3x-1) dx trên (-∞; +∞) c/ ∫2(2x + 3)5dx d/ ∫tanx dx Tiết HĐGV Hoạt động 5: Phương pháp đổi biến số HĐTP1: Phương pháp - Yêu cầu h/s làm hđộng SGK - Những bthức theo u tính dễ dàng nguyên hàm - Gv đặt vđề cho học sinh là: ∫(x-1)10dx = ∫udu Và ∫lnx/x dx = ∫tdt - HD học sinh giải vấn đề định lý 1(SGKT98) - HD h/s chứng minh định lý - Từ định lý y/c học sinh rút hệ và phát biểu - Làm rõ định lý vd7 (SGK) (yêu cầu học sinh thực hiện) - Lưu ý học sinh trở lại biến ban đầu tính nguyên hàm theo biến HĐTP2: Rèn luyện tính nguyên hàm hàm số p2 đổi biến số - Nêu vd và y/c học sinh thực HD học sinh trả lời số câu hỏi H1: Đặt u nào? GV: Nguyễn Thu Hà HĐHS - Thực a/ (x-1)10dx chuyển thành u10du b/ lnx/x dx chuyển thành : t ─ etdt = tdt et - Phát biểu định lý (SGK/T98) NỘI DUNG II Phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp đổi biến số Định lý1: (SGK/ T98) C/M (SGK) - Phát biểu hệ Hệ quả: (SGK/ T98) - Thực vd7 Vì ∫sinudu = -cosu + C Nên: ∫sin (3x-1)dx = -1/3 cos (3x - 1) + C - Thực vd: Đặt u = x + Khi đó: ∫x/(x+1)5dx = ∫ u-1/u5 du = ∫1/u4 du - ∫1/u5 du 1 1 Lop12.net ∫f(ax+b)dx=1/a F(ax+b) + C (a + 0) VD7: Tính ∫sin (3x -1)dx * Chú ý: (SGK/ T98) Vd8 (SGK) Tính ∫x/(x+1)5 dx Năm học 2010 - 2011 (5) Trường THPT Lê Trung Đình H2: Viết tích phân bất định ban đầu thẽo? H3: Tính? H4: Đổi biến u theo x - Nhận xét và chính xác hoá lời giải - Nêu vd9; yêu cầu học sinh thực GV có thể hướng dẫn thông qua số câu hỏi: H1: Đổi biến nào? H2: Viết tích phân ban đầu theo u H3: Tính dựa vào bảng nguyên hàm - Từ vd trên và trên sở phương pháp đổi biến số y/cầu học sinh lập bảng nguyên hàm các hàm số cấp dạng hàm số hợp: dạng: f(u) với u = u (x) HĐTP1: Hình thành phương pháp - Yêu cầu và hướng dẫn học sinh thực hoạt động SGK - Từ hoạt động SGK hướng dẫn học sinh nhận xét và rút kết luận thay U = x và V = cos x - Từ đó yêu cầu học sinh phát biểu và chứng minh định lý - Lưu ý cho học sinh cách viết biểu thức định lý: V’(x) dx = dv U’ (x) dx = du HĐTP2: Rèn luyện tính nguyên hàm hàm số phương pháp nguyên hàm phần - Nêu vd SGK yêu cầu học sinh thực GV có thể hướng dẫn thông qua các câu hỏi gợi ý: Đặt u = ? GV: Nguyễn Thu Hà Giáo án giải tích 12 =-─ ─ + ─ ─+C u3 u4 1 1 =-─ ─ + ─ ─+C (x+1)3 (x+1)4 1 = ─ [- ─ + ─ ]+ C (x+1)3 4(x+1) - Học sinh thực a/ Đặt U = 2x + U’ = ∫2 e 2x+1 dx = ∫ eu du = eu + C = e 2x+1 + C b/ Đặt U = x5 + U’ = x4 ∫ x4 sin (x5 + 1)dx = ∫ sin u du = - cos u +c = - cos (x5 + 1) + c - Học sinh thực Giải: Lời giải học sinh chính xác hoá Vd9: Tính a/ ∫2e2x +1 dx b/ ∫ x4 sin (x5 + 1)dx Giải: Lời giải học sinh chính xác hoá - Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp dạng hàm số hợp (bảng phụ) Phương pháp tính nguyên hàm phần: - Thực hiện: ∫(x cos x)’ dx = x cos + C1 ∫cosx dx = Sin x + C2 Do đó: ∫x sin x dx = - x cosx + sin x + C (C = - C1 + C2) - Phát biểu định lý - Chứng minh định lý: Định lý 2: (SGK/T99) u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x) u ' ( x)v( x) - Thực vídụ: a/ Đặt: U = x dv = ex dx Vậy: du = dx , v = ex ∫x ex dx = x ex - ∫ ex de x ex - ex + C b/ Đặt u = x , dv = cos dx, du = dx , v = sin x Do đó: ∫ x cos x dx = x sin x - ∫sin dx = x sin x + cosx + C Lop12.net Chứng minh: *Chú ý: udv uv vdu VD9: Tính a/ ∫ xex dx b./ ∫ x cos x dx c/ ∫ lnx dx Giải: Năm học 2010 - 2011 (6) Trường THPT Lê Trung Đình Suy du = ? , dv = ? Áp dụng công thức tính - Nêu vài ví dụ yêu cầu học sinh thực tính sử dụng phương pháp nguyeê hàm phần mức độ linh hoạt - GV hướng dẫn học sinh thực tính (lặp lại tính nguyên hàm số lần ) - Nhận xét và chính xác hoá kết Giáo án giải tích 12 c/ Đặt u = lnx, dv = dx du = 1/2 dx , v= x Do đó: ∫ lnx dx = xlnx - x + c - Thực cách dễ dàng - Thực theo yêu cầu giáo viên a/ Đặt u = x2 và dv = cosx dx ta có: du = 2xdx, v = sin x đó: ∫x2 cosxdx = x2 sin x - ∫2x sin x dx Đặt u = x và dv = sin x dx du = dx , v = - cosx ∫x sin x dx = - xcos x + ∫ cos x dx = - x cos x + sin x + C Vậy: kết = x2 sin x - (- x cosx + sin x +C) Lời giải học sinh đã chính xác hoá VD10: Tính a/ ∫x2 cos x dx Giải: Lời giải học sinh đã chính xác hoá Củng cố: - Yêu cầu học sinh nhắc lại : + Định nghĩa nguyên hàm hàm số + Pháp nguyên hàm phần +Phương pháp tính nguyên hàm cách đảo biến số và phương Hướng dẫn học bài nhà: - Nắm vững các cách tính nguyên hàm hàm số - Làm các bài tập SGK và SBT GV: Nguyễn Thu Hà Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (7) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 Ngày soạn : Ngày dạy: BÀI TẬP NGUYÊN HÀM Tiết: 51 I Mục đích yêu cầu : Kiến thức :Nắm khái niệm nguyên hàm có hệ số Biết các tính chất nguyên hàm Kỹ :Tìm nguyên hàm hàm số tưong đối đơn giản dựa vào bảng nghàm cách tìm nguyên hàm phần Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nghàm Tư duy, thái độ :Thấy mlg nguyên hàm đạo hàm Rèn luyện tính cảm nhận, chính xác II Chuẩn bị :GV: Bảng phụ, sgk, giáo án, phiếu học tập HS: Học thuộc bảng hàm & làm BTVN III Phương pháp: đàm thoại, vấn đáp, thảo luận nhóm IV Tiến trình bài học : Ổn định lớp: Kiểm tra bài cũ: - Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm - Viết công thức tính nguyên hàm phần Bài : Hoạt động 1: Luyện tập tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số HĐGV HĐHS NỘI DUNG GV: yêu cầu học sinh HS: suy nghĩ , trả lời nhắc lại pp tính nguyên - Đặt biến số hàm - Tính nguyên hàm theo biến số - chuyển biến số cũ - Học sinh giải Bài 1: Dùng pp đổi biến số định hướng GV , tìm các nguyên hàm sau : HD: HS: Đặt u = sinx => a I sin x.cos xdx 4 Đặt u = sinx ,viết sin x.cosxdx = u du sin x.cosx dx theo u và I = u du u c du ex b I1 x dx e 1 HS: HD: Đặt u = ex + => Đặt u = ex + , viết ex ex dx ex Theo u và du ? => I1 = ? Chuyển u biến x ? GV: Nguyễn Thu Hà dx du ex u x u du ln u c ln(e 1) c Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (8) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 HS: Đặt u = 2lnx + => du = 2/x.dx HD: Đặt u = 2lnx + viết I2 u4 u du c 2 c I (2 ln x 3)3 dx x (2 ln x 3)3 dx theo u và x du Hoạt động 2: Tính nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung GV: yêu cầu học sinh + HS: udv u.v vdu viết viết lại công thức tính nguyên hàm Bài 2: Sử dụng phương + Học sinh giải hướng phần(dạng rút gọn ) pháp tính nguyên hàm dẫn GV phần , hãy tính HS: Gợi ý : a I x.ln(1 x)dx Đặt u = ln(1+x) => du = Đặt u = ln(x + 1) => dx du = ? x 1 dv = xdx => v = ? dv = xdx => v = x 2 1 x2 I x ln( x 1) dx 2 x 1 HD:Đặt u= x2 +2x+1=>du =? dv = exdx => v =? Đặt : u = 2x + => du =? dv = ex dx => v = ? HD: Đặt u = – x => du = ? dv = cosx dx => v =? HS: Đặt u = x2 +2x+1 du = 2x +2 dv = exdx => v = ex b I ( x x 1)e x dx I e x ( x x 1) (2 x 1)e x dx HS: Đặt u = – x => du = - dx dv = cosx dx => v = sinx d I (1 x).cos xdx I ( x 1) sin x sin xdx = (x – 1)sinx – cosx + c Củng cố: Giáo viên yêu cầu học sinhthực các công việc sau : Trình bày phương pháp đổi biến để tính nguyên hàm Viết công thức tính nguyên hàm phần Bài tập nhà : Tính các nguyên hàm sau: a I sin 3x cos xdx b I x.cos xdx c I x.e x dx GV: Nguyễn Thu Hà Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (9) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết: 52 - 53 - 54 I TÍCH PHÂN Mục tiêu: Kiến thức: Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần) Kỹ năng: Hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân các hàm số Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo hướng dẫn Gv, động, sáng tạo quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy lợi ích toán học đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có đóng góp sau này cho xã hội Tư duy: Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt quá trình suy nghĩ II Phương pháp : Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp Phương tiện dạy học: SGK III Chuẩn bị: GV: Phiếu học tập, bảng phụ HS: Hoàn thành các nhiệm vụ nhà, Đọc qua nội dung bài nhà IV Tiến trình tiết dạy : Ổn định lớp : Kiểm tra bài cũ : - Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm - Viết công thức tính nguyên hàm phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn) Bài HĐGV HĐHS Tiết I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Diện tích hình thang cong: Hoạt động : Ký hiệu T là hình thang vuông giới hạn đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t (1 t 5) (H45, SGK, trang 102) Hãy tính diện tích S hình T t = (H46, SGK, trang 102) Hãy tính diện tích S(t) hình T GV: Nguyễn Thu Hà Thảo luận nhóm để: + Tính diện tích S hình T t = (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) hình T t [1; 5] + Chứng minh S(t) Lop12.net Nội dung TÍCH PHÂN I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Diện tích hình thang cong: ( sgk ) Năm học 2010 - 2011 (10) Trường THPT Lê Trung Đình t [1; 5] Hãy chứng minh S(t) là nguyên hàm f(t) = 2t + 1, t [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1) Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b gọi là hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)” Gv giới thiệu cho Hs vd (SGK, trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện tích hình thang cong Định nghĩa tích phân : Hoạt động : Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm f(x) Chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a) (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm) Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) hàm số f(x), ký hiệu: Giáo án giải tích 12 là nguyên hàm f(t) = 2t + 1, t [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1) Định nghĩa tích phân : Thảo luận nhóm để chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a) “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) hàm số f(x), ký hiệu: b f ( x) dx a b Ta còn ký hiệu: F ( x) a F (b) F (a) b Vậy: F ( x) f ( x)dx b a F (b) F (a ) b f ( x) dx a Qui ước: a = b a > b: ta qui ước : a b a a a b a Ta còn ký hiệu: b F ( x) a F (b) F (a) f ( x) dx 0; f ( x) dx f ( x) dx Vậy: Gv giới thiệu cho Hs vd (SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu b b f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a ) a Nhận xét: + Tích phân hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là GV: Nguyễn Thu Hà 10 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (11) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 b b f ( x) dx hay a f (t ) dt Tích a phân đó phụ thuộc vào hàm f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t + Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì b f ( x) dx là diện tích S a Thảo luận nhóm để chứng minh các tính chất 1, II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN hình thang giới hạn đồ thị f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b (H 47 a, trang 102) b Vậy : S = f ( x) dx a II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN + Tính chất 1: b b a a kf ( x) dx k f ( x) dx + Tính chất 2: b ( f ( x) g (x))dx Hoạt động : Hãy chứng minh các tính chất 1, Gv giới thiệu cho Hs vd 3, (SGK, trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu a b a a III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số: Hoạt động : b a c III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ] cho () = a; () = b và a (t) b với t thuộc [; ] Khi đó:” Cho tích phân I = (2 x 1) dx a/ Hãy tính I cách khai triển (2x + 1)2 b/ Đặt u = 2x + Biến đổi (2x + 1)2dx thành g(u)du u (1) b g (u ) du và so sánh với kết u (0) a câu a Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; GV: Nguyễn Thu Hà c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ( a c b) Tiết 2, a + Tính chất 3: b c/ Tính: b f ( x)dx g ( x)dx f ( x) dx f ( (t )). ' (t ) dt Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Để tính 11 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (12) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ] cho () = a; () = b và a (t) b với t thuộc [; ] Khi đó:” b a f ( x) dx Thảo luận nhóm để: b b] Để tính f ( x) dx ta chọn hàm số u = + Tính u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [; ] Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x) Khi đó ta có: ( x 1)e u (b ) b f ( x) dx = g (u ) du u (a) a x dx Phương pháp tính tích phân phần: “Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì: g (u ) du Gv giới thiệu cho Hs vd 6, (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu Phương pháp tính tích phân phần: Hoạt động : a/ Hãy tính dx u (a) a x phương pháp nguyên hàm phần + Tính: u (b ) f ( x) dx = ( x 1)e u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [; ] Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x) Khi đó ta có: a b ta chọn hàm số u = a f ( x) dx f ( (t )). ' (t ) dt Gv giới thiệu cho Hs vd (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b b u ( x).v' ( x)dx a x ( x 1)e dx phương b (u ( x)v( x)) |ba u ' ( x)v( x)dx pháp nguyên hàm phần a b b a a Hay u dv uv ba v du b/ Từ đó, hãy tính: ( x 1)e x dx Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì b b a a ' b ' u ( x)v ( x) dx (u ( x)v( x)) a u ( x)v( x) dx b b a a Hay u dv uv ba v du ” Gv giới thiệu cho Hs vd 8, (SGK, trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu Củng cố: Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc bài để Hs khắc sâu kiến thức Dặn BTVN: SGK, trang 112, 113 GV: Nguyễn Thu Hà 12 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (13) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết: 55 – 56 BÀI TẬP TÍCH PHÂN I Mục tiêu: 1.VÒ kiÕn thøc - Hiểu và nhớ công thức đổi biến số và công thức tích phân phần - Biết phương pháp tính tích phân đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích ph©n tõng phÇn 2.VÒ kĩ n¨ng - Vận dụng thành thạo và linh hoạt phương pháp này để giải các bài toán tính tích phân - Nhận dạng bài toán tính tích phân,từ đó có thể tổng quát hoá dạng toán tương ứng Về tư duy, thái độ - BiÕt quy l¹ vÒ quen - biết nhận xét đánh giá bài làm bạn II.Chuẩn bị phương tiện dạy học Chuẩn bị giáo viên: Giáo án,phấn bảng,đồ dùng dạy học cần thiết khác ChuÈn bÞ cña häc sinh Ngoài đồ dùng học tập cần thiết,cần có: - Kiến thức cũ nguyên hàm,địng nghĩa tích phân,và hai phương pháp tính tích phân - Giấy nháp và MTBT,các đồ dùng học tập khác III.Phương pháp giảng dạy Chủ yếu là vấn đáp gợi mở,kết hợp với các hoạt động tư học sinh IV.TiÕn tr×nh bµi häc ổn định tổ chức lớp,kiểm tra sĩ số 2.KiÓm tra bµi cò Câu 1: Hãy trình bày phương pháp đổi biến số C©u 2: H·y nªu c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn 3.Bµi míi Hoạt động 1: Luyện tập công thức đổi biến số GV: Nguyễn Thu Hà 13 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (14) Trường THPT Lê Trung Đình HĐGV - Giao nhiÖm vô cho häc sinh - Theo dâi häc sinh lµm viÖc,gîi y cho HS nÕu cÇn thiÕt - Cho HS nhËn d¹ng vµ nªu c¸ch gi¶i quyÕt cho tõng c©u - Nªu c¸ch gi¶i kh¸c (nÕu cã) Giáo án giải tích 12 HĐHS -Tr¶ lêi c©u hái cña GV: a) §Æt u(x) = x+1 u(0) = 1, u(3) = Khi đó I= 4 NỘI DUNG TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) I = 4 2 14 udu u du u u u (8 1) 3 3 1 b)§Æt u(x) = , cos3x u (0) 0, u ( ) 1 Khi đó J = u u 0 3du x 1dx b) J = 6 (1 cos3x) sin 3xdx c)§Æt u(x) = 2sint, t , Khi 2 đó - Nªu d¹ng tæng qu¸t vµ c¸ch gi¶i 4sin t cos tdt cos tdt 0 c) K = (1 cos 2t )dt (2t sin 2t ) 02 x dx 0 Hoạt đông 2: LuyÖn tËp tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn HĐGV Ghi l¹i c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn mµ hs đã trả lời trên b udv uv a b a b vdu a -Giao nhiÖm vô cho häc sinh -Cho häc sinh nhËn d¹ng bµi to¸n trªn vµ nªu c¸ch giải tương ứng -Gäi häc sinh gi¶i trªn b¶ng Theo dâi c¸c häc sinh khác làm việc,định hướng,gợi ý cần thiết -NhËn xÐt bµi gi¶i cña häc sinh,chØnh söa vµ đưa bài giải đúng -Nªu c¸ch gi¶i tæng qu¸t cho c¸c bµi to¸n trªn GV: Nguyễn Thu Hà HĐHS -NhËn nhiÖm vô vµ suy nghÜ t×m c¸ch gi¶i quyÕt bµi to¸n NỘI DUNG TÝnh c¸c tÝch ph©n sau I1= u x du 2dx Khi dv cos xdx v sin x 1.§Æt đó: I1= (2 x 1) cos xdx (2 x 1) sin x 02 sin xdx cos x 02 dx du u ln x x 2.§Æt dv x dx v x Khi e I2= x ln xdx đó I2= e e e x3 e3 x e3 e3 2e3 ln x x dx 31 9 14 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (15) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 du xdx u x 3.§Æt x x dv e dx v e I3= x e x dx Khi đó 1 I3= x e x 2 xe x dx e J víi J xe x dx (Tính J tương tự I3) Hoạt động 3: Cñng cè bµi Hoạt động giáo viên KiÓu 1: §Æt t = u(x), víi tÝch ph©n cã d¹ng Hoạt động học sinh -LÜnh h«i kiÕn thøc,vµ ghi bµi b a b b f (u ( x)).u '( x)dx a b f ( x, a b a f ( x) cos kxdx -Đưa cách đổi biến, đổi cận KiÓu 2: §Æt x = u(t) víi tÝch ph©n cã d¹ng m x )dx hay f ( x, )dx ,v.v x m2 f ( x) sin kxdx hay a §Æt u f ( x) u f ( x) hay dv sin kxdx dv cos kxdx -§Æt x= msint, t , 2 x=mtant, t , 2 b f ( x )e kx dx a u f ( x) - Tõ bµi to¸n 2,®a mét sè d¹ng tæng qu¸t cã thÓ trùc tiÕp dïng tÝch ph©n tng phÇn §Æt kx dv e dx b f ( x) ln k xdx a ,v.v u ln k x dv f ( x)dx §Æt V.Hướng dẫn học nhà và bài tập nhà 1.Xem lai cách giải các bài toán đã giải,cách giải tổng quát và làm các bài tập còn lại SGK 2.TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: ln 1 x dx x ln(1 x )dx e GV: Nguyễn Thu Hà sin(ln x)dx x sin xdx ln dx x4 2 e e x 1dx x x dx 1 15 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (16) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết: 57 - 58 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN I Mục tiêu: Về kiến thức: - Viết và giải thích công thức diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b Hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b - Nắm công thức thể tích vật thể nói chung - Nắm công thức thể tích khối tròn xoay, công thức khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox Về kỹ năng: - Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập công thức tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt - Ứng dụng tích phân để tính thể tích nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng Về tư duy, thái độ: - Thấy ứng dụng rộng rãi tích phân việc tính diện tích, thể tích - Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo học tập II Chuẩn bị: Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết tích phân, đọc nội dung bài III Tiến trình bài dạy: Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong 2 Kiểm tra bài cũ: Tính I x 3x .dx Bài mới: Tiết 1: Hoạt động 1: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và trục hoành HĐGV HĐTP 1: Xây dựng công thức - Cho học sinh tiến hành hoạt động SGK - GV treo bảng phụ hình vẽ 51, 52 SGK - GV đặt vấn đề nghiên cứu cách tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b - GV giới thiệu trường hợp: + Nếu hàm y = f(x) liên tục và không âm trên a; b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị f(x), trục Ox và các đường thẳng GV: Nguyễn Thu Hà HĐHS - Tiến hành giải hoạt động - Hs suy nghĩ NỘI DUNG I Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn đường cong và trục hoành y f(x) D: y x a,x b b Diện tích S f ( x ) dx a - Giải ví dụ SGK 16 Lop12.net Ví dụ 1: SGK Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y x 3x và trục hoành Ox Bài giải Hoành độ giao điểm Parabol Năm học 2010 - 2011 (17) Trường THPT Lê Trung Đình x = a, x = b là: Giáo án giải tích 12 - Tiến hành hoạt động nhóm y x 3x và trục hoành Ox là nghiệm phương trình x x 3x x2 b S f ( x )dx a + Nếu hàm y = f(x) trên a; b Diện tích S b S ( f ( x ))dx Tổng 3x .dx a + x x3 x2 3 x 1 quát: b S f ( x ) dx a HĐTP2: Củng cố công thức - Gv đưa ví dụ SGK, hướng dẫn học sinh thực - Gv phát phiếu học tập số Hoạt động 2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong HĐTP 1: Xây dựng công thức - GV treo bảng phụ hình vẽ 54 SGK - GV đặt vấn đề nghiên cứu cách tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f1(x), và y = f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b - Từ công thức tính diện tích hình thang cong suy diện tích hình phẳng trên tính công thức - Theo dõi hình vẽ - Hs lĩnh hội và ghi nhớ b S f1 ( x ) f ( x ) dx a b - Theo dõi, thực a - Hs tiến hành giải định hướng giáo viên - Hs thảo luận theo nhóm và tiến hành giải Hoành độ giao điểm đường đã cho là nghiệm ptrình x2 + = – x x2 + x – = x x 2 S f1 ( x ) f ( x ) dx HĐTP2: Củng cố công thức - Gv hướng dẫn học sinh giải vd2, vd3 SGK - Gv phát phiếu học tập số + Phân nhóm, yêu cầu Hs thực Hình phẳng giới hạn hai đường cong Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên a; b Gọi D là hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b hình 54 thì diện tích hình phẳng tính theo công thức Lưu ý: Để tính S ta thực theo các cách Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức f1(x) – f2(x) khử dấu trị tuyệt đối Cách 2: Tìm nghiệm phương trình f1(x) – f2(x) = Giả sử ptrình có nghiệm c, d (c < d) thuộc a; b thì: S 17 Lop12.net (3 x ) 2 (x x 2)dx 2 GV: Nguyễn Thu Hà x Năm học 2010 - 2011 (18) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 + Treo bảng phụ, trình bày cách giải bài tập phiếu học tập số Tiết 2: Hoạt động 1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể HĐGV HĐHS NỘI DUNG - Giáo viên đặt vấn đề SGK và thông báo công thức tính thể tich vật thể (treo hình vẽ đã chuẩn bị lên bảng) - Hs giải vấn đề đưa định hướng giáo viên II Tính thể tích Thể tích vật thể Một vật thể V giới hạn mp (P) và (Q) Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông góc với (P) và (Q) Gọi a, b (a < b) là giao điểm (P) và (Q) với Ox Gọi mp tùy ý vuông góc với Ox x ( x a; b ) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên a; b Khi đó thể tích vật thể V tính công thức - Hướng dẫn Hs giải vd4 SGK - Thực theo hướng dẫn giáo viên b V S ( x )dx a Hoạt động 2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt - Xét khối nón (khối chóp) đỉnh A và diện tích đáy là S, đường cao AI = h Tính diện tích S(x) thiết diện khối chóp (khối nón) cắt mp song song với đáy? Tính tích phân trên - Đối với khối chóp cụt, nón cụt giới hạn mp đáy có hoành độ AI0 = h0 và AI1 = h1 (h0 < h1) Gọi S0 và S1 là diện tích mặt đáy tương ứng Viết công thức tính thể tích khối chóp cụt này - Củng cố công thức: + Giáo viên phát phiếu học Yêu cầu Hs làm việc theo GV: Nguyễn Thu Hà x2 S ( x) S h Do đó, thể tích khối chóp (khối nón) là: h x2 S h V S dx h Thể tích khối chóp và khối chóp cụt * Thể tích khối chóp: h x2 S h V S dx h * Thể tích khối chóp cụt: h V S S S1 S1 - Hs tiến hành giải vấn đề đưa định hướng giáo viên Thể tích khối chóp cụt (nón cụt) là: h V S S S1 S1 18 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (19) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 nhóm HĐ3: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích khối tròn xoay Hoạt động giáo viên - Giáo viên nhắc lại khái niệm khối tròn xoay: Một mp quay quanh trục nào đó tạo nên khối tròn xoay + Gv định hướng Hs tính thể tích khối tròn xoay (treo bảng phụ trình bày hình vẽ 60SGK) Xét bài toán cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên a; b Hình phẳng giới hạn đồ thị y = f(x), trục hoành và đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo nên khối tròn xoay Hoạt động học sinh Nội dung chính III Thể tích khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay b - Thiết diện khối tròn xoay cắt mp vuông góc với Ox là hình tròn có bán kính y = f(x) nên diện tích thiết diện là: S ( x) f ( x) Suy thể tích khối tròn xoay là: V f ( x )dx a Thể tích khối cầu bán kính R V R 3 b V f ( x )dx a Hoạt động 2: Củng cố công thức - Gv hướng dẫn Hs giải - Dưới định hướng vd5, vd6 SGK giáo viên Hs hình thành công thức tính thể tích khối cầu và giải vd5 SGK - Chia nhóm học sinh, yêu cầu Hs làm việc theo nhóm để giải vdụ + Đối với câu a) Gv - Tiến hành làm việc theo hướng dẫn Hs vẽ hình cho nhóm dễ hình dung Ví dụ: Tính thể tích vật tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) xác định các đường sau quanh trục Ox a) y x x , y = 0, x = và x =3 b) y e x cos x , y = 0, x = ,x= Giải: - Đại diện các nhóm lên trình bày và nhận xét bài làm nhóm khác 1 V x x dx 0 x6 81 x x dx 35 0 V e x cos x dx + Đánh giá bài làm và chính xác hoá kết b) 2x e dx e 2x cos xdx (3.e 2 e ) Củng cố: - Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm bài học - Nhắc lại công thức tính thể tích vật thể nói chung từ đó suy công thức thể tích khối chóp, khối nón GV: Nguyễn Thu Hà 19 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (20) Trường THPT Lê Trung Đình Giáo án giải tích 12 - Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay Bài tập nhà: - Giải các bài tập SGK - Bài tập làm thêm: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau a) x 0, x 1, y 0, y x x b) y x 1, x y c) y x 2, y x d) y 4x x , y y ln x, y 0, x e e) f) x y , y 1, x Tính diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y x x tiếp tuyến với nó điểm M(3;5) và trục tung Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau đây nó quay xung quanh trục Ox a) y cos x, y 0, x 0, x b) y sin x, y 0, x 0, x c) y xe , y 0, x 0, x x GV: Nguyễn Thu Hà 20 Lop12.net Năm học 2010 - 2011 (21)