+ Biến đổi nhờ việc xét dấu các biểu thức trong giá trị tuyệt đối để tính I =.. B¶ng xÐt dÊu fx..[r]
(1)www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 1: C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n Th«ng thường ta gÆp c¸c lo¹i tÝch ph©n sau ®©y: +) Loại 1: TÝch ph©n cña hµm sè ®a thøc ph©n thøc h÷u tû +) Loại 2: TÝch ph©n cña hµm sè chøa c¨n thøc +) Loại 3: TÝch ph©n cña hµm sè l−îng gi¸c +) Loại 4: TÝch ph©n cña hµm sè mò vµ logarit Đối với các tích phân đó có thể tích theo các ph−ơng pháp sau: I) Ph−ơng pháp biến đổi trực tiếp b ∫ f (x)dx = F(x) Dùng các công thức biến đổi các tích phân đơn giản và áp dụng đ−ợc b = F( b ) − F ( a ) a a +) Biến đổi phân thức tổng hiệu các phân thức đơn giản VÝ dô TÝnh: I = ∫ ∫ e2 ( e2 x − 3x + 4 dx = x −1 / − + dx = x − 3x + ln x x x ∫ J = 2 x − 2x 2 dx ta cã I = ( − )dx = ln x + = (ln + 1) − (ln + 2) = ln − x x x x 1 ∫ ) e2 = −3e + 4e + 8 x − 3x − 1 207 4 4 dx = x − x / − x − / dx = x − x − x = 3 3 4 1 x 1 +) Biến đổi nhờ các công thức l−ợng giác VÝ dô TÝnh: ∫ K = ∫ π /2 π /2 π /2 1 I = cos 3x cos 5xdx = (cos 2x + cos 8x )dx = sin 2x + sin 8x = −π / 2 −π / −π / ∫ ∫ π /2 ∫ J = ∫ −π / π /2 ∫ K = π /2 π /2 (cos(−5x ) − cos 9x )dx = sin 5x − sin 9x = −π / 2 −π / 45 sin 2x sin 7xdx = ∫ −π / sin x cos 3xdx = −π / π ∫ H = sin 2x cos xdx = sin x 0 π (sin 4x + sin 10x )dx = − cos 4x + cos10x = −π / 2 10 −π / ∫ π π ∫ π /2 π /2 π /2 cos 3x sin 7xdx = + cos x dx = − cos x − cos x = biến đổi 16 0 π π + cos x H = sin 2x cos xdx = sin x dx = − cos x − cos x = 16 0 0 ∫ ∫ π /2 G = π /2 π /2 + sin 2x + cos 2x (sin x + cos x ) + cos x − sin x π /2 dx = dx = cos xdx = (− sin x ) π / = −1 sin x + cos x sin x + cos x π /6 π /6 π /6 ∫ ∫ π /2 ∫ E = π /2 sin xdx = ∫ 0 π /4 π /4 ∫ tan F = xdx = − cos x dx = π /2 1 sin x − sin x ∫ (3 + cos 4x − cos 2x )dx = 3x + 8 π /2 0 = 3π 16 π /2 ∫ cos ∫ x −π π /4 − 1dx = (tan x − x ) = §Ò xuÊt: F1 = cot xdx vµ π /4 ∫ π /4 F2 = ∫ tan xdx +) Biến đổi biểu thức ngoài vi phân vào vi phân VÝ dô TÝnh: ∫ 1 I = ( 2x + 1) dx = 2 J = ∫ 1 ( x + 1) (2 x + 1) d (2 x + 1) = 20 ∫ = 10 1 (2 x + 1) −2 dx = (2 x − 1) −3 d ( x − 1) = 21 −2 ( 2x − 1) ∫ =− 1 (2 x − 1) GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net =0 (2) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 7/ ∫ K = 3x − 3dx = =− 25 − 3x 7/3 ∫ (3x − 3)1 / d (3x − 3) = (3x − 3) 7/3 = dx ∫ H = 16 1 −2 10 − 13 (25 − 3x ) −1 / d(25 − 3x ) = (25 − 3x )1 / = 30 3 ∫ x +1 − x −1 1 − −1 dx = ( x + − x − )dx = ( x − 1) − ( x + 1) x+1 + x−1 1 (Nh©n c¶ tö vµ mÉu víi bt liªn hîp cña mÉu sè) ∫ G = §Ò xuÊt G = dx = ∫ ∫ ax + b + ax + c P = ∫ (ax + b ) + (ax + c) + C víi a ≠ 0; b ≠ c a( b − c ) dx = ∫x ∫ ∫ ∫ 0 − x dx = ( x − + 1) − x dx = − ( x − 1) − x d(1 − x ) + 0 1 ∫ Q = e 1− x xdx = − 1− x e d(1 − x ) = −e1− x 20 ∫ ∫ §Ò xuÊt Q = x + x dx = 1 − x dx = = e −1 4−6 HD ®−a x vµo vi ph©n vµ thªm bít (x2 + - 1) 15 VÝ dô TÝnh: π π /2 ∫ ∫ I = ( cos 3x + sin 2x )dx = ; I = 0 π /4 J = sin x cos xdx = ∫ π /2 tan xdx = ln ; J = ∫ π /4 cot xdx = ln vµ J = π /6 vµ I = π /2 ∫e cos x sin xdx = e − sin x ∫ + cos x dx = ln (®−a sinx, cosx vµo vi ph©n) e K = sin(ln x ) dx = − cos ; K = x ∫ e2 ∫ cos(ln x ) dx = − cos vµ K = x e3 ∫x 1 + ln x dx = {đ−a 1/x vào vi phân để đ−ợc d(lnx)} ln H = ∫ ex dx = ln + e x + ex ln H2 = ∫ ln H3 = ∫ H4 = ∫e x e dx = + e −x x = ln 2+e ln − ex dx = + ex dx = x e +5 ln + e x − 2e x dx = 1+ ex ∫ ln ∫ ∫ ln dx − (e x + − e x )dx = ex + ln ∫ dx − ex dx = ln − ln 1+ ex ∫ ln ∫ ln e x dx 1 12 = x − ln e x + = ln x 5 e +5 5 0 e dx 1 e2 + = ln e x + = ln 2x 2 +1 ∫e ln 2x b +) Biến đổi nhờ việc xét dấu các biểu thức giá trị tuyệt đối để tính I = ∫ f (x, m) dx a - XÐt dÊu hµm sè f(x,m) ®o¹n [a; b] vµ chia [a; b] = [a; c1 ] ∪ [c1 ; c ] ∪ ∪ [c n ; b] trªn mçi ®o¹n hµm sè f(x,m) gi÷ mét dÊu c1 - TÝnh I = ∫ a c2 f ( x , m) dx + ∫ c1 b f ( x , m) dx + + ∫ f (x, m) dx cn VÝ dô TÝnh: I = ∫x + 2x − dx Ta xÐt pt: x + 2x = ⇔ x = ∨ x = B¶ng xÐt dÊu f(x) GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net (3) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Suy I = ∫ x + x − dx + ∫ ∫ ∫ 4x − x −2 dx tÝnh t−¬ng tù ta cã J = −3 K = ∫2 − dx = + x 2π ∫ dx + ∫ 4x − x ∫ dx + 4x − x dx = 16 −2 ln 2π H = ∫ 4x − x −3 ∫ J = x + x − dx = − ( x + x − 3)dx + ( x + x − 3)dx = − cos 2xdx = π 2π ∫ sin x dx = sin x dx + 0 ∫ ∫ sin x dx = 2 π π ∫ H2 = − sin 2xdx {ViÕt (1 – sin2x) vÒ b×nh ph−¬ng cña mét biÓu thøc råi khai c¨n} π = ∫ π /4 sin x + cos x dx = ∫ 3π / sin x + cos x dx + ∫ 3π / sin x + cos x dx + π /4 ∫ sin x + cos x dx = 2 3π / II) Ph−ơng pháp đổi biến số A - Ph−ơng pháp đổi biến số dạng 1: b ∫ Gi¶ sö cÇn tÝnh tÝch ph©n I = f ( x )dx ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau: a - B−íc §Æt x = u(t) - B−íc LÊy vi ph©n dx = u’(t)dt vµ biÓu thÞ f(x)dx theo t vµ dt Ch¼ng h¹n f(x)dx = g(t)dt - B−íc §æi cËn x = a th× u(t) = a øng víi t = α ; x = b th× u(t) = b øng víi t = β β ∫ - B−ớc Biến đổi I = g( t )dt (tích phân này dễ tính thì phép đổi biến có ý nghĩa) α Cách đặt đổi biến dạng Cách đặt Nếu hàm số chứa VÝ dô TÝnh: 1 − x2 dx ta đặt x = sin t; t ∈ [ −π / 2; π / 2] ⇒ dx = cost.dt; đổi cận x = x2 ∫ A = − x thì đặt x = sin t; t ∈ [−π / 2;π / 2] đặt x = cos t; t ∈ [0;π ] 2/2 π /2 = thì t = π / Khi đó A = π /2 ∫ x2 − x2 π /2 − sin t cos t − sin t −π cos t dt dt dt = = = 2 sin t sin t sin t π /4 π /4 ∫ ∫ π /4 B = /2 th× t = π / ; x dx ta viÕt B = ∫2 x2 − ( x / 2) ∫ dx §Æt ( x / 2) = cos t; t ∈ [0; π ] ⇒ x = cos t ⇒ dx = −2 sin tdt π /3 §æi cËn suy B = ∫2 π /2 π /2 (2 cos t ) − cos t (−2 sin tdt ) = π /3 π ∫ (1 + cos 2t )dt = − π /3 2 3.x dx x − 3x dx Tr−íc hÕt ta viÕt C = x − 0 C = ∫ π /2 cos tdt = ∫ ∫ §Æt x = sin t; t ∈ [−π / 2; π / 2] ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng: C= 16 3 π /3 ∫ sin t cos tdt = 3 π /3 ∫ − cos 4t 3π dt = + 27 12 Chó ý: GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net (4) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN x = sin t; t ∈ [ −π / 2; π / 2] x a và đặt a − x = a − x a = cos t; t ∈ [0; π ] a a − x , a > th× ta viÕt - NÕu hµm sè chøa a − bx , a, b > th× ta viÕt - NÕu hµm sè chøa b a − bx = a − x a và đặt b a b a x = sin t; t ∈ [−π / 2; π / 2] x = cos t; t ∈ [0; π ] VÝ dô TÝnh: ∫ E = x x2 − 2/ 2/ 2 /3 x − (1 / x ) 2/ 2 /3 ∫ ta viÕt G = ( x π /3 ∫ ∫ 1/ 1+ x ∫ (a ( a ∫ ta viÕt Q = 1− X2 } ) + x + x thì ta đặt x = tan t; t ∈ (− π / 2; π / ) 2 dx ta đặt x = tan t; t ∈ (− π / 2; π / 2) suy N = π /3 cos t 18 − dt = t ∫ sin π /4 x a 1 + ( ) a ∫x ax − b th× viÕt vÒ d¹ng dx; a ≠ + x )2 Q = = sin t; t ∈ [− π / 2; π / 2] suy tÝch ph©n cã d¹ng ∫ ∫x ta viÕt P = π /3 a P = dx và đặt π dx ta đặt x = tan t; t ∈ (− π / 2; π / 2) suy M = dt = 1+ x π /6 3 N = 3x Cách đặt Nếu tích phân có chứa x = cot t; t ∈ (0; π ) VÝ dô TÝnh: ) 1− X2 } (π + − 3 ) {NÕu tÝch ph©n cã d¹ng 16 3 cos tdt = π /4 M = ∫ 3.x − / 3x 2/ G= π dx và đặt = sin t; t ∈ [− π / 2; π / 2] suy E = dt = x 12 π /4 3x − dx {ViÕt tÝch ph©n vÒ d¹ng x3 ∫ G = π /3 ∫ ta viÕt E = 1− X2 } {ViÕt tÝch ph©n vÒ d¹ng dx dx và đặt x = tan t; ⇒ P = a a π /4 ∫ cos tdt = π +2 4a dx + x+1 ∫ + ( x + ) dx và đặt Chó ý: NÕu gÆp tÝch ph©n chøa a + bx hoÆc b hoÆc a + b x = a 1 + x a 1 x + = tan t; t ∈ (− π / 2; π / 2) ⇒ Q = 2 3 ∫ dt = 3π a + bx th× ta viÕt: b a + bx = a + x và ta đặt a GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net b a x = tan t; t ∈ (− π / 2; π / ) (5) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN a−x hoÆc a+x Cách đặt Nếu tích phân có chứa a+x thì ta đặt ta đặt x = a cos 2t; t ∈ [0;π / 2] và l−u ý vận dụng a−x 1 − cos 2t = sin t 1 + cos 2t = cos t VÝ dô TÝnh: π /4 a+x + cos t 4−π dx; a > ta đặt x = a cos 2t; t ∈ [0; π / 2] suy I = (−2a sin t )dt = a a−x − cos t π /2 ∫ I = ∫ −a π /8 /2 1+ x + cos t dx ta đặt x = cos t; t ∈ [0; π / 2] suy J = (−2 sin t )dt = 1− x − cos t π /4 ∫ J = ∫ π /4 ∫ J = cos tdt = π +4−2 π /8 1+ x = t suy rra tÝch ph©n J vÒ d¹ng tÝch ph©n cña hµm sè h÷u tû} 1− x {có thể đặt B - Ph−ơng pháp đổi biến số dạng 2: b ∫ Gi¶ sö cÇn tÝnh tÝch ph©n I = f ( x )dx ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau: a - B−íc §Æt t = v(x) - B−íc LÊy vi ph©n dx = u’(t)dt vµ biÓu thÞ f(x)dx theo t vµ dt Ch¼ng h¹n f(x)dx = g(t)dt - B−íc §æi cËn x = a th× u(t) = a øng víi t = α ; x = b th× u(t) = b øng víi t = β β ∫ - B−ớc Biến đổi I = g ( t )dt (tích phân này dễ tính thì phép đổi biến có ý nghĩa) α Cách đặt đổi biến dạng Cách đặt Nếu hàm số chứa ẩn mẫu thì đặt t = mẫu số VÝ dô TÝnh: π /2 ∫ I = π /4 J = ∫ sin 2x dx ta có thể đặt t = - cos2x suy I = − cos x dt ∫t = ln sin 2x dt dx đặt t = sin x + cos x = + cos x suy J = = ln t sin x + cos x 3/ ∫ {có thể hạ bậc để biến đổi tiếp mẫu số cos2x sau đó đ−a sin2x vào vi phân} π /2 §Ò xuÊt: J = ∫a ln K = ∫e x sin x cos x dx víi a + b > 2 sin x + b cos x dx ta đặt t = e x + ⇒ e x = t − ⇒ e x dx = dt sau đó làm xuất tích phân biểu +5 ln thøc e x dx ⇒ K = ∫ e x dx = e x (e x + 5) {Có thể biến đổi trực tiếp K = π /2 H = ∫ ln x ∫ ∫ dt t−5 = ln t ( t − 5) t e +5−e dx = ex + x ln ∫ = 12 ln e +5 dx − ex + x ln ∫ ex 12 dx = ln } e +5 x sin 2x + cos x dx ta đặt t = sin x − cos x + ⇒ H = 2 ( sin x − cos 2x + 4) ∫t dt = 21 {đôI không đặt MS} π /2 G = ∫ sin x cos x dx chú ý tách mũ = +1 đặt + cos x t = + cos x ⇒ cos x = t − ⇒ sin x cos xdx = −dt đó: G = ∫ GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net ( t − 1) − ln 1 dt = ( t − ln t ) = 21 t 2 1 (6) www.MATHVN.com π /4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN cos 2x ∫ sin x + cos x + dx M = ta đặt t = sin x + cos x + ⇒ dt = (cos x − sin x )dx l−u ý cos2x = (cosx+sinx)(cosx-sinx) π /4 (cos x + sin x )(cos x − sin x ) dx = sin x + cos x + ∫ M= π /4 cos 2x ∫ (sin x + cos x + 2) N = 2+ 2+ ( t − 2)dt = (t − ln t ) t ∫ = − + ln +2 dx đặt t = sin x + cos x + suy 2+ 2+ ( t − 2)dt 1 = − t3 t3 t ∫ N= π /4 §Ò xuÊt: M = = (2 + ) − 2+ π /4 cos 2x 1 + = − 9 2(1 + ) cos 2x dx (sin x − cos x + 2) ∫ sin x − cos x + dx vµ N = ∫ − Cách đặt Nếu hàm số chứa thức n ϕ ( x) thì đặt t = n ϕ ( x) sau đó luỹ thừa vế và lấy vi phân vế VÝ dô TÝnh: 4x − ∫ 2+ I = 2 I= ∫x H = ∫x H= ∫x G = ∫ G= ∫ 1+ x x +1 = ∫ −1 ta cã: M = ∫ 2 dx = ∫ ∫ ⇒ x = t − ⇒ xdx = tdt ⇒ J = 2 ∫ tdt t −1 = ln ( t − 1) t t + = 2 +1 ln t dt = t + t2 ∫ ( t + 1)( t − 1) tdt t 26 = − t = t 5 1 x + + 9x + 2 dt t −1 = ln t −1 t +1 ∫ dx ta đặt t = + x ⇒ x = t − ⇒ xdx = tdt nhóm x2.x.(x2 +2) ta đ−ợc: x2 +1 6 M = dx ta đặt t = + x ⇒ x = t − ⇒ 3x dx = 2tdt nhân tử và mẫu số với x2 ta đ−ợc: ( x + 2) x x 2 x + 2x 3 141 ( t − t )dt = ⇒ x = t − ⇒ 2xdx = 3t dt ⇒ J = 21 20 dx ta đặt t = + x + x2 1+ x ∫ xdx ) dx ta đặt t = + x 2 4 t − 8t + dt − dt = − ln 91 2+t 27 3 + x2 3 K = ∫( ) x3 ∫ J = t − 13t dt = 2+ t ∫ ( 2 t − ⇒ dx = tdt đó đ−a tích phân dạng: 3 dx ta đặt t = 3x + ⇒ x = 3x + dx ta đặt t = x + ⇒ x = ( ) t − ⇒ dx = t dt luü thõa bËc hai vµ bËc ba t dt 2 11 2 = (t − t + − )dt = + ln t +1 t +1 3 3 ∫ VÝ dô TÝnh: π /2 [§H.2005.A] P = ∫ sin 2x + sin x dx ta đặt t = + cos x ⇒ cos x = ( t − 1) ⇒ sin xdx = − tdt nhóm 3 + cos x π /2 nh©n tö sinx ta cã: P = ∫ (2 cos x + 1) sin xdx + cos x = ∫ (2t ) + dx = GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 2t 34 + t = 9 27 (7) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN π cos 3x + sin 2x 2 Q = ∫ + sin x .dx ta đặt t = + sin x ⇒ sin x = 2 ( t − 1) ⇒ cos xdx = tdt ¸p dông c«ng thøc 3 π π cos x − cos x + sin x cos x nhân đôi và nhân ta viết: Q = ∫ + sin x .dx = ∫ − sin x − + sin x + sin x cos xdx 2 2 14 206 (−4 t + 14 t − 1)dt = VËy Q = − t + t − t = 27 27 405 ∫ π [§H.2006.A] R = sin 2x ∫ cos x + sin x 2 2 tdt đó: R = 3 sin xdx = ∫ dx ta đặt t = + sin x ⇒ sin x = ( t − 1) ⇒ tdt 2 = t = t 3 VÝ dô TÝnh: e P = ln x + ln x dx x ∫ 1 dx 2 ( t − 1) ⇒ = tdt đó: P = x 3 Ta đặt t = + ln x ⇒ ln x = e Q = ∫x − ln x + ln x Q= ∫ − ( t − 1) tdt = t ln e +1 x ln S = X = ln x ∫ e e x ) − t dx = 116 135 t3 − 11 (4 − t )dt = t − = 3 1 ∫ Ta đặt t = e x + suy e x dx = 2tdt ⇒ R = ∫t e dx ∫1+ dx ( t − 1) ⇒ = tdt Khi đó: x dx ∫ R = ∫ (t dx Ta đặt t = + ln x ⇒ ln x = 2 Ta đặt t = e x suy S = 3dx 2dt −1 +1 = ln −1 +1 −1 2e ∫ t (t + 1) = ln e + 1 e − 1dx ex + x Cách đặt Nếu hàm số chứa các đại l−ợng sin x , cos x và tan x x thì ta đặt t = tan đó 2 2t − t2 , cos x = 1+t + t2 VÝ dô TÝnh: sin x = π /2 Q = ∫ sin x + cos x + 5.dx Ta đặt t = tan π /3 L = ∫ x 2dt vµ Q = ⇒ dx = 1+ t2 ∫ 1 t +1 dt = ln t+4 t + 5t + 1 = ln x 1/ 1/ tdt dx ta đặt t = tan x ⇒ dx = 2dt và L = = ln t + 2 cos x + 2 1+ t t +3 tan ∫ GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net = ln 10 (8) www.MATHVN.com π ∫ V = = V1 + cos x dt dx ta đặt t = tan x ⇒ dx = vµ V = cos x + sin x + 1+ t2 1 ln t + ta tÝnh V1 = π 4 N = CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ∫ ∫ t = tan y dt π = suy V = 2(1 + t ) + tan x dx ta viÕt N = cos x + sin x − sin x + π ∫ t = tan x ⇒ dx = π ∫ (1 + t )dt = 2(1 + t ) ∫ dt + 2(1 + t ) cos x ∫ cos 2x + sin 2x + dx = tdt ∫ 2(1 + t ) π + ln + tan x dx và đặt cos x + sin x + 1 1+ t t2 + ln dt suy N = dt = + t + ln t + = 2 t +1 2 1+ t 0 ∫ π sin x − π (sin x − cos x ) 4 [§H.2008.B] F = dx ta viÕt F = dx dùa sin x + ( + sin x + cos x ) sin x cos x + 2(1 + sin x + cos x ) 0 vào mối quan hệ sin x + cos x và sin x cos x ta đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x )dx và π ∫ ∫ t2 −1 − dt sin x cos x = đó F = =− 2 t − + 2(1 + t ) Cách đặt Dựa vào đặc điểm hai cận tích phân ∫ a ∫ dt 1 1 = = − t + 2t + t +1 2+ 2 ∫ a ∫ ∫ ∫ Nếu tích phân có dạng I = f ( x )dx thì ta có thể viết I = f ( x )dx + f ( x )dx đặt t = - x để biến đổi I1 = f ( x )dx −a −a −a π ∫ Nếu tích phân có dạng I = f ( x )dx thì ta có thể đặt t = π - x 2π NÕu tÝch ph©n cã d¹ng I = ∫ f (x)dx thì ta có thể đặt t = π - x π /2 ∫ f (x)dx thì ta có thể đặt t = NÕu tÝch ph©n cã d¹ng I = π -x b ∫ Nếu tích phân có dạng I = f ( x )dx thì ta có thể đặt t = (a + b) - x a VÝ dô TÝnh: ∫ ∫ ∫x I = x 2008 sin xdx ta viÕt I = x 2008 sin xdx + −1 −1 π J = π π x sin x π sin t t sin t dx ta đặt t = π − x đó J = dt − dt ta đổi biến tiếp: 2 + cos x + cos t + cos t 0 ∫ π J1 = sin xdx = A + B Ta đặt t = -x thì A = - B I = 2008 ∫ π sin t ∫ + cos cos t = tan u t dt ==== π2 ∫ π vµ J = t =− x t sin t π2 π2 dt === J VËy J = −J⇒J= 2 + cos t ∫ Cách đặt Nếu tích phân có chứa ax + bx + c ; a > thì ta có thể đặt t − a x = ax + bx + c sau đó tính x theo t vµ tÝnh dx theo t vµ dt.{PhÐp thÕ ¬le} VÝ dô TÝnh: 1 I = ∫ dx x − x +1 2 J = ∫ dx ta đặt t − x = x − x + ⇒ x = 1− t2 ⇒ I= 2t + ta đặt t − 3x = x − x + ⇒ x = 9x − 2x + III)Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn 2 2dt ∫ 2t − = ln t −1 ⇒ J= 2(3t − 1) GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 2 ∫ dt −1 = ln 3t − (9) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN b ∫ -Giả sử cần tính tích phân I = f ( x )dx Khi đó ta thực các b−ớc tình: a b b ∫ ∫ a a B−íc ViÕt tÝch ph©n d−íi d¹ng: I = f ( x )dx = g( x ).h ( x )dx du = g ' ( x )dx u = g ( x ) B−íc §Æt ⇒ dv = h ( x ).dx v = h ( x ).dx ∫ b B−íc ¸p dông c«ng thøc: hay ∫ b ∫ b u.dv = u.v a − v.du a a Các cách đặt để tích phân phần: b du = P' ( x )dx u = P ( x ) +Cách đặt Nếu tích phân có dạng I = P( x ) sin ax.dx thì ta đặt ⇒ cos ax dv = sin ax dx v = − a a b du = P' ( x )dx u = P ( x ) Nếu tích phân có dạng P( x ) cos ax.dx thì ta đặt ⇒ sin ax dv = cos ax dx v = a a du = P' ( x )dx b u = P ( x ) ax Nếu tích phân có dạng P( x ).e dx thì ta đặt ⇒ e ax ax dv = e dx v = a a VÝ dô TÝnh: ∫ ∫ ∫ π ∫ I = (3x − 1) sin x.dx ta đặt du = 3dx u = 3x − cos 2x ⇒ cos x ⇒ I = − (3x − 1) dv = sin x.dx v = − π π 3π cos 2x.dx = − + 20 ∫ π /2 u = x + du = xdx ( x + 1) cos x.dx ta đặt ⇒ v = sin x dv = cos x.dx ∫ J = ⇒ J = ( x + 1) sin x π /2 π ∫ − x sin x.dx = π2 +4 π /2 − 2J ta tÝnh J = ∫ x sin x.dx cách đặt u = x π /2 sau đó suy J = − x cos x + dv = sin x dx π /2 ∫ cos xdx = VËy J = π2 +4 −2= π2 −4 ∫ L = ( x − x + 1).e x dx ta đặt u = x − x + 1 ⇒ L = ( x − x + 1)e x dv = e x dx 1 − e3 − 1 (2 x − 1).e x dx = − L1 30 3 ∫ u = x − 4e − 5e − Tính tiếp L = (2 x − 1).e x dx đặt ⇒ L = suy L = 3x 27 dv = e dx ∫ π π π ∫ ∫ ∫ 0 M = ( x sin x ) dx ta viÕt M = x sin x.dx = x π ∫ xÐt M = x cos x.dx u=x === dv = cos xdx vËy ta cã M = π − x cos xdx 20 ∫ π /4 ∫ π π2 π /2 M = − cos x x2 dx = sin x dx ta đổi biến t = x để đ−a M = u = t ∫ 2t sin tdt cách đặt dv = sin t.dt ⇒ M = GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net (10) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN du = b cos bxdx u = sin bx +Cách đặt Nếu tích phân có dạng I = e sin bx.dx thì ta đặt ⇒ e ax ax dv = e dx v = a a du = − b sin bxdx b u = cos bx ax ax Nếu tích phân có dạng I = e cos bx.dx thì ta đặt ⇒ e ax dv = e dx v = a a VÝ dô TÝnh: du = cos 3xdx π /2 u = sin 3x 2x I = e sin 3x.dx ta đặt ⇒ e 2x 2x dv = e dx v = b ∫ ax ∫ ∫ e 2x ⇒ I = sin 3x I1 = −cos 3x e 2x π /2 π π u = cos 3x 2x eπ − e cos 3x.dx = − − I1 (*) Ta xét I1 = e x cos 3x.dx và đặt ⇒ 2x 20 2 dv = e dx ∫ ∫ π /2 π + eπ 2x 2e π + e sin 3x.dx = + I thay vµo (*) ta cã: I = − − + I ⇒ I = − 22 20 2 13 ∫ π π ∫ ∫ 0 π F = (e x sin x ) dx ta viÕt F = e x π − cos 2x 2x 2x dx = e dx − e cos x.dx 20 20 ∫ ∫ π Ta xÐt F1 = π 2x e 2π − 1 2x e 2π − e dx = Sau hai lÇn tÝch ph©n tõng phÇn ta tÝnh ®−îc F2 = e cos x.dx = 20 20 ∫ π ∫ VËy ta cã: F = (e x sin x ) dx = ∫ e 2π − P' ( x ) du = dx u = ln[P( x )] P( x ) ⇒ +Cách đặt Nếu tích phân có dạng I = ln[P( x )].Q( x )dx thì ta đặt dv = Q( x ).dx v = Q( x )dx a VÝ dô TÝnh: du = dx 5 u = ln[x − 1] x2 x2 x −1 I = x ln(x − 1)dx ta đặt = − − ⇒ ⇒ I ln( x ) dx 2 2x − dv = x.dx v = x 2 48 ln + 27 = u = ln x + + x du = dx ⇒ J = ln(x + + x )dx ta đặt ⇒ J = ln( + 2) − 1+ x2 dv = dx v = x b ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ e e e e u = ln x x2 K = x ln xdx ta đặt suy K = ln x − x ln xdx Xét K = x ln xdx và đặt dv = xdx 1 1 ∫ ∫ ∫ u = ln x e2 + e2 −1 th× K = ⇒K= 4 dv = xdx u = ln x ln x 1 15 − ln H = dx ta đặt suy H = − ln x + x −5 dx = −5 256 x 4x dv = x dx 1 2 ∫ e ∫ π /3 G = ln(sin x ) dx đặt cos x π /6 ∫ u = ln(sin x ) π /3 du = cot xdx 3 ln3 − ln2 −π π /3 ⇒ ⇒ I = tan x ln(sin x ) π / − dx = dv = cos x dx v = tan x π /6 ∫ GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 10 (11) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN sin(ln x ) eπ dx u = cos(ln x ) du = − eπ F = cos(ln x )dx đặt ⇒ I = x cos(ln x ) + sin(ln x )dx (*) Ta xÐt ⇒ x dv = dx v = x 1 π π cos(ln x ) e e u = sin(ln x ) du = dx eπ F1 = sin(ln x )dx đặt ⇒ F1 = x sin(ln x ) − cos(ln x )dx = − F thay ⇒ x dv = dx v = x 1 π e +1 vµo (*) ta cã: F = −e π − − F ⇒ F = − III)Ph−ơng pháp tìm hệ số bất định P( x ) A- Khi gÆp tÝch ph©n: I = dx víi P(x), Q(x) lµ c¸c ®a thøc cña x Q( x ) eπ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ≥ bËc cña Q(x) th× ta lÊy P(x) chia cho Q(x) ®−îc th−¬ng A(x) vµ d− R(x), tøc lµ P(x) = Q(x).A(x) + R(x), víi bËc R(x) < bËc Q(x) P( x ) R(x ) = A( x ) + Suy : ⇒ P(x) dx = A(x)dx + R(x) dx Q( x) Q( x) Q( x) Q( x) R( x ) B−íc 2: Ta ®i tÝnh : I = dx , víi bËc R(x) < bËc Q(x) Q( x ) Cã thÓ x¶y c¸c kh¶ n¨ng sau : R(x ) M x + N +Kh¶ n¨ng 1: Víi Q( x ) = ax + bx + c ,( a ≠ ) th× bËc R(x) < ⇒ R(x) = M.x+N vµ = Q( x ) ax + bx + c TH1 : Q(x) cã nghiÖm x1, x2, tøc lµ: Q(x) = a(x – x1)(x – x2) R(x) M x + N A B Chän h»ng sè A, B cho: = = + Q( x ) a( x − x )( x − x ) x − x x − x B−íc 1: NÕu bËc cña P(x) ∫ ∫ ∫ ∫ TH2 : Q(x) cã nghiÖm kÐp x0, tøc lµ: Q( x) = a( x − x ) Chän h»ng sè A, B cho: R(x) M x + N A B = + = Q( x ) a ( x − x ) x − x0 (x − x0 )2 TH3 : Q(x) v« nghiÖm Chän h»ng sè A, B cho: R ( x ) = A.Q' ( x ) + B và R( x) A.Q' ( x) B = + Q( x) Q( x ) Q( x ) +Kh¶ n¨ng 2: Víi Q( x) = ax + bx + cx + d ,( a ≠ ) th× bËc R(x) < TH1: Q(x) cã nghiÖm x1 , x , x tøc lµ: Q( x) = a( x − x1 )( x − x )( x − x ) Chän h»ng sè A, B, C cho: R(x) R(x ) A B C = = + + Q( x ) a( x − x1 )( x − x )( x − x ) x − x x − x x − x TH2: Q(x) có n0 đơn x1 , n0 kép x , tức là: Q( x) = a( x − x1 )( x − x ) Chän h»ng sè A, B, C cho: R(x) R(x) A B C = = + + Q( x) a( x − x1 )( x − x ) x − x1 x − x ( x − x ) TH3: Q(x) cã mét nghiÖm x (béi 3), tøc lµ: Q( x) = a( x − x ) Chän h»ng sè A, B, C cho: R(x) R(x) A B C = + = + Q( x ) a( x − x ) x − x0 (x − x ) (x − x )3 TH4: Q(x) có đúng nghiệm đơn x1 , tức là: Q( x) = ( x − x1 )(ax + β x + γ ) (trong đó ∆ = β − 4aγ < ) Chän h»ng sè A, B, C cho: R(x) R( x ) A Bx + C = = + Q( x) ( x − x1 )(ax + β x + γ ) x − x1 ax + β x + γ +Khả 3: Với bậc Q( x ) >3 thì thông th−ờng ta gặp Q(x) là các biểu thức đơn giản nh−: x + ; x ± x + ; x + VÝ dô TÝnh c¸c tÝch ph©n: GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 11 (12) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 0 x2 + x + 4x − 4x − A B dx ta viÕt I = 1 + Sau đó chọn đ−ợc = + dx vµ viÕt 2 x − 3x + x − 3x + x − 3x + x − x − −1 −1 ∫ I = ∫ A = -3; B = Khi đó: I = (x − ln x − + ln x − ) ∫x J = ∫ −1 = 10 ln − ln x dx ta viÕt x = A(x2 + x + 1)’ + B suy A = 1/2; B = - 1/2 VËy J = J + J víi + x +1 J1 = d( x + x + 1) 1 = ln vµ J = − 2 x2 + x +1 ∫ dx =− x2 + x +1 dx ∫ 2 x + + 3 π /3 1 3π du = x + = tan u suy J = − 2 π /6 3 ∫ Ta đặt 3 K = ∫x K= ∫ 1 A Bx + c sau đó chọn đ−ợc A = 1/3, B = - 1/3, C = Vì viết đ−ợc dx ta viÕt = + x + 3x x x + + 3x x dx − dx = ln {V× ®−a ®−îc x vµo vi ph©n} 3x 3( x + 3) ∫ β B – Khi gÆp tÝch ph©n I = a sin x + b cos x ∫ c sin x + d cos x dx (c, d ≠ 0) th× ta viÕt TS = A.(MS) + B.(MS)’ tøc lµ chän A, B cho: α asinx + bcosx = A(csinx + dcosx) + B(csinx + dcosx)' đặt t = tan VÝ dô TÝnh: π /2 I = ∫ sin x + cos x dx ta viÕt 3sinx + 5cosx = A(sinx + cosx) + B(cosx - sinx) suy A = 4; B = sin x + cos x π /2 Khi đó: I = ∫ π /2 4dx + π /2 J = ∫ x 1− t2 2t ⇒ sin x = cos x = 2 1+ t 1+ t2 ∫ π /2 d(sin x + cos x ) = (4x + ln sin x + cos x ) = 2π sin x + cos x sin x + cos x dx ta viÕt 3sinx + cosx = A(sinx + cosx) + B(cosx - sinx) suy A = 2; B = -1 (sin x + cos x ) π /2 Khi đó: I = ∫ dx − (sin x + cos x ) β C – Khi gÆp tÝch ph©n I = π /2 ∫ d(sin x + cos x ) π = − cot(x + ) + (sin x + cos x ) 2(sin x + cos x ) π /2 0 =2 a sin x + b cos x + m ∫ c sin x + d cos x + n dx (c, d ≠ 0) th× ta viÕt TS = A.(MS) + B.(MS)’ + C Chän A, B,C cho: α asinx + bcosx + m = A(csinx + dcosx + n) + B(csinx + dcosx + n)'+C có thể đặt x 2t 1− t2 ⇒ sin x = cos x = 2 1+ t 1+ t2 VÝ dô TÝnh: t = tan π /2 I = ∫ sin x − cos x + dx ta viÕt 7sinx − cosx + = A(4sinx + 3cosx + 5) + B(4cosx - 3sinx) + C sin x + cos x + π /2 Khi đó A = 1; B = -1; C = và I = ∫ dx − π /2 ∫ d (4 sin x + cos x + 5) dx + sin x + cos x + π /2 ∫ GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net dx sin x + cos x + 12 (13) www.MATHVN.com π /2 x 2t 1− t2 dx đặt t = tan ⇒ sin x = suy cos x = sin x + cos x + 1+ t2 1+ t2 ∫ XÐt I1 = I1 = CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ∫ (t + 2) dt = π /2 π VËy I = (x − ln sin x + cos x + ) + I1 = + − ln V)Ph−¬ng ph¸p dïng tÝch ph©n liªn kÕt VÝ dô TÝnh: π I = ∫ sin xdx ta xÐt thªm tÝch ph©n thø hai: J = sin x + cos x π ∫ MÆt kh¸c I − J = π 2 I n = ∫ I n = ∫ n ∫ E = π π - t th× I n = π sin x + cos x cos n t dt = sin n t + cos n t dx t−¬ng tù xÐt J n = cos x ∫ π sin x ∫ cos n x π dx Khi đó: I n + J n = (*) sin n x + cos n x π sin x ∫ sin x + ∫ n π dx vµ F = n n cos x sin x + cos x dx vµ suy I n = J n = π cos x ∫ cos n x π dx = J n (**) Tõ (*), (**) ta cã I n = n n sin x + cos x n cos x ∫ sin x + π dx ta cã E + F = ∫ sin x + ∫ (sin x − cos x )dx = − (**) Gi¶I hÖ (*), (**) ta ®−îc: E = F= 1− Më réng tÝnh E = ln + 16 π §Ò xuÊt L = cos 2x ∫ sin x − π cos 2x ∫ sin x + cos x dx = F − E = π π L¹i cã E − 3F = (*) π Mặt khác đặt x = n π cos xdx ∫ sin x + cos x Khi đó: I + J = (sin x − cos x )dx d(sin x + cos x ) π =− = (**) Gi¶I hÖ (*) vµ (**) suy I = J = sin x + cos x sin x + cos x sin n x dx ta xÐt J n = sin n x + cos n x π π cos x dx = ln (*) 1− vµ ln − 16 1− ln + dx cos x C¸c bµi to¸n t−¬ng tù A – Ph−ơng pháp biến đổi trực tiếp 1 [§HNNI.98.A] M = ∫ Gi¶i: M = ∫ + e dx + + e 2x 2x + Bình ph−ơng và phân tích thành phân số đơn giản + Biết đổi biến (1 + e x ) dx + e 2x ∫ 2e x dx 2e x dx ta tÝnh đặt e x = tan t , t ∈ (− π / 2; π / ) đó với tan α =e và M = 2x + e 2x + e α ∫ α tan tdt M1 = = tan tdt = − ln cos t (1 + tan t ) cos t π / π /4 ∫ ∫ π 2 [§HTCKT.97] ∫ sin xdx + cos x α π /4 = −2 ln + tan t α = ln π /4 + e2 + Gi¶i: π 2 [§HTCKT.97] ∫ sin xdx + cos x + Gi¶i: GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 13 (14) www.MATHVN.com π ∫ [§HTCKT.97] CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN + sin xdx + cos x Gi¶i: π ∫ [§HTCKT.97] + sin xdx + cos x Gi¶i: (1 + e x ) dx + e 2x ∫ [§HNNI.98.A] π sin xdx + cos x ∫ [§HTCKT.97] π ∫ cos 2x(sin [§HBK.98] x + cos x )dx dx ∫ [§HDL§.98] x +1 + x −1 π ∫ cos x cos(x + π ) dx e2 ln x + ln(ln x ) dx x ∫ e π ∫ sin x sin(x + π ) dx [§HMá.00] π 6 π ∫ cos x sin 2xdx π ∫ sin [§HNN.01] sin 4x dx x + cos x π 10 [§HNNI.01] cos x dx sin x ∫ π π 11 ∫ tg xdx π ∫x 12 [C§GTVT.01] + 3x dx −2 13 [C§SPBN.00] ∫ x − 4x + 4dx π 14 ∫ cos x sin x dx π 15 ∫ tg x + cot g x − 2dx π GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 14 (15) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 16 ∫ x − 2x + x dx 17 ∫ − x dx §¸p: 2(5 − ) x − x dx 2 −1 18 ∫ −1 19 ∫ ( x + − x − )dx −3 20 x2 + x − ∫x .dx + x−2 π 21 ∫ + cos 2xdx − sin 2x dx 2 + sin xdx π 22 ∫ π /2 23 ∫ − m + / ~ m ≤ m − m + / ~ < m ≤ 1 24 ∫ x − a dx; a ∈ R a ≥ th× ®s: (3a – 5)/6; < a < th× ®s: (a-1)3/3 – (3a - 5)/6 a ≤ th× ®s: (5 – 3a)/6 25 ∫ x − (a + 1)x + a dx; a ∈ R π 26 cos x ∫ + cos x dx π 28 [§H.2005.D] ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 28 [§H.2003.D] ∫x − x dx π /4 ∫ 29 [§H.2003.B] − sin x dx + sin 2x π ∫ (sin 29 M = ) x + cos x − sin x cos x dx π 30 N = ∫ sin x dx cos x 31 GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 15 (16) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN B – Ph−ơng pháp đổi biến 1 [C§BN.01] ∫ x3 dx (1 + x ) HD đặt fsf ∫x [PVB.01] − x dx ln 3 ∫e dx +2 x π sin 2x ∫ + cos [C§XD.01] x dx ∫ x (1 − x ) dx [§HKTQD.97] §Ò xuÊt: (1 − x ) dx dx ∫ 1+ x [§H.2004.A] [§HQG.97.B] ∫x ∫1+ xdx x −1 dx ∫ ``8 [§H.2003.A] x x2 + π ∫x [§HSPHN.00.B] a − x dx ln ∫ 10 [§HBK.00] 23 11 e x dx ex + dx ∫x+8−5 14 x+2 π 12 sin 2x ∫ (2 + sin x) dx π 13 dx ∫ cos x 14 ∫ 2x + 4x + dx 15 ∫x + x dx e2 16 ∫ e 17 ∫ 18 ∫ ln x + ln(ln x ) dx x x+1 dx x 10x + x + + 10x (1 + x ) x + dx GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 16 (17) www.MATHVN.com e 19 ∫x e 20 ∫ x dx + ln x ln x 21 ∫ 2x + + 2x + 23 ∫ x 7 24 ∫x+ 25 dx − ln x CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN dx dx x2 + .dx x+2 dx ∫ (1 + 3x ) 2 π ∫ 26 [GTVT.00] −π π x + cos x dx − sin x x sin xdx x ∫ + cos 27 [§HAN.97] π 28 [§HLN.00] ∫ + sin x + cos x dx π 29 [§HH§.00] ∫ + tgx dx π 30 [§HVH.01] sin x cos x ∫ sin 2x + cos 2x dx π sin x cos xdx + cos x ∫ 31 [HVBCVT.98] 1 32 I = dx ( x + 1) −1 ∫ (1+ ) ∫ 33 [§HTN.01] 1 ∫x 34 [§HTCKT.00] x2 + dx x4 − x2 + x dx + x2 + dx ∫ (1 + x + 35 [HVKTQS.98] −1 + x2 ) ∫x 36 [PVB¸o.01] − x dx e 37 [§H.2004.B] ∫ π 38 [§H.2005.A] ∫ + ln x ln x dx x sin 2x + sin x + cos x dx GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 17 (18) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN π sin 2x ∫ 39 [§H.2006.A] cos x + sin x π ∫ 40 [§H.2005.B] sin 2x cos x dx + cos x ln ∫e 41 [§H.2005.B] dx x ln + 2e − x − 3 dx ∫ 42 [§H.2003.A] x x2 + ∫ 1+ 43 [§H.2004.A] x x−1 π /6 π /4 ∫ sin 45 [§Ò thi thö §H] e 46 [§Ò thi thö §H] dx tan x dx cos 2x ∫ 44 [§H.2008.A] dx ∫ x sin 4x dx x + cos x + x ln x.dx + ln x ∫e 47 [§Ò thi thö §H] x +1 dx π 48 [§Ò thi thö §H] ∫ 49 I = 4 ∫ 2(t − 1)dt = 2t x−1 + x+1 dx x ∫ 51 K = HD: §Æt t = + sin x ⇒ x − 16 dx x ∫ 50 J = sin 2x dx 2(1 + sin x ) 10x + x + + 10x ∫ (1 + x ) x + − ln ∫ 52 H = − ln ex − e 2x ln ∫ 53 G = dx dx dx e 2x +1 π 54 F = dx ∫ + sin x + cos x 55 D = ∫ π ln 56 S = ∫ π 57 T = ∫ π cos x dx cos x − cos x + e x e x − 1dx ex + dx + sin x − cos x GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 18 (19) www.MATHVN.com dx ∫ x 58 R = x2 + 7 ∫ x+ 59 E = 2x + ∫ 1+ π /2 ∫ dx + cos x §Æt t = tan x th× Q = ∫( t = tan u dt 3) + t 2 ==== 3π dx ∫ 62 M = .dx 2x + 61 Q = .dx x+2 60 W = CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN − x + 6x + C – Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn ∫ (1 + x) e [§HC§.97] 2x dx π ∫ x(2 cos [§HTCKT.98] x − 1)dx 2 ∫ 10 x ln( x + 1)dx vµ ∫ x lg xdx e ∫ (x ln x) dx [PVB¸o.98] π ∫ x sin x cos [HVNH.98] xdx ∫ [§HC§.00] ln( x + 1)dx x2 π ∫ ln(1 + tgx)dx [§HTL.01] π ∫ xtg xdx ∫ [§HYHN.01] x − dx 2 10 [§Ò thi thö] ∫ x ln(3x − x )dx e 11 [§H.2007.D] ∫x ln xdx 1 12 [§H.2006.D] ∫ (x − 2)e 2x dx 0 13 I = ∫ x(e 2x + x + )dx −1 e2 14 J = ∫ e ln x + ln(ln x ) dx x GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 19 (20) www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN π ∫ 15 K = ( x sin x ) dx x ∫ sin (2x + 1) dx 16 H = π x sin x dx x ∫ cos 17 G = ln ∫ x e 18 F = x2 dx 19 D = ln( x + 1) ∫ x+ x dx e ln x + ln 20 S = x + ln x ∫ x dx π2 ∫ cos 21 A = x dx π /4 π 22 P = ∫ (e x ) cos x dx π2 ∫ 23 U = x sin x dx π ∫ 24 Y = x sinx cos x.dx π /3 ∫ 25 T = + sin x e x dx sin x + cos x §Æt u = T= e x sin x + cos x ∫ 26 R = + x dx + sin x ; dv = XÐt T1 = sin x + cos x ∫ §S: ln − π /2 28 W = ∫ cos x ln(1 + cos x)dx §s: e 29 Q = ln x ∫ (x + 1) dx 1/e §s: = x + sin x ∫ + cos x dx π /3 và đặt tptp suy π 2 −1 2e e+1 π /2 π /2 x eπ ViÕt M = M1 + M2 Víi M = 30 M = sin x ∫ + cos x e dx + ln(1 + ) §s: 27 E = x ln( x + 1)dx π /3 π /3 π /3 sin x x dx = ln & M = dx + cos x + cos x π /3 π /6 ∫ ∫ u = x du = dx ( − )π §Æt − ln ⇒ x ⇒ M2 = v = cot dv = + cos x dx VËy M = ( − )π + ln GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com Lop12.net 20 (21)