Moät soá caùch ñaët aån phuï toång quaùt : Phương pháp: Ta cố gắng biến đổi đưa phương trình về một hàm số lượng giác duy nhất, đó chính laø aån cuûa phöông trình.. Daïng naøy coù hai ca[r]
(1)Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC A.Các Hằng Đẳng Thức Lượng Giác Cơ Bản: sin cos2 1 R tan .cot k ,k Z tan k,k Z cos cotg2 k,k Z sin B Giaù Trò Caùc Cung Goùc Lieân Quan Ñaëc Bieät: Cung – Góc đối nhau: và : cos cos ; sin sin tan tan ; cot cot Cung – Goùc buø nhau: vaø sin sin ; cos cos tan tan ; cot cot Cung – Goùc phuï nhau: vaø = cos ; 2 cos = sin 2 tan = cot ; 2 cot = tan 2 Cung– Goùc hôn keùm : vaø sin sin ; sin cos cos tan tan ; cot cot Cung – Goùc hôn keùm cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 sin C Công thức lượng giác 1 Công thức cộng: Với cung có số đo a, b ta có: cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – sin2a tan2a = tan a 1 tan a c ot2a = cot a - cot a Công thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa 3tan a tan3 a tan3a = 3tan a cot a 3cot a cot3a 3cot a 4.Công thức hạ bậc: : vaø 2 tan a tan b 1 tan a.tan b tan a tan b tan(a + b) = 1 tan a.tan b cota.cotb cot(a – b) = cotb cota cota.cotb cot(a + b) = cotb cota tan(a – b) cos 2a cos 2a sin2a = sina.cosa sin 2a cos2a tan a cos2a s in3a 3sin a sin3 a cos3a 3cos a cos3 a cos2a = Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan ( Gsử: x k 2 , đặt t = tan -1 Lop12.net x ) x : (2) Gv : Phan Hữu Huy Trang Phöông trình sinx = a coù nghieäm vaø chæ – ≤ a ≤ hay a ≤ vaø voâ nghieäm LƯƠNG GIÁC 1 t 2t cosx = 1 t2 1 t 2t tanx = ( x k , k Z ) 1 t 2 sinx = a 1 hay a >1 a vaø chæ Công thức biến đổi tổng thành tích a b ab cos a cos b cos cos a b ab cos a cos b 2sin sin a b ab sin a sin b 2sin cos a b ab sin a sin b cos sin sin(a b) tan a tan b ( a , b k , k Z ) cos a.cos b sin(a b) cot a cot b ( a , b k , k Z ) sin a.sin b sin(a b) cot a cot b ( a , b k , k Z ) sin a.sin b A sin x B cos x Với co s A B sin( x ) 2 A2 B co s( x ) B ; sin A2 B A2 B A 4 sin a cos a sin(a ) 2cos(a ) 4 cos a sin a 2cos(a ) sin(a ) 4 sin a cos a sin(a ) 2cos (a ) Các trường hợp đặc biệt : sinx = x = k + k 2p sinx = – x = – + k 2p sinx = x = Cho a [ 1; 1] thì arcsina laø goùc ; cho sin = a Khi đó phương x arcsin a k.2 trình sinx = a x arcsin a k.2 Lưu ý: Đối với phương trình sin u sin v , ta làm dấu (-) theo công thức sau: sin u sin v sin v (do: sin v sin v ) Để giải bài toán sinu = cosv, ta biến đổi nhö sau: sin u cos v sin v 2 Ưu tiên giữ lại bên trái cung lượng giác có hệ số x lớn DAÏNG : cosu = cosv u = v + k2 Nếu u, v tính độ thì : cosu = cosv u = v + k.360o Phöông trình cosx = a coù nghieäm vaø chæ – ≤ a ≤ hay a ≤ vaø voâ nghieäm a 1 vaø chæ hay a >1 a Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b cos(a b) cos(a b) sin a.sin b cos(a b) cos(a b) sin a.cos b sin(a b) sin(a b) D PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : u v k 2 DAÏNG : sinu = sinv u v k 2 Nếu u, v tính độ thì : u v k 360 sinu = sinv 0 u 180 v k 360 Cho a [ 1; 1] thì arccosa laø goùc ; cho cos = a Khi đó x arccosa k.2 phöông trình: cosx = a x arccosa k.2 Các trường hợp đặc biệt : + k cosx = x = k2 cosx = – x = + k2 cosx = x = Đối với phương trình cos u cos v , ta làm dấu theo công thức sau: cos u cos v cos v (do cos v cos v ) DAÏNG : tanu = tanv u = v + k Nếu u, v tính độ thì -2 Lop12.net (3) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC tanu = tanv u = v + k.180o Phöông trình tanx = a luoân luoân coù nghiệm với giá trị a Cho a baát kyø, kyù hieäu arctana laø goùc thuoäc ; cho tan = a 2 Khi đó, phương trình tanx = a x = arctana + k. Lưu ý: Để chuyển đổi từ tanu thành cotu và ngược lại ta làm theo công thức: tan u cot u hay : cot u tan u 2 2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Là các phương trình lượng giác có dạng sau: at2 + bt + c = (1) , đó t là caùc haøm soá: sinu; cosu; tanu; cotu Với a;b;c R; a Và u: biểu thức chứa ẩn (u=u(x)).Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện ẩn phụ: + t=sinu , t=cosu : t + t=tanu (u k ) ; t=cotu (u k ) Phương trình bậc sinx, cosx Là phương trình lượng giác có dạng: asinx + bcosx = c (2) (a,b,c R, a, b 0) Trường hợp: a , b= a , b thì phương trình (2) trở dạng PTLG Ta xét trường hợp a;b;c Chia hai vế PT cho a b2 , a b c sin x cos x a b2 a b2 a b2 (1) (ĐK để PT (2) có nghiệm: a b c ) sin x.cos cos x.sin sin sin( x ) sin Trong đó: cos a ; sin b ; sin c a b a b a b2 Phöông trình ñaúng caáp baäc hai: Là phương trình lượng giác có dạng: a.sin2u+b.sinu.cosu+c.cos2u = (3) (hoặc vế phaûi = d 0) 2 2 Cách 1: Dùng công thức nhân đôi để hạ bậc, PT (3) trở thành : cos 2u sin 2u cos 2u a b c 0 2 b sin 2u (c a ) cos 2u a c , đã biết caùch giaûi Caùch 2: Neáu u k khoâng thoûa phöông trình neân ta chia veá cuûa phöông trình cho cos2u Ta coù PT baäc theo tanu: atan2 u+btanu+c = Phương trình lượng giác đối xứng: Là phương trình lượng giác có dạng: a(sinx cosx) + bsinxcosx + c = (4) ; (a,b,c R, a, b 0) Nếu a= 0, b= thì PT (4) trở dạng PT mà ta đã biết cách giải.Ta xét trường hợp a,b Ñaët t = sin x cos x sin( x ); ÑK : t sin x cos x t2 1 Thế vào PT (4) ta : t2 1 at b.( ) c bt 2at 2c b (4’) Giải PT (4’) ta tìm giá trị t , vào tính tieáp nghieäm x cuûa PT (Löu yù ñieàu kieän t) Moät soá caùch ñaët aån phuï toång quaùt : Phương pháp: Ta cố gắng biến đổi đưa phương trình hàm số lượng giác nhất, đó chính laø aån cuûa phöông trình Coù theå choïn aån soá baèng quy taéc sau: +Nếu phương trình không thay đổi ta thế: x x , chọn ẩn là cosx ; x x , chọn ẩn là sinx ; x x , chọn ẩn là tanx + Nếu ba cách thực , chọn aån laø cos2x + Nếu ba cách không thực x , choïn aån laø tan Daïng naøy coù hai caùch giaûi: -3 Lop12.net (4) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC Giaûi caùc phöông trình sau: 2.(cos x sin x) sin x cos x 1) sin x 33) 3) cos3x + cos2x – cosx – = 4) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x = 6 (2sin2x 6) – 1).tg22x + 3.(2.cos2x – 1) = 7) cos2x + (1 + 2cosx).(sinx – cosx) = 8) cos3x + sin3x + 2.sin2x = 9) 4sin3x + 4.sin2x + 3.sin2x + 6.cosx = 10) cos23x.cos2x – cos2 x = 11) + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 12) cos x sin x cos x sin 3x 4 4 13) 2 cos x cos x sin x 4 cos 2x 14) tan x 3.tan x 2 cos x 15) sinx.cos2x + cos2x.(tan2x – 1) + 2.sin3x = 16) 2sinx.cos2x + sin2x.cos2x = sin4x.cosx sin x 3 17) tan x cos x 18) sin2x + cos2x + 3.sinx – cosx – = 19) 5.sinx – = 3.(1 – sinx).tan2x 20) (2.cosx – 1).(2.sinx + cosx) = sin2x – sinx 21) sin4x.sin7x = cos3x.cos 6x 22) sin x cos x 23) 4.(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx 24) cos x sin x 2 cos( x = cos x.(cos x 1) 2(1 sin x) sin x cos x 2.cos4x 35) cotx = tanx + sin2x 2 36) sin 3x – cos 4x = sin25x – cos26x sin x + cos4 x 1 = cot2x 37) 5.sin2x 8.sin2x 34) x 2) cot gx sin x.(1 tgx.tg ) 5) 2.sin x + 4.sinx + = x (2 - 3)cosx - 2sin - 2 4 2cosx -1 ) 25) sinx + sin2x = (cosx + cos2x) 26) sin2x – 2 (sinx + cosx) – = cos 2x sin x sin 2x 27) cot x tan x 2 28) cotx – tanx + 4sin2x = sin x x x 29) sin tan x cos 2 4 30) – tanx.( tanx + 2sinx ) + 6.cosx = 31) cos2x + cosx ( 2tan2x – 1) = 32) 3.cos4x – 8.cos6x + 2.cos2x + = Lop12.net 38) tan4x + = (2 sin 24x) sin 3x cos x 39) tanx + cosx – cos2 x = sinx.( + tanx.tan x ) = sinx 8.cos2 x 41) (1 + sin x)cosx +(1 + cos 2x)sinx = + sin 2x 42) 2sin 2x + sin 7x – = sin x 40) x x 43) sin + cos + 3cosx = 2 2 44) 3tan2x – 4tan3x = tan23x.tan2x 45) sin3x + 3sin2x + 2sinx = 46) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 47) cos4x + sin3x.cosx = sinxcos3x 48) cos4x + sin4x – sin2x + sin2x = 49) tan2x + cot2x + 2( tanx + cotx) = 50) cos4x + sin6x = cos2x 51) tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 52) 2cos3x + cos2x + sinx = 1 53) sin5x – cos5x = cos x sin x 54) cos10x + 2cos 4x + 6cos3x.cosx = cosx +8cosx.cos33x 1 55) cos x sin 2x sin 4x 56) cos3x.tan5x = sin7x 57) tan5x.tan2x = 58) 2sin 3x = 8sin 2x.cos2 2x 59) 4cosx – 2cos2x – cos4x = 60) 3sin3x – cos9x = + 4sin 3x 17 10x) 61) sin22x – cos28x = sin( 2 62) cos 3x.cos3x + sin3x.sin3x = 63) cos 34x = cos3x.cos3x + sin3x.sin3x (5) Gv : Phan Hữu Huy Trang 6x 8x 93) cos2 1 cos 5 94) 3cosx + 4sinx + =6 3cos x 4sin x 95) + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 96) sin3x + cos3x = sinx – cosx 97) sin2x.cosx – cos2x+sinx – cos2x.sinx – cosx = 98) sin3x.sin6x = sin9x sin 2x 99) + tan2x = cos2 2x 100) 2cos2x.sin2x = 2(sinx + cosx) 101) sinx(1 + cosx) = + cosx + cos2x 102) cotx – tanx = sinx + cosx 103) 4cos2x + 3tan2x – cosx +2 tanx + = 104) cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3x + 1) = 105) sinx + cosx = (2 – sin3x) 106) sin2x.cos8x = 108) cos13x + sin14x = 109) cosx = + x LƯƠNG GIÁC 64) tan2x + cot2x = 2sin4x 65) 2cot2x – 3cot3x = tan2x 66) 8cosx = + sin x cos x x x cos4 2 – tan2 x.sinx = sin x + tan2x 67) sin x cos2x cot 2x 68) – 2sin2x = cot 2x cos2x cos x cos 5x 69) = 8sinx.sin3x cos3x cos x 70) 3tan3x + cot2x = 2tanx + sin 4x 71) cos x 2sin 2x cos3x = + sinx – cos2x sin 72) tan2x = cos x sin x 73) 2cosx – sin x = 74) sin x + cos3x = cos x cos x 4sin x cos x 76)sin3x(1 + cotx)+ cos3x (1 + tanx)=2 sin x.cos x 77) cos 2x sin 4x = sinx – cosx 75) 78) 4cos2x – 2( – 1)cosx – = 79) sinx = (3 – cosx) 80)5(sinx +cosx) + sin3x – cos3x =2 (2 + sin2x) 81) sin3x – 5sin2x.cosx – 3sinx.cos2x + 3cos3x = 29 82) sin10x + cos10x = cos42x 16 83) 2(cos2x + ) + 9( – cosx) – = cos x cos x x 84) 3sinx + cosx – 4cot +1 = 1 10 sin x 85) cosx + cos x sin x 86) sin x cos x + 4sin2x = 87) 2(tanx – sinx) + 3(cotx – cosx) + = 88) cos4x – cos2x + 2sin6 x = 17 89) sin8x + cos8x = cos22x 16 90) sin4x + cos4(x + ) 4 5sin 4x.cos x 91) 6sinx – 2cos3x = cos 2x 1 92) sin2x – sinx + =0 sin x sin x 110) cos3x + cos2 3x = 2(1 + sin22x) 111) sin3x + cos3x = (2 – sin4x) 112) 4cosx – cos2x – cos4x = 113) tan2x + tan2y + cot2 (x + y) = 114) 4sin2x + sin23x = sinx.sin2 3x 115) 2sinx = sinx + sin x 116) tanx + cotx = 2sin2x 117) 2log3(cotx) = log2(cosx) 118) sin3x + cos3x = 2(sinx +cosx) – 119) 4(sin4x +cos4x) + sin 4x – = 120) 4(sin3x + cos3x ) = cosx + 3sinx Cho pt: sinx + cosx = m sin x.cos x a) Định m để phương trình có nghiệm b) Giải phương trình với m = 3 Định m để phương trình : sin4x +cos4x + msin4x – (2m+1)sin2xcos2x = ] có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ; ) 4 Định a để phương trình : sin6x + cos6x = a(sin4 x + cos4x) coù nghieäm 5.Cho pt: + 2tan2x +(2m + 3)(tanx + cotx)+4 = sin x a) Giaûi phöông trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm sin x cos6 x 2m tan 2x Cho phöông trình : cos2 x sin x Lop12.net (6) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC b) Định m để phương trình có nghiệm Cho pt: + cot2x + m(tanx + cotx) + = cos x a) Giaûi phöông trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm Cho phöông trình ( – a)tan2x – + 13a = cos x a) Giaûi phöông trình a = b) Định m để phương trình có nhiều nghiệm khoảng (0 ; ) sin x cos6 x m Cho phöông trình : tan(x ).tan(x ) 4 a) Giaûi phöông trình m = – b) Định m để phương trình có nghiệm 10 Cho phöông trình: (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = – 4cos2x a) Giaûi phöông trình m = b) Định m để phương trình có đúng hai nghiệm thuoäc ; a) Giaûi phöông trình m = 11 Định m để phương trình : 17 a) Giaûi pt : 3cosx + cos2x – cos3x +1 = 2sinx.sin2x b) Tìm các giá trị m để phương trình trên tương đương với phương trình sau: mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m –4)cosx + 8m – = 18 Bieän luaän theo m soá nghieäm x thuoäc (0 ; ) cuûa phöông trình : cos2x + (1 – m)cosx + m – = 19 Tìm a để phương trình sau có nghiệm: sin 6x + cos6x = a sin 2x 20 Định m để phương trình sau có nghiệm: (2m +1)(sinx–cosx) – (sinx+cosx) +2m2+2m+2 = 21 Định m để phương trình sau vô nghiệm: cos4x + (m – 2)sin2x + = 22 Định m để phương trình sau có đúng hai ngiệm thuộc khoảng (– ; ) 2 mcos2x – 4(m – 2) cosx + 3(m – 2) = 23 a) Giaûi pt sau : (cos4x – cos2x)2 = + sin3x b) Định a để phương trình sau có nghiệm: (cos4x – cos2x)2 = (a2 + 4a +3)(a2 +4a +6) + 7sin3x sin x cos x a sin x cos x a) Giaûi phöông trình a = 1/3 b) Tìm a để phương trình có nghiệm 25.Tìm m để pt 2.(sin4x + cos4x ) + cos4x + 2sin2x – 24.Cho phöông trình : m = có ít nghiệm thuộc đoạn ; mcos3x + 4(1 –2m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m–4 = có đúng nghiệm thuộc khoảng (0 ; ) 12 Định m để pt: cos3x – cos2x + mcosx – = có đúng bảy nghiệm thuộc khoảng (– ; 2) 13 a) Giaûi pt : sin3x + cos2x = + 2sinx.cos2x (1) b ) Tìm các giá trị a để (1) tương đương với phöông trình sau : sin3x = asinx + (4 – 2a)sin2x 14 a) Giaûi pt: sinx.cos2x = sin2x.cos3x – sin5x (1) b) Định a để pt: acos2x + a cos4x + cos6x = tương đương với (1) 15 Cho hai phöông trình : cos2x + sin x – = vaø msin3x +(m – 2)cos2x – (m+2)sinx +2 – m = Tìm các giá trị m để hai PT tương đương 16 Tìm các giá trị m để hai pt tương đương : cosx.cos2x = 1+ cos2x + cos3x 4cos2x – cos3x = mcosx + (4 – m) (1 + cos2x) 26.Tìm nghiệm thuộc đoạn ; 14 phương trình : cos3x – 4cos2x + 3cosx – = 27 Tìm nghiệm thuộc khoảng ( ; ) phương cos3x sin 3x trình : sin x cos 2x 2sin 2x 28.Tìm nghiệm thuộc khoảng , ph/trình : x 3 sin cos x cos x m 29.Cho phöông trình : msinx + (m + 1) cosx = cosx a) Giaûi phöông trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm 30 Cho phöông trình : cos2 x - cos3x -1 , x 1; 70 cos2x – tan2x = cos2 x Tính toång caùc nghieäm cuûa phöông trình treân Lop12.net (7) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN : Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ sin 2x = 2/ cos (2x + ) + cosx = 3/ cos(2x + )= cos 3x 3 6/ sin 5x – sinx = 8/ tan(2x + ) = 2 4/ 5/ 2cos(x 5o ) 7/ 2sinx = 9/ 2cos(2x + )+ =0 10/ sin(8x + 600) + sin2x = cos 2x 5 14/ sin(2x –1 ) = sin(3x +1) 16/ 2sinx + tanx = 11/ sin 3x 6 13/ (1 + 2cosx)( 2sin x) 15/ sin(3x 2) 1 12/ 19/ sin 3x cos 2x 3 20/ cos5x sin 2x 17/ tan(2x 3) tan 21/ sin2x 18/ cot(45o x) =0 22/ 2cos2x = 23/ cot 2x cot x 4 2 24/ sin x cos3x x 26/ 4cos 28/ tan[ (cosx sinx)] = 30/ cos(sinx) = 25/ tan 8x cot 2x cos x cos x 29/ sin(tanx) = cos(tanx) 31/ tan x tan x 6 3 33/ sin 3x.sin x cos3x.cos3 x 1 35/ cosx + cos 2x = sin x – sin 2x 37/ sin(x2 4x) = tan x cot 2x 39/ tan x 41/ cot 2x.cot x 1 4 27/ tan2x = 32/ sin 3x.cot 5x cos 7x 34/ cos x.cos 2x cos3x 36/ tan x 1 38/ cos2x – 3cos2x – = 2 2x 40/ sin 5x cos 4 42/ cos x sin x cos x 6 6 3 43/ sin(x 24o ) cos(x 144o ) cos 20o 44/ 2sin x cos x 4 4 o o 4 45/ 2(cos x sin x) sin x cos x 46/ cos(3x 20 ) sin(70 3x) 47/ tan x tan x 49/ tan 20 cos x 48/ cos 3x 7 3 với x x với 2 x 4 50/ sin 2x với x 6 Lop12.net (8) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Định m để các phương trình sau có nghiệm : x x a) (4m 1)sinx = 2sin cos + 8m b) sinx.sin3x + (5 + 4m)cos2x = 8m +5 2 2/ Giải và biện luận pt: msin x 2m B PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ sin2x + 3sinx +2 = 2/ tan2x ( 1)tanx = 3/ + cos4x = cos2x 4/ cos x sin x x 5/ cosx sin = 6/ cos2x +3sinx + = 7/ cot4x 4cot2x +3 = 8/ cos2x + cosx 2= 9/ 6cos x 5cos x 10/ 3sin 2x cos 2x 11/ cos 2x cos x 12/ 6sin 23x cos12x 13/ 4sin x 12cos x 14/ cos3x 4cos 2x 3cos x 15/ (1 tanx)(1 + sin2x) = + tanx 16/ 4cos x 2( 1) cos x 17/ cos3x + 3cos2x + 2cosx = 18/ cot x ( 1) cot x 19/ 5(1 + cosx) = + sin4x cos4x 1 cos x 21/ sin x sin x cos x 23/ sin 2x 2cos x tan x 25/ cos4x 20 tan x 1 16 27/ 2 cos x sin x 11 29/ sin x cos x 31/ sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 20/ (3 cot x) 5(3 cot x) 22/ cos 2(x + ) + 4cos( x) = 24/ cos (x ) 4cos(x ) 26/ cos2(2x + ) – cos22x –3cos( - 2x )+ = 2 x 28/ cos 2x 3cos x 4cos 2 30/ sin x cos x sin 2x 32/ 2sin 3x.sin x (3 1) cos 2x 33/ 4cos x 2cos 2x cos 4x 34/ tan x ( 3) tan x 2sin x 3 sin x sin 2x 37/ 1 2sin x cos x 39/ cot x sin x 36/ cos x 9 cos x cos x cos x cos x(2sin x 2) 2cos x 38/ 1 sin 2x sin x cos x 1 cot 2x 40/ 5sin 2x 8sin 2x 41/ 4sin 2x 6sin x 3cos 2x 42/ 2(sin x cos x) cos 4x 2sin 2x 43/ 2cos 2x sin 2x 44/ 4cos x cos3x cos x 5(1 cos 2x) 45/ 3cos 2x 4cos3 x cos3x 46/ 2sin 2x 2sin x 47/ sin x cos x 48/ cos 4x 2sin 2x 6cos 2x 50/ cos(2x ) sin(2x ) (4 2)sin x 4 35/ sin x 1 sin x 4 sin x sin x 49/ cos 2x cos x(2 tan x 1) Lop12.net (9) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Định m để phương trình sau có nghiệm: a/ tan2x 2mtanx + (m + 1).4 = b/ cos2x 2mcosx + 4(m 1) = 2/ Định m để phương trình: cos2x + (2m + 1)sinx + m = có nghiệm 0, 3/ Định m để phương trình: + mcosx = m2 cos2x vô nghiệm 4/ Cho phương trình: cos2x + (2m +1)sinx + m = a/ Giải pt m = b/ Định m để pt có nghiệm x 0, 5/ Cho phương trình: cos4x + 6sinx.cosx = m a/ Giải pt m = 17 b/ Định m để pt có nghiệm phân biệt trên đoạn 0; ĐS: m 4 3a 6/ Cho phương trình: (1 a) tan x cos x a/ Giải pt a ; b/ Tìm tất các giá trị a để pt trên có nhiều nghiệm 1 khoảng 0; ĐS: a a 2 C PHƯƠNG TRÌNH : asinu + bcosu = c : Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ sinx + cosx = 2/ sinx cosx = 3/ sinx cosx = 4/ 3sinx + cosx = 5/ cos3x + sin3x = 6/ sin2x + cos2x = –1 7/ sinx cosx = 8/ (2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x sin x 10/ ( 1) cos 2x ( 1)sin 2x sin 4x cos 4x 1 sin 2x 11/ sin2x + =1 2sin x cos x 1 13/ sin x 2cos x 3 9/ 12/ (sin x 3cos x 2)(1 2cos x) 4sin x 15/ 3sin 3x cos9x 4sin 33x sin x cos x 2cos x 2sin x 19/ (sin x cos x)(1 cos x) sin x 17/ 21/ 4sin 2x 3cos 2x 12sin x 23/ sin 5x cos5x 2sin 3x ) cos(2x + ) = 2 3 16/ cos2x + sin2x + 2sin(2x ) = 2 14/ sin(2x + 18/ 6cos x(1 sin x) 2sin x 9sin x 20/ 4(cos 4x sin 4x) 4(cos x sin x) 22/ 3cosx 4sinx + =3 3cos x 4sin x 24/ 12cosx + 5sinx + +8 = 12cos x 5sin x 14 x (2 3) cos x 2sin 1 25/ 26/ sin( +2x) + sin( 2x) = 2cos x Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Định m để các phương trình sau có nghiệm: a/ cosx + 2 sinx = m b/ (3m 1)sinx + (m+3)cosx = c/ 2sinx + mcosx = – m Lop12.net (10) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC 2/ Giải và biện luận phương trình sau: a/ (m 1)sinx + (m+1)cosx = m b/ (m+2)sinx 2mcosx = 2(m+1) , x 0, 3/ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a/ y (2 3)sin 2x cos 2x b/ y (sin x cos x) 2cos 2x 3sin x cos x 2cos x c/ y d/ y (sin x 2cos x)(2sin x cos x) cos x sin x cos3x sin 3x cos x 2sin x e/ y f/ y cos3x 2cos x sin x 3 4/ Tìm các giá trị x thuộc ; thỏa mãn pt sau với m: 2 m sin x msin x m cos x m cos x cos x sin x 5/ Tìm m để pt: (cos 3sin 3)x ( cos 3sin 2)x sin cos có nghiệm x = 6/ Tìm m để pt: (2sin cos 2 1)x ( sin )x 2cos (3 3)sin có nghiệm x D PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SIN VÀ COS: Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ sin2x 3sinxcosx + 2cos2x = 2/ sin2x + sin2x + cos2x + = 3/ 4sin2x + 3 sin2x 2cos2x = 4/ sin3x + 2sin2xcosx 3cos3x = 5/ sin2x 3sinxcosx = 6/ 4cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 7/ 5sin2x + sinxcosx cos2x = 8/ 4sin2x 2sin2x 2cos2x = 9/ 3cos x 2sin 2x sin x 10/ 3sin 2x cos 2x sin x cos x 11/ sin 2x cos 2x sin x 13/ sin x cos x cos x 3 sin x cos x cos 2x 15/ 2cos x sin x 17/ sin x 8sin x cos x cos x 12/ 5cos x sin 2x 3sin x 14/ 4sin x 6cos x cos x 16/ 9.sin3x – sin x + 2cos3x = 18/ sin x (1 3)sin x cos x cos x 19/ ( 1)sin x sin x cos x ( 1)cos x sin ( x) 2sin( x).sin x sin x 2 Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Giải và biện luận phương trình : a/ 2cos2x sinxcosx sin2x = m b/ (m2 + 2)cos2x + 2msin2x = m2 + c/ (m 2)sin x (m 3)sin x cos x 2/ Tìm m để phương trình có nghiệm: a/ sin2x + sin2x 2cos2x = m b/ 2cos x m.sin x.cos x (m 1)sin x 20/ c/ (m 5) cos x (m 4)sin 2x 3/ Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số : a/ y = 3cos2x 8sinxcosx + 5sin2x b/ y = 3sin2x 4sinxcosx 5cos2x + Lop12.net (11) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC 5sin2x cos2x c/ y = + 3sinxcosx + E PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX : Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ 2(sin x + cos x) + sinx cos x – = 2/ 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 3/ sin2x – 12 sin(x ) +12 = 4/ sin2x – sinx + cosx+ = 5/ + sin32x + cos32x = sin 4x 6/ sin3x + cos3x = 2(sinx + cosx) –1 7/ sin x cos x sin 2x 8/ 2sin2x + sin4x = 2cos2x 9/ (sinx + cosx) = tanx + cotx 10/ 2cos3x + cos2x + sinx = 11/ cos x sin x sin x cos x 12/ sin3x + cos3x = cos2x sin 2x x 13/ + sinx + cosx = cos 14/ sin3x + cos3x = 2 4 cos x 1 10 sin x 15/ tan x 16/ cos x sin x cos x sin x 1 17/ tan x 2 sin x 18/ sin x cos x tan x cot x 2 sin x cos x 19/ (1 sin 2x)(cos x sin x) cos 2x 20/ (sin 2x cos 2x)(1 sin 2x.cos 2x) 3sin 2x.cos 2x Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Định m để phương trình sau có nghiệm : a/ sin 2x + 4m.sin(x ) = 4m – b/ sin 2x (sinx + cosx) = 3m 1 2m 2/ Cho phương trình : cos x sin x a/ Giải pt m = b/ Chứng minh phương trình luôn có nghiệm m 3/ Giải và biện luận phương trình : 2(sinx + cosx) + 2sinx.cosx + m –1 = F CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ 2.sin17x – cos 5x + sin 5x = 2/ 2sinxcos2x +sin2x.cos2x = sin4x.cosx 2 2 3/ sin 4x + sin 3x = sin 2x + sin x 4/ cos x + cos 2x + cos 3x = 5/ 2.sin x.cos 2x + 2.cos 2x –1 –sinx = 6/ + 2.sinx.sin 3x = 3cos 2x 7/ 2cos3x = sin 3x 8/ tg cos5x sin 5x 4sin x 9/ sinx + sin2x + sin3x = 10/ sin3x cosx + cos2x = 11/ (2cosx 1)(sinx + cosx) = 12/ cos2x sin 2x = +sin2 x 13/ sin5x cos3x sinx = 14/ cos2x 4cosx 2x.sinx + x2 + = 15/ sinx.sin 2x + sin3x = 6.cos3x 16/ cos4x + sin4x = cos 2x 4x x 3x x 3x sin x.sin sin 17/ cos = cos2x 18/ cos x cos cos 2 2 cos4x = 17 21/ sin8x + cos8x = cos22x 16 19/ sin4x 20/ cos4x – cos2x + 2sin6x = 22/ + sin Lop12.net x x x sin x cos sin2x = 2cos2 ( ) 2 (12) Gv : Phan Hữu Huy Trang LƯƠNG GIÁC cos x 3cos x cos x 3cos x 26/ sin2x + cos2x + sin3x = cos3x 28/ 30/ 8sinx = cos x sin x 23/ (2sin2x – 1) tan2x +3(2cos2x – 1) = 24/ 25/ sin2x + cos22x = sin5x + cos5 2x 27/ 29/ 31/ (1 + tan 7 ) sin2x = sin22x 24 32/ 4cos2x +3tan2x + cosx + tanx +4=0 34/ sin( x 33/ sin 2x + sin 3x = sin23x = sinx sin23x 37/ sinx + cosx = (2 –sin3x) ).sin 4x = 35/ sin2x + 36/ cos2003x + sin2004x = 39/ 38/ x2 + 2x.sin(xy) + = 40/ sin 4x – sinx – (cos 4x – 4cosx) = 41/ sin2x + sin2y + sin2(x+y) = 42/ cos 3x + cos3 3x = 2(1+ sin22x) 43/ 2.sin5x + 3.cos5x = 45/ sin x cos x cos 2x sin x sin 2x 47/ cot x tan x x x 49/ sin tan x cos 2 4 sin x cos x sin 2x cos 2x 0 51/ tan 2x 44/ (cos 4x – cos 2x)2 = + sin 3x 46/ cos x + sin x = (2 – sin32x) 53/ 2sin x.cos 2x sin x cos 2x 54/ tan 2x 55/ sin x sin 3x sin 5x 57/ 3cos x 4cos x.sin x sin x 59/ sin x cos x sin x cos x 61/ sin 4x sin 2x sin 3x 65/ 2cos 2x 8cos x cos x 67/ tan (x ) tan x x 69/ sin cos x 1 63/ sin x sin 2x sin 23x 48/ (2sinx –1) (2cos2x +2sin2x+1) = – 4cos2x sin 3x cos3x 50/ sin x cos 2x 2sin 2x 52/ sin x cos x sin x cos x sin 2x cos 2x 56/ tan 2x tan 3x tan 5x tan 2x.tan 3x.tan 5x sin 3x sin x 58/ cos 2x sin 2x , x (0;2) cos 2x 60/ sin x sin x cos x cos x cos x 62/ sin x.sin 2x.sin 3x sin 4x 64/ cos x cos3x cos 7x cos9x 66/ 3cos 4x 8cos x 2cos x 68/ sin 2x.cos8x 70/ sin 2x 3cos3x - HẾT - Lop12.net (13)