Hãy cố gắng lên các học trò của thầy sẽ đạt được kết quả tốt,chúc thành công!!!. Lop12.net..[r]
(1)GV: NGÔ TÙNG LÂM – THPT THANH SƠN –PHÚ THỌ- DĐ 0916 166 645 GV: NGÔ TÙNG LÂM ĐỀ 13 Câu (5.0 điểm) a) Giải hệ phương trình ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 Môn : Toán Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian giao đề) x5 xy y10 y 1 x y b) Giải phương trình sau : x 3x x3 Câu (4 điểm ) a) Cho x,y,z> , x+y+z=1 , Tìm MaxP , P b) xy yz zx x y y 2z z 2x xy yz xz x yz 3x y z x y z x y 3z Câu (4,0 điểm) a) Cho d·y sè x n n 0 víi x0=1 ; x1=4; xn+2=5xn+1-6xn+2 víi mäi n tù nhiªn Hãy xác định số hạng tổng quát xn U b) cho dãy số (Un) xác định bởi: 2009U n 1 U n 2008U n , n n Ui H·y tÝnh nlim i 1 U i 1 Câu 4.(5.0 điểm) Cho tam gi¸c ABC §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi c¸c c¹nh BC, CA, AB A1, B1, C1 Đoạn thẳng AA1 cắt đường tròn nội tiếp tam giác ABC giao ®iÓm thø hai Q Qua A kÎ ®êng th¼ng d song song víi BC C¸c ®êng th¼ng A1C1, A1B1 cắt d P, R Chứng minh các góc PQR và B1QC1 Câu ( điểm) Trong không gian cho 2003 điểm mà không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào đồng phẳng Người ta nối điểm với ít 1600 điểm khác các đoạn thẳng Hãy tìm số n lớn cho tồn n điểm đôi nối với đoạn thẳng .Hết: Hãy cố gắng lên các học trò thầy đạt kết tốt,chúc thành công!!! Lop12.net (2) GV: NGÔ TÙNG LÂM – THPT THANH SƠN –PHÚ THỌ- DĐ 0916 166 645 GV: NGÔ TÙNG LÂM ĐỀ 13 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 Môn : Toán Hướng giẫn giải Câu I (5,0 điểm) a) Điều kiện : x Chia hai vế phương trình (1) cho y x x y y Hàm số : f (t ) t t ; f '(t ) 5t t R y y x Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để có (*) thì xảy y x y y Thay vào phương trình (2) ta : x x x Vậy hệ có nghiệm là : (x;y)=(1;-1) b) ĐK x 2 Pt (1) x x x x x x Do x=-2 không là nghiệm pt(1) nên chia vế cho x+2 ta được: 2( x x 4) x2 2x 3 20 x2 x2 t2 x2 2x Đặt t ĐK t Phương trình (1) 2t 3t t x2 * Với t pt VN *Với t=2 PT có nghiệm x 13 Câu (4 điểm ) xy xy xy xy xy xy cyc 1 x y cyc x 2y cyc x y Mà xy yz zx ( x y z )2 xy yz zx xy 2x y x y x y xy x 2y (2 x y y z z x) Nên P 93 a) P 1 1 1 A B C b) Áp dụng BĐT : ( A B C ) A B C A B C Ta có 1 1 x y y x yz x yz 3x y z ( x y) ( x y z ) ( x y z ) 1 x y y 1 xy xy x y 2 xy x yz 2x y (1) 3x y z x yz 81 9( x y z ) Hãy cố gắng lên các học trò thầy đạt kết tốt,chúc thành công!!! Lop12.net (3) GV: NGÔ TÙNG LÂM – THPT THANH SƠN –PHÚ THỌ- DĐ 0916 166 645 Tương tự 1 1 yzz x yz x yz 2x y 4z ( y 2z) ( x y z) ( x y z) 1 y z z 1 yz yz y z 2 yz x yz 2y z (2) 2x 3y 4z x yz 81 9( x y z ) Tương tự xz 2z x xz (3) x y 3z 81 9( x y z ) Từ (1) ;(2) ;(3) ta có x y z 2( xy yz zx) x y z 2( x y z ) x y z 27 9( x y z ) 27 27 Vì xy yz zx x y z 2 Q Cách xy yz zx xyz 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y (a b c)2 a b c2 ¸p dông với a.b, c không âm và A,B dương Dấu "=" xảy ABC A B C a b c ta cã: A B C 1 xy xy xy xy 18 1 3x 4y 2z 2(x y z) 2y x 81 2(x y z) 2y x 81 x y z y x xy 18xy 2x y (1) DÊu "=" x¶y x y z 3x 4y 2z 81 x y z Tương tự ta có: yz 18yz 2y z (2) DÊu "=" x¶y x y z 3y 4z 2x 81 x y z zx 18zx 2z x (3) DÊu "=" x¶y x y z 3z 4x 2y 81 x y z Céng vÕ víi vÕ cña (1); (2) vµ (3) ta ®îc: xy yz zx 18(xy yz zx) 3x 3y 3z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 81 xyz L¹i cã 3(xy+yz+zx) (x+y+z) xy yz zx 6(x y z)2 3x 3y 3z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 81 x y z Hãy cố gắng lên các học trò thầy đạt kết tốt,chúc thành công!!! Lop12.net (4) GV: NGÔ TÙNG LÂM – THPT THANH SƠN –PHÚ THỌ- DĐ 0916 166 645 xyz (§PCM) DÊu "=" x¶y x y z Cách xy yz zx xyz 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y xyz 9xy 9yz 9zx 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y Ta có: 1 x y z x y z x 2y 3x 4y 2z 2xy xy 9xy x y z x 2y 3x 4y 2z Tương tự: 2yz yz 9yz x y z y 2z 3y 4z 2x 2zx zx 9zx x y z z 2x 3z 4x 2y Cộng vế các bất đẳng thức trên, ta được: 9xy 9yz 9zx 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 2 xy yz zx xy yz zx xyz x 2y y 2z z 2x x y z xy yz zx 2 x y z x 2y y 2z z 2x xy yz zx x y z x 2y y 2z z 2x Ta cần chứng minh: Thật vậy: xy yz zx xyz x 2y y 2z z 2x x 2y 2x y x y y x x y 9xy 2x y xy x 2y Tương tự: 2y z yz 2z x zx ; y 2z z 2x xy yz zx xyz Suy (Điều phải chứng minh) x 2y y 2z z 2x Bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy và x y z Hãy cố gắng lên các học trò thầy đạt kết tốt,chúc thành công!!! Lop12.net (5) GV: NGÔ TÙNG LÂM – THPT THANH SƠN –PHÚ THỌ- DĐ 0916 166 645 Câu (4,0 điểm) a) + Ta t×m sè a cho xn+2=5xn+1-6xn+2 xn+2+a=5(xn+1+a)-6(xn+a) xn+2=5xn+1-6xn-2a VËy ta chän a=-1 Khi đó xn+2=5xn+1-6xn+2 xn+2-1=5(xn+1-1)-6(xn-1) (1) Với n ta đặt un=xn-1 đó (1) un+2=5un+1-6un với u0=0; u1=3 Phương trình đặc trưng dãy số này là x2-5x+6 = x1=2 và x2=3 Do đó ta được: un=C1.2n + C2.3n Cho n=0, ta ®îc: C1=-3; C2=3 vµ ta ®îc un=-3.2n + 3.3n VËy xn = -3.2n + 3.3n +1 b) *B»ng quy n¹p ta chøng minh ®îc: U n 1 U n , n N Un u *NÕu d·y (Un) bÞ chÆn trªn th× nã héi tô §Æt nlim Tõ 2009U n 1 U n2 2008U n , n cho n ta ®îc : u 2009u u 2008u u u v« lÝ vi u u (U n ) kh«ng bÞ chÆn trªn lim U n n 2009(U n 1 U n ) U n2 U n 2009(U n 1 U n ) U n (U n 1) * gi¶ thiÕt Un 2009 U n U n 1 U n 1 n Ui 2009 i 1 U i 1 U U n 1 lim n n U i 1 Ui i 1 1 P 2009 1 A R Q C1 B1 Câu 4.(5.0 điểm) Ta cã B BA1Q A1B1Q A1 BA1A A1AR Suy QAR QB1A1 , suy tø gi¸c QARB1 lµ tø gi¸c néi tiÕp néi tiÕp Tương tự tứ giác QAPC1 là tứ giác nội tiếp nội tiếp C Suy PQR PQA AQR PC1A AB1R A1C1B A1B1C B1QC1 Câu ( điểm ): Gọi a1, a2, a3, … , a2003 là các điểm đã cho Gọi A1 , A2 , … A2003 là các tập hợp các điểm nối với các điểm tương ứng a1, a2, a3, … , a2003 Theo giả thiết thì Ai 1600 với i=1,2,…2003 Xét điểm a1, a2 chẳng hạn nối với nhau: Ta có A1 A2 = A1 + A2 - A1 A2 1600+1600-2003 =1197 Chứng tỏ có ít 1197 điểm mà điểm nối với a1, a2 Không tính tổng quát ta giả thiết 1197 điểm này có điểm a3, đó điểm a1, a2, a3 đôi nối với Hãy cố gắng lên các học trò thầy đạt kết tốt,chúc thành công!!! Lop12.net (6) GV: NGÔ TÙNG LÂM – THPT THANH SƠN –PHÚ THỌ- DĐ 0916 166 645 Xét: A1 A2 A3 = A1 A2 + A3 - A1 A2 A3 1197+1600-2003 =794 Chứng tỏ có ít 794 điểm mà điểm nối với a1, a2 ,a3 Không tính tổng quát ta giả thiết 794 điểm này có điểm a4, đó điểm a1, a2, a3 ,a4 đôi nối với Xét: A1 A2 A3 A4 = A1 A2 A3 + A4 - A1 A2 A3 A4 794+1600-2003 = 391 Chứng tỏ có ít 391 điểm mà điểm nối với a1, a2, a3, a4 Không tính tổng quát ta giả thiết 391 điểm này có điểm a5, đó điểm a1, a2, a3, a4, a5 đôi nối với Do n (1) Bây ta cách nối mà điểm nào tồn điểm không nối với nhau: Xét cách nối sau: Nối tất các cặp điểm am, ak mà m và k không đồng dư với (mod 5).Khi đó, 2003 vì = 400 nên suy điểm nối với 1600 1601 điểm khác Như cách nối trên thoả mãn điều kiện bài toán Với cách nối này: Xét điểm bất kỳ, hiển nhiên điểm đó luôn tồn hai điểm Ai, Aj mà i j(mod 5) Suy n < (2) Từ (1) và (2) suy n=5 Hãy cố gắng lên các học trò thầy đạt kết tốt,chúc thành công!!! Lop12.net (7)