Hành trang du học

MUÏC TIEÂU : - Tìm được nguyên hàm của hàm số cho trước - Tính tích phaân vaø caùc phöông phaùp tích phaân - Tính dieän tích hình phaúng vaø theå tích troøn xoay ■ Kyõ naêng : - Nắm được[r]

********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Tuaàn -Tieát 13 Chủ đề : NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN MUÏC TIEÂU : - Tìm nguyên hàm hàm số cho trước - Tính tích phaân vaø caùc phöông phaùp tích phaân - Tính dieän tích hình phaúng vaø theå tích troøn xoay ■ Kyõ naêng : - Nắm các thuật toán để giải các bài tập - Từ các bài toán phát huy tính sáng tạo để làm bài toán nâng cao CHUAÅN BÒ : - Giáo viên củng cố lại các kiến thức đã học - Học sinh xem trước các kiến thức nguyên hàm và tích phân NOÄI DUNG OÂN TAÄP : PHAÀN I : NGUYEÂN HAØM VAØ HOÏ NGUYEÂN HAØM CUÛA HAØM SOÁ Noäi dung Bài : Tính đạo hàm F(x)=xlnx– x Hãy tìm nguyeân haøm cuûa lnx Giaûi Với  x > 0, F’(x) = lnx + – = ln x Vaäy nguyeân haøm cuûa f(x) = lnx laø F(x) + C = xlnx – x + C (C : haèng soá ) Hoạt động thầy và trò - GV gọi HS viết các công thức nguyeân haøm cuûa haøm soá : ●  dx  x  C ● Baøi : Cho y = ex(2x2 – 3x) Chứng tỏ : y’’ – 2y’ + y = 4ex Suy raèng 4ex + 2y – y’ laø moät nguyeân haøm cuûa y Giaûi x x  R , y’ = e (2x – 3x) + ex(4x – 3) = ex(2x2 + x – 3) y’’ = ex(2x2 + 5x – 2) Vaäy : y’’– 2y’+y = ex(2x2 + 5x – 2) - ex (2x2 + x – 3) + ex(2x2 – 3x) = 4ex (ñpcm) Ñaët F(x) = 4ex + 2y – y’ dx  x  ln x  C ●  e dx  e  C ● Bài :Tính đạo hàm G(x)=(x – 2) ex Suy nguyeân haøm f(x) = (x – 1) ex Giaûi x  R : G’(x) = ex (x – 1) = f(x) Vaäy nguyeân haøm cuûa f(x) = (x – 1) ex laø G(x) + C = (x – 2) ex + C (C : haèng soá) x  1 C  1   x dx  x   1 x  0 x ax 0  a  1 C ln a ●  cos xdx  sin x  C ●  a x dx  ●  sin xdx   cos x  C dx ●  cos ●  sin ●  ax  b  a ln ax  b  C x dx x  tgx  C   cot gx  C dx 1 ax e C a ●  sin axdx   cos ax  C a ●  e ax dx  ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 26 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Ta cần chứng minh : F’(x) = y cos axdx  sin ax  C ●  a Thaät vaäy : F’(x) = 4ex + 2y’ – y’’ dx  y = 4ex + 2y’ – y’’  tgax  C ● x cos ax a Vaäy 4e + 2y – y’= F(x) laø moät nguyeân haøm    cuûa y  x   k ; k  Z    -2x dx Baøi : Cho soá : F(x)= (ax + bx + c)e vaø   cot gax  C ● f(x) = - (2x2 – 8x + 7)ex Tìm a, b, c để F(x) là a sin ax x  k ; k  Z  nguyeân haøm cuûa f(x) Giaûi x F’(x) = (2ax + b)e + ex(ax2 + bx + c) - GV hướng dẫn HS làm các bài tập = [ax2 + (2a + b)x + b + c]ex nguyeân haøm vaø hoï nguyeân haøm Để F(x) là nguyên hàm f(x) - GV goïi HS leân baûng aùp duïng laøm  F’(x) = f(x) - GV hướng dẫn HS tính F’(x) a  2 a  2   - GV goïi HS nhaéc laïi ñònh nghóa  2 a  b   b  12 nguyeân haøm b  c  c  5   HS:F(x)laø nguyeân haøm cuûa f(x)  f(x) = F’(x) 1 (Tương tự) Baøi : Cho haøm soá F(x) = x  sin x Ta coù nguyeân haøm cuûa f(x) laø F(x) + C vaø f(x) = cos2x 1 = x  sin x + C a CMR: F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x)      b Tìm nguyeân haøm f(x) bieát raèng : F   = F  = 4 4 1   /  sin  /  C  1  Vaäy : F(x) = x  sin x      C  8  2  C   C  ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 27 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Tuaàn Tieát 14-15-16 PHAÀN Noäi dung II : TÍCH PHAÂN Hoạt động thầy và trò Daïng : b  f ( x)dx baèng ñònh nghóa Tính I  a Phöông phaùp : - Biến đổi f(x) thành tổng hiệu hàm số đơn giản đã biết nguyên haøm - Tìm nguyeân haøm cuûa f(x) vaø aùp duïng ñònh nghóa b b a a  f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a ) VD1 : Tính tích phaân    13 x  x4  x3   4x 13 11  1    Giaûi   0 - GV gọi HS đọc đề và nêu các hàm  HS : (x2 – x + 3)(4x – 1) = 4x3 – 5x2 + 13x – I   x  x  13 x  dx I   x  x  4 x  1dx - GV đặt vấn đề : Nếu ta tính tích phân thì biểu thức dấu tích phaân nhö theá naøo ?  HS : Phải là tổng hiệu hàm số đơn giản  I   x  x  13 x  dx 13 x x  x   4x 13 11  1    VD2 : Tính tích phaân x  4x I  dx x3 - GV goïi HS leân baûng laøm x2  4x    HS : =   2 x3 x x  Giaûi Ta coù : 2 4 1   I     dx   ln x   x x  x1  1 2 4 I   dx   dx  ln x  x x1 1 x  ln    ln   ln    ln  - GV goïi HS leân baûng laøm - HS : cos x cos x = cos x  cos x  VD3 : Tính tích phaân ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 28 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học **********************************************************************************************************************************   I   cos x cos xdx I 1  /4  /4  sin x  sin x 1    16 4 Giaûi  14 I   cos x  cos x dx 20  14 cos x  cos x dx 0 1  /4  /4 sin x  sin x  16 Daïng : - GV goïi HS nhaéc laïi caùc phöông phaùp tính tích phaân b Tính I   f ( x)dx phương pháp đổi a bieán soá kieåu Phöông phaùp : - Ñaët x = u(t)  dx = u’(t)dt - Đổi cận : x = a  u(t) = a  t =  x = b  u(t) = b  t =    I   f u t  dt u’(t) VD1 : Tính tích phaân dx I   x2 Giaûi Ñaët : x = 2sint  dx = 2costdt x=0  t=0     t  0;  x=1  t=  6  I  cos tdt  sin t  GV goïi HS aùp duïng laøm VD1 - HS : Ñaët :x=2sint  dx = 2costdt x=0  t=0     t  0;  x=1  t=  6 -    I cos tdt  sin t   dt   cos tdt cos t   /6   dt  t 0    Chuù yù : n ♦ Neáu I   a   Ax  B  dx m    Ñaët Ax + B = asint  t   ;   2 ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 29 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** n dx ♦ Neáu I   a   Ax  B  m    Ñaët Ax + B = asint  t   ;   2 n dx ♦ Neáu I   2 m a   Ax  B     Ñaët Ax + B = atgt  t   ;   2 (a > ; A; B : haèng soá) Daïng : - GV : Chuùng ta coù bao nhieâu daïng đổi biến ?  HS : Coù daïng - GV : Daïng laø nhö theá naøo ?  Tính tích phaân I   f u  x .u '  x dx baèng  phương pháp đổi biến kiểu Phöông phaùp : - Ñaët t = u(x)  dt = u’(x)dx - Đổi cận :  x    t  u    a   x    t  u    b - GV goïi HS leân baûng aùp duïng giaûi  HS : Ñaët t = cosx b I   f (t )dt a  dt = sintdt  t  0;1 1 I    et dt   et dt  et  e  VD1 : Tính tích phaân  I   e cos x sin xdx Giaûi dt = -sintdt Ñaët t = cosx  Đổi cận : x=0  t=1 x   t  0;1 t 0 I    e dt   e dt  e t t t - GV gọi HS lên bảng sửa  HS :  e 1 Ñaët t = x   t2 = x2 + ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 30 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học **********************************************************************************************************************************  x2 = t2 –  2tdt = 2xdx x  t    VD2 : Tính tích phaân  x  t  I   x  x dx 2 Giaûi Ñaët t = x   t2 = x2 +  2tdt = 2xdx x  t    x  t    I   t t  tdt  2  t = t 2t    2t dt     5  VD3 : Tính tích phaân  I  dx sin x Giaûi   2 dx   I   dx 2   sin x sin x   sin x sin x  4     cot g x    t   2t dt - GV goïi HS leân baûng laøm 2  HS : Ta coù : =1 + cotg2x sin x Ñaët t = cotgx  dt   dx sin x    x   t   x    t       I     t dt    t dt 1  t3    t      0 3    2 32 16 4 16       5 15 15  I   tx xdx =  t t  tdt 2 2 dx sin x Ñaët t = cotgx  dt   dx sin x     I     t dt    t dt 1  t3    t      0 3   Chuù yù : ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 31 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học **********************************************************************************************************************************  I   f a cos x  b sin xdx ñaët t = acosx + b   I   f a sin x  b  cos xdx ñaët t = asinx + b  I  f a cot gx  b  dx sin x I  f atgx  b  dx cos x ñaët t = atgx + b I  f a ln x  b  dx x ñaët t = alnx + b         ñaët t = acotgx + b  I   f ax n  b x n 1 dx ñaët t = axn + b   x  ' x dx ñaët t = n  ( x)   I f n  Daïng : Tích phân phần Phöông phaùp : u  u ( x) du  u ' ( x)dx - Ñaët   dv  v' ( x)dx v  v( x) b b - Khi đó  udv  uv a   vdu b a a  Chuù yù : u  p ( x) ñaët  dv  eexdx b  p ( x )e x dx a b  px sin xdx a b  px cos xdx a b  px ln xdx a u  p x  ñaët  dv  sin xdx u  p x  ñaët  dv  cos xdx u  ln x ñaët  dv  pxdx p(x) là đa thức theo x GV goïi HS leân baûng laøm baøi taäp VD1 : Tính tích phaân ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 32 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học **********************************************************************************************************************************  HS : I   xe x dx du  dx u  x   Ñaët  2x x Giaûi dv  e dx v  e  du  dx u  x  - GV hướng dẫn HS làm và kết  Ñaët  2x 2x v  e dv  e dx  quaû  1 1 I   xe dx  xe x   e x dx 20 0 2x  e2 x e2  e2  e2  e         4 4 - GV goïi HS leân baûng laøm baøi taäp VD2 : Tính tích phaân  u  x - HS : Ñaët  dv  cos xdx - Cho lớp nhận xét và GV sửa chữa I   x cos xdx Giaûi u  x du  xdx Ñaët   dv  cos xdx v  sin x  I  x sin x  2   x sin xdx   2   x sin xdx u  x du  dx Ñaët   dv1  sin xdx v1   cos x     2 x cos x   /2   cos xdx  2 2 VD3 : Tính tích phaân - Lặp lại lần : u  x Ñaët  dv1  sin xdx I   x ln  x  1dx Giaûi - GV goïi HS leân baûng laøm baøi taäp ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 33 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** dx  u  ln x  1 du  u  ln  x  1  Ñaët  x 1  HS : Ñaë t dv  xdx   v  x dv  xdx  I  x ln  x  1 - GV ñaët caâu hoûi : Neáu chuùng ta ñaët ngược lại thì có không ? x2  dx x 1 5 2  25 ln    x  1dx   dx x 1 - GV khẳng định lại lần : “Chỉ có caùch ñaët naøy laø nhaát” 5  x2   25 ln    x   l n x   2 27  25   25 ln        ln  24 ln     Baøi taäp veà nhaø : Tính caùc tích phaân sau : e  ln x a I   dx x  a   sin x  1  b  I    sin x cos xdx   cos x  sin xdx    d d I   x sin xdx d  e  g I   e cos xdx  h I   e cos x  x sin xdx x2   x   dx x x  e f I   ln xdx x a tgxdx x  cos  b  sin  x cos3 xdx  sin xdx 0 cos4 x  sin4 x tgx e dx 0 cos2 x  4x   b dx x 1  xdx 19 e I   x e  x dx e dx c  x  ln x    cot gx  sin x e  dx  c  cos xdx b I   sin x cos xdx c  c ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 34 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Tuaàn Tieát 17 PHAÀN III : DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG VAØ THEÅ TÍCH Noäi dung Hoạt động thầy và trò Dieän tích hình phaúng cuûa hình thang cong giới hạn các đường x = a, x = b, Ox vaø haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] b S   f  x dx - GV gọi HS nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong - GV hướng dẫn HS để tìm và nhớ lại công thức a Diện tích hình phẳng giới hạn các đường x = a, x = b, hàm số y = f1(x), y=f2(x) lieân tuïc treân [a; b] b S   f1  x   f  x dx a VD1 : Tính diện tích hình phẳng giới x  6x  hạn đường cong C  : y  vaø 2x  truïc Ox Giaûi Lập phương trình hoành độ giao điểm x  x2  6x  =0  2x 1 x  - GV goïi HS neâu caùch giaûi  HS :  Lập phương trình hoành độ giao điểm  Giải phương trình để tìm cận  Aùp dụng công thức tính diện tích hình phaúng - GV goïi HS neâu caùch laøm VD2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C  : y  x  x  và đường thẳng (d):y=3 Giaûi Lập phương trình hoành độ giao điểm : x3 – 3x + =  x3 – 3x – = x    x  1 Diện tích hình phẳng giới hạn (C) và (d) : S x  x  dx 1  HS :  Lập phương trình hoành độ giao điểm cuûa (C) vaø (d) x – 3x + = (*)  Giaûi phöông trình (*) Tìm caän cuûa tích phaân - GV gọi HS lên bảng áp dụng để tính dieän tích - GV goïi HS nhaän xeùt - GV đánh giá và sửa chữa ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 35 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học **********************************************************************************************************************************      x  x  dx 1  x 3x       x    1 1   4   4      4  13 11  (ñvdt ) 4 VD3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn x  4x  C  : y  , tieäm caän xieân cuûa 1 x (C) và hai đường thẳng x=2, x=4 Giaûi Ta coù : Tieäm caän xieân : y = -x + Vaäy dieän tích hình phaúng caàn xaùc ñònh laø :    S    x  3    x    dx  x   2  6 - GV gọi HS lên bảng để vẽ hình - GV goïi HS cho bieát caùch tính dieän tích  HS :  Xaùc ñònh tieäm caän xieân  Áp dụng công thức tính diện tích hình thang cong - GV goïi HS leân baûng laøm baøi taäp dx dx  1 x 1 x    ln  x  ln (ñvdt) VD4 : Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay y = sinx ; y = ; x = ; x =  Giaûi Ta coù :  V    sin xdx a b Hay V    f ( x)dx   b V    S ( x)dx  - GV goïi HS leân baûng veõ hình minh hoïa   - GV : x  0;   4  sin x  x - GV gọi HS nhắc lại công thức tính thể tích  HS : 1  cos x dx 2 a   4   x  sin x  2 0       - GV gọi HS nhắc lại công thức tính thể tích cuûa (E) quay quanh truïc Ox  HS :   2 ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 36 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** b VD5 : Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh x2 y2 (E) :   nó xoay quanh a b truïc Ox Giaûi b (E) : y  a  x a b y a2  x2 a  V    y dx a   b2 a  x2 a2  HS : áp dụng công thức tính thể tích Maø y2   a  V    y dx a a   b a  x dx a a      a a b 2   x dx a  b  a2  a a x3  4ab  a x     a  ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 37 ********************************************************************************************************************************** Lop12.net