Đề 24 thi tuyển sinh đại học 2010 môn thi: Toán – Khối A

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng.. và có hoành độ.[r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010 Môn Thi: TOÁN – Khối A Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI THAM KHẢO I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y  x3  3x  m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 4 AOB  1200 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho  Câu II (2 điểm ) 1) Giải phương trình:     sin  x    sin x sin  x   4 4   2) Giải bất phương trình:  21 3 x  3 x  21 3 x  Câu III (2 điểm) Tính diện tích hình (H) giới hạn các đường y   x  x và y = Câu IV (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân A, AB = AC = a Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với mặt đáy các góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu V (2.0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng: ab bc ca abc    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y  z    và mặt phẳng (P): x + 2 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P), qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng () 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(3; 1) và đường thẳng (): x  2y 1 = Tìm điểm C thuộc đường thẳng () cho diện tích tam giác ABC Câu VII.a (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình z2  bz  c  nhận số phức z   i làm nghiệm B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I thuộc đường thẳng (d ) : x  y   và có hoành độ xI  , trung điểm cạnh là giao điểm (d) và trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là ( S ) : x  y  z  x  y  z   0, ( P) : x  y  z  16  Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P) Tính độ dài ngắn đoạn thẳng MN Xác định vị trí M, N tương ứng Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: z  (1  i ) 2009 z  2i  trên tập số phức (1  i ) 2008 Hướng dẫn Câu I: 2) Ta có: y’ = 3x2 + 6x =  x  2  y  m   x   y  m Lop12.net Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(2 ; m + 4)  Ta có:  OA  (0; m), OB  (2; m  4) m   (m  4)  Câu II: 1) PT  cos AOB   4  m  12     12   m  m   m(m  4)  AOB  1200 thì Để  sin x  cos3 x  sin x(sin x  cos x)  (sinx + cosx)(sin2x  1) = sin x  cos x   tan x  1   sin x   sin x     x    k    x    k  x    k  2) Điều kiện: x  Đặt t2 3 x  BPT   2t  t  2t  5  0  t  5  2t     2  t    t    2t  t   2t  8  2t  t    17 5t  22 x  17  t  1; t   Với  t 1 3 x 1 3 x   x  Câu III: Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình:  Diện tích cần tìm S   Đặt x  = sin t;   S   cos tdt    2 x  x dx    ( x  1) dx    t   ;   2  dx = cost ; Với  2 x  x   x  0; x    x 0t  ; x 2t  2  1  2  (1  cos 2t )dt   t  sin 2t     2  2 Câu IV: Kẻ SH  BC Suy SH  (ABC) Kẻ SI  AB; SJ  AC  SIH   SJH  600  SIH = SJH  HI = HJ  AIHJ là hình vuông  I là trung điểm AB  IH  a a3 VS ABC  SH S ABC  12   V: Sử dụng BĐT: ( x  y  z )          x y z x yz x y z ab 1 1   ab  ab     Ta có: a  3b  2c (a  c)  (b  c)  2b  a  c b  c 2b  Trong tam giác vuông SHI ta có: Câu SH  a Vậy: Tương tự biểu thức còn lại Sau đó cộng vế với vế ta được: ab bc ca  a  b  c bc  ca ca  ab ab  bc  a  b  c         a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b  ab bc ac  Lop12.net Câu VI.a: 1) Đường thẳng () có phương trình tham số: Mặt phẳng (P) có VTPT  n  (1; 3; 2)  x  1  3t   y   2t t    z   2t   Giả sử N(1 + 3t ;  2t ; + 2t)    MN  (3t  3; 2t;2t  2)   Để MN // (P) thì MN n   t   N(20; 12; 16) Phương trình đường thẳng cần tìm : x2 y2 z4   7 2) Phương trình AB : x + 2y  = ; AB  Gọi hc là đường cao hạ từ C ABC Giả sử C(2a + ; a)  () Vì hc  12  S ABC  12 AB.hc   hc  | 2a   2a  1|  12  a  3 Vậy có hai điểm cần tìm: C1(7; 3) và C2(5; 3) Câu VII.a: Từ giả thiết suy ra: 1  i  Câu VI.b: b  c  b  2  b 1  i   c   b  c    b  i     2  b  c  1) I có hoành độ xI  và I   d  : x  y    I  ;  2 2 Gọi M = d  Ox là trung điểm cạnh AD, suy M(3;0) AB  IM   AD  (d ) ,   M  AD  xI  xM    y I  yM   2 S 12 9  2   S ABCD  AB AD = 12  AD = ABCD  AB 4 suy phương trình AD: 1.( x  3)  1.( y  0)   x  y   Lại có MA = MD = Vậy tọa độ A, D là nghiệm hệ phương trình:  x  y    y  x  y  3 x x      2 2  x   1  y   ( x  3)  y  ( x  3)  y  x    y  1 Vậy A(2;1), D(4;-1), 9 3 I ;  2 2 là trung điểm AC, suy x A  xC   xI   xC  xI  x A    ra:    yC  yI  y A     y  y A  yC  I Tương tự I là trung điểm BD nên ta có: B(5;4) Vậy tọa độ các đỉnh hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1) 2) Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d  d  I ,  P   2.2  2.(1)   16 5 d  R Do đó (P) và (S) không có điểm chung Do vậy, MN = d –R = –3 = Trong trường hợp này, M vị trí M0 và N vị trí N0 Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S) Gọi  là đường thẳng qua I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm  và (P) Lop12.net Đường thẳng  có VTCP là  n P   2;2; 1 và qua I nên có phương trình là  x   2t   y  1  2t  t    z   t  Tọa độ N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình:   2t    1  2t     t   16   9t  15   t   Suy  13 14  N0   ;  ;   3 3 Câu VII.b: Ta có: Ta có (1  i ) 2009   i    (1  i ) 2008   i    IM  IN 15  Suy M0(0;–3;4) 2008 .(1  i )  i 2008 (1  i )   i PT  z2  2(1 + i)z +2i =  z2  2(1 + i)z + (i + 1)2 =  (z  i  1)2 =  z = i + Lop12.net