Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2009 môn thi : Toán, khối B, D

Viết phương trình mặt cầu C có tâm nằm trên đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng.[r]

Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục và Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn thi : TOÁN, khối B,D Ngày thi : 02.03.2009 Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần ĐỀ 03 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 2x + Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y = C x −2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số ( ) ( ) ( ) Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng 2x − y + m = cắt C điểm phân biệt mà tiếp ( ) tuyến C đó song song với Câu II: ( điểm ) ) ( )( ( ) 2 Giải phương trình : 2x + + 4x + 4x + + 3x + 9x + =   π π Giải phương trình : sin  3x −  = sin 2x sin  x +  4 4   π Câu III: ( điểm ) Tính tích phân I = ∫ sin x (sin x + cos x ) dx Câu IV: ( điểm ) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên a ,góc đáy mặt bên là α Chứng minh : V = a cos2 α sin α + 300 sin α − 300 Câu V: ( điểm ) Chứng minh phương trình ln ( x + 1) − ln ( x + ) + = không có nghiệm thực x +2 II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) Trong không gian cho hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' , đó A 5; 3;1 , B 4; −1; ,C −6;2; , D 2;1; ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) A ' 6; 3; −1 , B ' 0;2; −5 ,C ' 3; 4;1 Tìm tọa độ điểm D ' cho hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' có cùng trọng tâm





















 Tìm quỹ tích điểm M cho 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB Câu VII.a ( điểm ) Cho x, y là hai số không âm và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : A = 32x + 3y Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) x −1 y z −2 = = 2 Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d cho khoảng cách từ A đến Q lớn ( ) () Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho A 2;5; và đường thẳng d : ( ) () ( ) Viết phương trình mặt cầu (C ) có tâm nằm trên đường thẳng (d ) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α ) : 3x + 4y + = 0, ( β ) : 2x + 2y − z + 39 = Câu VII.b ( điểm ) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số : f ( x ) = x + −x GV đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt Lop12.net Đáp án đăng tải http://www.maths.vn và số trang web toán sau 15h cùng ngày I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 2x + Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y = C x −2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số Học sinh tự làm ( ) ( ) ( ) Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng 2x − y + m = cắt C điểm phân biệt mà tiếp ( ) tuyến C đó song song với () ( ) ( ) ( ( ) ) Giả sử d cắt C A x ; y1 , B x ; y2 , tiếp tuyến A, B có hệ số góc là : y ' x = ( ) y ' x2 = −7 (x −7 (x −2 ) , ) Đường thẳng (d ) : y = 2x + m cắt (C ) điểm phân biệt mà tiếp tuyến (C ) đó song song với −2 và phương trình : 2x + = 2x + m x −2 (1) có hai nghiệm phân biệt x , x () Hay phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x khác thỏa mãn −7 ( x1 − 2 ) = ( ) −7 ( x2 − 2 ) ⇔ x1 + x =  ∆ = m − + 2m + >  ⇔ 2.22 + m + − 2m − ≠ ⇔ m = −2 6 − m  =4  ( ) ( ( ) ( )( ) Câu II: ( điểm ) ) (  (1) ⇔ (2x + 1)  + (2x + 1)  () ( ) 4x + 4x + + 3x + 9x + = Giải phương trình : 2x + +   +  = −3x  +   ( ) ( −3x ) (1 )  +  ⇔ f 2x + = f −3x  ( ) ( ) Xét hàm số f t = t + t + liên tục trên R () Ta có : f ' t = + t + + t () t t2 + Khi đó ⇔ 2x + = −3x ⇔ x = − () > 0, ∀t ∈ R ⇒ f t liên tục và đồng biến trên R   π π Giải phương trình : sin  3x −  = sin 2x sin  x +  4 4     π π 3x − = 3t − π ⇒ sin  3x −  = sin(3t − π ) = − sin 3t π 4   Đặt : t = x + ⇒  2x = 2t − π ⇒ sin 2x = sin  2t − π  = − sin 2t  2  Lop12.net ( ) thỏa mãn y ' x = y ' x 2 ) (2 ) Phương trình cho viết lại : sin 3t = sin 2t sin t ⇔ sin t − sin t = cos t.sin2 t Bài toán đến đây khá dễ dàng Lưu ý trước giải bài toán này , ta cần chứng minh sin 3t = sin t − sin t ( ) Cách khác : Ta có thể dùng trực tiếp khai triển công thức sin a ± b = sin a sin b ± cos a cos b π Câu III: ( điểm ) Tính tích phân I = ∫ sin x (sin x + cos x ) dx Cách : π π I = ∫ sin x ( sin x + cos x ) dx = − ∫ π   d cos  x −     cos x − π        ( ) Cách 2: π I = ∫ π  π  sin  −  − x   sin x  6  dx = dx ∫0 3 sin x + cos x sin x + cos x π ( ) ) ( Cách 3: π I = ∫ π sin x ( sin x + cos x ) dx , J = π   π2  I + J = t a n x −    0      − 3J + I = −  sin x + cos x  Cách : ( π ∫ π cos x ( sin x + cos x ) dx ⇒I =? ) π π sin x π I =∫ dx = ∫ dx = dx = ∫ 3 cos x sin x + cos x cos x t a n x + t a n x + ( 0 ( ) ( ) ) Cách 5: Đặt : t = t a n Cách : Đặt : t = x − sin x ta n x ∫ ta n x ( ta n x + ) .d ( t a n x ) x π Câu IV: ( điểm ) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên a ,góc đáy mặt bên là α Chứng minh : V = a cos2 α sin α + 300 sin α − 300 ( ) ( ) Lop12.net Gọi SH , SI là đường cao, đoạn hình chóp
= α; SB = a Theo giả thiết , ta có SBC 1 BC 3 V = S ABC SH = SH = BC SH 3 12 ∆SBI vuông, BI = SB.cos α = a cos α → BC = 2BI = 2.a.cos α ∆SBH vuông, BH = BC 2a = cos α 3 SH = SB − BH = a2 − cos2 α − cos2 α → SH = a 3 ( ) a cos2 α − cos2 α 1  + cos 2α − cos2 α = − =  − cos 2α  = cos 600 − cos 2α 2  V = ( V = a cos2 α sin α + 300 sin α − 300 ( ) ( Câu V: ( điểm ) Chứng minh phương trình ln ( x + 1) − ln ( x + ) + ) ) = không có nghiệm thực x +2 , xác định và liên tục trên khoảng ( −1; +∞ ) x +2 1 1 Ta có f ' ( x ) = − − − > 0, ∀x > −1 ⇒ f ( x ) liên tục và đồng biến = x + x + (x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + )2 trên khoảng ( −1; +∞ ) và lim+ f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = , suy f ( x ) < 0, ∀x > −1 Vậy phương trình cho Xét hàm số : f ( x ) = ln ( x + 1) − ln ( x + ) + x →1 x →+∞ không có nghiệm thực II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) Trong không gian cho hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' , đó A 5; 3;1 , B 4; −1; ,C −6;2; , D 2;1; ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) A ' 6; 3; −1 , B ' 0;2; −5 ,C ' 3; 4;1 Tìm tọa độ điểm D ' cho hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' có cùng trọng tâm ( ) Giả sử D ' x '; y '; z ' là tọa độ cần tìm và G ,G ' là trọng tâm tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D '  5 15  G là trọng tâm tứ diện ABCD nên có tọa độ G  ; ;  Theo bài toán hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' 4 4   5 15  có cùng trọng tâm, nên G '  ; ;  4 4  G ' là trọng tâm tứ diện A ' B ' C ' D ' , nên ta luôn có :  x A ' + x B ' + xC ' + x D ' xG ' = x = −4  y + y + y + y  D'  A' B' C' D' y = ⇔  G' yD ' = −4 ⇒ D ' −4 '− 4;20  z = 20  D' z = z A ' + z B ' + zC ' + z D '  G'  ( ) Lop12.net





















 Tìm quỹ tích điểm M cho 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB








  Giả sử tồn điểm I x ; y ; z thỏa mãn hệ thức 3IA − 2IB + IC + ID =

 IA = x − 2; y − 4; z + 0 










 IB = x − 1; y − 4; z + Ta có : 


 ⇒ 3IA − 2IB + IC + ID = 3x − 8; 3y − 10; 3z − = x − 2; y − 4; z − IC

  ID = x − 2; y − 2; z + 3x − =








    10  Tọa độ điểm I x ; y ; z thỏa mãn hệ thức 3IA − 2IB + IC + ID = ⇔ 3y − 10 = ⇔ I  ; ;  3 3 3z − = 







































 3MA − 2MB + MC + MD = 3MI + 3IA − 2IB + IC + ID = 3MI , ∀I MA − MB = AB ( ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) ) ) (



























 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB ⇔ 3MI = AB ⇔ MI = AB  10  1 Vậy quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm I  ; ;  , bán kính R = AB = và có phương trình mặt cầu : 3 3 3 2  8  10   1  x −  + y −  +  z −  = 3    3  Câu VII.a ( điểm ) Cho x, y là hai số không âm và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : A = 32x + 3y Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) x −1 y z −2 = = 2 Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d cho khoảng cách từ A đến Q lớn ( () ) Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho A 2;5; và đường thẳng d : ( ) ( ) () ( ) Giả sử mặt phẳng Q có phương trình dạng : ax + by + cz + d = 0, a + b + c > 
  d có vectơ phương là u = 2;1;2 và qua điểm N 1; 0;2 , Q có vectơ pháp tuyến là n = a;b; c ≠
  d = a + b n ⊥ u 2a + b + 2c =  Mặt phẳng Q chứa d  ⇔ ⇔ 2a + b a + 2c + d = N ∈ Q c = −    2a + b  2a + 5b +  −  + a +b 2a + 5b + 3c + d   Khoảng cách từ A đến Q : d A/ Q = = ( ( )) a + b2 + c2  2a + b  a + b2 +  −    Thu gọn chia hai trường hợp : • b = , trường hợp này không thỏa đề bài • b ≠ , chia tử và mẫu cho b Khoảng cách từ A đến Q lớn a = 1, b = −4 ⇒ c = 1, d = −3 () ( ( ) () ) ( ) ( ) ( () ( ) ( ( ) ( ) ( ) Mặt phẳng Q : x − 4y + z − = Cách khác ( hay ) Lop12.net ) () ) M ∈ d Gọi M là hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng d , đó 



  ⇔ ⇔ M 3;1; AM ⊥ u () () ( ) () ( ) ( ) Mặt phẳng (Q ) chứa (d ) cho khoảng cách từ A đến (Q ) lớn chính là mặt phẳng chứa (d ) đồng thời ( ) Giả sử P là mặt phẳng tùy ý chứa d , đó M ∈ P Kẻ AH ⊥ P , đó AH ≤ AM vuông góc với AM qua M 3;1;




 Vậy Q :  ⇔ Q : x − 4y + z − = vtpt n / / AM = 1; − 4;1  ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) Viết phương trình mặt cầu C có tâm nằm trên đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α ) : 3x + 4y + = 0, ( β ) : 2x + 2y − z + 39 = Câu VII.b ( điểm ) ( ) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số : f x = 2x + −x GV đề : Nguyễn Phú Khánh –Đà Lạt Lop12.net