Đang tải... (xem toàn văn)
Trục đẳng phương của hai đường tròn: Nhaéc laïi: Định lý : Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn khác tâm là một đường thẳng vuông góc với đường nối hai tâm.. Đường[r]
(1)HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG Chuyên đề 14: A KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ y I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng : x'Ox : trục hoành y'Oy : truïc tung O : gốc toạ độ e1 , e2 : veùc tô ñôn vò ( e1 e2 e2 x' vaø e1 e1 x O e2 ) y' Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy gọi là mặt phẳng Oxy vaø kyù hieäu laø : mp(Oxy) II Toạ độ điểm và véc tơ: Định nghĩa 1: Cho M mp(Oxy ) Khi đó véc tơ OM biểu diển cách theo y e1 , e2 hệ thức có dạng : OM xe1 ye2 với x,y Q e2 x' M e1 O x P Cặp số (x;y) hệ thức trên gọi là toạ độ điểm M Kyù hieäu: M(x;y) ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M ) M ( x; y ) y' YÙ nghóa hình hoïc: OM ñ/n xe1 ye2 y Q M y x' x x O x OP P vaø y=OQ y' Định nghĩa 2: Cho a mp(Oxy ) Khi đó véc tơ a biểu diển cách theo e1 , e2 hệ thức có dạng : a a1 e1 a2 e2 với a1 ,a2 y Cặp số (a1;a2) hệ thức trên gọi là toạ độ véc tơ a e Kyù hieäu: a (a1; a2 ) a=(a1;a2 ) YÙ nghóa hình hoïc: y K B2 a1 A1B1 H x O A1 a1 e1 a2 e2 B1 91 y' Lop12.net e1 O vaø a2 =A B2 x P y' B A A2 x' a ñ/n x' a (2) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Trong maët phaúng Oxy haõy veõ caùc ñieåm sau: A(2;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4) III Các công thức và định lý toạ độ điểm và toạ độ véc tơ : Ñònh lyù 1: Neáu A( x A ; y A ) vaø B(x B; yB ) thì AB ( xB x A ; yB B( x B ; y B ) yA ) Neáu a (a1; a2 ) vaø b (b1; b2 ) thì Ñònh lyù 2: A( x A ; y A ) * a b a a1 b1 a2 b2 * a b (a1 b1; a2 b2 ) * a b (a1 b1; a2 b2 ) * k a (ka1; ka2 ) (k ) b BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Bài 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD laø hình bình haønh Bài 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2) Tìm điểm M thoả mãn MA MB 2CB IV Sự cùng phương hai véc tơ: Nhaéc laïi Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng đường thẳng nằm trên hai đường thaúng song song Định lý cùng phương hai véc tơ: Ñònh lyù : Cho hai véc tơ a và b với b a cuøng phöông b a b a b Ñònh lyù : !k cho a k b Nếu a thì số k trường hợp này xác định sau: k > a cùng hướng b a b k < a ngược hướng b a k 2 5 b a b , b- a B A A, B, C thaúng haøng AB cuøng phöông AC (Ñieàu kieän ñieåm thaúng haøng ) 92 Lop12.net C (3) Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô a (a1; a2 ) vaø b (b1; b2 ) ta coù : a cuøng phöông b a (a1 ; a2 ) b (b1 ; b2 ) a1.b2 a2 b1 (Ñieàu kieän cuøng phöông cuûa veùc tô a (1;2) b (2;4) VD : BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Bài 1: Cho A(0; 1); B(2;3); C ( ;0) Chứng minh A, B, C thẳng hàng 1 1 ) , C (2 3; ) Chứng minh A, B, C thẳng hàng Baøi 2: Cho A(1;1), B( 2; 4 V Tích vô hướng hai véc tơ: Nhaéc laïi: B a b a b cos( a , b) b b b 2 a a O A a a b a b a a Ñònh lyù 6: Cho hai veùc tô a (a1; a2 ) vaø b (b1; b2 ) ta coù : a.b a1b1 a2 b2 (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô a (a1; a2 ) ta coù : a a12 Ñònh lyù 8: (Công thức tính độ dài véc tơ ) A( x A ; y A ) Neáu A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) thì AB ( xB Ñònh lyù 9: a22 x A )2 ( yB y A )2 B( x B ; y B ) (Công thức tính khoảng cách điểm) Cho hai veùc tô a (a1; a2 ) vaø b (b1; b2 ) ta coù : a b Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô a1b1 a2 b2 (Ñieàu kieän vuoâng goùc cuûa veùc tô) a (a1; a2 ) vaø b (b1; b2 ) ta coù a1b1 a2 b2 ab cos(a, b) a.b a12 a22 b12 b22 93 Lop12.net (Công thức tính góc véc tơ) (4) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Bài 1: Chứng minh tam giác với các đỉnh A(-3;-3), B(-1;3), C(11;-1) là tam giác vuông Baøi 2: Cho A(2;3), B(8;6 3), C (2 3;7) Tính goùc BAC VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa: Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ) : MA k MB A M B Ñònh lyù 11 : Neáu A( x A ; y A ) , B(x B ; yB ) vaø MA k MB ( k ) thì x A k x B x M k y y A k y B M 1 k Ñaëc bieät : x A xB x M M laø trung ñieåm cuûa AB y y A yB M VII Moät soá ñieàu kieän xaùc ñònh ñieåm tam giaùc : x A x B xC x G G laø troïng taâm tam giaùc ABC GA GB GC y y A y B yC G AH BC AH BC H là trực tâm tam giác ABC BH AC A BH AC AA' BC A' là chân đường cao kẻ từ A C B A' BA' cuøng phöông BC IA=IB I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA=IC AB DC D là chân đường phân giác góc A ABC DB AC AB D 'C D' là chân đường phân giác ngoài góc A ABC D ' B AC AB ABC JA JD J là tâm đường tròn nội tiếp BD A G C B A H C B A I C B A C D B A J C B 94 Lop12.net D (5) VIII Một số kiến thức thường sử dụng khác: Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : Ñònh lyù 12: Cho tam giaùc ABC Ñaët AB (a1; a2 ) vaø AC SABC a1b2 a2 b1 (b1; b2 ) ta coù : A C B Các bất đẳng thức véc tơ : Định lý 13: Với hai véc tơ u, v ta luôn có : u u v u v u.v u v v u v Dấu xảy và u, v là hai véc tơ cùng phương cùng chiều là có hai veùc tô laø veùc tô khoâng BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Tìm dieän tích tam giaùc coù caùc ñænh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2) Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích với A(3;1), B(1;-3) Tìm C bieát C treân Oy Tìm C bieát troïng taâm G cuûa tam giaùc treân Oy Baøi 3: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Chứng minh G, H, I thẳng hàng và GH 2GI Vẽ đường cao AA' tam giác ABC Tìm toạ độ điểm A' Baøi 4: Cho tam giaùc ABC bieát A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4) Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 5: Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC, biết toạ độ các đỉnh A(1; 2), B(5;7), C (4; 3) Baøi 6: Cho ba ñieåm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0) Vẽ phân giác AD và phân giác ngoài AE Tìm toạ độ D và E Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 7: Cho hai điểm A(0;2), B( 3;1) Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp cuûa tam giaùc OAB (TS A 2004) Bài 8: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G (TS D 2004) -Heát - 95 Lop12.net (6) ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các định nghĩa VTCP và PVT đường thẳng: ñn a a là VTCP đường thẳng ( ) a có giá song song trùng với () ñn n n là VTPT đường thẳng ( ) n có giá vuông góc với () a n a () () * Chuù yù: Nếu đường thẳng ( ) có VTCP a (a1; a2 ) thì có VTPT là n ( a2 ; a1 ) Nếu đường thẳng ( ) có VTPT n ( A; B) thì có VTCP là a ( B; A) a n () BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Cho đường thẳng () qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3) Tìm VTCP và VTPT () II Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số và phương trình chính tắc đường thẳng : a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng ( ) qua M0(x0;y0) và nhận a (a1; a2 ) làm y VTCP seõ coù : a (a1 ;a ) M ( x; y ) x x0 t.a1 Phöông trình tham soá laø : ( ): (t ) y y0 t.a2 x O M ( x0 ; y0 ) ): Phöông trình chính taéc laø : ( x x0 a1 y y0 a2 BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2) Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng qua A, B Baøi 2: Caùc ñieåm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh cuûa moät tam giaùc Haõy laäp 96 Lop12.net (7) phương trình chính tắc các đường thẳng chứa các cạnh tam giác đó Phương trình tổng quát đường thẳng : a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) và có VTPT n ( A; B) là: y n (A;B) M ( x; y ) x O M ( x0 ; y0 ) ( ) : A( x x0 ) B( y y0 ) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Cho tam giaùc ABC bieát A(1; 2), B(5;7), C (4; 3) Viết phương trình các đường cao tam giác Viết phương trình các đường trung trực tam giác Bài 2: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5) a) Viết phương trình đường vuông góc kẻ từ A đến trung tuyến BK tam giác ABC b) Tính dieän tích tam giaùc ABK b Phương trình tổng quát đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng ( ) có dạng : y n ( A; B) M ( x0 ; y0 ) O Ax + By + C = với A2 B x a ( B; A) a ( B; A) Chuù yù: Từ phương trình ( ):Ax + By + C = ta luôn suy : VTPT cuûa ( ) laø n ( A; B) VTCP cuûa ( ) laø a ( B; A) hay a ( B; A) ( ) Ax0 By0 C M0 ( x0 ; y0 ) Mệnh đề (3) hiểu là : Điều kiện cần và đủ để điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình đường thẳng BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng biết phương trình tổng quát nó là x y Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(-1;2) và song song () : x y Bài 3: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc () : x y Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y+1=0 cho tam giác ABC vuông C Bài 5: Cho A(1;1) ; B(-1;3) và đường thẳng d:x+y+4=0 a) Tìm trên d điểm C cách hai điểm A, B b) Với C tìm Tìm D cho ABCD là hình bình hành Tính diện tích hình bình hành 97 Lop12.net (8) Các dạng khác phương trình đường thẳng : a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : ( AB) : x x A y yA xB x A yB y A ( AB) : x x A y y M ( x; y ) O ( AB) : y y A B( x B ; y B ) yA xA x A( x A ; y A ) yB A( x A ; y A ) A( x A ; y A ) xB x y B( x B ; y B ) y A yB x B( x B ; y B ) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Cho tam giaùc ABC bieát A(1;-1), B(-2;1), C1;5) Vieát phöông trình ba caïnh cuûa tam giaùc b Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng Gọi (Ox , ) thì k tg gọi là hệ số góc y củađường thẳng O x Định lý 1: Phương trình đường thẳng qua M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k là : y M ( x; y ) y0 O x0 y - y = k(x - x ) x (1) Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình đường thẳng qua M0 và vuông góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 và vuông góc Ox là x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng có phương trình y ax b thì hệ số góc đường thẳng là k a Định lý 2: Gọi k1, k2 là hệ số góc hai đường thẳng 1 , ta có : 1 // k1 k 1 k1.k2 1 BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) và vuông góc với đường thẳng x y 98 Lop12.net (9) c Phương trình đt qua điểm và song song vuông góc với đt cho trước: i Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 coù daïng: Ax+By+m1 =0 ( ): Ax+By+C=0 coù daïng: Bx-Ay+m =0 ii Phương trình đường thẳng ( 1) Chú ý: m1; m2 xác định điểm có tọa độ đã biết nằm trên 1; y : Ax By m1 y : Bx Ay m : Ax By C1 O M1 x x0 M1 x x0 O : Ax By C1 BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Bài 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(-1;2) và song song () : x y Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc () : x y III Vị trí tương đối hai đường thẳng : y 2 1 O y y 1 x x O 2 1 caét // Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : Vị trí tương đối ( ) vaø ( 2) x O 2 1 ( ) : A1 x B1 y C1 ( ) : A2 x B2 y C2 phuï thuoäc vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình : B1y C1 B1y C1 A1 x A x hay (1) A x B y C A x B y C 2 2 Chú ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M ( ) vaø ( Ñònh lyù 1: 1 i Heä (1) voâ nghieäm ( ) //( 2) ii Heä (1) coù nghieäm nhaát ( ) caét ( iii Heä (1) coù voâ soá nghieäm ( 1) ( 99 Lop12.net 2) 2) 2) (10) Ñònh lyù 2: Neáu A2 ; B2 ; C2 khaùc thì A1 B1 A B2 ii (1 ) // ( ) A1 B1 C1 A B2 C2 iii (1 ) ( ) i (1 ) caét ( ) A1 B1 C1 A B2 C2 BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: ( AB) : x y 17 Baøi 1: Cho tam giaùc ABC coù phöông trình ba caïnh laø ( AC ) : x y 13 ( BC ) : x y Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C Baøi 2: Cho tamgiaùc ABC coù ñænh A(2;2) Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.Bieát raèng các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 là các đường cao tam giác xuất phát từ B vaø C Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng sau: d1 : mx y m d : x my IV Góc hai đường thẳng Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : Goïi ( 00 ( ) : A1 x B1 y C1 ( ) : A2 x B2 y C2 900 ) là góc ( ) vaø ( 2) ta coù : y A1 A2 B1B2 cos A12 B12 A22 1 B22 x O Heä quaû: ( ( 2) 1) A1 A2 B1B2 2 BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1) và tạo với đường thẳng : x+2y+3=0 moät goùc baèng 450 Bài 2: Lập phương trình các cạnh hình vuông có đỉnh là (-4;5) và đường chéo có phương trình 7x-y+8=0 V Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : ) : Ax By C vaø ñieåm M0 ( x0 ; y0 ) Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng () tính công thức: d ( M0 ; ) M0 y Ax0 By0 C H A2 B O 100 () Lop12.net x (11) Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ) : A1 x B1 y C1 ( ) : A2 x B2 y C2 Phương trình phân giác góc tạo ( ) vaø ( A1 x B1y C1 A12 B12 2) 0 y 1 laø : A2 x B2 y C2 A22 x O B22 2 Định lý 3: Cho đường thẳng ( ) : Ax By C và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm N trên ( ) Khi đó: M Hai điểm M , N nằm cùng phía ( ) và ( Ax M By M C )( Ax N By N C ) Hai điểm M , N nằm khác phía ( ) và ( Ax M By M C )( Ax N By N C ) M N BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5) Tính chiều cao kẻ từ A Bài 2: Cho hai đường thẳng d1 : x y & d : x y Viết phương trình đường phân giác góc tạo d1 và d2 Bài 3: Cho tam giác ABC với A(-6;-3); B-4;3), C9;2) Lập phương trình đường phân giác góc A cuûa tam giaùc ABC Bài 4: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) Lập pt đường thẳng qua P cách Q đọan có độ dài Bài 5: Cho ba đường thẵng (d1 ) : x y 0, (d ) : x y 0, (d ) : x y Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng (d3) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng (d2) VI Chùm đường thẳng : 1 2 I Định nghĩa: Tập hợp các đường thẳng cùng qua điểm I gọi là chùm đường thẳng I goïi laø ñænh cuûa chuøm Một chùm đường thẳng hoàn toàn xác định biết : i Ñænh cuûa chuøm ii Hai đường thẳng chùm Định lý: Trong Mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 , cắt xác định phương trình : (1 ) : A1 x B1y C1 ( ) : A2 x B2 y C2 101 Lop12.net (12) Khi đó : Mỗi đường thẳng qua giao điểm 1 , có phương trình dạng: () : ( A1 x B1y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) ( 0) Chuù yù: 1 vaø thì 1 vaø thì Ñaëc bieät : I 2 M I M I Nếu và thì 1 và 1 trường hợp này phương trình có thể viết dạng sau: m(A1 x B1y C1 ) (A x B2 y C2 ) (A1 x B1y C1 ) n(A x B2 y C2 ) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng x y & x y và vuông góc với đường thẳng (d ) : x y 102 Lop12.net (13) BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Phương trình hai cạnh tam giác mặt phẳng tọa độ là 5x-2y+6=0 và 4x+7y-21=0 Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc tọa độ Baøi 2: Cho tam giaùc ABC , caïnh BC coù trung ñieåm M(0;4) coøn hai caïnh coù phöông trình 2x+y-11=0 vaø x+4y-2=0 a) Xaùc ñònh ñænh A b) Gọi C là điểm trên đường thẳng x+4y-2=0, N là trung điểm AC Tìm điểm N tính tọa độ B, C Baøi 3: Cho tam giaùc ABC coù M(-2;2) laø trung ñieåm cuûa BC , caïnh AB coù phöông trình x-2y-2=0, cạnh AC có phương trình : 2x+5y+3=0.Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5) đường cao kẻ từ A có phương trình 2x-5y+3=0 và đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình x+y-5=0 a) Tính tọa độ điểm A b) Vieát phöông trình cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC Baøi 5: Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G(-2;-1) vaø coù caùc caïnh AB:4x+y+15=0 vaøAC:2x+5y+3=0 a) Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M BC b) Tìm tọa độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC Baøi 6: Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;-3) a) Biết đường cao BH: 5x+3y-25=0, đường cao CK: 3x+8y-12=0 Tìm tọa độ đỉnh B , C b) Biết đường trung trực AB là 3x+2y-4=0 và trọng tâm G(4;-2) Tìm B, C Bài 7: Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ đỉnh có phương trình 2x-3y+12=0 và 2x+3y=0 Bài 8: Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phöông trình laø x-2y+1=0 vaø y-1=0 Baøi 9: Cho tam giaùc ABC bieát C(4;3) phaân giaùc (AD):x+2y-5=0, trung tuyeán (AE) 4x+13y-10=0.Laäp phöông trình ba caïnh Bài 10: Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác góc B và C là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Bài 11: Cho điểm M(-2;3) Tìm phương trình đường thẳng qua M và cách hai điểm A(-1;0) vaø B(2;1) Bài 12: Cho A(2;-3) , B(3;-2) Trọng tâm G tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x-y-8=0, diện tích tam giaùc ABC baèng 3/2 Tìm C Bài 13: Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 và có khỏang cách đến đường thaúng d baèng Bài 14: Cho tam giác cân ABC biết phương trình cạnh đáy AB:2x-3y+5=0 cạnh bên AC:x+y+1=0 Tìm phöông trình caïnh beân BC bieát raèng noù ñi qua ñieåm D(1;1) Bài 15: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y=x , phân giác góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 Viết phương trình cạnh BC Bài 16: Cho đường thẳng d: 2x+y-4=0và hai điểm M(3;3) , N(-5;19).Hạ MK d và gọi P là điểm đối xứng M qua d: a) Tìm tọa độ K và P b) Tìm điểm A trên d cho AM + AN có giá trị nhỏ và tính giá trị đó Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A , phương trình BC là 3x y , caùc ñænh A vaø B 103 Lop12.net (14) thuộc trục hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giaùc ABC Bài 18: Cho hình chử nhật ABC có tâm I(1/2;0) , phương trình đường thẳng AB là x-2y+2=0 và AB=2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hòanh độ âm Bài 19: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng d1 : x y và d : x y Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B,D thuộc trục hoành -Heát 104 Lop12.net (15) ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Phương trình đường tròn: Phöông trình chính taéc: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : y I (a; b) b R a O (C ) : ( x a)2 ( y b)2 M ( x; y ) x R2 (1) Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc đường tròn Ñaëc bieät: Khi I O thì (C ) : x y R (hay: y R x ) BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5) Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng () : x y Phöông trình toång quaùt: Ñònh lyù : Trong mp(Oxy) Phöông trình : x y 2ax 2by c b2 c với a2 là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R a2 b2 c BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn (C ) : x y x y 20 Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1) Baøi 3: Cho phöông trình : x y 4mx 2my 2m (1) Định m để phương trình (1) là phương trình đường tròn (Cm) II Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : x y 2ax 2by c taïi ñieåm M ( x0 ; y0 ) (C ) laø : M ( x0 ; y ) (C) () ( ) : x0 x y0 y a( x x0 ) b( y y0 ) c I(a;b) BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) A 105 Lop12.net (16) IV Phương tích điểm đường tròn: Nhaéc laïi : Định nghĩa: Cho đường tròn (O;R) và điểm M cố định Phương tích điểm M đường tròn (O) ký hiệu là xác định sau: Chuù yù : à M/(O) = d R ( với d = MO ) à M/(O) laø moät soá à M/(O) > M ngoài đường tròn (O) à M/(O) < M đường tròn (O) à M/(O) = M trên đường tròn (O) (C) M I Ñònh lyù: Trong mp(Oxy) cho điểm M ( x0 ; y0 ) và đường tròn x y 2ax 2by c với a2 b2 c có tâm I(a;b) và bán kính R a2 b2 c Phương tích điểm M đường tròn (C) là M/(O) = x02 y02 2ax0 2by0 c à BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Cho đường tròn (C): x y x y và điểm A(3;5) Xét vị trí điểm A đường tròn (C) IV Trục đẳng phương hai đường tròn: Nhaéc laïi: Định lý : Tập hợp các điểm có cùng phương tích hai đường tròn khác tâm là đường thẳng vuông góc với đường nối hai tâm Đường thẳng này gọi là trục đẳng phương hai đường tròn đó Caùch xaùc ñònh truïc ñaúng phöông (C1 ) (C1 ) (C ) (C ) I1 I2 I1 I2 M (C1 ) (C ) I1 I2 I M I1 I2 (C ) (C1 ) 106 Lop12.net I3 1 (C ) 2 (17) Ñònh lyù : Cho hai đường tròn (C1) và (C2) không cùng tâm có phương trình: (C1 ) : x y 2a1 x 2b1y c1 (C2 ) : x y 2a2 x 2b2 y c2 Phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø : ( ) : 2(a1 a2 ) x 2(b1 b2 ) y c2 c1 x y 2a1 x 2b1y c1 Cách nhớ: x2 y 2a2 x 2b2 y c2 BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Xác định phương trình trục đẳng phương hai đường tròn sau: (C1 ) : x y y (C2 ) : x y x y 16 VI Các vấn đề có liên quan: Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn: (C ) (C ) (C ) I I R R M Ñònh lyù: M H H ( ) (C ) ( ) tieáp xuùc (C) ( ) caét (C) I R H M d(I; ) > R d(I; ) = R d(I; ) < R BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho đường tròn (C): ( x 3) ( y 1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyeán naøy ñi qua ñieåm M(6;3) Bài 2: Cho đường tròn (C): x y x y Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d ) : x y 10 Bài 3: Cho đường tròn (C ) : x y x y và điểm M(-3;1) Gọi T1, T2 là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 107 Lop12.net (18) Vị trí tương đối hai đường tròn : C1 I1 C2 R1 R2 I2 C1 C1 I1 R1 R2 I2 C2 C2 I1 R1 R2 I2 C1 I1 I C2 (C1 ) vaø (C2 ) khoâng caét I1I2 > R1 R2 (C1 ) vaø (C2 ) caét R1 R2 < I1I2 < R1 R2 (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc ngoài I1I2 = R1 R2 (C1 ) vaø (C2 ) tieáp xuùc I1I2 = R1 R2 BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Xác định vị trí tương đối hai đường tròn sau: (C1 ) : x y y (C2 ) : x y x y 16 VII: Chùm đường tròn: Định lý: Cho hai đường tròn cắt : (C1 ) : x y 2a1 x 2b1 y c1 (C2 ) : x y 2a2 x 2b2 y c2 Phương trình đường tròn (C) qua giao điểm (C1) và (C2) có dạng : ( x y 2a1 x 2b1 y c1 ) ( x y 2a2 x 2b2 y c2 ) ( + 0) BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm hai đường tròn (C1 ) : x y 10 x 0;(C2 ) : x y x y 20 vaø ñi qua ñieåm A(1;-1) BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là A(1;1); B(-1;2); C(0;-1) Bài 2: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng x (d1 ) : y ;(d ) : y x 2;(d ) : y x 5 Bài 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1) Bài 4: Lập phương trình đường tròn qua các điểm A(-1;1) và B(1;-3) có tâm nằm trên đường thaúng (d):2x - y + = 108 Lop12.net (19) Bài 5: Lập phương trình đường tròn qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 7x-y-5=0 taïi ñieåm M(1;2) Bài 6: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 2x+y=0 và tiếp xúc với đường thaúng x-7y+10=0 taïi ñieåm A(4;2) Bài 7: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 4x +3y - = và tiếp xúc với hai đường thẳng : x + y + = và 7x - y + = Bài 8: Viết phương trình đường tròn qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy Bài 9: Cho đường tròn (C):(x-1)2 +(y-2)2=4 và đường thẳng (d):x-y-1=0 Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d) Tìm toạ độ giao điểm cuûa (C) vaø (C') y 10 x vaø (C2): x y x y 20 Bài 10:Cho hai đường tròn: (C1): x Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm (C1) và (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x + 6y - = Viết phương trình tiếp tuyến chung các đường tròn (C1) và (C2) y y vaø (C2): x y x 8y 16 Bài 11: Cho hai đường tròn: (C1): x Viết phương trình tiếp tuyến chung các đường tròn (C1) và (C2) Bài 12: Cho hai đường tròn : (C1 ) : x y 4x 2y (C2 ) : x y 10x 6y 30 có tâm là I và J 1) Chứng minh (C1) tiếp tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm tọa độ tiếp điểm H 2) Gọi (D) là tiếp tuyến chung không qua H (C1) và (C2) Tìm tọa độ giao điểm K (D) và đường thẳng IJ.Viết phương trình đường tròn (C) qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) H y 2 x y Lập phương trình đường thẳng Bài 13: Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C): x (d) qua M caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B cho AB 10 Bài 14: Cho đường tròn (C): x y và điểm A(1;2) Hãy lập phương trình đường thẳng chứa dây cung cuả (C) qua A cho độ dài dây cung đó ngắn y 2 x y vaø ñieåm M(2;4) Bài 15: Cho đường tròn (C): x Chứng tỏ điểm M nằm trongđường tròn Viết phương trình đường thẳng qua điểm M, cắt đường tròn hai điểm A và B cho M laø trung ñieåm cuûa AB Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn đã cho qua đường thẳng AB Bài 16: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x y (2m 5)x (4m 1)y 2m 1) Chứng tỏ (Cm) qua hai điểm cố định m thay đổi 2) Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục tung y (m 2)x 2my Bài 17: Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x 1) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) 2) Cho m = -2 và điểm A(0;-1) Viết phương trình các tiếp tuyến đường tròn (C-2) vẽ từ A y2 x 6y Bài 18: Viết phương trình các tiếp tuyến đường tròn (C): x Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0 109 Lop12.net (20) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x-4y=0 1)2 ( y 2)2 Xác định toạ Bài 19: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C): ( x độ các điểm B, C biết điểm A(-2;2) Bài 20: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x 2mx y 2(m 1)y 12 1) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) 2) Với giá trị nào m thì bán kính họ đường tròn đã cho là nhỏ nhất? Bài 21: Cho hai họ đường tròn : (Cm ) : x y 2mx 2(m 1)y (Cm' ) : x y x (m 1)y Tìm trục đẳng phương hai họ đường tròn trên Chứng tỏ m thay đổi các trục đẳng phương đó luôn luôn qua điểm cố định Bài 22: Cho hai đường tròn : (C1 ) : x y 2x 9y (C2 ) : x y 8x 9y 16 1) Chứng minh hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc 2) Viết phương trình các tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) và (C2) Bài 23: Cho hai đường tròn : (C1 ) : x y 10x (C2 ) : x y 4x 2y 20 Viết phương trình các tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) và (C2) Bài 24: Cho hai đường tròn : (C1 ) : x y 4x (C2 ) : x y 6x 8y 16 Viết phương trình các tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) và (C2) Bài 25: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành điểm A và khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B (TS.K.B2005) Ứng dụng phương trình đường tròn để giải các hệ có chứa tham số Baøi 1: Cho heä phöông trình : x y x y a Xác định các giá trị a để hệ phương trình có nghiệm x y2 x Baøi 2: Cho heä phöông trình : ay a x Xác định các giá trị a để hệ phương trình có nghiệm phân biệt Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm 2)2 y m (x (y 2)2 m x 110 Lop12.net (21)