Giải phương trình chứa căn như thế nào?

Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy Đã có một chuyên đề được đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phương pháp giải.. Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì ph[r]

Chuẩn bị thi vào đại học Giải Phương Trình chứa nào? Khi các bạn giải phương trình (PT) dạng ax  b  cx  d , chúng ta biết bình phương vế để khử bậc hai, với PT ax  b  cx  dx  e có giải phương pháp đó không? Xin trả lời trừ số trường hợp đặc biệt Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc ch­a tr¶ lêi ®­îc, VÝ dô gi¶i PT sau: x   x  x  ,ta đặt x   y  1, y   , giải PT: x  x  2004  16032 x  2004 , ta đặt  16032 x  2t  1, t  Vậy bạn đã tự hỏi xem lại có phép đặt vậy( Đã có chuyên đề đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói phương pháp giải) Đặc biệt với các bạn đã học đạo hàm thì phương pháp sau giải bước chọn đặt nhanh nhiều Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể: a D¹ng 1: ax  b  x  cx  d , (a  0) vµ tháa m·n b  ad  a 2c  c  1   (*) XÐt hµm  2 2 ac x  cx  d => f ' ( x)  x  c   x   , đó a a ac ax  b  y  , ta đưa PT dạng hệ đối xứng quen thuộc sè y phép đặt Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện thỏa mãn Do ta không phải kiểm tra điều kiện đó VÝ dô: Gi¶i PT sau: 3x  x  29 12 x  61  36 29 => f ' ( x)  x    x   6 12 x  61 1 12 x  61 1  y  , y   <=>  y2  y  36 6 36 36 Lµm nh¸p: f ( x)  3x  x  Gi¶i: §Æt <=> 12x+61 = 36y2 +12y +1 <=> 3y2 + y = x +5 (1) 29  y  <=> 3x2 + x = y +5 (2) 6 3 y  y  x  Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:  => 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y 3 x  x  y  3x  <=> (x-y)(3y + 3x +2) = <=> y = x hoÆc y   Mà theo cách đặt ta có: 3x  x  Lop12.net ,( y   ) 3x  3x  * Víi y   => 3x2 + x = +5 <=> 9x2 +6x - 13 = 3   126 => x1,  Từ đây ta tìm y và kết luận nghiệm PT đã cho * Víi y = x => 3y2 = =>y = x = D¹ng 2: ax  b  cx  dx  e, (a  0, c  0, a  ) c XÐt f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = => x   d , đó phép đặt 2c ax  b  2cy  d VÝ dô1: Gi¶i PT sau: x   3x  x  Lµm nh¸p: f(x) = 3x2 + 2x + =>f’(x) = 6x + = =>x = - 1/3 Gi¶i: §Æt x   y  1, y   => 9x – = 9y2 +6y + <=> 9y2 + 6y = 9x – <=> 3y2 + 2y = 3x – (1) MÆt kh¸c ta cã: 3x2 + 2x + = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – (2) 3 y  y  x  Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ  đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải 3 x  x  y  vÝ dô trªn VÝ dô 2: Gi¶i PT sau: x  x  2004  16032 x  2004 (Thi chän HSG B¾c Giang n¨m häc 2003 – 2004) Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – = <=> x = c Do a  , nên ta sử dụng phương pháp đặt: Gi¶i: §Æt  16032 x  2t  1, t  => t2 – t = 4008x, (1) MÆt kh¸c tõ PT ta cã: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2) t  t  4008 x Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ PT sau:   x  x  4008t => (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t) <=> (t – x)[ t + x – + 4008] = <=> t = x hoÆc t = - x – 4007 * Víi t = x ta cã: x2 – 4009x = <=> x = vµ x = 4009 Ta cã x = kh«ng tháa m·n * Víi t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008 = => PT v« nghiÖm Lop12.net KL: PT đã cho có nghiệm x = 4009 ax  b  cx  dx  ex  m, (a  0, c  0, a  ) c XÐt hµm sè f(x) = cx  dx  ex  m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e D¹ng 3: => f’’(x) = 6cx + 2d = => x   ax  b  y  d , Khi đó phép đặt: 3c d 3c VÝ dô: Gi¶i PT sau: 63 x 3 3x    x  x x3 Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) =  x  x => f’(x) = x2 - 3x +9/4 => f’’(x) = 2x – = <=> x  63 63 27 27 Gi¶i: §Æt 3x   y  => 3x   y  y  y  8 9 27 <=> 3x   y  y  y <=> 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1) 2 x3 Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có: y    x  x <=>12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2) 12 x  18  y  18 y  27 y Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:  ( viÖc gi¶i hÖ nµy xin dµnh cho 12 y  18  x  18 x  27 x độc giả) ax  b  cx  dx  ex  m, (a  0, c  0, a  ) c XÐt hµm sè f(x) = cx  dx  ex  m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e D¹ng 4: => f’’(x) = 6cx + 2d = => x   d , Khi đó phép đặt: 3c ax  b  3cy  d VÝ dô: ( To¸n häc vµ Tuæi trÎ Th¸ng n¨m 2001) Gi¶i PT sau: 81x   x  x  x  Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) = x  x  x  => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 3 => f’’(x) = 6x – = <=> x  a  c Lop12.net Gi¶i: §Æt 81x   y  => 3x = y3 – 2y2 + y ,( Biến đổi tương tự ta có hệ)  3 y  x  x  x  13 => (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y + ) = 0(*),  3 x  y  y  y  13 1 1 Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y + = ( x  y )  ( x  2)  ( y  2)   , nªn tõ 2 3 (*) ta cã x = y => 3x = x3 – 2x2 + x => x1= ; x2,3 = 3 Trªn ®©y chØ lµ mét sè vÝ dô ®iÓn h×nh.§Ó thµnh th¹o h¬n c¸c b¹n luyÖn tËp qua số ví dụ đây Hy vọng phương pháp trên đem lại cho bạn thành công giải phương trình chứa Chúc các bạn đạt kết cao học tËp ! Bµi tËp tù luyÖn: Giải các phương trình sau: 1) x   x  2) x  x   x  3) x   33 3x  4) 3x   4 x  13x  5) x   x  x  6) 4x   7x2  7x 28 Lop12.net