- Hai đa thức đã viết dưới dạng thu gọn được gọi là đồng nhất hằng đẳng khi và chỉ khi các hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau... 4.3 Phương pháp xét [r]
(1)chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy đẳng thức đáng nhớ I) Nhân đơn thức với đa thức: KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A B + A C Bµi tËp ¸p dông: Bµi Lµm tÝnh nh©n: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); 2 c) x2y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y); e) xy( x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x; g) (x2y - xy + xy2 + y3) 3xy2; h) x2y(15x - 0,9y + 6); 3 i) x (2,1y2 - 0,7x + 35); Bµi §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng 3 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a = b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) víi x = 2,1 c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - víi a = -0,2 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b = Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a); c) 2p p2 -(p3 - 1) + (p + 3) 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a) Bµi §¬n gi¶n c¸c biÓu tøc: a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2; 1 c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100) Bµi Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bµi Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®©y b»ng 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x) Bµi tËp n©ng cao Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15 víi x = 79 14 13 12 11 b) Q(x) = x - 10x + 10x - 10x + …+ 10x - 10x + 10 víi x = c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + víi x = 31 d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x víi x = 14 Bµi Chøng minh r»ng : a) 356 - 355 chia hÕt cho 34 b) 434 + 435 chia hÕt cho 44 Bµi Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn Chøng minh r»ng: a) nÕu 2a + b 13 vµ 5a - 4b 13 th× a - 6b 13; b) nÕu 100a + b th× a + 4b 7; c) nÕu 3a + 4b 11 th× a + 5b 11; II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; Bµi tËp ¸p dông: Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); Lop8.net (2) x - 1) (2x - 3); 1 e) (x - 7)(x - 5); f) (x - )(x + )(4x - 1); 2 g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4); h) (2b2 - - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); Bµi 2.Chøng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bµi Thùc hiÖn phÐp nh©n: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b) e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4) Bài Viết các biểu thức sau dạng đa thức: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bµi Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bµi T×m x, biÕt: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2) Bµi tËp n©ng cao Bài Chứng minh đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Bµi Cho a + b + c = Chøng minh M = N = P víi : M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bµi Sè 350 + cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ? HD: Trước hết chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp chia cho thì dư Thật nªu hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho th× tÝch cña chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai số không chia hết cho thì tích chúng chia cho dư ( tự chứng minh) Số 350 + chia cho d nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi 10 Cho A = 29 + 299 Chøng minh r»ng A 100 HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 211 + 26.222 - …-2.277 + 288) Thõa sè thø nhÊt + 211 2050 A 4100 A 100 Thõa sè thø hai ch½n c) 2 x y (2x + y)(2x - y); d) ( III) Các đẳng thức đáng nhớ 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: 1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2 1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B) 1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3 1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi TÝnh Lop8.net (3) a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 c) (5 - x)2 f) (x - )2 Bài Viết các biểu thức sau dạng bình phương tổng: a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + ; c) 2xy2 + x2y4 + Bµi Rót gän biÓu thøc: a) (x + y)2 + (x - y)2; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2; c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z) Bài ứng dụmg các đẳng thức đáng nhớ để thực các phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2); c) (2 - a)(4 + 2a + a ); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2; 3 e) (a - x - y) - (a + x - y) ; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2); Bµi H·y më c¸c dÊu ngoÆc sau: a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49); 2 c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2) Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) x2 - y2 t¹i x = 87 víi y = 13; b) x3 - 3x2 + 3x - Víi x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 víi x = 97; d) 25x - 30x + víi x = 2; e) 4x2 - 28x + 49 víi x = Bµi §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng: a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) víi x = - 5, y = -3; b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) víi a = -4, b = Bài Sử dụng đẳng thức đáng nhớ để thực các phép tính sau: a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d); c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2); d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3); e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1) Bµi T×m x, biÕt: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; 2 c) 3(x + 2) + (2x - 1) - 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19 Bài 10.Tính nhẩm theo các đẳng thức các số sau: a) 192; 282; 812; 912; b) 19 21; 29 31; 39 41; 2 2 2 c) 29 - ; 56 - 46 ; 67 - 56 ; Bài 11 Chứng mih các đẳng thức sau: a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2; c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2] C¸c bµi to¸n n©ng cao Bài 12 Chứng minh các đẳng thức sau: X4 + y + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2; Bài 13 Hãy viết các biểu thức dạng tổng ba bình phưong: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Bµi 14 Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2) Chøng minh r»ng a = b Bµi 15 Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Chøng minh r»ng a = b =c Bµi 16 Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) Chøng minh r»ng a = b = c Bµi 17 Cho a + b + c = (1) 2 a +b +c =2 (2) TÝnh a4 + b4 + c4 Bài 18 cho a + b + c = Chứng minh đẳng thức: a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2); b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2; Lop8.net (4) a c) a4 + b4 + c4 = b2 c2 ; 2 Bài 19 Chứng minh các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với giá trị biến a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + Bµi 20 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) A = x2 - 3x + 5; b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2; Bµi 21 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: a) A = - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bµi 22 Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3 Bµi 23 Cho x + y = a; xy = b TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5; Bµi 24 a) cho x + y = TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x3 + y3 + 3xy b) cho x - y = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy Bµi 25 Cho a + b = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b) Bµi 26 Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2; b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1); c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2; d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2; e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2; g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3; h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a) Bài 28 Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2; b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Bµi 29 Cho a + b + c = chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc Bµi 30 Chøng minh r»ng: a) n là tổng hai số chính phương thì 2n là tổng hai số chính phương b) 2n là tổng hai số chính phương thì n là tổng hai số chính phương c) n là tổng hai số chính phương thì n2 là tổng hai số chính phương Bµi 31 a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - ch÷ sè 0) Chøng minh r»ng: ab + lµ sè chính phương b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, c¸c sè h¹ng sau lµ c¸c sè t¹o thµnh b»ng c¸ch viÕt chÌn số 15 vào chính số hạng liền trước : 16, 1156, 111556, … Chứng minh số hạng dãy là số chính phương Bài 32 Chứng minh ab + là số chính phương với a = 11…12(n chữ số 1), b = 11…14(n ch÷ sè 1) Bµi 33 Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè Chøng minh r»ng a + b + c + là số chính phương Bài 34 Chứng minh các biểu thức sau là số chính phương: 1 a) A = 11 b) B = 11 22 44 2n n 2n Bài 35 Các số sau là bình phương số nào ? a) A = 99 b) B = 99 9800 01 ; 00 25 ; n n c) C = 44 488 89 ; n n1 n d) D = 11 122 25 n Lop8.net n1 n n (5) chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử I) Phương pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö *) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö Lop8.net (6) a) 3x - 3y Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b) 2x 5x x y a) 4x2 6x; c)14x 21xy 28x y b)21x2 y 12xy2 ; d)4x 14x c)x3 x2 2x; e)5y10 15y d)3x x 1 x2 x 1; f)9x y 15x y 21xy g)x(y 1) y(y 1) h)10x(x y) 8y(y x) e)x2 y2 z xy2 z2 x2 yz; f )2x x 1 x 1; g)4x x 2y 8y 2y x i)3x (x 1) 2(x 1) j)a(b c) 3b 3c k)a(c d) c d l)b(a c) 5a 5c m)b(a c) 5a 5c n)a(m n) m n o)mx my 5x 5y p)ma mb a b q)1 xa x a Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) 15.91,5+ 150.0,85 b) 5x5 (x 2z) 5x5 (2z x)t¹i x= 1999; y= 2000 Bµi 4: T×m x, biÕt a) 5x(x-2)-(2-x)= b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1) c) x(2x-1)+ x 3 d)x(x 4) (x 4) r)(a b)2 (b a)(a b) t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b ) Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a)2x(x+3)+2(x+3) b)4x(x-2y)+8y(2y-x) 2 c) y (x y) zx zy 2 d)3x(x 7)2 11x (x 7) 9(x 7) e)(x 5)2 3(x 5) e)x2 5x 0; f )3x(x 2) 2(2 x) 0; g)5x(3x 1) x(3x 1) 2(3x 1) Bµi 5:Chøng minh r »ng a) Bình phương số lẻ chia cho th× d b) Bình phương số lẻ chia cho th× d Bµi 6: chøng minh r»ng: f)2x(x 3) (x 3)2 n n 1 2n n 1 g)x(x 7) (7 x)2 lu«n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n h)3x(x 9)2 (9 x)3 i)5x(x 2) (2 x) j)4x(x 1) 8x (x 1) k)p m q p m 1 q p q n 1 p.q n 3 o)5x (x 2z) 5x (2z x) p)10x(x y) 8y(y x) q)21x 12xy r)2x(x 1) 2(x 1) t)4x(x 2y) 8y(2y x) II) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dung đẳng thức: 1) Phương pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng đẳng thức A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 Lop8.net (7) A2 - 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - B2 = (A - B)(A + B) A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3 A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2) 2)Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 - 9; b) 4x2 - 25; c) x6 - y6 d) 9x2 + 6xy + y2; 2 e) 6x - - x ; f) x + 4y2 + 4xy g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2 i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + y 36 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2 n) x3 + y3 + z3 - 3xyz Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001 c) x - y ; d)125x3 - e) x3 -3x2 + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1; b) M = 4abcd a b c d cd a b ab c d Bµi TÝnh nhanh: a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132 c) 732 -272; d) 372 - 132 2 e) 2009 - Bµi T×m x, biÕt a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25 2 c) x - 36 = 0; d) x - 2x = -1 e) x3 + 3x2 = -3x - Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5; c) -2a - 8a b - 8b ; d) 4x + 4xy6 + xy12 Bµi Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m a) x2 - 2xy + y2 + a2; b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1; d) x2 + y2 +2x + 6y + 10; Bµi Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña c¸c ch÷: a) x2 + y2 - 2xy + x - y + b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz Bµi Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 2 III) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm các hạng tử 1) Kiến thức bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp cho phân tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y 2 2 d) x + 4x - y + 4; e) 3x + 6xy + 3y - 3z ; f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2; g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay; 2 j) a - a x - ax + xy; k) 7a -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b; Bµi Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; Lop8.net (8) a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy; c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by; Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4; 3 2 c) a - b + 3a + 3ab + 3b ; c) x4 + x3 y - xy3 - y4; Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y; c) 21bc - 6c - 3c +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3; b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3; c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ; d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2 Bµi T×m x, biÕt: a) x3 + x2 + x + = 0; b) x3 - x2 - x + = 0; c) x - 6x + = 0; d) 9x2 + 6x - = e) x(x - 2) + x - = 0; f) 5x(x - 3) - x + = Bµi TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau; a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45 b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5 Bµi TÝnh nhanh : a) 37,5 6,5 - 7,5 3,4 - 6,6 7,5 + 3,5 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45 Bµi Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) Bµi 10 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2; b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3 IV) Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: - §Æt nh©n tö chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử và các phương pháp khác 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16; d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3; 2 2 2 g) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz; h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab; 2 i) 4a - 4b - 4a + 1; j) a + 6a + 12a + 8; k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3 Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y); b) (x + y)3 - x3 - y3; c) (x - y + 4)2 - (2x + 3y - 1)2; d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2 e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b); f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc; g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x; 2 i) x - 11x + 30x; j) 4x - 21x y + y4; 2 k) x + 4x - 7x - 10; l) (x + x)2 - (x2 + x) + 15; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15; o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - Bµi 2: T×m x, biÕt a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - x = 0; d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = e) x2(x - 3) +12 - 4x =0 Bµi TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc: 1 a) x2 + x + t¹i x = 49,75; b) x2 - y2 - 2y - t¹i x = 93 vµ y = 16 To¸n khã më réng: Bµi a) Sè 717 + 17 - chia hÕt cho Hái sè 718 + 18.3 - cã chia hÕt cho kh«ng? b) Biến đổi thành tích các biểu thức: Lop8.net (9) A = + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2] Bài Chứng minh các đẳng thức sau: 1) x6 + 3x2y2 + y6 = Víi x2 + y2 = 2) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2 víi x2 + y2 = a, xy = b 3 3 6 3) (a + b - a b ) + 27a b = víi ab = a + b 4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 víi a + b + c = 2p Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - - b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - víi x = 11 Bµi Rót gän: a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) n b) Më réng: B = 3(22 1)(22 1)(22 1)(22 1) (22 1) Bµi Chøng minh: a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = 5 Bµi Chøng minh: 2(a + b + c ) = 5abc(a + b2 + c2) víi a + b + c = Bµi 10 Tæng c¸c sè nguyªn a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho Chøng minh r»ng A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho V) Một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử 1) Phương pháp tách số hạng thành nhiều số hạng khác 1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c - Bước 1: Tìm tích ac - Bước 2: Phân tích a.c tích hai thứa số nguyên cách - Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b C¸c bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy: Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4; 2 d) x - x - 6; e) x + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36; g) x2 +3x - 18; h) x2 - 5x - 24; i) 3x2 - 16x + 5; 2 j) 8x + 30x + 7; k) 2x - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20 1.2) Đa thức từ bậc ba trở lên người ta dùng phương pháp tìm nghiệm đa thức a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a Trong đó a là ước số an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - Lần lượt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thấy f(2) = 23 - 22 - = Đa thức có nghiệm x =2, đó chứa thừa số x - Ta t¸ch nh sau: C¸ch 1: x3 - x2 - = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2 + x + 2) C¸ch 2: x3 - x2 - = x3 - - x2 + = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + - x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) 2) Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi đa thức phức tạp, có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “ giảm bậc” đa thức để phân tích 2.1) VÝ dô Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ngược trở lại y = x2 + x + vào đa thức f(x) ta được: f(x) = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x + = y2 + 2y - 24 = (y - 4)(y + 6) Thay ngược trở lại y = x2 + 5x + ta f(x) = (x2 + 5x + - 4)(x2 + 5x + + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) Lop8.net (10) 3) Phương pháp thêm, bớt hạng tử thích hợp để làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương *) VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) x8 + x4 + 1; b) x4 + 4; HD: a) x8 + x4 + = x8 + 2x4 + - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2] = [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( x)2] = (x2 +1 - x)(x2 + - x)(x2 + + x)(x2 + + x) *) Bµi tËp ¸p dông : Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) f(x) = x4 + 324 b) f(x) = x8 + 1024; c) f(x) = x8 + 3x4+ Bµi a) Ph©n tÝch n4 + 1 19 4 4 b) ¸p dông: Rót gän S = 20 4 4 4) Phương pháp xét giá trị riêng: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Gi¶i: Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = Nh vËy P chøa thõa sè x = y thay x y, y z, z x thì P không đổi Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y), (y - z), (z - x) vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x) Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với x, y, z, Nên ta gán x = 2, y = 1, z = vào đẳng thức ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x) C¸c bµi tËp ¸p dông cña c¸c d¹ng trªn Bµi 1: Ph©n tÝch thõa sè nguyªn tè a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27; 2 c) 2x - 5xy + 3y ; d) 2x2 -5xy - 3y2 Bµi Ph©n tÝch thõa sè nguyªn tè: a) x3 + 2x - 3; b) x3 - 7x + 6; c) x + 5x + 8x + 4; d) x3 - 9x2 + 6x + 16; e) x - x - 4; f) x3 - x2 - x - 2; g) x3 + x2 - x + 2; h) x3 - 6x2 - x + 30 Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu c¸ch) x3 - 7x - Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4; b) 2x3 - x2 + 5x + Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; 2 c) (x + x + 1)(x + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24; e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2; g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng phương pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ) a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc HD: §Æt x = a + b, y = a - b Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; e) 4x + 1; f) 64x4 + y4; Lop8.net (11) g) x4 + 324; h) x8 + x + 1; i) x + x + 1; j) x + x4 + 1; 2 k) a + a + a b + b - b ; l) x3 + 3xy + y3 - Bài Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hệ số bất định a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x - 7x + 14x - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63 Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x8 + 98x2 + Bài 10 Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng phương pháp xét giá trị dương) a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c chuyên đề chia đa thức cho đa thức I) Chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B) 1) Phương pháp: - Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B - Chia luỹ thừa biến A cho luỹ thừa biến đó có B - Nh©n c¸c kÕt qu¶ t×m ®îc víi 1) VÝ dô vµ bµi tËp: Bµi Lµm phÐp tÝnh chia: a) 10015 : 10012; b) (-79)33 : (- 79)32; 16 14 1 1 c) : ; 2 2 Bài Chia các đơn thức: a) -21xy5z3 : 7xy2z3; c) x2yz : xyz; e) 18x2y2z : 6xyz; g) 27x4y2z : 9x4y; 3 2 i) ( m n ): m n ; k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2); n) (x + y)2 : (x + y); o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3; 21 18 3 3 d) : 5 5 1 5 a b c ) : a bc ; 2 d) x3y4 : x3y; f) 5a3b : (-2a2b); h) 9x2y3 : (-3xy2); b) ( j) 5x4y3z2 : 3xyz2; (a - b)5 : (b - a)2; 2 m)(x - y)5 : (y - x)4; 2 ¬) 0,5ambnc3 : ( a bc); l) p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c) Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: (-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x = vµ y = -1 Bµi Thùc hiÖn phÐp chia: 1 a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x); 3 3 c) ( a3b6c2 + a4b3c a b c ) : a bc; 10 d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2 e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2) Bài Với giá trị nào n thì thực các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm hãy thực phép chia đó a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y; c) 6x3y5 : 5xny2; d) xnyn+2 : 3x3y4 II) Chia đa thức cho đơn thức 1) Phương pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B - Chia hạng tử đa thức A cho đơn thức B - Céng c¸c kÕt qu¶ l¹i víi 2) Bµi tËp ¸p dông: Lop8.net (12) Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (7 35 - 34 + 36) : 34; Bµi Lµm tÝnh chia: a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; 1 c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2; b) (163 - 642) : 83; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy); d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2); a ); f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2 g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2; h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b); 2 i) (x + 3x y + 3xy + y ) : (2x + 2y) Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 15 2mn n-1 p+2 a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + a b c x) : (-3a3-mb5c4); b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc; c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + - 43n + chia hÕt cho 17 ( n thuéc N) Bµi Lµm tÝnh chia: a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y); 3 c) (x - 8y ) : (x + 2y); d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3 e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3 Bµi Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2 A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + III) Chia đa thức biến đã xếp: 1) Phương pháp chung: - Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc bÞ chia cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia th× ®îc h¹ng tö cao thương - Nhân hạng tử cao thương với đa thức chia lấy đa thức bị chia trừ tích vừa tìm được, ta ®îc d thø nhÊt - Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc d thø nhÊt cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia ta ®îc h¹ng tö thứ hai thương - Nhân hạng tử thứ hai thương với đa thức chia lấy dư thứ trừ tích vừa tìm được, ta d thø hai - Lặp lại quá trình trên khi: +) nÕu d cuèi cïng b»ng th× phÐp chia cã d b»ng vµ ®îc gäi lµ phÐp chia hÕt +) dư cuối cùng khác và bậc đa thức dư thấp bậc đa thức chia thì phép chia đó ®îc gäi lµ phÐp chia cã d 2) Ký hiÖu: A(x) lµ ®a thøc bÞ chia; B(x) lµ ®a thøc chia; Q(x) là đa thức thương; R(x) lµ ®a thøc d; Ta lu«n cã: A(x) = B(x) Q(x) + R(x); - NÕu R(x) = th× A(x) = B(x) Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt - NÕu R(x) th× A(x) = B(x) Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ phÐp chia cã d 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Lµm tÝnh chia: a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3); 2 c) (2x + x - 5x - 3x - 3) : (x - 3); Bµi S¾p sÕp c¸c ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn: a) (12x2 - 14x + - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2); b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x); c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1); d) (x3 - 7x + - x2) : (x - 3); e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - + 6x) : (x2 - 2); f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5); e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + Lop8.net (13) h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1); i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2); j) (-3x2 + 10x3 - x - + 12x4) : (x + + 3x2); k) (5x + 3x2 - + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2); l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1); n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5); m) (x4 - x - 14) : (x - 2) Bµi Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc dư trường hợp không chia hết; a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5) HD: a) KÝ hiÖu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt: x3 + 2x2 - 3x + = (x + 3).q(x) + r Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta được: r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + = vËy d phÐp chia lµ b) Ta thấy thương bước thứ phép chia là 3x và đó đa thức dư thứ là 2x - Vì 2x - có bậc nhỏ 3x2 - 2x + nên không thể thực tiếp phép chia Do đó phÐp chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d lµ 2x - Bµi Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc dư trường hợp không chia hết a) (8x2 - 6x + 5) : (x - ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1); c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1); d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1) Bµi TÝnh nhanh: a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a); b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a); c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1); d) (64a3 b ) : (16a2 + ab + b2) 27 4) Một số phương pháp khác để tìm đa thức thương và đa thức dư: 4.1) Phương pháp đặt phép chia: VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + Gi¶i Thùc hiÖn phÐp chia x3 + ax + b x2 + x - x + x - 2x -x2 + (a +2)x + b x-1 -x2 x + (a + 3)x + (b -2) Để chia hết, đa thức dư phải đồng băng 0, nên : a a 3 b b vËy víi a = -3; b = th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 4.2) Phương pháp hệ số bất định - Nếu hai đa thức f(x) và g(x) với giá trị biến số x thì người ta goi là hai đa thức đẳng hai đa thức đồng Kí hiệu f(x) g(x) - Hai đa thức (đã viết dạng thu gọn) gọi là đồng (hằng đẳng) và các hệ số các đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức đó là *) VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + Gi¶i Đa thức bị chia có bậc là ba, đa thức chia có bậc hai, nên thương là nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc nhÊt lµ x3 : x2 = x Gọi thương phép chia là x + c, ta có: Lop8.net (14) x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c) x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c Hai đa thức trên đồng nên : c c 1 c a a 3 2c b b Vậy với a = -3, b = thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2, thương là x - 4.3) Phương pháp xét giá trị riêng *) VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + Gi¶i Gọi thương phép chia x3 + ax + b cho x2 + x - là Q(x), ta có: x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x) Vì đẳng thức đúng với x, nên cho x = 1, x = -2 ta : 1 a b a b 1 a 3 8 2a b 2a b b Với a = -3; b = thì x + ax + b chia hết cho x2 + x - và thương là x - 4.4) Phương pháp vận dụng vào định lý Bơdu a) §Þnh lý: Sè d phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a.(NghÜa lµ r = f(a)) b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a vµ chØ f(a) = Các bài tập áp dụng cho các phương pháp trên Bài Xác định a và b để đa thức x4 - 6x3 + ax2 + bx + là bình phương đa thức HD: sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta có đáp số x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + = (x2 - 3x - 1)2 x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + = (x2 - 3x +1)2 Bài Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - HD: sử dụng phương pháp giá trị riêng, ta kết a = 2; b = - Bài Xác định các hệ số a và b cho: a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1; b) 2x3 + ax + b chia cho x + d -6, chia cho x - d 21 HD: ta cã kÕt qu¶ a) a = 1; b = 1; b) a = 3; b = -1 Bài Tìm các giá trị nguyên x để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x + 1; b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - HD a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + d lµ -3 Suy -3 (x + 1) x {0; -2; 2; -4} b) x {3; 1; 5; -1} Bài Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuộc Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho x + HD *) C¸ch (§Æt phÐp chia ®a thøc) A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) thương là 2 a x + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d lµ -a2 + a + - §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + th× ®a thøc d ph¶i b»ng 0, tøc lµ -a2 + a + = 0, giải phương trình ta a = -2; a = *) Cách (Dùng phương pháp hệ số bất định) +) T×m h¹ng tö bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : = -2a +) Biểu diễn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phương pháp đồng để tìm a = -2; a = vµ kÕt luËn *) Cách (Dùng phương pháp xét giá trị riêng) Bài Xác định số a cho: a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3; b) 2x2 + ax + chia cho x - d 4; c) ax5 + 5x4 - chia hÕt cho x - Bài Xác định các số a và b cho: Lop8.net (15) a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1; b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10; c) ax4 + bx3 + chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2; d) x4 + chia hÕt cho x2 + ax + b Bµi T×m c¸c h»ng sè a vµ b cho x3 + ax + b chia cho x + th× d 7, chia cho x - th× d - Chuyên đề phân thức đại số I) Phân thức đại số: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là biểu thức có dạng , B đó A, B là đa thức, B là đa thức khác đa thức A lµ tö thøc (tö) B lµ mÉu thøc Mçi mét ®a thøc còng ®îc coi lµ mét ®a thøc cã mÉu lµ b) Hai ph©n tøc b¼ng nhau: A C A C Víi hai ph©n thøc vµ , ta nãi = nÕu A.D = B.C B D B D 2) Bµi tËp: Bài Dùng định nghĩa hai phân thức chứng minh các đẳng thức sau: x x x y x3 y x a) ; b) ; 35 xy x2 x x x x2 6x ; 3 x x2 y 20 xy e) ; 8x c) d) x3 x x x ; 10 x x x x f) ; x x x x 1 x x x 3x ; h) ; x 1 x2 1 x 1 x 1 x3 x i) x 2x Bài Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, hãy tìm đa thức A đẳng thức sau A x 3x x 3x x a) ; b) ; 2x 1 4x2 1 A 2x 4x2 x A x2 2x x2 2x c) ; d) x2 1 x2 2x x 3x A Bài Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn nhóm học tập tìm chỗ sai Em hãy sửa sai cho đúng x x 13 x x 1 x2 a) ; b) ; x2 x2 x x2 6x x2 x 2 x2 5x x2 x c) ; d) x 1 x 1 x 3x x x Bµi Ba ph©n thøc sau cã b»ng kh«ng? x2 x x x2 ; ; x2 1 x x2 x Bài Tìm tập xác định các phân thức sau: x2 3 a) ; b) ; x 6x 5x x 2x 1 c) ; d) x 3x x 3x Bài tìm các giá trị biến để các biểu thức sau x2 x 3x a) ; b) ; 2x 1 x 5 g) Lop8.net (16) x 3x x2 2x ; d) ; x2 x2 4x x x3 x x4 5x2 e) ; f) x x3 x x x 10 x Bài Tìm các giá trị nguyên biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên: x 1 a) ; b) ; c) ; x3 x x 1 x 3 II) Tính chất phân thức đại số: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) TÝnh chÊt: A A.M - TÝnh chÊt 1: (M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0) B B.M A A: M - TÝnh chÊt 2: (M lµ nh©n tö chung kh¸c 0) B B:M A A b) Quy tắc đổi dấu: B B 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, h·y ®iÒn mét ®a thøc thÝch hîp vµo chç trèng c¸c đẳng thức sau: x x2 x x x 24 x ; a) b) ; x 2x 1 x xy y x xy c) ; d) ; x y y x2 x y 3y x c) 5x y 5x2 y x3 x ; f) y 2x x2 1 x 1 Bài Biến đổi phân thức sau thành phân thức nó và có tử thức là đa thức A cho trước 4x 8x2 8x , A= 12x +9x ; a) b) , A 1 2x ; x 5 4 x 15 x 1 Bài Dùng tính chất phân thức để biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức b»ng nã vµ cã cïng tö thøc x 25 x 1 x5 a) vµ ; b) vµ ; 2x x2 5x 4x Bài Dùng tính chất phân thức quy tắc đổi dấu để biến đổi cặp phân thức sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc: 3x 7x 4x 3x a) vµ ; b) vµ ; x 5 5 x x 1 x 1 2x x3 x4 c) vµ ; d) vµ ; x x 16 2x x 1x 3 x 1x Bµi C¸c ph©n thøc sau cã b»ng kh«ng? x3 y x2 x2 x2 a) vµ ; b) vµ ; xy y x y2 x y2 1 x x 1 3( x 1) 3( x 1) c) vµ ; d) vµ ; ( x 1)(3 x) ( x 1)( x 3) (1 x) ( x 1) Bài Hãy viết các phân thức sau dạng phân thức có mẫu thức là - x3; x2 x x 1 a) ; b) ; c) x 1 x 1 x x 1 Bài áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình các phân thức sau: xy x2 a) ; b) ; 2x x x 1 e) Lop8.net (17) y x2 2 x ; d) x y x Bài Viết các phân thức sau dạng phân thức có cùng mẫu thức: x x y a) x vµ ; b) vµ ; 2y x 1 x 2x y x x 1 1 x c) vµ ; d) vµ x y x y x y x y Bài Viết các phân thức sau dạng phân thức có cùng tử thức: x x2 y a) vµ ; b) vµ ; y x x3 x c) x2 y x3 y x2 y3 x y vµ ; d) vµ ; x xy x y x y x III) Rót gän ph©n thøc 1) Phương pháp: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung - Chia tử và mẫu cho nhân tử chung đó 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 14 xy (2 x y ) xy (3 x 1)3 a) ; b) ; 21x y (2 x y ) 12 x (1 x) c) c) 20 x 45 ; (2 x 3) 80 x 125 x e) ; 3( x 3) ( x 3)(8 x) 32 x x x ; x 64 x2 5x i) x 4x g) k) ( x 5) f) ; x 4x x3 x ; x4 1 10 xy ( x y ) J) ; 15 xy ( x y )3 h) x xy x y ; x xy x y l) x 14 x ; 3x 3x x xy o) ; y x2 2a ; a3 x x3 v) ; x x3 ( x 2) ( x 2) ) ; 16 x x 12 x 12 ; x4 8x 2a 2ab ; ac ad bc bd 2x y ¬) ; x xy y n) p) x 10 xy ; 2(2 y x)3 d) m) x2 6x ; x x 15 x7 x4 u) ; x 1 24,5 x 0,5 y x) ; 3,5 x 0,5 xy q) a 3a 2a (a b)(c d ) ; z) a 2 (b a )(d c ) Bài Chứng minh các đẳng thức sau: x y xy y xy y x xy y a) ; b) 2 2 x xy y 2x y x x y xy y x y Bµi §æi dÊu ë tö hoÆc ë mÉu råi rót gän ph©n thøc: y x2 45 x(3 x) a) ; b) x x y xy y 15 x( x 3)3 Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: y) Lop8.net (18) ax a x víi a = 3, x = ; 2 a ax x 3 x 3x c) víi x = ; 3x x 2 10ab 5a 1 e) víi a = , b = ; 16b 8ab 2x y g) víi x + 2y = 5; 0, x 0,8 y x3 x x víi x = 98 x3 x x x3 d) víi x = ; 2x x a 1 f) 15 víi a = 0,1; a a8 x2 y h) víi 3x - 9y = 1,5 x 4,5 y a b Bµi Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = ab Bµi Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x x2 y 2ax x y 3ay a) ; b) ; ( x y )(ay ax) 4ax x y 6ay Bµi tËp n©ng cao Bµi Rót gän c¸c biÓu thøc m4 m ab a a 2b a) ; b) ; 2m 2m a 3b b xy x y ax ay bx by c) ; d) ; y z yz ax ay bx by a) b) a b c 2ab e) 2 ; a b c 2ac a3 g) ; 2a 4a a b2 f) ; a a b b2 a (b c ) b3 (c a ) c (a b ) h) ; a (b c) b (c a ) c (a b) x (a b) x ab i) ; x (a b) x ab x a b 2bc 2ax c j) ; x b a 2bx 2ac c x x2 3x3 x x k) ; l) x 3x x 5x a x b2 x (2a 3b) n) x ; m) ; a bx 2a 3b 33 x 33 y 24 m 24 n o) x ; ¬) ; 3y 22 n 22 m a (b c) b (c a ) c (a b) x x 12 x 45 p) ; q) ; ab ac b3 bc x 19 x 33 x x y z xyz x y z xyz u) ; ) ( x y ) ( y z ) ( z x) ( x y ) ( y z ) ( z x) Bài Tìm các giá trị x để các phân thức sau x x3 x x4 5x2 a) ; b) x x3 x x x 10 x Bài Viết gọn biểu thức sau dạng phân thức A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1) HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất biểu thức liên hợp x2 y z Bµi 10 Rót gän biÕt r»ng x + y + z = ( y z ) ( z x) ( x y ) 3x y Bµi 11 TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A = , biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x <0 3x y HD x y 12 xy 20 xy 12 xy xy Ta cã A2 = x y 12 xy 20 xy 12 xy 32 xy Lop8.net (19) Do 2y < 3x < x y 0,3 x y A vËy A = 4 4 (1 4)(5 4)(9 4) (21 4) Bµi 12 Rót gän biÓu thøc: P = (3 4)(7 4)(114 4) (234 4) HD XÐt n4 + = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] (1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 Do đó P = (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 577 Bµi 13 Cho ph©n sè A = (mÉu cã 99 ch÷ sè 0) TÝnh gi¸ trÞ cña A víi 200 ch÷ sè thËp ph©n 1, 00 01 HD 10100 Ta cã A = 100 Nh©n tö vµ mÉu víi 10100 - 1, ta ®îc: 10 100 100 100 100 10 (10 1) 99 00 0, 99 A= 00 10200 99 100 100 200 (Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn phân số) (a b c )(a b c) (ab bc ca ) Bµi 14 Cho ph©n thøc: M = (a b c) (ab bc ca ) a) Tìm các giá trị a, b, c để phân thức có nghĩa b) Rót gän biÓu thøc M HD: a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = a+b=b+c=c+a a = b = c điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời 0, tøc lµ a2 + b2 c2 b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, đó dặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y x( x y ) y x xy y ( x y ) x y a b c ab bc ca Ta cã M = x 2y y x y x y 2 (§iÒu kiÖn lµ a + b c 0) IV) Quy đồng mẫu thức 1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc: - Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn) - LËp tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè vµ ch÷: +) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña c¸c sè ë mÉu +) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt 2) Bµi tËp ¸p dông C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao Bài Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 25 14 11 , , a) ; b) ; 14 x y 21xy 102 x y 34 xy 3x y x 1 x 1 , 3; , 4, c) d) ; 12 xy x y x y x y xy 3 2x 4x x 3 , 2, , ; e) ; f) 10 x y x y xy x( x 3) x( x 1) 2x x2 , , g) ; h) ( x 2) x( x 2) x 12 x (2 x 4)( x 3) Bài Quy đông mẫu thức các phân thức sau Lop8.net (20) x 3x , ; 2x2 6x x2 x 3x 2x , , c) ; x 1 x x 1 x 1 x 1 x2 , ; x x 4x 2x2 x y , , d) ; 5x x y y x2 a) b) 5x2 4x x x 1 x 1 , , , e) ; f) , ; x x 12 x x x x x 1 x x x x 1 ax ax ad ad , , g) ; h) ; 2 x ax 2a x 4ax 4a a ab ad bd a ab ad bd x y z , , i) ; 2 2 x xy y z x y yz z x xz y z j) , , ; x 1 2x x x 1 k) x x2 y , ,x y; x y x xy y x2 2x 1 x 1 , , l) x x x x 3x x Bài Quy đồng mẫu thức các phân thức: a x b x ba 2x 1 x 2a , 2, , a) ; b) ; 2 axb a xb axb x 4ax 4a x 2ax ax ax ab ac , , c) ; d) ; 2 x ax 2a x 4ax 4a a bc ac ab a bc ac b x x2 x 1 x2 x 2x 1 , , , , e) ; f) x 27 x x x x x x 2 x x 2 x x Bài Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện) 2x 1 ax 2x2 1 x 1 x 1 , , , , a) ; b) ; x a x ax a x a 2x 2x x2 24 4x 18 x 1 x 2x 1 , , , , c) ; d) ; 2 4x x x 2x 2x x x x x x x 8x 2x y xy , , e) 2 x xy y 3 x xy y x xy y Bài Rút gọn quy đồng mẫu thức các phân thức sau x2 5x x2 x x3 x x x3 x , , a) ; b) ; x2 x2 4x x3 x x x3 x 3x x x x 26 x x 10 x 12 , c) ; x x 17 x 13 x x x 16 x y z xy yz zx x y z xyz , d) x y z yz ( x y ) ( y z ) ( z x) x x2 , Bµi Cho biÓu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc 2 x x 15 x x 10 a) Chia đa thức B cho các mẫu hai phân thức đã cho b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho , Bµi Cho hai ph©n thøc: Chøng tá r»ng cã thÓ chän ®a thøc x 4x x 2x x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho Hãy quy đồng mẫu thøc V) PhÐp céng c¸c ph©n thøc ®ai sè 1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tö víi tö vµ gi÷ nguyªn mÉu 2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau: - Quy đồng mẫu thức các phân thức - Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau đã quy đồng) 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Céng c¸c ph©n thøc cïng mÉu thøc: Lop8.net (21)