Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
486 KB
Nội dung
DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC. Bài 1: Cho biểu thức P = ( ) ( ) 3 a1 2 2 a a12 1 a12 1 − + − − + + a) Rút gọn P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x 2 + y = y 2 + x Tính giá trị biểu thức : P = 1 -xy xy 2 y 2 x ++ Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = yx y-x + Biết x 2 -2y 2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0 Bài 4: Cho biểu thức P = 3x 3x2 x-1 2x3 3x2x 11x15 + + − − + −+ − a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 2 1 b) Chứng minh P ≤ 3 2 Bài 5: Cho biểu thức P = a 2a 2a 1a 2aa 39a3a 1 − − + + + − −+ −+ a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức P = 2 a 16 a 8 -1 4-a4a4-a4a + −++ a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên. Bài 7: Cho biểu thức P = − − +− − − 1a 2 1a 1 : aa 1 1a a a) Rút gọn P. b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2 c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0. Bài 8: Cho biểu thức 1 P = − − − − − + x 2 x2x 1x : x4 8x x2 x4 a) Rút gọn P. b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1. Bài 9: Cho biểu thức P = + − − + ++ − xy yx xxy y yxy x : yx xy -y x a) Tìm x, y để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3 Bài 10: Cho biểu thức P = x 2007x 1x 14xx 1x 1-x 1x 1x 2 2 + − −− + + − − + a) Tìm x để P xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Bài 11: Rút gọn P. P = 2 224 22 22 22 22 b baa4 : baa baa baa baa − −+ −− − −− −+ Với | a | >| b | > 0 Bài 12: Cho biểu thức P = 2 2 x1 . 1x2x 2x 1x 2x − ++ + − − − a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm GTLN của P. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức P = 6x5x 10x 3x4x 1x5 2x3x 2x ++ + + ++ + + ++ Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức P = x x x ++− −+− + 52.549 347.32 4 63 Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 15: Cho biểu thức P = 1x 1xx xx 1xx xx 22 ++ +− + − ++ − 2 Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 . Bài 16: Cho biểu thức P = 1x )12(x x x2x 1xx xx 2 − − + + − ++ − a) Rút gọn P. b) Tìm GTNN của P c) Tìm x để biểu thức Q = P x2 nhận giá trị là số nguyên. Bài 17: Cho biểu thức P = 1x2 x 1x2x 1x 1x xx 1xx xxx2x − + −+ − ⋅ − + − − −+ a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó. Bài 18: Rút gọn biểu thức P = 5310 53 5310 53 −+ − − ++ + Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 7474 −−+ b) B = 5210452104 +−+++ c) C = 532154154 −−−++ Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = 123412724 −−++−++ xxxx Với 2 1 ≤ x ≤ 5. Bài 21: Chứng minh rằng: P = 26 4813532 + +−+ là một số nguyên. Bài 22: Chứng minh đẳng thức: 1 2 3 11 2 3 1 2 3 11 2 3 1 = −− − + ++ + Bài 23: Cho x = 3 725 3 725 −−+ Tính giá trị của biểu thức f(x) = x 3 + 3x Bài 24: Cho E = yx xy1 yx xy1 − − − + + Tính giá trị của E biết: 3 x = 222.222.84 +−+++ y = 45272183 2012283 +− +− Bài 25: Tính P = 2008 2007 2 2008 2 2007 2 20071 + + + Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: P = 51 1 + + 95 1 + + . + 20052001 1 + Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức: P = x 3 + y 3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng x = 3 223 3 223 −++ y = 3 21217 3 21217 −++ Bài 28: Cho biểu thức A = − + + − − − + a aa a a a a 1 4 1 1 1 1 a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 154 − Bài 29: Cho biểu thức A = ( ) ( ) ( ) − −⋅ −− −++−− 1 1 1 14 1414 2 x xx xxxx a) x = ? thì A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 30: Cho biểu thức P = xxx x xx x + + +++ +− + −+− −+ 1 1 11 11 11 11 a) Rút gọn P. b) So sánh P với 2 2 . Bài 31: Cho biểu thức P = 1 2 1 3 1 1 +− + + − + xxxxx a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. Bài 32: Cho biểu thức P = a a a a aa a − + − − + − +− − 3 12 2 3 65 92 a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. Bài 33: Cho biểu thức P = x x yxyxx x yxy x − − − −−+ − − 1 1 22 2 2 a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x 2 + y 2 - 4x - 2xy + 4 = 0. 4 Bài 34: Cho biểu thức P = x x yxyxx x yxy x − − − −−+ − − 1 1 22 2 2 a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x 2 + y 2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 35: Cho biểu thức P = yxxy yyxxyx yx yxyx 33 33 : 11211 + +++ ++ + + a) Rút gọn P. b) Cho xy = 16. Tìm Min P. DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT. Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a 2 +3b 2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức: P = ba ba + − Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x 2 +2y 2 = 5xy Tính giá trị biểu thức E = yx yx + − Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị biểu thức: 5 M = 222 z xy y xz x yz ++ Bài 4: Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: P = + + + a c c b b a 111 Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 -z 3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x 3 + y 3 + z 3 = 1 . Tính giá trị của biểu thức: A = x 2007 + y 2007 + z 2007 Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: P = a 4 + b 4 + c 4 Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a 100 + b 100 = a 101 + b 101 = a 102 + b 102 Tính giá trị của biểu thức P = a 2007 + b 2007 Bài 8: Cho 1 =+ b y a x và 2 −= ab xy . Tính 3 3 3 3 b y a x + Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức P = 222222222 111 cbabcaacb −+ + −+ + −+ Bài 10: Cho bab y a x + =+ 1 4 4 ; x 2 + y 2 = 1. Chứng minh rằng: a) bx 2 = ay 2 ; b) 10041004 2008 1004 2008 )( 2 bab y a x + =+ Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: xzzyzyxyx ++ + ++ + ++ 1 1 1 1 1 1 = 1 Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c 3 + (c – a)b 3 + (b – c)a 3 Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức: P = ))(())(())(( 222 acbc c abcb b caba a −− + −− + −− Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều. Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì: accbbabcac ba abcb bc caba cb − + − + − = −− − + −− − + −− − 222 ))(())(())(( Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng: ))()(( 1111 cpbpapp abc pcpbpap −−− =− − + − + − Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh : 6 3 )2(2 11 2233 + − = − + − ba ab a b b a Bài 18: Cho 1 =++ c z b y a x và 0 =++ z c y b x a Tính giá trị biểu thức A = 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0 = − + − + − ba c ac b cb a Tính giá trị của P = 222 )()()( ca c ac b cb a − + − + − Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x(y 2 – z 2 ) + y(z 2 – x 2 ) + z(x 2 – y 2 ) b) x(y + z) 2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức A = a 4 (b – c) + b 4 (c – a) + c 4 (a – b) luôn khác 0. Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd Chứng minh: c = d. Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x 2 . Tính giá trị biểu thức: A = yx yx + − Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x 2 – y 2 = 2xy. Tính giá trị của phân thức A = 22 6 2 yxyx xy ++− Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007. Tính giá trị của biểu thức: P = 222 222 )()()( yxabzxaczybc czbyax −+−+− ++ Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008. Tính giá trị biểu thức: P = ))(())(())(( 333 xzyz z zyxy y zxyx x −− + −− + −− Bài 27: Cho =++ =++ =++ 1 1 1 333 222 zyx zyx zyx Tính giá trị của biểu thức: P = x 2007 + y 2007 + z 2007 . Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức: P = [ ] [ ] 22 22 )()( )()( bcacba cbacba −−++ −++− Bài 29: Cho biểu thức P = (b 2 + c 2 – a 2 ) 2 – 4b 2 c 2 . Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0. Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn: 7 =++ =++ =++ 15 8 3 zxzx zyyz zyxy Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z. Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: =++ =++ 1 1 333 222 zyx zyx Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003) Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 432 48632 ++ ++++ b) Tính giá trị biểu thức: Q = yx yx + − Biết x 2 – 2y 2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a 2 = b 2 + c 2 . a) So sánh a và b + c. b) So sánh a 3 và b 3 + c 3 . (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x 3 -6x – 40 = 0 2) Tính A = 33 2142021420 −++ (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x 2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. c) Tìm m sao cho nghiệm số x 1, x 2 của phương trình thỏa mãn điều kiện 2 1 x + 2 2 x ≥ 10. Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: ( ) −+<+ > acbcabac c 2 0 2 Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm. 8 Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a 2 + ab + ac < 0. Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho phương trình x 2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: =− =− 35 5 3 2 3 1 21 xx xx Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. Bài 6: CMR phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm: (a 2 + b 2 – c 2 )x 2 - 4abx + (a 2 + b 2 – c 2 ) = 0 Bài 8: CMR phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm nếu 4 2 +≥ a c a b Bài 9: Cho phương trình : 3x 2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2 1 x - 2 2 x = 9 5 Bài 10: Cho phương trình: x 2 – 2(m + 4)x +m 2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: a) A = x 1 + x 2 -3x 1 x 2 đạt GTLN b) B = x 1 2 + x 2 2 - đạt GTNN. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m. Bài 11: Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 3x 2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: S = 3 2 3 1 11 xx + Bài 12: Cho phương trình : x 2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x 1 , x 2. Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức: A = 2 3 1 3 21 2 221 2 1 44 353 xxxx xxxx + ++ Bài 13: Cho phương trình: x 2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a. 2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện: x 1 2 + x 2 2 = 6. 3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện: x 1 < 1 < x 2 . Bài 14: Cho phương trình: x 2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm GTNN của M = x 1 2 + x 2 2 9 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 2 111 =+ ba CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x 2 + ax + b = 0 và x 2 + bx + a = 0. Bài 16: Cho phương trình: x 2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m. b) Tìm m sao cho 10x 1 x 2 + x 1 2 + x 2 2 đạt GTNN. Tìm GTNN đó. Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình sau phải có nghiệm: ax 2 + 2bx + c = 0 (1) bx 2 + 2cx + a = 0 (2) cx 2 + 2ax + b = 0 (2) Bài 18: Cho phương trình: x 2 – (m - 1)x + m 2 + m – 2 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x 1 2 + x 2 2 đạt GTNN. Bài 19: Cho phương trình: x 2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện: x 1 2 + x 2 2 ≥ 10. 3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện: E = x 1 2 + x 2 2 đạt GTNN. Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x 2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR: a 2 + b 2 là một hợp số. DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Giải phương trình: Bài 1: x 3 + 2x 2 + 2 2 x + 2 2 . Bài 2: (x + 1) 4 = 2(x 4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x 2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2) 4 + (x + 8) 4 = 272 Bài 7: a) (x + 2 ) 4 + (x + 1) 4 = 33 + 12 2 b) (x - 2) 6 + (x - 4) 6 = 64 Bài 8: a) x 4 - 10x 3 + 26x 2 - 10x + 1 = 0 10 [...]... b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3 +1 ( Đề thi HSG 1998) x −5 − Bài 29: x − 14 =3 3+ x −5 Bài 30: x4 - 4 Bài 31: x +4 − 5x = 0 x2 − 2 Bài 32: Bài 33: Bài 34: -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) ( Đề thi HSG V2 2003) a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x + 3 b) 3 x 3 + 8 = 2x2 - 6x... 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: x2 + 2 x −1 x = 8( Đề thi HSG V1 2004) x −1 − 5 x −1 = 3 x − 2 3 x +1 + 3 7 − x = 2 x +2 2 x −1 + x −2 x −1 = 2 3x + 21x + 18 + 2 x 2 +7 x + 7 = 2 a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x -... c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5 CMR: 2a2 + 3b2 ≥ 5 Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1 CM: a2 + 4b2 ≥ 1 5 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003) Bài 11) Chứng minh: 2− 2+ 2+ 2+ 2 < 2− 2+ 2+ 2 1 3 (Đề thi HSG 2001) Bài 12) Chứng minh: a) (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by)2 b) 0 < x − 2 + 4 − x ≤ 2 a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 1 1 1 S =1 + + + + 2 3 100 Bài 13) Cho... 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 + 1 + ≥ 9 a b (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: x y x2 y2 + 2 + 4 ≥ 3 + 2 y x y x ( Đề thi HSG V2 2006 - 2007) DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu... b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2 CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005) Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b ≤ 10 Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab CMR: 8 ≤ a2 + b2 ≤ 8 3 Dấu . dương thỏa mãn điều kiện: a 2 = b 2 + c 2 . a) So sánh a và b + c. b) So sánh a 3 và b 3 + c 3 . (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình:. x ( Đề thi HSG 1998) Bài 29: 3 53 14 5 = −+ − −− x x x Bài 30: x 4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) Bài 31: 05 2 4 2 4 =− − + x x x ( Đề thi HSG V2 2003)