Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức THCS

1 Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , [r]

==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== Tr phßng GD & §T huyÖn yªn thµnh trường THCS Mã Thành Một số phương pháp chứng minh Bất Đẳng Thức THCS Gi¸o viªn biªn so¹n: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức THCS Bất đẳng thức là kiến thức trọng yếu chương trình Toán TH Đối với chương trình Toán THCS các em học sinh thường gặp dạng Toán này các kì thi “lớn” HSG vào các trường chuyên Song quá trình giãng dạy mình, Tôi nhận thấy rằng, đa số học sinh thường yếu dạng Toán này Chính vì mà bài viÕt nµy T«i muèn göi tíi toµn thÓ c¸c em Häc Sinh nh÷ng g× mµ T«i nghÜ lµ gÇn gòi víi các em nhất, với mong muốn phần nào đó giúp các em nắm vững các kiến thức, từ đó giải thành thạo giạng Toán này PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn nhí A  B  A  B  A  B  A  B  1) §inhnghÜa  2) TÝnh chÊt +) A > B  B < A +) A > B vµ B > C  A > C +) A > B  A + C > B + C +) A > B vµ C > D  A + C > B + D +) A > B vµ C >  A.C > B.C +) A > B vµ C <  A.C < B.C +) < A < B vµ < C < D  < A.C < B.D +) A > B >  An > Bn Víi mäi gi¸ trÞ n +) A > B  An > Bn víi n lÎ +) A  B  An > Bn víi n ch½n +) m > n > vµ A >  Am > An +) m > n > vµ < A <  Am < An +) A < B vµ A.B >  1  A B 3) Một số bất đẳng thức +) A  víi  A (dÊu = x¶y A = 0) +) A n  víi  A (dÊu = x¶y A = 0) +) A  víi  A (dÊu = x¶y A = 0) +)  A  A  A +) A  B  A  B (dÊu = x¶y A.B > 0) +) A  B  A  B (dÊu = x¶y A.B < 0) Phần II : số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : Dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A – B > Lu ý dùng bất đẳng thức M  luôn đúng với M VÝ dô Víi mäi sè thùc x, y, z chøng minh r»ng : ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== a) x + y + z  xy+ yz + zx 2 b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz 2 c) x + y + z +3  2(x + y + z) 2 Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = 2zx) =  (2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz –  x  y 2  ( y  z )2  ( z  x)2  (*) V× (x – y)2  víi mäi x ; y DÊu b»ng x¶y x = y (y – z)2  víi mäi y ; z DÊu b»ng x¶y y = z (z – x)2  víi mäi z; x DÊu b»ng x¶y z = x  Bất đẳng thức (*) luôn đúng với x; y; z  R 2 VËy x + y + z  xy + yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y = z 2 b)Ta xÐt hiÖu: x + y + z – ( 2xy – 2xz + 2yz ) = x2 + y2 + z2– 2xy + 2xz – 2yz = (x – y + z)2  luôn đúng với x; y; z  R Vậy x2+ y2+ z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với x; y; z  R Dấu xảy x = y = z 2 2 2 c) Ta xÐt hiÖu: x + y + z + – 2( x + y + z ) = x – 2x + + y – 2y + + z – 2z +1 2 = (x – 1) + (y – 1) +(z – 1)  DÊu (=) x¶y x = y = z = VÝ dô 2: Chøng minh r»ng : a2  b2  a  b  a)     a2  b2  c2  a  b  c  b)   3   c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i a) Ta xÐt hiÖu: a b 2(a  b ) a  2ab  b ab     4   = 2a  2b  a  2ab  b = a  b 2  víi mäi a; b 2 2   a2  b2  a  b  VËy   DÊu b»ng x¶y a = b   b)Ta xÐt hiÖu:   a2  b2  c2  a  b  c  2    (a  b)  (b  c)  (c  a )  víi mäi a; b 3   a2  b2  c2  a  b  c  VËy   DÊu b»ng x¶y a = b =c 3   c)Tæng qu¸t ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== a12  a 22   a n2  a1  a   a n    n n   Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A – B Bước 2: Biến đổi H = (C  D)2 H =(C  D)2+….+ (E  F)2 Bước 3: Tìm ĐK để dấu “=” xãy Bước 4: Kết luận A  B Ví dụ: Chứng minh Với số thực m, n, p, q ta có 2 2 m + n + p + q +1  m.(n + p + q + 1) (Chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Gi¶i: XÐt hiÖu: H = m  n  p  q   m.(n  p  q  1) m2  n  p  q  m.n  m p  m.q  m  m2   m2   m2   m2  =   m.n  n     m p  p     m.q  q     m  1         = 2 2 m m m m =   n     p     q     1  Víi mäi sè thùc m, n, p, q 2  2  2  2  m m  2 n 0 n    m  p   p  m 2 m   Hay  DÊu b»ng x¶y khi:  n  p  q  m  q   m 2 q  m  m   1  2 Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Lưu ý: Nguyên tắc để chứng minh Bất đẳng thức A  B ta phải biến đổi bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng Chú ý: Các đẳng thức sau: A  B 2  A  AB  B A  B  C 2  A  B  C  AB  AC  BC A  B 3  A3  A B  AB  B VÝ dô 1: Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: b2  ab b) a  b   ab  a  b c) a  b  c  d  e  a(b  c  d  e) a) a  Gi¶i: a) Ta cã: a  b2  ab  4a  b  4ab ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==  4a  b  4ab   (2a  b)  (bất đẳng thức này luôn đúng với số thực a; b) b2  ab DÊu b»ng x¶y 2a = b b) Ta cã: a  b   ab  a  b  2.(a  b  1)  2.(ab  a  b)  2a  2b   2ab  2a  2b   (a  2ab  b )  (a  2a  1)  (b  2b  1)  VËy a   (a  b)  (a  1)  (b  1)  (Bất đẳng này luôn đúng) VËy a  b   ab  a  b DÊu b»ng x¶y a = b = c) Ta cã: a  b  c  d  e  a(b  c  d  e)  4.(a  b  c  d  e  4.a (b  c  d  e)  4a  4b  4c  4d  4e )  4ab  4ac  4ad  4ae  4a  4b  4c  4d  4e  4ab  4ac  4ad  4ae   (a  4ab  4b )  (a  4ac  4c )  (a  4ad  4d )  (a  4ae  4e )   (a  2b)  (a  2c)  (a  2d )  (a  2e)  (Bất đẳng thức này luôn đúng) VËy a  b  c  d  e  a(b  c  d  e) VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: (a 10  b10 ).(a  b )  (a  b ).(a  b ) Gi¶i: Ta cã: (a 10  b10 ).(a  b )  (a  b ).(a  b )  a 12  a 10 b  a b10  b12  a 12  a b  a b  b12  a b (a  b )  a b (b  a )   a b (a  b )(a  b )   a b (a  b ) (a )  (b )   a b (a  b ) a  a b  b  (*)     Bất đẳng thức (*) luôn đúng ta có điều phải chứng minh x2  y2 2 VÝ dô 3: Cho x.y =1 vµ x > y Chøng minh r»ng x y Gi¶i: Ta cã: x2  y2 x2  y2  2 V×: x > y nªn x – y >   2  x  y  2 ( x  y ) x y x y  x  y  2 x  2 y   x  y   2 x  2 y    x  y  ( )  2 x  2 y  xy  (v× x.y =1 nªn = 2xy) (*) BĐT (*) luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 4: a) Chøng minh: P(x,y) = x y  y  xy  y   x; y  R b) Chứng minh: a  b  c  a  b  c (Gợi ý: Bình phương vế)  (x  y  2)2  ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==  x y.z  c) Cho ba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn:  1 x  y  z  x  y  z  Chứng minh rằng: Có đúng ba số x, y, z lớn (§Ò thi vµo líp 10 PTTH Chuyªn Lam S¬n – Thanh Ho¸ n¨m häc 96 - 97) Gi¶i: c) XÐt ( x  1)( y  1)( z  1)  xyz  ( xy  yz  zx)  x  y  z  1 1  ( xyz  1)  ( x  y  z )  xyz    x y z 1 1 1  ( x  y  z )       (v×    x  y  z theo gt) x y z x y z  số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, số(x – 1), (y – 1), (z – 1) dương Nếu số(x – 1), (y – 1), (z – 1) dương thì x, y, z >1  x.y.z > (trái với giả thiết x.y.z =1) Vì thế, bắt buộc phải xảy trường hợp số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, tức là có đúng ba số x, y, z là số lớn (đpcm) Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ) A Một số bất đẳng thức hay sử dụng 1) Các bất đẳng thức a) x  y  xy  xy DÊu “=” x·y x = y b) x  y  xy DÊu “=” x·y x = y = c) ( x  y )  xy DÊu “=” x·y x = y a b   DÊu “=” x·y x = y b a a  a  a   a n n 2) Bất đẳng thức Cô sy:  a1 a a3 a n (Trong đó a1 , a , a3 , , a n  ) n DÊu “=” x·y khi: a1  a  a3   a n d) NÕu a.b > th× 3) Bất đẳng thức Bunhiacopski a 2    a22   an2 x12  x22   2n  a1 x1  a2 x2   an xn  4) Bất đẳng thức Trê - b - sép: a  b  c a A  b.B  c.C a  b  c A  B  C  th× DÊu “=” x·y 3 A  B  C a  b  c a A  b.B  c.C a  b  c A  B  C  b) NÕu  th× DÊu “=” x·y 3 A  B  C a) NÕu  a  b  c  A  B  C a  b  c  A  B  C B C¸c vÝ dô VÝ dô Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a + b)(b + c)(c + a)  8abc Gi¶i: Cách 1: (Dùng bất đẳng thức phụ: ( x  y )  xy ) Tacã: (a  b)  4ab ; (b  c)  4bc ; (c  a )  4ca ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==  (a  b) (b  c) (c  a )  4ab.4bc.4ca  (8abc)  (a + b)(b + c)(c + a)  8abc DÊu “=” x¶y a = b = c VÝ dô 1   9 a b c 2) Cho x, y, z > vµ x + y + z = CMR: x  y  z  4(1  x)(1  y )(1  z ) a b c    3) Cho a > 0, b > 0, c > CMR: bc ca ab 1) Cho a, b, c > vµ a + b + c = CMR: 4) Cho x  0,y  vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn: x  y  CMR: x  y  VÝ dô 3: Cho a > b > c > vµ a  b  c  Chøng minh r»ng: a3 b3 c3    bc ca ab Gi¶i: a  b  c Do a, b, c đối xứng, giả sử a  b  c   a b c    b  c c  a a  b ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã: a b c a b c  b2  c2   2 bc ca ab  a b c bc ca ab  1 a  b  c    3 9bc ca ab (V× a  b  c  theo gi¶ thiÕt) a3 b3 c3     (®pcm)  bc ca ab 2 a b c    ) (Vì theo Ví dụ ta đã chứng minh bc ca ab 3 a b c 1    DÊu b»ng x¶y a = b = c = VËy bc ca ab a2 VÝ dô 4: Cho a, b, c, d > vµ a.b.c.d = Chøng minh r»ng: a  b  c  d  ab  c  bc  d  d c  a   10 Gi¶i: Ta cã: a  b  2ab vµ c  d  2cd  a  b  c  d  2ab  2cd  2.(ab  cd ) 1 V×: a.b.c.d =1 nªn cd   a  b  c  d  2.(ab  )  (1) (¸p dông B§T: x   ) ab ab x MÆt kh¸c ta l¹i cã: a (b  c)  b(c  d )  d (c  a )  (ab  cd )  (ac  bd )  (bc  ad )     1    ab     ac     bc       (2) ab   ac   bc   2 2 Tõ (1) vµ (2)  a  b  c  d  a(b  c)  b(c  d )  d (c  a)  10 VÝ dô 5: Cho sè a, b, c, d bÊt kú Chøng minh r»ng: (a  c)  (b  d )  a  b  c  d ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== Gi¶i: Ta cã: (a  c)  (b  d )  a  b  2(ac  bd )  c  d áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: a.c  b.d  a  b c  d  (a  c)  (b  d )  (a  b )  a  b c  d  (c  d ) Hay (a  c)  (b  d )  ( a  b  c  d ) 2 2 2  (a  c)  (b  d )  a  b  c  d VÝ dô 6: Chøng minh r»ng: a  b  c  ab  bc  ca Gi¶i: ¸p dông B§T Bunhiacopski cho cÆp sè (1, 1, 1) vµ (a, b, c) ta cã: 1   12  12 (a  b  c )  1.a  1.b  1.c   3(a  b  c )  a  b  c  2(ab  bc  ca)  2(a  b  c )  2(ab  bc  ca)  a  b  c  ab  bc  ca (®pcm) DÊu b»ng x¶y a = b = c 2 Phương pháp 4: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu L­u ý: A > B vµ B > C th× A > C < x < th× x < x VÝ dô 1: Cho a, b, c, d > tháa m·n a > c + d, b > c + d Chøng minh r»ng ab > ad + bc Gi¶i: a  c  d a  c  d   b  c  d b  d  c   (a – c)(b – d) > cd  ab – ad – bc + cd > cd  ab > ad + bc (®iÒu ph¶i chøng minh) Tacã  VÝ dô 2: Cho a, b, c > tháa m·n ®iÒu kiÖn a  b  c  Chøng minh r»ng: 1 1    a b c abc Gi¶i: Ta cã : (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)   ac + bc – ab   ac + bc – ab  (a + b2 + c2) 1 1 < Chia hai vÕ cho abc > ta ®­îc    (®pcm) a b c abc VÝ dô Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > – a – b – c – d Gi¶i: Ta cã: (1 – a).(1 – b) = – a – b + ab Do a > 0, b > nªn ab >  (1 – a).(1 – b) > – a – b (1) MÆt kh¸c: V× c < nªn – c >  (1 – a).(1 – b).(1 – c) > – a – b – c  (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > (1 – a – b – c).(1 – d) = – a – b – c – d + ad + bd + cd ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==  (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > – a – b – c – d (§iÒu ph¶i chøng minh) VÝ dô a) Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng: 2a  2b  2c   a b  b c  c a b) Chøng minh r»ng : NÕu a  b  c  d  1998 th× ac  bd  1998 (Chuyªn Anh n¨m häc 1998 – 1999) a) Gi¶i: Do a   a    a  vµ b    b  Từ đó suy ra: (1  a )(1  b)    a  b  a b    a b  a  b (*) MÆt kh¸c:  a; b   a  a ; b  b  b (**) Tõ (*) vµ (**)   a b  a  b Hay a  b   a b (1) Tương tự : b  c   b c (2) Vµ c  a   c a (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có : 2a  2b  2c   a b  b c  c a b) Gi¶i: Ta cã: (ac  bd )  (ad  bc)  a c  b d  2abcd  a d  b c  2abcd  a (c  d )  b (c  d )  (a  b ).(c  d )  1998 MÆt kh¸c: (ac  bd )  (ac  bd )  (ad  bc)  1998  ac  bd  1998 2) Bµi tËp: a) Cho c¸c sè thùc: a1; a2; a3; …; a2003 tháa m·n: a1 + a2 + a3 + … + a2003 =1 Chøng minh r»ng: a12  a 22  a32   a 2003  2003 (§Ò thi vµo líp 10 PTTH Chuyªn Nga Ph¸p 2003- 2004 Thanh Hãa) b) Cho a; b; c  tháa m·n: a + b + c = 1 1 Chøng minh r»ng:   1.  1.  1  a b c  Phương pháp 5: Dïng tÝnh chÊt cña tû sè KiÕn thøc 1) Cho a, b, c là các số dương thì a ac  b bc a ac  b bc a c a ac c  2) NÕu b, d > vµ  th×  b d b bd d a  th× b a b) NÕu  th× b a) NÕu VÝ dô 1: Cho a, b, c, d > Chøng minh r»ng: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 1 a b c d    2 abc bcd cd a d ab Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã MÆt kh¸c: a a ad 1  abc abc abcd a a  abc abcd (1) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: Tương tự ta có: a a ad   abcd abc abcd b b ba   abcd bcd abcd c c bc   abcd cd a abcd d d d c   abcd d ab abcd (3) (4) (5) (6) Céng vÕ theo vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã: a b c d     (®iÒu ph¶i chøng minh) abc bcd cd a d ab a c a ab  cd c  VÝ dô 2: Cho  vµ b, d > Chøng minh r»ng  b d b b d2 d a c ab cd a ab ab  cd cd c   Gi¶i: Tõ       b d b b b d b d2 d2 d a ab  cd c  VËy  (®iÒu ph¶i chøng minh) b b d2 d 1 Ví dụ 3: Cho a; b; c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a + b = c + d = 1000 a b  c d a b a m Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö:  ¸p dông tÝnh chÊt “NÕu  th× c d b n a am m a ab b a   ” ta cã:     (v× a + b = c + d) b bn n c cd d c b a b a) NÕu: b  998 th×  998    999 d c d a b 999 b) NÕu: b = 998 th× a =     §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt d = 1; c = 999 c d c d a b VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P =   999  a = d = 1; c = b = 999 c d 999 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P = Phương pháp 6: Phương pháp làm trội L­u ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính tổng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S  u1  u  u   u n Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 10 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== u k  a k  a k 1 Khi đó: S  u1  u  u   u n  (a1  a )  (a  a3 )  (a3  a )   (a n  a n 1 )  a1  a n 1 (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn P  u1 u u3 u n Biến đổi các số hạng uk thương hai số hạng liên tiếp nhau: u k  ak a k 1 a1 a2 a3 an a  a2 a3 a4 an1 an1 VÝ dô 1: Víi mäi sè tù nhiªn n > chøng minh r»ng: P  u1 u u3 u n  Khi đó: 1 1      n 1 n  n  2n Gi¶i: 1   víi k = 1, 2, 3, …, n – n  k n  n 2n 1 1 1 1 n            Do đó: n 1 n  n  2n 2n 2n 2n 2n 2n Ta cã VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:      n  2( n   1) (Víi n lµ sè nguyªn) Gi¶i : Ta cã: k  2 k  k  k 1  2( k   k ) Khi cho k chạy từ đến n ta có  2(  1)  2(  2)  2(  ) ……………… n  2( n   n ) Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có  VÝ dô 3: Chøng minh r»ng: n k k 1 2     n  2( n   1) n  Z Gi¶i: Ta cã: 1 1    k (k  1) k  k k Cho k chạy từ đến n ta có: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 11 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 1  1 2 1   32 1   42 1   n 1 n n 1 1  1 1 1 1 1 1        1                 1  n n  2  3 3 4  n 1 n  n VËy   n  Z k 1 k VÝ dô 4: Chøng minh c¸c B§T sau : 1 1      1.2 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1) 1 1    2 b)   1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3 n a) Gi¶i : a) Ta cã: 1 (2k  1)  (2k  1)  1       (2k  1)(2k  1) (2k  1)(2k  1)  2k  2k   Cho k chạy từ đến n Sau đó cộng lại ta có 1 1 1       1  (®pcm)  1.2 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1)  2n   1 1 1 1     1     b) Ta cã:   1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3 n 1.2 2.3 3.4 (n  1).n 1  1 1 1 1 1    1                   (®pcm) n  2  3 3 4  n 1 n  Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức tam giác Lưu ý: Nếu a; b; c là độ dài cạnh tam giác thì : a; b; c > Vµ b  c  a  b  c ; a  c  b  a  c ; a  b  c  a  b Ví dụ1: Cho a; b; c là độ dài cạnh tam giác chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) abc > (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) Gi¶i a) Vì a, b, c là độ dài cạnh tam giác nên ta có 0  a  b  c a  a (b  c)   2 0  b  c  a  b  b(c  a )  a  b  c  2(ab  bc  ca) 0  c  a  b c  c(a  b)   b) Ta cã: a  b  c  a  a  (b  c)  b) b  c  a  b  b  (c  a )  ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 12 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== c  a  b  c  c  ( a  b)  Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:    a b c  a  (b  c) b  (c  a ) c  (a  b)  a b c  (a  b  c) (b  c  a ) (c  a  b)  a.bc  (a  b  c).(b  c  a ).(c  a  b)  VÝ dô 2: 1) Cho a, b, c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) 2) Cho a, b, c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng a  b  c  2abc  Phương pháp 8: Đổi biến số (phương pháp đặt ẩn phụ) VÝ dô1: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: Gi¶i : a b c    (1) bc ca ab §Æt x = b + c; y = c + a; z = a + b ta cã: a = yzx ; b= zx y x yz ; c= 2 b  c  x   c  a  y a  b  z  yzx zx y x yz    2x 2y 2z yzx zx y x yz    3 x y z y z z x x y   1  1  1  x x y y z z  y x  z x  z y               x y x z  y z Khi đó: (1)  V×:  y x  z y  z x     ;     vµ     x z  x y y z  y x  z x  z y              DÊu b»ng x¶y x = y = z (®pcm)  x y x z  y z VÝ dô2: Cho a, b, c > vµ a + b + c < Chøng minh r»ng: 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab (1) Gi¶i: §Æt x = a  2bc  ; y = b  2ac  ; z = c  2ab  Ta cã: x  y  z  (a  b  c)  (*) 1 1 L¹i cã: ( x  y  z )     x y z (**)   1 Tõ (*) vµ (**)     DÊu b»ng x¶y x = y = z x y z ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 13 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 1    DÊu b»ng x¶y a = b = c (®pcm) a  2bc b  2ac c  2ab VÝ dô3: Cho x  0, y  tháa m·n ®iÒu kiÖn x  y  CMR: x  y  Hay Gîi ý: §Æt x  a  , y b  Từ đó Bài Toán trở thành: Cho 2a  b  CMR: a  b  Thế (1) vào(2) Ta có đpcm Bµi tËp 1) Cho a > 0, b > 0, c > CMR: 25a 16b c   8 bc ca ab 2) Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b > Chøng minh r»ng: ma nb pc    ( m n bc ca ab p )  (m  n  p) =============================================================== Phương pháp 9: Dïng tam thøc bËc hai L­u ý : Cho tam thøc bËc hai: f ( x)  ax  bx  c NÕu  < th× a.f(x) > x  R b (xR) a  x  x1 NÕu  > th× a.f(x) >    x  x2 Vµ a.f(x) <  x1  x  x NÕu  = th× a.f(x) > x  (Trong đó x1; x2 là hai nghiệm đa thức f(x) và x1 > x2) VÝ dô 1: Chøng minh r»ng : f(x, y) = x  y  xy  x  y   Gi¶i: Ta cã: (1)  x  2(2 y  1).x  y  y   (1)   2 y  1  y  y   y2  y 1 5y2  y   y  1   VËy f(x, y) > víi mäi x, y VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: f(x, y) = x y  2( x  2) y  xy  x  xy Gi¶i: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x y  2( x  2) y  xy  x  xy   ( y  1) x  y (1  y ) x  y  Ta cã: '  y (1  y )  y ( y  1)  16 y  V× a = ( y  1)  vËy f(x, y) > x, y  R (®pcm) =============================================================== Phương pháp 10: Dùng quy nạp toán học KiÕn thøc: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 14 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực các bước sau : 1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0 2) Giả sử BĐT đúng với n = k (thay n = k vào BĐT cần chứng minh gọi là giả thiÕt quy n¹p) 3) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + (thay n = k + 1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4) Kết luận BĐT đúng với n  n0 1 1       (1) n n VÝ dô1: Chøng minh r»ng: Gi¶i : Víi n = ta cã:    n  N , n  (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n = Giả sử BĐT (1) đúng với n = k Tức là 1 1       k k Bây ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k + ThËt vËy n = k + th×: (1)  1 1      2 2 k 1 (k  1) Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã: 1  1 1   2    (*)        k  k 1 k  (k  1) 1  1 1  2  2 V×:     (**) k  k 1 k (k  1) k 1  1 1  2 Tõ (*) vµ (**)       BĐT (1) cung đúng với n = k + k 1 (k  1) Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh n ab an  bn VÝ dô2: Cho n  N vµ a + b > Chøng minh r»ng:      (1) Gi¶i: Ta thấy BĐT (1) đúng với n = k ab ak  bk Giả sử BĐT (1) đúng với n = k Tức là ta có:      Bây Ta phải chứng minh BĐT (1) củng đúng với n = k + ThËt vËy víi n = k + ta cã: ab    (1)   ab    V×: VT   k k 1 k  k 1 k 1 a k 1  b k 1 ab ab a b     2     (2) k k k 1 k k k 1 a k 1  b k 1  a  b  a  b a  b a  ab  a b  b = VP      2    BĐT (1) đúng với n = k + Vậy BĐT (1) luôn đúng Ta có (đpcm) =============================================================== Ph¬ng ph¸p 11: Chøng minh ph¶n chøng L­u ý: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 15 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược Từ đó suy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K” phép toán mệnh đề cho ta : Như để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận nó Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A Dùng mệnh đề phản đảo : K  G B Phủ định suy trái giả thiết : C Phủ định suy trái với điều đúng D Phủ định suy điều trái ngược E Phủ định suy kết luận : VÝ dô 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a + b + c > , ab + bc + ac > 0, abc > Chøng minh r»ng a > 0, b > 0, c > Gi¶i : Giả sử a  thì từ abc >  a  đó a < Mµ abc > vµ a <  cb < Tõ ab + bc + ca >  a(b + c) > – bc > V× a < mµ a(b + c) >  b + c < a < vµ b + c <  a + b +c < tr¸i gi¶ thiÕt a + b + c > VËy a > Tương tự ta có: b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac  2.(b + d) Chøng minh r»ng cã Ýt các bất đẳng thức sau là sai: a  4b , c  4d Gi¶i : Giả sử bất đẳng thức : a  4b , c  4d đúng đó cộng vế theo vế ta (1) a  c  4(b  d ) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b + d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2)  a  c  2ac hay (a  c)  (v« lý) Vậy bất đẳng thức a  4b , c  4d có ít các bất đẳng thức sai VÝ dô 3: Cho x, y, z > vµ xyz = Chøng minh r»ng: x y NÕu x  y  z    th× sè x, y, z cã mét sè lín h¬n z Gi¶i : Ta cã (x – 1).(y – 1).(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z – 1 1 = x  y  z      x y z (v× xyz = 1)   1 V× theo gi¶ thiÕt th× x  y  z    nªn (x – 1).(y – 1).(z – 1) > x y z Trong ba số (x – 1), (y – 1) và (z – 1) có số dương Thật ba số dương thì x, y, z >  xyz > (trái giả thiết) Còn số đó dương thì (x – 1).(y – 1).(z – 1) < (vô lý) ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 16 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== VËy cã mét vµ chØ mét ba sè x, y, z lín h¬n =============================================================== PhÇn iii : c¸c bµi tËp n©ng cao 1) Dùng định nghĩa a2  b  c  ab  bc  ca 1) Cho abc = vµ a  36 Chøng minh r»ng Gi¶i a2 a2 a2 2  b  c  ab  bc  ca    b  c  ab  bc  ca Ta cã hiÖu: 12  a2  a2    b  c  ab  ac  2bc    3bc   12 a  36abc a     b  c   (v× abc = vµ a3 > 36 12 a   nªn VËy: a>0) a2  b  c  ab  bc  ca §iÒu ph¶i chøng minh 2) Chøng minh r»ng a) x  y  z   x.( xy  x  z  1) b) a  5b  4ab  2a  6b   (Víi mäi sè thùc a, b, c) c) a  2b  2ab  2a  4b   (Víi mäi sè thùc a, b, c) Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x  y  z   x y  x  xz  x  ( x  y )  ( x  z )  ( x  1)  (x, y, z )  H  (x, y, z ) Từ đó ta có điều phải chứng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = (a  2b  1)  (b  1)   H > (a, b, c) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = (a  b  1)  (b  1)  H  (a, b, c) Từ đó, ta có điều phải chứng minh Ii Dùng biến đổi tương đương 1) Cho x > y vµ x.y = Chøng minh r»ng: Gi¶i : Ta cã: (x  y )2 8 ( x  y) x  y  ( x  y )  xy  ( x  y )    (v× x.y = 1)  ( x  y )  ( x  y)   ( x  y )  4.( x  y )  Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với ( x  y )  4.( x  y )   8.( x  y )  ( x  y )  4.( x  y )   ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 17 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==    ( x  y)   BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho x.y  Chøng minh r»ng: 1   2  xy 1 x 1 y Gi¶i : Ta cã: 1   2  xy 1 x 1 y  1   1           2  xy  xy  x  y     2 xy  x xy  y   0 (1  x )(1  xy ) (1  y )(1  xy ) x( y  x) y( x  y)   0 (1  x )(1  xy ) (1  y )(1  xy )  ( y  x) ( xy  1) 0 (1  x )(1  y )(1  xy ) BĐT cuối này đúng x.y > Vậy ta có điều phải chứng minh Iii dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b + c =1 Chøng minh r»ng: a  b  c  Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho sè (1, 1, 1) vµ (a, b, c) Ta cã: (1.a  1.b  1.c)  (1   1)(a  b  c )  (a  b  c)  3.(a  b  c )  a2  b2  c2  (v× a + b + c =1 ) (®pcm) 2) Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:  1 1 (a  b  c).     a b c (1) Gi¶i : a a b b c c b c a c a a a b a c  b c     3        b a c a c b a b a c  b c         b a c a c b x y ¸p dông B§T phô   Víi x, y > y x Ta cã: (1)           Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng VËy (a  b  c).     1 a b c Iv dùng phương pháp bắc cầu (®pcm) ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 18 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 1) Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng: 2a  2b  2c   a b  b c  c a Gi¶i: Do a   a  vµ b   b  Nªn (1  a )(1  b )    a b  a  b  Hay  a b  a  b (1) MÆt kh¸c: V× < a, b <  a  a vµ b  b  b (2) Tõ (1) vµ (2)   a b  a  b Hay a  b   a b (*) Tương tự ta củng chứng minh được: b  c   b c (**) Vµ c  a   c a (***) Céng vÕ theo vÕ cña (*), (**) vµ (***) ta ®­îc: 2a  2b  2c   a b  b c  c a (®pcm) 11 14 2) So s¸nh 31 vµ 17 Gi¶i : Ta cã: 3111  3211  (2 )11  55  56 (1) 56 4.14 14 14 14 MÆt kh¸c:   (2 )  16  17 (2) 11 14 Tõ (1) vµ (2)  31  17 V Dïng tÝnh chÊt tØ sè 1) Cho a, b, c, d > Chøng minh r»ng: 2 Gi¶i : ab bc cd d a    3 abc bcd cd a d ab V× a, b, c, d > nªn ta cã: ab abcd bc abcd cd abcd d a abcd ab abd  abc abcd bc bca   bcd abcd cd cd b   cd a abcd d a d ac   d ab abcd  (1) (2) (3) (4) Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên ta có : 2 ab bc cd d a    3 abc bcd cd a d ab (®pcm) 2) Cho a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng: 1 a b c   2 bc ca ab Gi¶i : V× a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a, b, c > Vµ a < b + c ; b < a + c ; c < a + b a aa 2a   bc abc abc a a  MÆt kh¸c: bc abc Ta cã: (*) (**) ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net 19 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== a a 2a   abc bc abc b b 2b   Tương tự ta củng có: abc ca abc c c 2c   Vµ abc ab abc Tõ (*) vµ (**) (1)  (2) (3) Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: 1 a b c    (®pcm) bc ca ab PhÇn iv: ứng dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị L­u ý - NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A - NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P  x   x   x   x  Gi¶i: Ta cã: x   x   x    x  x    x  (1) DÊu “=” x·y ( x  1)(4  x)    x  Tương tự: x   x   x    x  x    x  (2) DÊu “=” x·y ( x  2)(3  x)    x  Tõ (1) vµ (2)  P  x   x   x   x     1  x    x  2  x  DÊu “=” x·y  Vậy giá trị nhỏ biểu thức T là đạt  x  VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: S = xyz.(x + y).(y + z).(z + x) víi x, y, z > vµ x + y + z =1 Gi¶i : V× x, y, z > nªn ¸p dông B§T C«si cho sè x, y, z ta cã:  x  y  z  3.3 xyz  xyz  1  xyz  (1) 27 DÊu “=” x·y x = y = z = Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương (x + y); (y + z) và (x + z) ta có:  ( x  y ).( y  z ).( z  x)  27  ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  3.3 ( x  y )( y  z )( z  x)  ( x  y )( y  z )( z  x)  DÊu “=” x·y x = y = z = Tõ (1) vµ (2)  S = xyz.(x + y).(y + z).(z + x)  8  27 27 729 ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net (2) 20