Một số định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ TRUNG HIẾU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số kết đặc trưng không gian Banach Bài tốn tìm điểm bất động 1.1 Một số kết đặc trưng không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi 1.1.2 Không gian Banach lồi chặt 1.1.3 Modul lồi 10 1.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn 10 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng 14 2.1 Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ không giãn 14 2.2 Một số kết điểm bất động cho ánh xạ không giãn suy rộng 26 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii Bảng ký hiệu X R R+ N ∀x A−1 I C[a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn x0 Fix(T ) Lp lp không gian Banach tập số thực tập số thực không âm tập số tự nhiên với x toán tử ngược toán tử A toán tử đồng tập hàm liên tục đoạn [a, b] khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 tập điểm bất động ánh xạ T tập hợp hàm khả tích cấp p tập hợp dãy khả tổng cấp p Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ chủ đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước Một hướng nghiên cứu toán điểm bất động xây dựng phương pháp tìm (xấp xỉ) điểm bất động ánh xạ không gian Hilbert không gian Banach Nhiều toán liên quan tới phương pháp xấp xỉ đặt giải cho lớp ánh xạ chẳng hạn ánh xạ co, ánh xạ không giãn, Với luận văn tốt nghiệp thạc sĩ, em lựa chọn phần toán xấp xỉ nghiệm cho ánh xạ không giãn không gian Banach Dưới hướng dẫn TS Trần Xuân Quý TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh, em chọn đề tài luận văn: “Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng” Nội dung luận văn trình bày hai chương, cụ thể sau: Chương 1: Trình bày số kết đặc trưng khơng gian Banach - Bài tốn tìm điểm bất động Chương 2: Trình bày định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng Trong trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Toán –Tin Với luận văn này, em mong muốn góp phần nhỏ cơng sức vào việc gìn giữ phát huy vẻ đẹp, hấp dẫn cho định lý toán học đẹp Đây hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun nói chung Khoa Tốn – Tin nói riêng, truyền thụ cho em nhiều ki Khi dãy lặp Picard x0 hội tụ mạnh tới x thuộc C Nếu T liên tục x điểm bất động T Chứng minh Từ tính chất bảo tồn thứ tự T ta có ≤ x0 ≤ T x0 ≤ T x0 ≤ Quỹ đạo x0 bị chặn dãy (T n x0 ) chứa dãy hội tụ yếu Giả sử dãy (T n x0 ) có hai dãy với giới hạn yếu x y , tức w w → x, T ml x0 − → y T nk x − T n x0 x T n x0 y Như chứng minh Định lý 2.2.21, ta thu ≤ x ≤ y ≤ y ≤ x Vì khoảng tựa thứ tự tập lồi x x+y y Vì x = y = x+y X khơng gian tuyến tính chuẩn lồi chặt suy x = y 37 Vì (T n x0 ) hội tụ yếu tới điểm x C T n x0 ≤ x với n = 0, 1, 2, Từ tính chất đơn điệu chuẩn ta có x0 T x0 T x0 Vì ( T n x0 ) dãy tăng ( T n x0 ) lim T n x0 x , ta có x n→∞ Lưu ý x→ x ánh xạ nửa liên tục tơ pơ yếu X Vì xn hội tụ yếu tới x suy x lim inf n→∞ T n (x0 ) Do lim T n (x0 ) = x n→∞ w T n x0 − →x Do X không gian Banach lồi suy T n x0 hội tụ mạnh tới x Vì T ánh xạ liên tục, nên x điểm bất động T Chú ý 2.2.29 Cho C tập lồi khác rỗng không gian Banach lồi chặt, cho “ ≤ quan tựa thứ tự C cho khoảng thứ tự tập lồi chuẩn thỏa mãn tính chất đơn điệu Khi “ ≤ quan hệ thứ tự phận C+ = {x ∈ C : x ≥ 0} Nếu ta xem xét quan hệ thứ tự phận thay cho quan hệ tựa thứ tự Định lý 2.2.28 ta có kết sau Định lý 2.2.30 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ với tính chất KK cho “ ≤ ” quan hệ thứ tự phận C cho khoảng thứ tự tập lồi, đóng chuẩn đơn điệu C Cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự Giả sử tồn x0 thuộc C cho ≤ x0 ≤ T x0 dãy (T n x0 ) bị chặn Khi dãy lặp Picard x0 hội tụ mạnh tới điểm x thuộc C Ngoài T liên tục x điểm bất động T Chứng minh định lý giống với chứng minh Định lý 2.2.28 38 Ví dụ 2.2.31 Cho C : {x = (x1 , x2 , ) ∈ l2 : xi ≥ 0} Thì C tập lồi đóng l2 Với x, y ∈ C xác định quan hệ x ≤ y xi ≤ yi với i = 1, 2, xác định T : C → C T (x1 , x2 , x3 , ) = x21 , x22 , x23 , + 1 , , , Khi T ánh xạ bảo tồn thứ tự liên tục quỹ đạo T bị chặn Vì vậy, (T n 0) hội tụ tới điểm bất động T Định nghĩa 2.2.32 Không gian véc tơ thực X với quan hệ thứ tự phần “ ≤ ” cho không gian véc tơ thứ tự tiên đề sau thỏa mãn: (a) x ≤ y → x + z ≤ y + z với x, y, z ∈ X (b) x ≤ y → tx ≤ ty với t ≥ 0, x, y ∈ X Một không gian véc tơ thứ tự gọi dàn véc tơ x ∨ y := sup {x, y} x ∨ y := inf {x, y} tồn với x, y ∈ X Định nghĩa 2.2.33 Không gian Banach thực X với chuẩn · , gọi dàn Banach (a) X có cấu trúc thứ tự “ ≤ ” cho (X, ≤) dàn véc tơ, (b) |x| ≤ |y| ⇒ x ≤ y |x| := sup {x, 0} + sup {−x, 0} Định lý 2.2.34 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ X trên trường R với chuẩn · Ngồi giả sử X khơng gian véc tơ thứ tự cho khoảng thứ tự tập lồi đóng chuẩn đơn điệu Cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự Giả sử tồn x0 thuộc C cho x0 T x0 so sánh dãy (T n x0 ) bị chặn Khi (T n x0 ) hội tụ mạnh tới điểm x thuộc C Hơn nữa, T liên tục, x điểm bất động T Chứng minh Cho x0 ≤ T x0 Khi đó, chứng minh Định lý 2.2.21, ta có (T n x0 ) hội tụ yếu tới điểm x C T n x0 ≤ x với n = 0, 1, 2, Bao đóng yếu con(T n x0 ) = bao đóng chuẩn con(T n x0 ) Do x nằm bao đóng chuẩn con(T n x0 ) Với > tồn y con(T n x0 ) cho y − x < ε Khi y = λ0 x0 + λ1 T x0 + + λk T k x0 39 λi ≥ λi = Với n ≥ k ta có y ≤ T n x0 ≤ x, ≤ x − T n x0 ≤ x − y Vậy x − T n x0 x − y < ε với n ≥ k Do (T n x0 ) hội tụ mạnh tới x Vì T liên tục, nên x bất động T Tương tự ta chứng minh kết x0 ≥ T x0 Hệ 2.2.35 Cho C tập lồi đóng khác rỗng dàn Banach phản xạ cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự Giả sử tồn x0 thuộc C cho x0 T x0 so sánh dãy (T n x0 ) bị chặn Khi (T n x0 ) hội tụ mạnh tới x Hơn T liên tục x điểm bất động T Ta đưa ví dụ sau để minh họa cho Hệ 2.2.35 Ví dụ 2.2.36 Xét Ví dụ 2.2.31 chuẩn · x = max ( x , b x ∞) b > 1, x ∞ · theo thứ tự chuẩn sup chuẩn Euclide l2 Dễ thấy l2 , · dàn Banach phản xạ Tất điều kiện Hệ 2.2.35 thỏa mãn T có điểm bất động Kết luận Luận văn trình bày hai phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert không gian Banach Cụ thể (1) Trình bày số kết đặc trưng không gian Banach (Không gian Banach lồi đều, không gian Banach lồi chặt Modul lồi) (2) Bài toán điểm bất động (3) Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn (4) Trình bày số kết điểm bất động cho ánh xạ không giãn suy rộng 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật Tiếng Anh [3] Alfuraidan M R., Khamsi M A (2018) “A fixed point theorem for monotone asymptotically nonexpansive mappings”, Proceedings of the American Mathematical Society, 146(6), pp.2451–2456 [4] B A Bin Dehaish, M A Khamsi (2016), “Browder and Gohde fixed point theorem for monotone nonexpansive mappings”, Fixed Point Theory Appl., 20 [5] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and Nonlinear Iterations, Springer-Verlag, New York [6] M Edelstein (1974), “Fixed point theorems in uniformly convex Banach spaces” Proc Amer Math Soc., 44, pp 369–374 [7] K Goebel, W.A Kirk (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [8] W A Kirk, H.K Xu (2008), “Asymptotic pointwise contractions”, Nonlinear Anal., 69(12), pp.4706–4712 [9] Samir Kar, P Veeramani (2019), "Fixed-Point Theorems for Generalized Nonexpansive Mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, 40, pp 888–901 41 ... 1.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn 10 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng 14 2.1 Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ không giãn 14 2.2 Một số. .. văn: ? ?Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng? ?? Nội dung luận văn trình bày hai chương, cụ thể sau: Chương 1: Trình bày số kết đặc trưng khơng gian Banach - Bài tốn tìm điểm bất động. .. lồi) (2) Bài toán điểm bất động (3) Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn (4) Trình bày số kết điểm bất động cho ánh xạ không giãn suy rộng 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn