UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: Tốn Ngày kiểm tra 30/12/2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 1) Thực phép tính b) a) 12 27 108 192 2) Giải phương trình 4x 12 42 3 9x 27 x 3 Câu (2,0 điểm) Với x 0, x �9 cho biểu thức P x x Q x 1 x3 x3 9 x x3 x 1) Tính giá trị biểu thức P x 2) Chứng minh Q x x 3 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A P.Q Câu (2,0 điểm) 1) Cho hàm số bậc y (m 3)x 3m có đồ thị (d) (m tham số; m �3 ) a) Vẽ (d) m b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ c) Xác định m để đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y 2x 2) Hãy tính chiều cao tháp Eiffel mà không cần lên tận đỉnh tháp biết góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất 620 bóng tháp mặt đất 172m ( làm trịn kết tới chữ số thập phân thứ nhất) Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB ( AB 2R ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By nửa đường trịn Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn ( C khác A B), qua C kẻ tiếp tuyến nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự M N a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, O thuộc đường tròn b) Nối điểm O với điểm M, điểm O với điểm N Chứng minh AM.BN R c) Đoạn ON cắt nửa đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp CNB d) Cho AB 6cm Xác định vị trí M N để hình thang AMNB có chu vi 18cm Câu (0,5 điểm) Cho a �1, b �9,c �16 a.b.c 1152 Tìm giá trị lớn biểu thức P bc a ca b ab c 16 -Hết - ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 1) Thực phép tính 12 27 108 192 10 12 a) b) 3 1 3 3 4x 12 2) Giải phương trình 9x 27 x ĐK: x �3 � x x 4 x � x � x 3 � x 7( thỏa mãn điều kiện x �3) Vậy phương trình có tập nghiệm S 7 Câu (2,0 điểm) x Với x 0, x �9 cho biểu thức P x x 1 Q x3 x 3 9 x x3 x 1) Tính giá trị biểu thức P x x thỏa mãn điều kiện x 0, x �9 Thay x 4vào biểu thức P ta có: P 4 11 11 3.2 Vậy: với x 4ta có P x x 3 2) Chứng minh Q x 1 Ta có Q x3 x 3 11 x 3 x 1 x x 9 x x x3 x 3 x3 x x 3 x 1 x3 x x 3 x 3 x3 x3 x3 x x x 3 2x x x x3 3x x x3 x3 x x3 x 3 x3 x Vậy với x 0, x �9 , ta có Q x3 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A P.Q x3 x x3 x3 Với x 0, x �9 , ta có A P.Q x x x x x3 x3 16 x3 x3 6 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số khơng âm ta có: x3 16 x3 �8 � Dấu " = " xảy � x x3 16 x3 16 x3 �2 � x ( thỏa mãn điều kiện x 0, x �9 ) Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2tại x Câu (2,0 điểm) 1) Cho hàm số bậc y (m 3)x 3m có đồ thị (d) (m tham số; m �3 ) a) Vẽ (d) m Khi m ta có cơng thức y 3x Bảng giá trị tương ứng x y x y 3x 1 �1 � Đồ thị hàm số y 3x 1là đường thẳng qua điểm (0; 1) � ;0� � b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ Đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ � 3m 1 � m c) Xác định m để đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y 2x Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y 2x � � � m m 1 �� �� � m 1( thỏa mãn điều kiện m �3 ) 3m m � � Vậy m 1 đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y 2x 2) Hãy tính chiều cao tháp Eiffel mà khơng cần lên tận đỉnh tháp biết góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất 620 bóng tháp mặt đất 172m ( làm tròn kết tới chữ số thập phân thứ nhất) Bài tốn mơ tả hình vẽ Chiều cao tháp Eiffel độ dài đoạn BH ABH vng H nên ta có � BH AH.tanBAH ( Hệ thức lượng tam giác vuông) BH 172.tan620 323,5 m Vậy chiều cao tháp Eiffel 323,5 m Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB ( AB 2R ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By nửa đường trịn Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn ( C khác A B), qua C kẻ tiếp tuyến nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự M N a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, O thuộc đường tròn MA tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A (gt) � MA OA ( tính chất tiếp tuyến ) � � OAM 900 OAM vuông A ( định nghĩa) Ba điểm O, A, M thuộc đường trịn đường kính OM (1) MC tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C (gt) � MC OC ( Tính chất tiếp tuyến ) � � OCM 900 OCM vuông C ( định nghĩa) Ba điểm O, A, M thuộc đường trịn đường kính OM (2) Từ (1) (2) suy bốn điểm A, M, C, O thuộc đường trịn đường kính OM b) Nối điểm O với điểm M, điểm O với điểm N Chứng minh AM.BN R MA, MC hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A C (gt) MA = MC (3) � OM tia phân giác AOC ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) Chứng minh tương tự có NC = NB (4) � ON tia phân giác BOC � BOC � hai góc kề bù OM ON OMN vng O Mà AOC MC tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C (gt) OC MC ( tính chất tiếp tuyến ) OC MN OM đường cao OMN OMN vuông O, có OM đường cao � OC2 MC.NC (5) Từ (3), (4), (5) suy � OC2 AM.BN Mà OC = R suy AM.BN R c) Đoạn ON cắt nửa đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp CNB Gọi giao điểm CB ON H NC, NB hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C B (gt) � NO tia phân giác CNB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) � NH tia phân giác CNB Nửa đường trịn (O) có OC = OI ( bán kính ) � OIC � ( tính chất tam giác cân ) OCI cân O ( định nghĩa) OCI � 900 Có OC MN (chứng minh trên) OCN � OCI � NCI � � OCI � NCI � 900 Mà OCN (7) Mặt khác NC = NB ( chứng minh ) NCB cân N ( định nghĩa) � Mà NH tia phân giác CNB ( chứng minh ) Suy NH đường cao ứng với cạnh CB ( tính chất tam giác cân ) NH CB HIC vuông H � ICH � 900 � OIC � ICH � 900 HIC � NCI � Từ (6), (7), (8) ICH (8) (6) � Mà tia CI nằm hai tia CN CH CI tia phân giác NCB CNB có hai đường phân giác NH CI cắt I Suy I tâm đường tròn nội tiếp CNB (đpcm) d) Cho AB 6cm Xác định vị trí M, N để hình thang AMNB có chu vi 18cm Ax, By hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A B (gt) Ax AB By AB ( tính chất tiếp tuyến ) Ax // By ( từ vng góc đến song song ) AM // BN Tứ giác AMNB có AM // BN Tứ giác AMNB hình thang ( định nghĩa) Chu vi hình thang AMNB AM MN NB AB AM MC NC NB AB AM AM NB NB AB AB 2(MA NB) Đặt MA a, NB b (a 0, b 0) 2(a b) 18 � a b (9) Nửa đường trịn (O) có AB 6cm OA OB 3cm � R 3cm Mà AM.BN R � AM.BN � ab (10) Từ (9) (10) a2 6a � (a 3)2 � a Suy b Vậy điểm M nằm tia Ax, điểm M cách điểm A khoảng 3cm Điểm N nằm tia By, điểm N cách điểm B khoảng 3cm Câu (0,5 điểm) Cho a �1, b �9,c �16 a.b.c 1152 Tìm giá trị lớn biểu thức P bc a ca b ab c 16 Lời giải Với a �1, b �9,c �16 Áp dụng bất đẳng thức Cosi có 1 a 1 a abc a � � bc a �bc 2 Chứng minh tương tự ta có: b abc ca b �ca 16 c 16 abc ab c 16 �ab abc abc abc 19abc 19.1152 912 24 24 Dấu " = " xảy a 2, b 18, c 32 Vậy P đạt giá trị lớn 912 a 2, b 18, c 32 Suy P bc a ca b ab c 16 � ... ICH � 90 0 HIC � NCI � Từ (6), (7), (8) ICH (8) (6) � Mà tia CI nằm hai tia CN CH CI tia phân giác NCB CNB có hai đường phân giác NH CI cắt I Suy I tâm đường tròn n? ?i tiếp CNB (đpcm)... Chứng minh I tâm đường tròn n? ?i tiếp CNB G? ?i giao ? ?i? ??m CB ON H NC, NB hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C B (gt) � NO tia phân giác CNB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) � NH tia phân giác CNB... ? ?i? ??m A, M, C, O thuộc đường trịn đường kính OM b) N? ?i ? ?i? ??m O v? ?i ? ?i? ??m M, ? ?i? ??m O v? ?i ? ?i? ??m N Chứng minh AM.BN R MA, MC hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A C (gt) MA = MC (3) � OM tia phân giác