UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: Tốn Ngày kiểm tra 30/12/2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 1) Thực phép tính ( b) − a) 12 + 27 − 108 − 192 2) Giải phương trình 4x − 12 + ) − 4−2 +3 9x − 27 = + x − 3 Câu (2,0 điểm) Với x > 0, x ≠ cho biểu thức P = x+ x Q = x +1 x−3 + x+3 9− x x+3 x + 1) Tính giá trị biểu thức P x = 2) Chứng minh Q = x x +3 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = P.Q Câu (2,0 điểm) 1) Cho hàm số bậc y = (m + 3)x + 3m − có đồ thị (d) (m tham số; m ≠ −3 ) a) Vẽ (d) m = b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ c) Xác định m để đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x − 2) Hãy tính chiều cao tháp Eiffel mà không cần lên tận đỉnh tháp biết góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất 620 bóng tháp mặt đất 172m ( làm trịn kết tới chữ số thập phân thứ nhất) Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB ( AB = 2R ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Lấy điểm C thuộc nửa đường trịn ( C khác A B), qua C kẻ tiếp tuyến nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự M N a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, O thuộc đường tròn b) Nối điểm O với điểm M, điểm O với điểm N Chứng minh AM.BN = R c) Đoạn ON cắt nửa đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp CNB d) Cho AB = 6cm Xác định vị trí M N để hình thang AMNB có chu vi 18cm Câu (0,5 điểm) Cho a ≥ 1, b ≥ 9,c ≥ 16 a.b.c = 1152 Tìm giá trị lớn biểu thức P = bc a − + ca b − + ab c − 16 -Hết - ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 1) Thực phép tính 12 + 27 − 108 − 192 = 10 + − 12 − = − a) ( ) b) − − − + 3 = 1− + − −1 + 3 = 1− + − +1+ 3 = 4x − 12 + 2) Giải phương trình 9x − 27 = + x − ĐK: x ≥ 3 ⇔ x − + x − = 4+ x − ⇔ x − = ⇔ x − 3= ⇔ x = 7( thỏa mãn điều kiện x ≥ 3) Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 7} Câu (2,0 điểm) x+ Với x > 0, x ≠ cho biểu thức P = x Q = x +1 x−3 + x+3 9− x x+3 x + 1) Tính giá trị biểu thức P x = x = thỏa mãn điều kiện x > 0, x ≠ Thay x = 4vào biểu thức P ta có: P= 4+ = 11 11 = 3.2 Vậy: với x = 4ta có P = x x +3 2) Chứng minh Q = x +1 Ta có Q = ( = ( = = x−3 + )( x − 3) ( 11 x+3 x +1 x x+3 = + − 9− x x− x+3 x −3 x+3 x + )+ x + 3) ( x +1 x+3 x ( )( ) x −3 x−3 + ) ( x+3 x+3 )( x−3 x + x + x + 3+ 2x − x − x − ( ( )( x−3 3x − x )( x−3 = ) ( x+3 ) x( x+3 )( ) x−3 x−3 x Vậy với x > 0, x ≠ , ta có Q = x+3 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = P.Q ) x+3 = x x+3 ) x+3 Với x > 0, x ≠ , ta có A = P.Q = x+ x x+ = = x x+3 x+3 ( ) 16 x+3 + x+3 −6 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm ta có: ( ) x+3 + 16 x+3 ≥ 8⇒ ( Dấu " = " xảy ⇔ x + = ) x+3 + 16 x+3 16 x+3 − 6≥ ⇔ x = ( thỏa mãn điều kiện x > 0, x ≠ ) Vậy giá trị nhỏ biểu thức A = 2tại x = Câu (2,0 điểm) 1) Cho hàm số bậc y = (m + 3)x + 3m − có đồ thị (d) (m tham số; m ≠ −3 ) a) Vẽ (d) m = Khi m = ta có cơng thức y = 3x − Bảng giá trị tương ứng x y x y = 3x − −1 1 Đồ thị hàm số y = 3x − 1là đường thẳng qua điểm (0; −1) ;0÷ 3 b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ Đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ ⇔ 3m− 1= ⇔ m = c) Xác định m để đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x − Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x − m+ = m = −1 ⇔ ⇔ ⇔ m = −1( thỏa mãn điều kiện m ≠ −3 ) 3m − = − m = − Vậy m = −1 đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x − 2) Hãy tính chiều cao tháp Eiffel mà không cần lên tận đỉnh tháp biết góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất 620 bóng tháp mặt đất 172m ( làm trịn kết tới chữ số thập phân thứ nhất) Bài tốn mơ tả hình vẽ Chiều cao tháp Eiffel độ dài đoạn BH ABH vuông H nên ta có · BH = AH.tanBAH ( Hệ thức lượng tam giác vuông) ⇒ BH = 172.tan620 = 323,5 m Vậy chiều cao tháp Eiffel 323,5 m Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB ( AB = 2R ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Lấy điểm C thuộc nửa đường trịn ( C khác A B), qua C kẻ tiếp tuyến nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự M N a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, O thuộc đường tròn MA tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A (gt) ⇒ MA ⊥ OA ( tính chất tiếp tuyến ) · ⇒ OAM = 900 ⇒ OAM vuông A ( định nghĩa) ⇒ Ba điểm O, A, M thuộc đường trịn đường kính OM (1) MC tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C (gt) ⇒ MC ⊥ OC ( Tính chất tiếp tuyến ) · ⇒ OCM = 900 ⇒ OCM vuông C ( định nghĩa) ⇒ Ba điểm O, A, M thuộc đường trịn đường kính OM (2) Từ (1) (2) suy bốn điểm A, M, C, O thuộc đường trịn đường kính OM b) Nối điểm O với điểm M, điểm O với điểm N Chứng minh AM.BN = R MA, MC hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A C (gt) ⇒ MA = MC (3) · OM tia phân giác AOC ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) Chứng minh tương tự có NC = NB (4) · ON tia phân giác BOC · · Mà AOC BOC hai góc kề bù ⇒ OM ⊥ ON ⇒OMN vuông O MC tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C (gt) ⇒ OC ⊥ MC ( tính chất tiếp tuyến ) ⇒ OC ⊥ MN ⇒ OM đường cao OMN OMN vuông O, có OM đường cao ⇒ OC2 = MC.NC (5) Từ (3), (4), (5) suy ⇒ OC2 = AM.BN Mà OC = R suy AM.BN = R c) Đoạn ON cắt nửa đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp CNB Gọi giao điểm CB ON H NC, NB hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C B (gt) · ⇒ NO tia phân giác CNB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) · ⇒ NH tia phân giác CNB Nửa đường tròn (O) có OC = OI ( bán kính ) · · ⇒ OCI cân O ( định nghĩa) ⇒ OCI ( tính chất tam giác cân ) = OIC · Có OC ⊥ MN (chứng minh trên) ⇒ OCN = 900 · · · · · Mà OCN (7) = OCI + NCI ⇒ OCI + NCI = 900 Mặt khác NC = NB ( chứng minh ) ⇒ NCB cân N ( định nghĩa) · Mà NH tia phân giác CNB ( chứng minh ) Suy NH đường cao ứng với cạnh CB ( tính chất tam giác cân ) ⇒ NH ⊥ CB ⇒ HIC vuông H · · · · ⇒ HIC + ICH = 900 ⇒ OIC + ICH = 900 · · Từ (6), (7), (8) ⇒ ICH = NCI (8) (6) · Mà tia CI nằm hai tia CN CH ⇒ CI tia phân giác NCB CNB có hai đường phân giác NH CI cắt I Suy I tâm đường tròn nội tiếp CNB (đpcm) d) Cho AB = 6cm Xác định vị trí M, N để hình thang AMNB có chu vi 18cm Ax, By hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A B (gt) ⇒Ax ⊥ AB By ⊥ AB ( tính chất tiếp tuyến ) ⇒Ax // By ( từ vng góc đến song song ) ⇒AM // BN Tứ giác AMNB có AM // BN ⇒ Tứ giác AMNB hình thang ( định nghĩa) Chu vi hình thang AMNB AM + MN + NB + AB = AM + MC + NC + NB + AB = AM + AM + NB + NB + AB = AB + 2(MA + NB) Đặt MA = a, NB = b (a > 0, b > 0) ⇒ + 2(a + b) = 18 ⇔ a + b = (9) Nửa đường trịn (O) có AB = 6cm ⇒ OA = OB = 3cm ⇒ R = 3cm Mà AM.BN = R ⇒ AM.BN = ⇔ ab = (10) Từ (9) (10) ⇒ a2 − 6a + = ⇔ (a − 3)2 = ⇔ a = Suy b = Vậy điểm M nằm tia Ax, điểm M cách điểm A khoảng 3cm Điểm N nằm tia By, điểm N cách điểm B khoảng 3cm Câu (0,5 điểm) Cho a ≥ 1, b ≥ 9,c ≥ 16 a.b.c = 1152 Tìm giá trị lớn biểu thức P = bc a − + ca b − + ab c − 16 Lời giải Với a ≥ 1, b ≥ 9,c ≥ 16 Áp dụng bất đẳng thức Cosi có a − ≤ 1+ a − 1+ a − abc ⇒ bc a − ≤ bc = 2 Chứng minh tương tự ta có: + b − abc ca b − ≤ ca = 16 + c − 16 abc ab c − 16 ≤ ab = abc abc abc 19abc 19.1152 + + = = = 912 24 24 Dấu " = " xảy a = 2, b = 18, c = 32 Vậy P đạt giá trị lớn 912 a = 2, b = 18, c = 32 Suy P = bc a − + ca b − + ab c − 16 ≤ ... 90 0 ⇒ OIC + ICH = 90 0 · · Từ (6), (7), (8) ⇒ ICH = NCI (8) (6) · Mà tia CI nằm hai tia CN CH ⇒ CI tia phân giác NCB CNB có hai đường phân giác NH CI cắt I Suy I tâm đường tròn n? ?i tiếp CNB (đpcm)... Chứng minh I tâm đường tròn n? ?i tiếp CNB G? ?i giao ? ?i? ??m CB ON H NC, NB hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C B (gt) · ⇒ NO tia phân giác CNB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) · ⇒ NH tia phân giác CNB... ? ?i? ??m A, M, C, O thuộc đường trịn đường kính OM b) N? ?i ? ?i? ??m O v? ?i ? ?i? ??m M, ? ?i? ??m O v? ?i ? ?i? ??m N Chứng minh AM.BN = R MA, MC hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A C (gt) ⇒ MA = MC (3) · OM tia phân giác