- Ba ®êng trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm3. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau.[r]
(1)Hệ thống kiến thức bản
Môn : Hình Học - THCS
Website: http://quanghieu030778.violet.vn
1. Điểm - Đờng thẳng
- Ngi ta dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm
- BÊt cø h×nh tập hợp điểm Một điểm là một hình.
- Ngi ta dựng cỏc chữ thờng a, b, c, m, p, để đặt tên cho các đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ cái in hoa dùng hai chữ cái thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, )
- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C nằm đờng thẳng a đ-ờng thẳng a qua điểm C), kí hiệu là: Ca
- Điểm M khơng thuộc đờng thẳng a (điểm M nằm ngồi đờng thẳng a hoặc đờng thẳng a không qua điểm M), kớ hiu l: Ma
2 Ba điểm thẳng hµng
- Ba điểm thuộc đờng thẳng ta nói chúng thẳng hàng
- Ba điểm khơng thuộc bất kì đờng thẳng ta nói chúng khụng thng hng.
3 Đờng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song
- Hai đờng thẳng AB BC nh hình vẽ bên hai đờng thẳng trùng nhau.
- Hai đờng thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung đợc gọi giao điểm (điểm E giao điểm)
(2)ờng thẳng bị chia điểm O đ-ợc gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy nh hình vẽ)
- Hai tia chung gốc tạo thành đờng thẳng đợc gọi hai tia đối nhau (hai tia Ox Oy hình vẽ là hai tia đối nhau)
- Hai tia chung gốc tia nằm trên tia đợc gọi hai tia trùng nhau
- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng nhau
5 Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng
- Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B
- Hai điểm A B hai mút (hoặc hai đầu) đoạn thẳng AB.
- Mi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng l mt s dng
6 Khi AM + MB = AB ?
- NÕu ®iĨm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngợc lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B
7 Trung điểm đoạn thẳng
- Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách đều A, B (MA = MB)
- Trung điểm M đoạn thẳng AB gọi điểm của đoạn thẳng AB
8 Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau
- Hình gồm đờng thẳng a một phần mặt phẳng bị chia a đ-ợc gọi nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đ-ợc gọi hai nửa mặt phẳng đối nhau (hai nửa mặt phẳng (I) (II) đối nhau)
9 Gãc, gãc bĐt
- Góc hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung hai tia gọi là đỉnh góc, hai tia hai cạnh của góc
- Góc xOy kí hiệu xOy O hc xOy
- Điểm O đỉnh góc - Hai cạnh góc : Ox, Oy
- Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối nhau
10 So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï.
(3)- So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so s¸nh c¸c sè ®o cđa chóng
- Hai gãc xOy vµ uIv đ-ợc kí hiệu là: xOy uIv
- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:
xOyuIvuIv xOy
- Gãc có số đo 900 = 1v, góc vuông
- Góc nhỏ góc vuông góc nhọn
- Góc lớn góc vuông nhng nhỏ hơn góc bẹt góc tù.
11 Khi xOy yOz xOz
- NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox và Oz xOy yOz xOz
- Ngợc lại, xOy yOz xOz thì tia Oy nằm hai tia Ox Oz
12 Hai gãc kỊ nhau, phơ nhau, bï nhau, kỊ bï
- Hai góc kề hai góc có một cạnh chung hai cạnh cịn lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung. - Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900
- Hai gãc bù hai góc có tổng số đo 1800
- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau đợc gọi hai góc kề bù
13 Tia phân giác góc
- Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc - Khi:xOz zOy xOy vµ xOz = zOy => tia Oz tia phân giác gãc xOy
(4)a) Định nghĩa: Đờng thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm của đợc gọi đờng trung trực của đoạn thẳng ấy
b) Tỉng qu¸t:
a đờng trung trực AB
a AB t¹i I IA =IB
15 Các góc tạo đờng thẳng cắt hai đờng thẳng a) Các cặp góc so le trong:
1
A B ; A B 2. b) Các cặp góc đồng vị:
1
A vµ B ; A vµ B 2;
3
A vµ B ; A B 4. c) Khi a//b thì:
1
A vµ B ; A B 3 gọi cặp gãc cïng phÝa bï nhau
16 Hai đờng thẳng song song a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le trong bằng (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với nhau
b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua điểm ngồi đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng đó
c, Tính chất hai đờng thẳng song song
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu a
I B
A
1
2
3
1
b a
B A
c
b a
(5)- Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:
Hai gãc so le b»ng nhau;
Hai góc đồng vị nhau;
Hai gãc cïng phÝa bï nhau.
d) Quan hÖ tính vuông góc với tính song song
- Hai đờng thẳng phân biệt vng góc với đờng thẳng thứ ba chúng song song với nhau
a c
a / / b
b c
- Một đờng thẳng vng góc với một trong hai đờng thẳng song song thì nó vng góc với đờng thẳng kia
c b
c a
a / / b
e) Ba đờng thẳng song song
- Hai đờng thẳng phân biệt song song với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau
a//c vµ b//c => a//b
17 Gãc ngoµi cđa tam giác
a) Định nghĩa: Góc một tam giác góc kề bù với góc của tam giác ấy
b) Tính chất: Mỗi góc tam giác tổng hai góc không kề víi nã
ACx AB
18 Hai tam gi¸c b»ng nhau
c
b a
c
b a
c b
a
x C
B
(6)nhau hai tam giác có cạnh t-ơng ứng nhau, góc tt-ơng ứng nhau
ABC A ' B 'C '
AB A ' B '; AC A 'C '; BC B 'C '
A A '; B B '; C C '
b) Các trờng hợp hai tam giác *) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh
(c.c.c)
- Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A ' B '
AC A 'C ' ABC A 'B 'C '( c.c.c )
BC B 'C'
*) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh
(c.g.c)
- Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen giữa tam giác hai tam giác nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB A 'B '
B B ' ABC A 'B 'C '( c.g.c )
BC B 'C '
*) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Gãc (g.c.g)
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
C ' B'
A'
C B
C' B'
A'
C B
A
C' B'
A'
C B
(7)- Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác đó nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
B B '
BC B 'C ' ABC A ' B 'C '(g.c.g )
C C'
c) Các trờng hợp hai tam giác vuông
Trng hp 1: Nu hai cạnh góc vng tam giác vng này bằng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng nhau.
Trờng hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh ấy tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai giác vng đó bằng nhau.
Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng kia hai tam giác vng nhau.
A
B C
A'
B' C'
C' B'
A' C B
A
C' B'
A' C B
(8) Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng nhau.
19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện trong tam giác)
- Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn hơn
ABC : NÕu AC > AB th× B > C
Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn hơn ABC : Nếu B > C AC > AB
20 Quan hệ đờng vng góc đờng xiên, đờng xiên và hình chiếu
Khái niệm đờng vng góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên
- Lấy Ad, kẻ AHd, lấy Bd BH Khi đó: - Đoạn thẳng AH gọi đờng vng góc
kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Điểm H gọi hình chiếu A đ-ờng thẳng d
- on thng AB gi đờng xiên kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu của đờng xiên AB đ.thẳng d
Quan hệ đờng xiên đờng vng góc:
Trong đờng xiên đờng vng góc kẻ từ một điểm ngồi một đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vng góc đờng ngắn nhất.
Quan hệ đờng xiên hình chiếu:
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu A
B
C A'
B'
C'
C' B'
A' C B
A
A
B C
d
B H
(9)Trong hai đờng xiên kẻ từ điểm nằm đờng thẳng n ng thng ú, thỡ:
Đờng xiên có hình chiếu lớn lớn hơn
Đờng xiên lớn có hình chiếu lớn h¬n
Nếu hai đờng xiên hai hình chiếu ngợc lại, hai hình chiếu hai đờng xiên nhau.
21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác
- Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh lại.
AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB
- Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ hơn độ dài cạnh lại.
AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC
- Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hơn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC
C B
(10)- Ba đờng trung tuyến tam giác cùng qua điểm Điểm cách mỗi đỉnh khoảng
2
3 độ dài đờng
trung tuyến qua đỉnh ấy:
GA GB GC
DA EB FC
G trọng tâm tam giác ABC
22 Tính chất ba đờng phân giác tam giác
- Ba đờng phân giác tam giác qua điểm Điểm này cách ba cạnh tam giác đó
- Điểm O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
23 Tính chất ba đờng trung trực tam giác
- Ba đờng trung trực tam giác qua điểm Điểm này cách ba đỉnh tam giác đó
- Điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giỏc ABC
24 Phơng pháp chứng minh số toán (sử dụng cách sau đây) a) Chứng minh tam giác cân
1 Chứng minh tam giác có hai cạnh nhau 2 Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3 Chứng minh tam giác có đờng trung tuyến vừa đờng cao 4 Chứng minh tam giác có đờng cao vừa đờng phân giác ở
đỉnh
b) Chứng minh tam giác đều
1 Chứng minh tam giác có ba cạnh nhau 2 Chứng minh tam giác có ba góc nhau 3 Chứng minh tam giác cân có góc 600 c) Chứng minh tứ giác hình bình hành
1 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành 2 Tứ giác có cạnh đối hình bình hành
3 Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành
4 Tứ giác có góc đối hình bình hành
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu G
D
F E
C B
A
O
C B
A
O
C B
(11)5 Tứ giác có hai đờng chéo cắt trung điểm mỗi đờng là hình bình hành
d) Chøng minh tứ giác hình thang:
Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song
e) Chứng minh hình thang hình thang c©n
1 Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy nhau 2 Chứng minh hình thang có hai đờng chéo nhau
f) Chøng minh tứ giác hình chữ nhật
1 Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật
2 Hình cân có góc vuông hình chữ nhật 3 Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật
4 Hỡnh bỡnh hnh có hai đờng chéo hình chữ nhật
g) Chứng minh tứ giác hình thoi
1 Tứ giác có bốn cạnh nhau
2 Hình bình hành có hai cạnh kề nhau
3 Hình bình hành có hai đờng chéo vng góc với nhau
4 Hình bình hành có đờng chéo đờng phân giác mộtgóc
h) Chứng minh tứ giác hình vuông
1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề nhau 2 Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc
3 Hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc 4 Hình thoi có góc vng
5 Hình thoi có hai đờng chéo bng nhau
25 Đờng trung bình tam giác, hình thang a) Đờng trung bình tam giác
Định nghĩa: Đờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác
Định lí: Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh ấy
DE l ng trung bình tam giác
1
DE / /BC, DE BC
2
E
C B
(12)Định nghĩa: Đờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang
Định lí: Đờng trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy
EF đờng trung bình của hình thang ABCD
EF//AB, EF//CD,
AB CD EF
2
26 Tam giác đồng dạng
a) Định lí Ta_lét tam giác:
- Nu mt đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ
AC ' AB '
B 'C '/ /BC ;
AB AC
AC ' C 'C
AB ' ; B ' B
B 'B C 'C AB AC
b) Định lí đảo định lí Ta_lét:
- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định trên hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ đờng thẳng song song với cạnh lại tam giác
VÝ dô:
AC '
AB ' B 'C '/ / BC
AB AC ; C¸c trờng hợp khác tơng tự
c) H qu ca định lí Ta_lét
- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Hệ còn đúng trờng hợp đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại (
AC' B 'C'
AB ' B 'C'/ / BC
AB AC BC
)
d) Tính chất đờng phân giác tam giác:
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
F E
D C
B A
C'
B' a
C B
A
C' B'
a C
B
A
C' B'
a
C B
(13)- Đờng phân giác (hoặc ngoài) tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn đó
DB AB
DC AC
D 'B AB
D 'C AC
e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :
- Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có góc tơng ứng bằng nhau cạnh tơng ứng tỉ lệ
A A '; B B '; C C '
ABC A ' B 'C ' AB AC BC
k( tỉ số đồng dạng ) A 'B ' A 'C ' B 'C '
f) Định lí hai tam giác đồng dạng:
- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho
MN / / BC AMN ABC
*) Lu ý: Định lí trờng hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại
g) Các trờng hợp đồng dạng hai tam giác
*)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng.
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AC BC
AB ABC A 'B 'C '( c.c.c )
A 'B ' A 'C ' B 'C '
*)Trêng hỵp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ víi hai c¹nh cđa
D' B C
A
D C
B
A
S
S
a N
M
C B
A
C ' B'
A'
C B
A
(14)
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: BC
AB
A 'B ' B 'C ' ABC A 'B 'C '( c.g.c )
B B '
*)Trờng hợp 3: Nếu hai góc tam giác lần lợt hai góc của tam giác hai tam giác đồng dạng;
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
A A '
ABC A 'B 'C '(g.g )
B B '
h) Các trờng hợp đồng dạng hai tam giác vuông
*)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vng có góc nhọn thì chúng đồng dạng.
0
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
A A ' 90
ABC A 'B 'C '
C C '
*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng.
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
C' B'
C B
A
S
C ' B'
A'
C B
A
S
S
C' B'
A’ C
B
(15)Hai tam gi¸c vuông ABC A'B'C' có: AC
AB ABC A 'B 'C '
A ' B ' A 'C '
*)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng này tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng kia thì hai giác đồng dng.
Hai tam giác vuông ABC A'B'C' có: BC
AB ABC A 'B 'C '
A ' B ' B 'C '
27 Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng
- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng
- Tỉ sơ diện tích hai tam giác đồng dạng bình phơng tỉ số đồng dạng
- Cơ thÓ : A ' B 'C' ABC theo tØ sè k =>
2 A 'B 'C'
ABC
S
A ' H ' k vµ k
AH S
28 DiÖn tÝch hình
Sa b
Sa2
1
S ah
2
S ah
2
1
S ah
2
S (a b)h EF.h
2
a
b h
a C' B'
A' C
B
A
S
S
S
a h
a
h
a
F E
b
h
(16)
S a h
1
1
S d d
2
29 Học sinh cần nắm vững toán dựng hình
(dựng thc thng, thc đo độ, thớc có chia khoảng, compa, êke) a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc;
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc;
c) Dựng đờng trung trực đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm của đoạn thẳng cho trớc;
d) Dựng tia phân giác góc cho tríc;
e) Qua điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vng góc với đờng thẳng cho trớc;
f) Qua điểm nằm đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trc;
g) Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh kề góc xen giữa, hoặc biết cạnh hai góc kề.
Ngi vit : Giáo viên Phạm Văn Hiệu h
a d1
(17)30 HƯ thøc lỵng tam giác vuông (lớp 9)
a) Mt s h thc cạnh đờng cao tam giác vuông
b2 ab ' c2 ac '
a2 b2 c2 (Pi_ta_go)
bc = ah
h2 b ' c '
2
1 1
b c h
b) Tỉ số lợng giác góc nhän
Định nghĩa tỉ số lợng giác góc nhọn cạnh đối
sin
c¹nh hun
cos c¹nh kỊ
c¹nh hun
cạnh đối tg
c¹nh kỊ
cot g c¹nh kỊ
cạnh đối
Mét sè tÝnh chÊt cđa c¸c tØ sè lợng giác
+) nh lớ v t s lng giác hai góc phụ nhau Cho hai góc α β phụ Khi đó:
sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ. +) Cho 00 900 Ta cã:
0sin 1; 0cos 1; sin2 cos2 1
sin cos
tg ; cot g ; tg cot g
cos sin
So sánh tỉ số lợng giác
0
1 2 2
0 90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cot g cot g c) Mét sè hệ thức cạnh góc tam giác vuông
a H
h
b' b c'
c
C B
A
(18)b = a.sinB; c = a.sinC b = a.cosC; c = a.cosB b = c.tgB; c = b.tgC b = c.cotgC; c = b.cotgB => a =
b c b c
sinB sinC cosC cosB
31 Đờng tròn, hình tròn, góc tâm, số đo cung
- Đờng tròn tâm O, bán kính R hình gồm điểm cách O kho¶ng b»ng R, kÝ hiƯu (O ; R).
- Hình trịn hình gồm điểm nằm trên đờng trịn điểm nằm bên trong đờng trịn đó.
- Trên hình vẽ:
+) Cỏc im A, B, C, D nằm (thuộc) đờng tròn; OA = OB = OC = OD = R +) M nằm bên đờng tròn; OM < R +) N nằm bên ngồi đờng trịn; ON > R +) Đoạn thẳng AB dây cung (dây) +) CD = 2R, đờng kính (dây cung lớn nhất, dây qua tâm)
+) AmB lµ cung nhá (00 1800)
+) AnB lµ cung lín
+) Hai điểm A, B hai mút cung - Góc có đỉnh trùng với tâm đờng trịn đ-ợc gọi góc tâm (AOB góc tâm chắn cung nhỏ AmB)
- Góc bẹt COD chắn nửa đờng tròn - Số đo cung:
+) Số đo cung nhỏ số đo của góc tâm chắn cung
s® AmB (00 1800)
+) Sè đo cung lớn hiệu giữa 3600 số ®o cđa cung nhá (cã chung hai mót víi cung lín)
s® AnB360
+) Số đo nửa đờng tròn 1800, số đo đờng tròn 3600
32 Quan hệ vng góc đờng kính dây
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
0
0 180
0
(19)- Trong đờng trịn, đờng kính vng góc với dây qua trung điểm của dây ấy
AB CD t¹i H => HC = HD
- Trong đờng trịn, đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc với dây ấy
33 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Định lí 1: Trong đờng trịn
a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm nhau
AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD
Định lí 2: Trong hai dây đờng trịn a) Dây lớn dây gần tâm hơn b) Dây gần tâm dây lớn hơn
AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD
34 Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn
a) Đờng thẳng đờng tròn cắt (cú hai im chung)
- Đờng thẳng a gọi cát tuyến (O) d = OH < R vµ HA = HB = R2 OH2
b) Đờng thẳng đờng trịn tiếp xúc nhau (có mt im chung)
- Đờng thẳng a tiếp tuyến (O) - Điểm chung H tiếp điểm
d = OH = R
*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu đờng thẳng là tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm.
a tiếp tuyến (O) H => a OH c) Đờng thẳng đờng trịn khơng giao nhau (khơng có điểm chung)
(20)êng dïng hai c¸ch sau:
Cách 1: Chứng minh đờng thẳng đờng tròn có điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến)
Cách 2: Chứng minh đờng thẳng qua điểm đờng trịn vng góc với bán kính qua điểm
H O
a lµ tiÕp tun cđa (O)
a OH t¹i H
36 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; đờng tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác
a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng trịn cắt điểm thì:
Điểm cách hai tiếp điểm
Tia kẻ từ điểm qua tâm là tia phân giác góc tạo bởi hai tiếp tuyến
Tia kẻ từ tâm qua điểm là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp điểm.
ABAC;OABOAC;AOB AOC
b) Đờng tròn nột tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đợc gọi đờng tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đờng tròn
- Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác giao điểm đờng phân giác cỏc gúc ca tam giỏc
c) Đờng tròn bàng tiếp tam giác
- ng trũn tip xỳc với cạnh của một tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đờng tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm đờng tròn bàng tiếp là giao điểm hai đờng phân giác các góc ngồi hai đỉnh đó hoặc giao điểm đờng phân giác góc đờng phân giác góc ngồi đỉnh
- Với tam giác có ba đờng trịn bàng tiếp (hình vẽ đ-ờng trịn bàng tiếp góc A)
(21)37 Vị trí tơng đối hai đờng trịn, tiếp tuyến chung hai đờng tròn.
a) Hai đờng tròn cắt nhau
(cã hai ®iĨm chung) - Hai ®iĨm A, B hai giao điểm - Đoạn thẳng AB dây chung
R - r < OO' < R + r
- Đờng thẳng OO’ đờng nối tâm, đoạn thẳng OO’ đoạn nối tâm
*) Tính chất đ ờng nối tâm : Đờng nối tâm đờng trung trực dây chung
b) Hai đờng trịn tiếp xúc nhau
(cã mét ®iĨm chung) - Điểm chung A gọi tiếp điểm
+) Tiếp xúc A:
OO'Rr
+) TiÕp xóc t¹i A:
OO'R r
c) Hai ng trũn khụng giao nhau
(không có điểm chung) +) nhau:
OO'Rr
+) Đựng nhau:
OO'R r
+) Đặc biệt (O) (O) ng tõm:
(22)đoạn nối tâm
- Tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm
38 So sánh hai cung đờng tròn hay hai đờng tròn nhau.
- Hai cung đợc gọi chúng có số đo nhau - Trong hai cung, cung có số đo lớn đợc gọi cung lớn hơn - Kí hiệu: AB CD; EF GH GH EF
39 Liên hệ cung dây. *) Định lÝ 1:
Với hai cung nhỏ đờng tròn hay trong hai đờng tròn nhau:
a) Hai cung căng hai dây nhau b) Hai dây căng hai cung nhau
ABCDABCD ; AB CDAB CD
*) Định lí 2:
Vi hai cung nhỏ đờng tròn hay trong hai đờng trũn bng nhau:
a) Cung lớn căng dây lớn hơn b) Dây lớn căng cung lớn hơn
ABCDABCD ; AB CDAB CD
40 Góc nội tiếp a) Định nghĩa:
- Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đờng tròn hai cạnh chứa hai dây cung đ-ờng trịn
- Cung nằm bên góc đợc gọi cung bị chắn
b) §Þnh lÝ:
Trong đờng trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chn
BAC là góc nội tiếp chắn
cung nhỏ BC(hình a) và chắn cung lớn BC(hình b)
BAC
s® BC
c) Hệ quả: Trong đơng tròn
+) Các góc nội tiếp chắn cung b»ng nhau
+) C¸c gãc néi tiÕp cïng chắn cung chắn cung bằng nhau nhau
+) Góc nội tiếp (nhỏ b»ng 900) cã sè ®o b»ng nưa sè ®o cđa góc tâm chắn cung
+) Gúc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng.
41 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
(23)a) Kh¸i niƯm:
- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh nằm đờng trịn, cạnh một tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung của ng trũn
- Cung nằm bên góc cung bị chắn - Hình vẽ:
BAx ch¾n cung nhá AmB BAy ch¾n cung lớn AnB
b) Định lí:
- Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn
c) HƯ qu¶:
Trong đờng trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn một cung nhau.
BAx
ACB
s®AmB
1
BAx s® AmB
2
BAy s® AnB
2
42 Góc có đỉnh bên đờng trịn Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn.
a) Góc có đỉnh bên đờng trịn.
- Góc có đỉnh nằm bên đờng trịn đợc gọi là góc có đỉnh bên đờng trịn
- Hình vẽ: BEC góc có đỉnh bên đ-ờng trịn chắn hai cung BnC , AmD
- Số đo góc có đỉnh bên đờng trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
s®BnC s® AmD
BEC
2
n
m
o e
c
b
(24)- Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn góc có đỉnh nằm ngồi đờng trịn cạnh có điểm chung với đờng tròn
- Hai cung bị chắn hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ bên: BEC góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn, có hai cung bị chắn là
AmD vµ BnC
- Số đo góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
s®BnC s® AmD
BEC
2
43 KÕt toán quỹ tích cung chứa góc a) Bài toán: Với đoạn thẳng AB góc (
0
0 180 ) cho tríc quỹ tích điểm M
thỏa mÃn AMB hai cung chứa góc
dựng đoạn thẳng AB
- Hai cung cha gúc dựng đoạn thẳng AB đối xứng với qua AB
- Khi α = 900 hai cung chứa góc hai nửa đờng trịn đờng kính AB, suy ra: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới góc vng đờng trịn đờng kính AB (áp dụng kiến thức để chứng minh tứ giác nội tiếp)
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
O D
B
C A m
n
1
2
(25)b) C¸ch vÏ cung chøa gãc α
- Vẽ đờng trung trực d đoạn thẳng AB. - Vẽ tia Ax tạo với AB góc ( BAx = )
- VÏ tia Ay vu«ng góc với tia Ax Gọi O giao điểm cđa Ay víi d
- VÏ cung AmB, tâm O bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
c) Cách giải toán quỹ tích
Mun chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T
KÕt luËn: Quü tÝch (hay tËp hợp) điểm M có tính chất T hình H
44 Tø gi¸c néi tiÕp
a) Kh¸i niƯm tø gi¸c néi tiÕp
- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (gọi tắt là t giỏc ni tip)
b) Định lí:
- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gãc
đối diện 1800 Tứ giác ABCD nội
tiÕp (O), suy ra:
ACBD180
c) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp
Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối
diƯn
Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định
đ-ợc) Điểm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại
díi mét gãc α L
(26)- Đờng tròn qua tất đỉnh đa giác đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đợc gọi đa giác nội tiếp đờng tròn - Đờng tròn tiếp xúc với tất cạnh của một đa giác đợc gọi đờng tròn nội tiếp đa giác đa giác đợc gọi đa giác ngoại tiếp đ-ờng tròn
- Bất kì đa giác có chỉ một đờng trịn ngoại tiếp, có đ-ờng tròn nội tiếp.
- Trong đa giác đều, tâm đờng tròn ngoại tiếp trùng với tâm đờng tròn nội tiếp đ-ợc gọi tâm đa giác đều.
46 Một số định lí đợc áp dụng : (khơng cần chng minh)
a) Định lí 1:
+) Tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm của cạnh huyền
+) Nếu tam giác có cạnh đờng kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng
b) Định lí 2:
Trong mt ng trũn, hai cung bị chắn hai dây song song thì bng nhau
c) Định lí 3:
Trong mt đờng trịn, đờng kính qua điểm một cung qua trung điểm dây căng cung y.
d) Định lí 4:
Trong đờng trịn, đờng kính qua trung điểm dây cung (khơng phải đờng kính) chia cung căng dây thành hai cung bằng nhau
e) Định lí 5:
Trong mt ng trũn, ng kính qua điểm một cung vng góc với dây căng cung ngợc lại, đờng kính vng góc với dây qua điểm cung căng dây ấy.
47 Độ dài đờng trịn, độ dài cung trịn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn
a) Độ dài đờng trịn
Cơng thức tính độ dài đờng trịn (chu vi hình trịn) bán kính R là:
C =2 R Hoặc C =d Trong đó: C : độ dài đờng trịn R: bán kính đờng trịn d: đờng kính đờng trịn
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
(27)3,1415
số vô tỉ.
b) Độ dài cung tròn
Độ dài cung tròn n0 là:
180
R n l
Trong đó: l : độ dài cung tròn n0 R: bán kính đờng trịn n: số đo độ ca gúc tõm
c) Diện tích hình tròn
S R
Trong đó:
S : diện tích hình tròn R : bán kính hình tròn , 14
d) DiƯn tÝch h×nh quạt tròn
quat
R S =
360 n
Hc
quat
R S
Trong đó:
S diện tích hình quạt tròn cung n0 R bán kính
l l độ dài cung n0 hình quạt trịn
, 14
*) Hãy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn
(28)1 Phơng trình bậc nhất
- Phơng trình bậc phơng trình có dạng ax + b = (a0) - Phơng trình có nghiệm x =
b a
- Chó ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển dạng Ax = B và xét trờng hợp sau:
Nếu A 0 phơng trình có nghiệm x = B A
NÕu A = , B 0 phơng trình trở thành 0.x = B
=> phơng trình vô nghiệm
Nếu A = 0, B = => phơng trình vô số nghiệm
2 Phơng trình tích
- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0
- Cách giải: A(x).B(x) = <=> A(x) = B(x) = 0 - Trình bày gọn : A(x).B(x) = <=>
A( x ) B( x )
- Më réng: A(x).B(x).C(x) = <=>
A( x ) B( x ) C( x )
3 Phơng trình chứa ẩn mẫu
- Giải phơng trình chứa ẩn mẫu ta thùc hiƯn theo bíc:
Bíc 1: T×m ĐKXĐ phơng trình
Bc 2: Quy ng mẫu hai vế phơng trình khử mẫu
Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc
Bíc 4: (kÕt luËn)
Trong giá trị ẩn tìm đợc bớc 3, giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nghiệm phơng trình cho, giá trị x không thuộc ĐKXĐ nghiệm ngoại lai (loại đi)
4 Phơng trình chứa du giỏ tr tuyt i
- Định nghĩa:
A nÕu A
A
A nÕu A <
- Các dạng phơng trình
f ( x ) 0 f ( x )0
f ( x ) k( k0 )f ( x )k
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Hay
2
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) , đa phơng trình tích
(29)f ( x ) g( x ) <=>
f ( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) f ( x ) g( x )
hc <=>
g( x ) f ( x ) g( x )
g( x ) f ( x ) g( x )
Hc <=>
g( x )
f ( x ) g( x ) hc f ( x ) g( x )
Hc <=>
2
g( x )
f ( x ) g( x )
- Chó ý:
2
A A
; A A vµ A B AB A B
5 Phơng trình v« tØ
2
f ( x ) A( A 0 )f ( x )A (víi f(x) đa thức)
2
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
f ( x )
f ( x ) g( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
*)Lu ý: Hầu hết giải phơng trình chứa ẩn căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa phơng trình điều kiện tơng đơng. Nếu khơng thử lại trực tiếp.
6 Phơng trình trùng phơng
Phơng trình trùng phơng phơng trình có dạng:
ax bx c (a0 )
Đặt x2 = t (t0), phơng trình trùng phơng trở thành phơng tr×nh bËc hai Èn t : at2 bt c 0 (*)
Giải phơng trình (*), lấy giá trị thích hợp thỏa mÃn t0
Thay vo đặt x2 = t tìm x = ? 7 Phng trỡnh bc cao
a) Phơng trình bậc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Hớng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm ngun nghiệm đó là ớc hạng tử tự d) dùng sơ đồ Hooc- ne hoặc dùng máy tính để tìm nhanh nghiệm nguyên phơng trình, khi biết nghiệm dễ dàng phân tích VT dới dạng tích giải phơng trình tích (hoặc chia đa thc)
b) Phơng trình bậc bốn dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Híng dẫn: Phơng pháp tơng tự nh phơng trình bậc ba trên
(30)nghiệm hay không ?
Với x 0 Chia hai vế cho x2, sau ta đặt t = x +
c ax
d) Phơng trình bậc dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) Ph
ng ph p: §Ỉt t = x2 + mx +
ab cd
e) Phơng trình bậc bốn d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) Ph
ng ph p:
Chia hai vế cho x2 Đặt t = x +
k x
II- BÊt ph¬ng trình bậc ẩn 1) Định nghĩa:
Mt bất phơng trình dạng ax + b > (hoặc ax + b < 0) với a 0 đợc gọi bất phơng trình bậc ẩn
2) Cách giải: ax + b > <=> ax > - b
NÕu a > th×
b x
a
NÕu a < th×
b x
a
3) KiÕn thøc cã liªn quan:
Hai bất phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm dùng kí hiệu <=> để tơng đơng đó
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử (là số đa thức) từ vế sang vế bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử đó => ta xóa hai hạng tử giống hai vế
Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phơng trình với cùng một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT số dơng; đổi chiều BPT số âm
4) Tính chất bất đẳng thức
- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu) a > b, c > d => a + c > b + d a > b > 0, c > d > => ac > b - Víi mäi sè thùc a, b, c,
+ NÕu c > th× a > b <=> ac > bc + NÕu c < th× a > b <=> ac < bc
- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> a3 b3 vµ a > b <=> a3 b3 - NÕu a0, b0 th× a > b <=> a b vµ a > b <=> a2 b2
- Giá trị tuyệt đối biểu thức A
A, nÕu A A
A, nÕu A <
(31)Ta cã: A2≥ 0, |A| ≥ 0,
A A
- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b hai số thực khơng âm, ta có:
a b ab
DÊu “=” x¶y <=> a = b
III – Các dạng tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, bậc hai, bậc ba Dạng : Rút gọn tính giá trị biểu thức hữu tỉ
- Khi thùc hiƯn rót gän mét biểu thức hữu tỉ ta phải tuân theo thứ tự thực phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau Còn biểu thức có dấu ngoặc thực theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngc nhän.
- Với tốn tìm giá trị phân thức phải tìm điều kiện biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)
2 Dạng : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
- BiĨu thøc cã d¹ng
A
B xác định (có nghĩa) B 0
- Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) A 0 - Biểu thức có dạng
A
B xác định (có nghĩa) B > 0
- BiĨu thøc cã d¹ng
B A
C
xác định (có nghĩa)
A
C
- BiĨu thøc cã d¹ng
B A
C
xác định (có nghĩa)
A
C
3 D¹ng : Rút gọn biểu thức chứa bậc hai, bậc ba
Lí thuyết chung:
a) Các công thức biến đổi thức 1)
2
A A
2) AB A B ( víi A 0 vµ B 0)
3)
A
A (víi A 0 vµ B > 0)
B B
4)
A B A B (víi B0)
5) A B A B (víi A2 0 vµ B0)
A B A B (víi A < vµ B 0)
6)
A AB (víi AB 0 vµ B 0)
(32)8)
2
C A B
C (víi A 0 vµ A B )
A B A B
9)
C A B
C (víi A 0 , B 0 vµ A B)
A B
A B
*) L u ý :
Để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ta làm nh sau : - Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- §a bớt thừa số dấu (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có)
- Thc phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , … theo thứ tự biết để làm xuất thức đồng dạng - Cộng, trừ biểu thức đồng dạng (các thức đồng dạng) b) Các đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
( a b) a a.b b (a,b 0)
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
( a b) a a.b b (a,b 0)
3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)
a b ( a b).( a b) (a,b 0)
4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6) a3 b3 (a b)(a abb )2
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
7) a3 b3 (a b)(a ab b )
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
9) ( a b c)2 a bc2 ab2 ac 2 bc (a,b,c0) 10)
2 a a
Phân dạng tập chi tiết
Dạng 3.1 : Tính Rút gọn biểu thức điều kiện Dạng 3.2 : Rút gọn biểu thức có điều kiƯn
Dạng 3.3 : Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Dạng 3.4 : Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhận giá trị nguyên
(33)Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau rút gọn Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Dạng 3.9 : Bài tập tổng hợp
IV – C¸c dạng toán hàm số
Lí thuyết chung
1) Khái niệm hàm số (khái niệm chung).
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với mỗi giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số.
*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + ;
*) Chó ý:
Khi đại lợng x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi y đợc gọi hàm hằng.
*) Ví dụ: Các hàm y = 2; y = - 4; y = 7; . 2) C¸c c¸ch thêng dïng cho mét hµm sè a) Hµm sè cho bảng.
b) Hàm số cho công thøc.
- Hàm hằng: hàm có cơng thức y = m (trong x biến, m )
-Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng cơng thức y = ax + b Trong đó: x biến,a,b, a0
a số góc, b tung độ gốc.
Chó ý: NÕu b = hàm bậc có dạng y = ax (a0)
Hàm số bậc hai: Là hàm số có cơng thức y = ax2 + bx + c (trong x biến, a,b,c, a0).
Chú ý: Nếu c = hàm bậc hai có dạng y = ax2 + bx (a0) Nếu b = c = hàm bậc hai có dạng y = ax2 (a0) 3) Khái niệm hàm đồng biến hàm nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định với x Với x1, x2 thuộc
R
a) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) tăng lên hàm số y = f(x) đợc gọi hàm đồng biến.
Nếu x1 x mà f(x ) < f(x )2 hàm số y = f(x) đồng biến R b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm thì
hàm số y = f(x) đợc gọi hàm nghịch biến.
Nếu x1 x mà f(x ) > f(x )2 hàm số y = f(x) nghịch biến /R 4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến hàm nghịch biến. a) Hàm số bậc y = ax + b (a0).
- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến .
(34)Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hàm hằng.
Đồ thị hàm y = m (trong đó x biến, m ) đ-ờng thẳng song song với trục Ox.
Đồ thị hàm x = m (trong đó y biến, m ) đ-ờng thẳng song song
víi trơc Oy.
b) Đồ thị hàm số y = ax (a0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) ln qua gốc toạ độ.
*) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (a0)
c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp
các điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm ( b
a , 0).
(35)*) C¸ch vÏ: Cã hai cách vẽ bản
+) Cỏch 1: Xỏc nh hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:
Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0)
+) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy
Cho y = => x =
b a
, ta đợc N(
b a
; 0) Ox
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0)
d) Đồ thị hàm số y = ax2 (a0) đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0) Nhận trục Oy làm trục đối xng
- Đồ thị phía trục hoành a > 0. - Đồ thị phÝa díi trơc hoµnh nÕu a < 0.
6) Vị trí tơng đối hai đờng thẳng
*) Hai đờng thẳng y = ax + b (a0) y = a’x + b’ (a'0)
+ Trïng nÕu a = a’, b = b’.
+ Song song víi nÕu a = a’, bb’.
+ Cắt a a.
+ Vuông gãc nÕu a.a’ = -1 .
*) Hai đờng thẳng ax + by = c a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’≠ 0) +
Trïng nÕu
a b c
a ' b ' c '
+
Song song víi nÕu
a b c
a ' b ' c '
+
C¾t nÕu
a b
a ' b '
7) Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) trục Ox Giả sử đờng thẳng y = ax + b (a0) cắt trục Ox điểm A.
Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) góc tạo tia Ax tia AT (với T điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ d-ơng).
- Nếu a > góc tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo công thức nh sau: tg a (cần chứng minh đợc
O x
y
a < O
x y
(36) 180 với (cần chứng minh c dựng).
Phân dạng tập chi tiết
Dạng 1: Nhận biết hàm số
Dạng 2: Tính giá trị hàm số, biến số.
Dng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. a) Hàm số bậc y = ax + b (a0).
- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến .
- Nếu a < hàm số y = ax + b nghịch biến .
b) Hm bậc hai ẩn số y = ax2 (a0) nhận biết đồng biến và nghịch biến theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > hàm đồng biến x > 0, nghịch biến x < 0. - Nếu a < hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > 0.
Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hàm hằng.
Đồ thị hàm y = m (trong đó x biến, m ) đ-ờng thẳng song song với trục Ox.
Đồ thị hàm x = m (trong đó y biến, m ) đ-ờng thẳng song song
víi trơc Oy.
b) Đồ thị hàm số y = ax (a0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) ln qua gốc toạ độ.
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu A
T
x y
O (a > 0)
A T
x y
O (a < 0)
(37)*) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (a0)
c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0) ng thng (hỡnh nh hp
các điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm ( b
a , 0).
*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ bản
+) Cách 1: Xác định hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:
Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0)
+) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy
Cho y = => x =
b a
, ta đợc N(
b a
; 0) Ox
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0)
d) Đồ thị hàm số y = ax2 (a0) đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0) Nhận trục Oy làm trục đối xứng
(38)Dạng 5: Điểm thuộc không thuộc đồ thị hàm số. *) Điểm thuộc đờng thẳng
- §iĨm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a0) vµ chØ yA = axA + b
- §iĨm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a0) vµ chØ yB= axB + b
*) §iĨm thc Parabol : Cho (P) y = ax2 (a0) - §iÓm A(x0; y0) (P) y0 = ax02.
- Điểm B(x1; y1) (P) y1 ax12. Dạng 6: Xác định hàm số
Dạng 7: Xác định điểm cố định hàm số *) Ph ng ph p:
Để tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b (a0; a,b có chứa
tham số) qua với giá trị cđa tham sè m, ta lµm nh sau:
Bớc 1: Gọi điểm cố định A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b qua với giá trị tham số m
Bớc 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số đợc y0 = ax0 + b, ta biến đổi dạng <=> A( x ,y ).m0 B( x ,y )0 0, đẳng thức đúng với giá trị tham số m hay phơng trình có vơ số nghiệm m
Bớc 3: Đặt điều kiện để phơng trình có vơ số nghiệm (A( x ,y ).m0 B( x ,y )0 0, có vơ số nghiệm
0 0 A(x ,y ) B(x ,y ) 0)
Dạng 8: Tìm giao điểm hai đồ thị 8.1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng.
Giao điểm hai đờng thẳng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 Là nghiệm hệ phơng trình
1 2 y a x b y a x b
8.2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol với đờng thẳng. Cho (P) : y = ax2 (a 0) (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n.
Gi¶i phơng trình tìm x
Thay giỏ tr x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 y = mx + n ta tìm đợc y
+ Giá trị x tìm đợc hồnh độ giao điểm + Giá trị y tìm đợc tung độ giao điểm 8.3: Tìm số giao điểm đờng thẳng Parabol.
Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n (*)
+ Phơng trình (*) vô nghiệm ( < 0) (d) (P) điểm
chung
+ Phơng trình (*) cã nghiƯm kÐp (= 0) (d) tiÕp xóc với (P) + Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biƯt ( > hc ac < 0)
(d) cắt (P) hai điểm phân biệt.
(39)8.4: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đờng thẳng. 8.5: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đờng thẳng.
8.6: Tìm giá trị tham số biết số giao điểm Parabol đờng thẳng.
Cho (d) : y = ax + b (P): y = a’x2 (a’0)(a’, a, b có chứa tham số) Xét phơng trình hồnh độ giao điểm a’x2 = ax + b (*)
+ (d) (P) điểm chung
Phơng trình (*) v« nghiƯm ( < 0)
+ (d) tiÕp xúc với (P) Phơng trình (*) có nghiệm kép (= 0).
Nghiệm kép hoành độ điểm tip xỳc
+ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Phơng trình (*) có hai
nghim phân biệt ( > ac < 0) Hai nghiệm hồnh độ hai giao điểm
8.7: Tìm giá trị tham số biết toạ độ giao điểm Parabol đờng thẳng.
Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’0) (a’, a, b cã chøa tham sè)
Tìm giá trị tham số để (d) (P) cắt A(xA; yA)
Cách làm: Thay tọa độ A vào hàm số (d); (P) để tìm giá trị tham số
Dang 9: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm 9.1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm
A(xA; yA) B(xB; yB) xA xB yA yB.
Ph
¬ng ph¸p:
Gọi phơng trình đờng thẳng (d) cần lập qua A B có dạng y = ax + b (a 0).
Do A(d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1) Do B(d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2) Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh:
A A
B B
y ax b
y ax b
Giải hệ phơng trình tìm đợc a, b suy phơng trình đờng thẳng (d) cần lập
9.2: Lập phơng trình đờng thẳng qua M(x0 ; y0) có hệ số góc là k.
Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dạng y = kx + b
Bíc 2: Đờng thẳng qua M(x0 ; y0) => y0 kx0 b => by0 kx0
Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm y = kxy0 kx0 9.3: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm
A(m; yA) B(m; yB) yA yB.
Ph
¬ng ph¸p:
Do A(m; yA) (d): x = m;
Do B(m; yB) (d) : x = m;
(40)Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n
9.5: Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm A(xA ; yA) tiếp xúc với đờng cong
2
yax (a )
Bớc 1: Giả sử phơng trình cần lập y = ax + b
Bớc 2: Đờng thẳng tiếp xúc với đờng cong yax (a2 0 )
khi phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 a 'xb' có
nghiƯm kÐp Ta cho 0, t×m mét hệ thức a b (1) Bớc 3: Đờng thẳng qua A(xA ; yA) => yA a ' xA b' (2)
Bớc 4: Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình hai ẩn a’ b’ Giải hệ tìm đợc a’ b’ => phơng trình cần lập
9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong
2
y ax (a0 )
Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử y = ax + b Vì đờng thẳng có hệ số góc k nên a = k => y = kx + b
Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong
2
y ax (a0 ) <=> phơng trình hồnh độ giao điểm
2
kxbax ax kx b0 cã nghiÖm kÐp
Cho 0( ' 0 ) => b = ?
Bíc 3: Tr¶ lêi
Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng
10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bc 1: Lp phng trình đờng thẳng qua hai điểm
Bớc 2: Chứng minh điểm lại thuộc đờng thẳng vừa lập 10.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng.
Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm có toạ độ đơn giản
Bớc 2: Thay toạ độ điểm cịn lại vào phơng trình đờng thẳng vừa lập Giải phơng trình tìm tham số
Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui
11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.
Bớc 1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng
Bớc 2: Chứng minh giao điểm thuộc đờng thẳng cịn lại 11.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui.
Bớc 1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng đơn giản
Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm vào phơng trình đờng thẳng cịn lại Giải phơng trình tìm tham số
Dạng 12: Vị trí tơng đối hai đồ thị hai hàm số
12.1: Vị trí tơng đối hai đồ thị hai hàm số bậc nhất Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) c¾t (d2) a1 a2
+) (d1) // (d2) a1 = a2
+) (d1) (d2) a1 = a2 vµ b1 = b2
+) (d1) (d2) a1.a2 = -1 (phải chứng minh đợc dùng)
(41)12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trên trục tung.
Cho (d1): y = a1x + b1vµ (d2): y = a2x + b2
Để (d1) cắt (d2) điểm trục tung
1 2
a a (1) b b (2)
Gi¶i (1)
Gi¶i (2) chọn giá trị thoả mÃn (1)
12.3: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trên trục hoành.
Cho (d1): y = a1x + b1vµ (d2): y = a2x + b2
Để (d1) cắt (d2) điểm trục hoành
1 2 a a (1) b b
(2) a a
Lu ý: Chỉ nên áp dụng hai phơng trình chứa tham số.
Dạng 13: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích c
Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a0, b0 => điều kiện m
Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B lần lợt giao điểm đồ thị với trục tung trục hồnh
A(0 ; b) vµ B( ab ;0
)
Bíc 3: XÐt tam giác vuông OAB có SOAB =
b
1 OA.OB b c
2 a
=> m = ? (kiĨm tra víi ®iỊu kiƯn ë bíc 1)
Dạng 14: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng
y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác cân Cách 1:
Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a0, b0
=> ®iỊu kiƯn cđa m
Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B lần lợt giao điểm đồ thị với trục tung trục hoành
A(0 ; b) vµ B( ab ;0
)
Bớc 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=>
b b
a
(*)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị m (kiểm tra điều kiện bớc1)
(42)nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh:
ax by c a ' x b'y c '
Bíc 2:
+) NÕu A n»m góc phần t thứ I điều kiện là:
x y
+) NÕu A n»m gãc phÇn t thø II điều kiện là:
x y
+) NÕu A n»m góc phần t thứ III điều kiện là:
x y
+) NÕu A n»m gãc phÇn t thø IV điều kiện là:
x y Bíc 3: T×m m = ?
D¹ng 16:
Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B đa thức 0
Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc <=>
A B Bớc 2: Giải hệ tìm đợc giá trị tham số V - Các dạng toán h phng trỡnh
Lí thuyết chung 1. Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát là:
ax by c
(I)
a' x b' y c ' (trong a, b, c, a’ , b’, c’ chứa tham s)
2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm
- NghiƯm (x0 ; y0) cđa hƯ (I) lµ nghiệm chung hai phơng trình trong hệ
- Nếu hai phơng trình hệ nghiệm chung hệ ph-ơng trình vô nghiệm
- Giải hệ phơng trình tìm tất nghiệm (tìm tËp nghiƯm) cđa nã.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.
ax by c
a' x b ' y c '
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu
a b c
a' b ' c '
+ HƯ v« nghiƯm nÕu
a b c
a' b ' c '
(43)+ HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu
a b
a' b'
+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm vô số nghiệm ab ab = 0
3. Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc hai ẩn
ax by c
a' x b ' y c '
a) Phơng pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số
Bớc1: Nhân hai vế phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai ph-ơng trình hệ đối nhau.
Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình mà hệ số hai ẩn (tức phơng trình ẩn)
Bớc 3: Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc, suy ra nghiệm hệ cho
*) Tỉng qu¸t:
+ NÕu cã
ax by c
ax b ' y c '
(b b ')y c c '
ax b ' y c '
+ NÕu cã
ax by c
ax b' y c '
(b b ')y c c '
ax b ' y c '
+ NÕu cã
ax by c
k.ax b ' y c '
k.ax kby kc
k.ax b ' y c '
(kb b')y k.c c '
ax by c
b) Phơng pháp thế.
*) Cách giải hệ phơng trình phơng pháp thÕ
Bớc 1: Dùng quy tắc biến đổi hệ phơng trình cho để đ-ợc hệ phơng trình mới, có phơng trình một ẩn
Bớc 2: Giải phơng trình ẩn vừa có, suy nghiệm của hệ cho
*) Tỉng qu¸t:
ax by c
a' x b ' y c '
a c y x b b
a' x b ' y c '
a c y x b b a c
a ' x b ' x c '
b b
c) Phơng pháp đồ thị
- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm hai phơng trình trong hệ
- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối hai dờng thẳng
(44)bậc hai.)
Phân dạng tập chi tiết
Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số
Dạng 2: Giải hệ phơng trình biết giá trị tham số Ph
ơng pháp:
Bớc 1: Thay giá trị tham số vào hệ phơng trình
Bc 2: Gii hệ phơng trình khơng chứa tham số vừa thu đợc Dạng 3: Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số
- Dùng phơng pháp cộng để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m), làm xuất phơng trình có dạng :
Ax = B (1) (hc Ay = B)
Nếu A = phơng trình (1) cã d¹ng 0x = B +) Khi B = phơng trình (1) có dạng 0x =
phơng trình có vô số nghiệm
=> hệ phơng trình có vô số nghiệm +) Khi B 0 phơng trình (1) vô nghiệm
=> hệ phơng trình vô nghiệm
Nếu A phơng trình (1) có nghiệm
B A
=> hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt
B x
A
y y(m )
Dạng 4: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm, vô số nghiệm.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc hai ẩn có nghiệm nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.
ax by c a' x b ' y c '
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu
a b c
a' b ' c '
+ HÖ v« nghiƯm nÕu
a b c
a' b ' c '
+ HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu
a b a' b'
Dạng 5: Tìm giá trị tham số biết dấu nghiệm hệ ph-ơng trình
Dạng 6: Tìm giá tham số biết nghiệm hệ phơng trình 6.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình.
Cho hệ phơng trình :
ax by c (1)
a x b y c (2)
(45)Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm 0 x x y y Cách 1:
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải Cách 2:
Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số
6.2: Tìm hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình.
Cho hệ phơng trình:
ax by c
a x b y c
cã nghiÖm
0 x x y y
Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình hệ phơng
trỡnh ta c
0
0
ax by c
a x b y c
Bớc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số
Dạng 7: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y.
Cho hệ phơng trình :
ax by c (1)
a x b y c (2)
(I)
Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)
Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện tham số để hệ (I) có nghiệm
Bớc 2: Do (x; y) nghiệm hệ (I) thoả mãn (3) (x; y) nghiệm (1), (2), (3) Kết hợp phơng trình đơn giản để đ-ợc hệ phơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng trình cịn lại
Bíc 3: Giải phơng trình chứa ẩn tham số
Dng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x0 ; y0) số nguyên
Bớc 1: Tìm điều kiện tham số m để hệ có nghiệm
Bớc 2: Phân tích x0 ; y0 dới dạng
0 b
x a víi a, b Z
A(m )
0 d
y c víi c, d Z
B( m )
0
0
b
x Z Z A(m ) ¦ ( b)
A(m ) m ?
d
y Z Z B(m ) ¦ (d )
B(m )
*) Đặc biệt nÕu :
0 b
x a víi a, b Z
A(m )
(46)P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Cách 1:
Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện tham số để hệ phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ x y là: P(x,y) = kA2(x) + d (d số).
k < kA2(x) kA2(x) + d d P(x,y) d
Giá trị lớn P(x,y) d đạt đợc A(x) =
k > kA2(x) kA2(x) + d d P(x,y) d
Giá trị nhỏ P(x,y) d đạt đợc A(x) = Cách 2:
P(x,y) = ax2 + bx + c ax2 + bx + c – P(x,y) = 0
Bíc 1: TÝnh hc '.
Bớc 2: Đặt điều kiện (' 0)
Giải bất phơng trình chứa Èn P(x,y).
P(x,y) e Giá trị nhỏ P(x,y) e đạt đợc
khi
='=
b x
2a
=
b' a
P(x,y) e Giá trị lớn P(x,y) e đạt đợc
khi
='=
b x
2a
=
b ' a
Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số
1 Ph ơng pháp :
Cho hệ phơng trình:
ax by c
a ' x b ' y c '
a, b, c, a’, b’, c’ chứa tham
sè m T×m hƯ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m ?
*) Cách 1:
Bớc 1: Từ phơng trình hệ ta rót m theo x vµ y lµ m = A(x,y)
Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai hệ ta đợc hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham
sè m
*) Cách 2: Sử dụng hệ phơng trình có tham số m dới dạng bc nht
Bớc 1: Từ hệ phơng trình
ax by c m A( x, y )
a ' x b ' y c ' m B( x, y )
Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y) Đây hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m
L
u ý : Ta cần rút gọn hệ thức cho ngắn gọn, đơn giản Dạng 11: Tìm giá trị tham số để hai hệ phơng trình tơng đơng
(47)- Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm (tức nghiệm hệ nghiệm hệ ngợc lại)
Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và giải số hệ phơng trình khơng dạng hệ hai phơng trình bậc
nhất hai ẩn (hệ đặc biệt) VI – Phơng trình bậc hai mt n
Phần I: Phơng trình không chứa tham số
I. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai ẩn (nói gọn phơng trình bậc hai) phơng trình có dạng
2
0 ( ) ax bxc a
Trong đó: x ẩn; a, b, c số cho trc gi l cỏc h s
II. Phân loại.
1. Phơng trình khuyết c: ax2 + bx = (a 0) Phơng pháp giải:
ax2 + bx = (a, b 0)
x(ax + b) = 0
x
b x
a
Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 =
b a
2. Phơng trình khuyết b: ax2 + c = (a, c 0) Phơng pháp giải:
ax2 + c = (a 0)
2 c
x
a
+) +)
NÕu
c a
< Phơng trình vô nghiệm. Nếu
c a
> Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
c x
a ;
2
c x
a
3. Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = (a , b, c 0) *) Công thức nghiệm:
= b2 - 4ac
+) < Phơng trình vô nghiệm
+) > phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
(48)NÕu b = 2b’ (b’ = b
) ta cã : ’ = b’2 - ac
+ Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1
' ' ' '
; x
b b
x
a a
+ NÕu ’ = phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 =
' b a
+ Nếu < phơng trình vô nghiệm
Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số
Dạng 1: Giải phơng trình biết giá trị tham số
Thay giá trị tham số vào phơng trình giải phơng trình Dạng 2: Giải biện phơng trình theo tham số
T
ỉ ng qu ¸ t:
Víi a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhÊt bx + c = + NÕu b phơng trình có nghiệm x =
c b
+ NÕu b = c phơng trình vô nghiệm.
+ NÕu b = vµ c = phơng trình có vô số nghiệm
Với a phơng trình trở thành phơng trình bËc hai cã biÖt sè:
= b2 – 4ac ( hay ’ = b’2 – ac)
+ Nếu < ( < 0) phơng trình v« nghiƯm + NÕu = (’ = 0) phơng trình có nghiệm kép :
x1 = x2 = -
b 2a =
'
b a
+ NÕu > ( > 0) phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 =
b b' '
2a a ; x2 =
b b' '
2a a
Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm - Xét hai trờng hợp hệ số a:
Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình có nghiệm
Trêng hỵp 2: a ≠ 0, phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm <=>
0 '
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Phơng trình bậc hai ẩn có hai nghiệm phân biÖt
<=>
0
0( ' 0)
a
Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm kép
(49)Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiƯm kÐp <=>
0
0( ' 0)
a
Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phơng trình vơ nghiệm - Xét hai trờng hợp hệ số a:
Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình vơ nghiệm
Trờng hợp 2: a 0, phơng trình bậc hai mét Èn v« nghiƯm <=> 0 ' 0
Dạng 7: Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Để chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt:
Cách 1: Chứng minh:
0 a ac
C¸ch 2: Chøng minh:
a 0 Ch
ó ý : Cho tam thøc bËc hai = am2 bmc
§Ĩ chøng minh 0, m ta cÇn chøng minh
2 m
a
b 4ac
Dạng 8: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm hai số đối nhau, có hai nghiệm hai số nghịch đảo của nhau
Cho phơng trình ax2 bxc 0 ; a, b, c chứa tham số
Theo định lí Vi - ét, ta có :
1
1
b
S x x
a c P x x
a
a) Phơng trình có hai nghiệm dấu <=>
0 0 a P
hc
0 0 a ac
b) Phơng trình có hai nghiệm tr¸i dÊu <=>
0 a P
hc
(50)c) Phơng trình có hai nghiệm dơng <=> 0 P S
d) Phơng trình có hai nghiệm âm <=>
0 0 a P S
e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt <=>
0 0 a P S
f) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt <=>
0 0 a P S
g) Phơng trình có hai nghiệm hai số đối
<=>
0
0
a
b
S x x
a
h) Phơng trình có nghiệm hai số nghịch đảo
<=>
0
1
a
c P x x
a
Dạng 9: Tính giá trị biểu thức liên hƯ gi÷a hai nghiƯm
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bíc 2: TÝnh x1 + x1 =
b
a vµ x1.x1 = c a
Bớc 3: Biểu thị đợc biểu thức theo x1 + x1 x1.x1 ; sau thay giá trị x1 + x1 x1.x1 vào để tính giá trị biểu thức
Chó ý:
2 2
a b (a b) 2ab
(51)
3 3
a b (a b) 3ab(a b)
(a b) (a b) 4ab
( a b) (a b) a.b (a,b 0)
4 2 2 a b (a b ) 2a b
3
a b a a b b
( a b)(a ab b) (a,b 0)
Dạng 10: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện sau:
a) x1 x2 b)
1 n
x x c) x12 x22 k d) x13 x23 t,
Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm
x1, x2 Giải hệ ĐK:
0
a
=> m = ?
Bíc 2: Theo hƯ thøc Vi – Ðt, ta cã:
1
1
b
S x x
a c P x x
a
Bớc 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có đợc bớc vào điều kiện vừa biến đổi; từ giải phơng trình bất phơng trình với biến tham số để tìm giá trị tham số Tiếp theo kiểm tra xem giá trị tham số tìm đ-ợc có thỏa mãn hệ điều kiện bớc hay không ?
Hoặc có tốn ta kết hợp điều kiện đề với hệ thức Vi - ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn x1, x2); sau ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi – ét lại để tìm tham số
Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x = x1. Tìm nghiệm cịn lại
Bíc 1: Thay x = x1 vào phơng trình, ta có:
1 ?
ax bx c m
Bớc 2: Để tìm nghiệm lại x2 ta thực hiƯn theo hai c¸ch: C
ch 1: Thay giá trị m vào phơng trình ban đầu Từ có phơng trình bậc hai giải phơng trình ta tìm đợc x2
C
(52) Bíc 1: T×m S = 2 vµ P =
Bíc 2: Phơng trình với ẩn x x2 SxP Phơng trình có nghiệm <=> S2 4P
Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai biết mối liên hệ hai nghiệm phơng trình cần lập với hai nghiệm phơng trình cho trớc.
Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm phơng trình
Bớc 2: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình đà cho
1 2
b c
x x , x x
a a
Bíc 3: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình cần lập x3 x4 thông qua mối liên hệ với x1 , x2
Bớc 4: Lập phơng trình
Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số
C¸ch 1:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2
Gi¶i hƯ ®iỊu kiƯn
0
a
Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi - Ðt:
1
1
b S x x
a c P x x
a
Bớc 3: Khử tham số hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số nghiệm phơng trình
C¸ch 2:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2
Gi¶i hƯ ®iỊu kiƯn
0
a
Bíc 2: Gi¶i phơng trình tìm x1, x2
Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số)
Dạng 15: Tìm giá trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa tam thøc bËc hai
y ax bxc ( a 0)
C¸ch 1:
Biến đổi y = kA2(x) + m (m số).
k < kA2(x) kA2(x) + m m y m
Giá trị lớn y m đạt đợc A(x) =
k > kA2(x) kA2(x) + m m y m
Giá trị nhỏ y m đạt đợc A(x) = Cách 2:
y = ax2 + bx + c ax2 + bx + c – y = 0
(53)+ Bíc 1: TÝnh hc '.
+ Bớc 2: Đặt điều kiện (' 0) Giải bất phơng trình chøa Èn y.
y m Giá trị nhỏ y m đạt đợc
='=
b x
2a
=
b' a
y m Giá trị lớn y m đạt đợc khi
='=
b x
2a
=
b ' a
Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm
Bớc 1: Kiểm tra có nghiệm phơng trình
Bíc 2: TÝnh 2
b c
x x , x x
a a
Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x1; x2) dạng có chứa x1+ x2 x1.x2
Bớc 4: Thay x1 + x2 x1.x2 vào biểu thức A Khi A trở thành tam thức bậc hai ẩn tham số
Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhỏ A Chọn giá trị tham số thích hợp
Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Bc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm
1
x , x
Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt:
1
1
b x x
a c x x
a
Bớc 3: Tính giá trị biĨu thøc theo x1+ x2 vµ x1.x2 ; thÊy kÕt số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Dạng 18: Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phơng trình thỏa mãn bất đẳng thc ó cho.
Dạng 19: Tìm hai số biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng
NÕu hai sè u v thoả mÃn
u v S
u.v P (S2 4P) Thì u v nghiệm phơng trình x2 - Sx + P = 0 (*)
(54)- Nếu phơng trình (*) cã nghiÖp kÐp => u = v = a
- Nếu phơng trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm đợc cặp giá trị (u, v) thỏa mãn yêu cầu đề
Dạng 20: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai một ẩn có nghiệm chung
Cho hai phơng trình ax2 bx c (a0) a ' x2 b ' xc '0 (a '0 ) Trong a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số m
*) C ¸ ch :
Hai phơng trình có nghiệm chung hệ phơng trình:
2
2
ax bx c (a )
a ' x b' x c ' (a ' )
cã nghiÖm
Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình dạng:
A(m).x = B(m)
+) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phơng trình giải hai phơng
trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay khơng ?
+) NÕu A(m )0 => x =
B(m )
A(m ) (chøa tham sè) Thay vµo mét
trong hai phơng trình ta rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phơng trình giải hai phơng trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay khơng ?
+) NÕu A(m )0 => x =
B(m )
A(m ) (kh«ng chøa tham sè), kÕt luËn
ngay nghiệm chung hai phơng trình Thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta rút giá trị m
KÕt luận: ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, nghiệm chung ?
*) C ch : Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình
2
ax bx c => m = A(x)
2
a ' x b ' xc '0 => m = B(x)
Ta có: A(x) = B(x) Giải phơng trình ta đợc nghiệm chung hai phơng trình, sau thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta tìm đợc giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra C
(55)Từ hai phơng trình ta rút m theo x vào phơng trình kia, đợc phơng trình ẩn x; từ phơng trình ta tìm đợc nghiệm chung, sau tìm m = ?
D¹ng 21: Chứng minh hai phơng trình bậc hai ẩn có ít phơng trình có nghiệm
Cho hai phơng trình ax2 bx c (a0) a ' x2 b ' xc '0 (a '0 ) Trong a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số
Chøng minh Ýt nhÊt mét hai phơng trình có nghiệm Ph
¬ ng ph ¸ p : C
¸ ch : Gọi 1,2 lần lợt biệt thức hai phơng trình Ta cần chứng minh
+) 1 0 => 1 0 hc 2 0 hc 1,2 0 +) 1 0 => 1 0 hc 2 0
VËy hai phơng trình có nghiệm C
¸ ch : Chøng minh b»ng ph¶n chøng
Giả sử hai phơng trình vơ nghiệm Khi 1 0, 2 Ta lập luận dẫn đến điều vơ lí => phải có hai biệt thức không âm Vậy có hai phơng trình có nghiệm
Dạng 22: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình tơng đơng - Lí thuyết chung: Hai phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm
*) D¹ng 22.1: Hai phơng trình bậc
Tỡm nghim ca hai phng trình theo tham số cho hai nghiệm nhau, từ tìm đợc giá trị tham số để hai phơng trình tơng đ-ơng
*) D¹ng 22.2: Hai phơng trình bậc hai ẩn Xét hai trờng hợp
Trờng hợp1: Hai phơng trình có nghiệm chung
Trớc hết tìm giá trị tham số để hai phơng trình có nghiệm chung sau thay giá trị tham số vào hai phơng trình tìm tập nghiệm chúng Nếu tập nghiệm hai phơng trình tơng đơng => giá trị tham s
Trờng hợp 2: Hai phơng trình v« nghiƯm <=>
0
=> Giá trị tham số
Đặc biệt: Nếu nhận thấy hai phơng trình có hai nghiệm ( 1 hc 2 0)
(56)trình.
Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) cã mét nghiÖm x = x1. C
ch gi ả i:
Bớc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = 0.
Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn tham số
23.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phơng trình.
Cho phơng trình ax2 + bx + c = (1) (a0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2. C
¸ ch 1:
Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:
1 2
ax bx c
ax bx c
Bíc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn tham số C
¸ ch 2:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bíc 2: Theo Vi - Ðt
2 b x x a c x x a
Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ giải ta đợc giá trị tham số Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn luôn dơng luôn âm với x
Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 bxc (a0 )
f(x) =
2
2
2
2
b c b b 4ac b
a( x x ) a x a x
a a 2a 4a 2a 4a
+) NÕu 0 =>
2 b x 2a 4a
> Khi f(x) dấu với hệ số a, ta có trờng hợp sau
f(x) > 0, x <=>
a 0
f(x) < 0, x <=>
a 0
f(x) ≥ 0, x <=>
a 0
f(x) ≤ 0, x <=>
a 0 +) NÕu b f ( x ) a( x )
2a
(57)=> f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, trõ trêng hỵp x =
b 2a
Khi x =
b 2a
th× f(x) =
VII Giải toán cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình
Lí thuyết chung
1 Các bớc giải toán cách lập phơng trình B
c 1: Lập phơng tr×nh
- Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đã biết; - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng
B
c 2: Giải phơng trình B
c 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận
2 Các bớc giải toán cách lập hệ phơng trình B
í c 1: LËp hƯ ph¬ng tr×nh
- Chọn hai ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho chúng;
- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đã biết; - Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng
B
c 2: Giải hệ hai phơng trình nói B
c 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận
Phân dạng tập chi tiÕt
Dạng 1: Toán chuyển động - Ba đại lợng: S, v, t
- Quan hÖ: S = vt; t =
S
v ; v = S
t (dùng công thức S = v.t từ tìm
mèi quan hƯ gi÷a S , v t) - Chú ý toán canô :
Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthực Vnớc
*) Toỏn i gặp cần ý đến tổng quãng đờng thời gian bắt đầu khởi hành
*) Toán đuổi kịp ý đến vận tốc quãng đờng đợc đuổi kịp
Dạng 2: Toán quan hệ số
(58)+ Qui ớc: Cả cơng việc đơn vị
+ Tìm đv thời gian đối tợng tham gia tốn thực đợc phần cơng việc
+ Công thức: Phần công việc =
1 Thời gian
+ Số lợng công việc = Thời gian Năng suất *) Bài toán suất:
+ Gồm ba đại lợng: Tổng sản phẩm ; suất; thời gian + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất Thời gian;
=> Thêi gian =
Tổng sản phẩm
Năng suất ; Năng st =
Tỉng s¶n phÈm Thêi gian .
Dạng 4: Toán diện tích
Dạng 5: Toán có quan hệ hình học Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa
Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm
Thay giaựo : Phaùm Vaờn Hiệu
*) Hãy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn
Ghi chó
Nếu muốn tham khảo tập phần, dạng Xin mời quý thầy cô em học sinh h y truy cập vào website củaã Quang Hiệu theo địa chỉ: http://quanghieu030778.violet.vn
Tài liệu đợc viết với nhiều tâm huyết, chắn có những sai sót khơng mong muốn Vậy Quang Hiệu mong đợc góp ý của các đồng chí l nh đạo, bạn đồng nghiệp em học sinh trênã mọi miền tổ quốc tài liệu đợc hồn thiện hơn, góp phần nhỏ bé nâng cao chất lợng giảng dạy học tập Bộ giáo dục Đào tạo phát động.
Quang Hiệu hân hạnh đợc phục vụ quý thầy cô em học sinh miền tổ quốc !
(59) e: