moät hôïp goàm k phaàn töû, trong ñoù moãi phaàn töû laø moät trong n phaàn töû cuûa A.. Roài nhaân caùc BÑT veá theo veá, ta ñöôïc ñpcm... Muoán laäp thaønh nhöõng nhoùm goàm p hoïc sin[r]
(1)Đại số 11
I Qui tắc đếm 1 Qui tắc cộng:
Một công việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với bất kì cách phương án A cơng việc có m + n cách thực hiện.
2 Qui tắc nhân:
Một cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Nếu công đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có
m.n cách thực hiện.
Bài 1:Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Khơng có đường nối thành phố B với thành phố C
Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 cách.
Bài 2:Có số tự nhiên khác nhỏ 2.108, chia hết cho 3, viết bởi chữ số 0, 1, 2?
ĐS: Có 2.37 – = 4374 – = 4373 (soá)
Bài 3:Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số
b) gồm chữ số khác
c) gồm chữ số khác chia hết cho
ÑS: a) 66
b) 6! c) 3.5! = 360
Bài 4:Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về). Hỏi có trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Bài 5:Có số palindrom gồm chữ số (số palindrom số mà ta viết chữ số theo thứ tự ngược lại giá trị khơng thay đổi)
ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba có 9.10.10 = 900 (số)
Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: bơng hồng trắng, bơng hồng đỏ bơng hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy bơng hoa?
CHƯƠNG II
(2)b/ Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau?
ÑS: a/ 18 b/ 15
Bài 7: a/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số?
b/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số?
c/ Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn?
d/ Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau?
e/ Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5?
ÑS: a/ 3125 b/ 168 c/ 20 d/ 900 e/ 180000
Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau?
ÑS: 36.
Bài 9: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu:
a/ Chọn áo cà vạt được? b/ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a/ 35 b/ 29
Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x, y) biết rằng: a/ x A y A , b/ { , }x y A c/ x A y A x y , 6.
ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ cặp
Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} n số nguyên dương lớn Có cặp thứ tự (x, y), biết rằng: x A y A x y , , .
ÑS:
( 1) n n
Bài 12: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số:
a/ Gồm chữ số? b/ Gồm chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm chữ số? d/ Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e/ Gồm chữ số viết không lặp lại?
f/ Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
ÑS: a/ 25 b/ 20 c/ 15 d/ e/ 120 f/ 24
Bài 13: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn?
e/ Khác nhau, có số lẻ?
ÑS: a/ 100 b/ 60. c/ 36 d/ 52 e/ 48
Bài 14: a/ Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400?
b/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500)
(3)Đại số 11
Bài 15: Một trường phổ thơng có 12 học sinh chun tin 18 học sinh chun tốn Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chuyên tốn học sinh chun tin Hỏi có cách lập đoàn trên?
Bài 16: Có cách xếp người đàn ơng người đàn bà ngồi ghế dài cho người phái phải ngồi gần
Bài 17: Có cách xếp viên bi đỏ viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi màu khơng gần
II Hốn vị 1 Giai thừa:
n! = 1.2.3…n
Qui ước: 0! = 1 n! = (n–1)!n
! ! n
p = (p+1).(p+2)…n (với n>p)
! ( )!
n
n p = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
2 Hốn vị (khơng lặp):
Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự nào
đó gọi hoán vị n phần tử. Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! 3 Hoán vị lặp:
Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần
tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi
là hốn vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử.
Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là:
Pn(n1, n2, …, nk) =
! ! ! !k
n n n n 4 Hốn vị vịng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử.
Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)!
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: A =
6! . . ( 1)! ( 1)!
( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3!
m m m
m m m m m m
(với m
5) B =
7!4! 8! 9! 10! 3!5! 2!7!
C =
5! . ( 1)! ( 1) ( 1)!3!
m
m m m
ÑS: A = – 4(m–1)m; B =
2 ; C = 20
(4)a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 b) Pn (n1)Pn1(n 2)Pn2 2 P P2 11 c)
1 1
1
1! 2! 3! n!
d)
2 1 1
! ( 1)! ( 2)! n
n n n
Bài 3: Giải phương trình:
! ( 1)! ( 1)! x x
x
ÑS: x = 2; x = 3
Bài 4: Giải bất phương trình:
1 . ( 1)! ( 1)! 5 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2!
n n n
n n n n n
(1)
ÑS: (1)
( 1) 5 n n
n = 4, n = 5, n = 6 Bài 5: Giải phương trình:
a) P2.x2 – P3.x = 8 b)
1
1
x x
x
P P P
ÑS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3
Bài 6: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số:
a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23?
d) Không bắt đầu 345?
ÑS: a) 4!
b) 5! – 4! c) 3!
d) 5! – 2!
Bài 7: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số:
a/ Bắt đầu chữ số 9? b/ Không bắt đầu chữ số 1? c/ Bắt đầu 19? d/ Không bắt đầu 135?
ÑS: a/ 24 b/ 96 c/ d/ upload.123doc.net.
Bài 8: Với hoán vị số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hoán vị phần tử trên?
ĐS: Với i, j 1,2,3,4,5,6,7 , số số mà chữ số j hàng thứ i 6!.
Tổng tất số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106
= 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106)
Bài 9: Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
ÑS: 279999720.
Bài 10: Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên:
a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn?
c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa?
ĐS: a) P12
(5)Đại số 11
Bài 11: Có học sinh nam A1, A2, A3, A4, A5 học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn tròn Hỏi có cách xếp nếu:
a) Một cách tuỳ ý?
b) A1 không ngồi cạnh B1?
c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?
ÑS: a) Q8 = 7!
b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách xếp
Bài 12: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần?
ÑS:
8! 3! 3!
Bài 13: Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số
ÑS: 18.
Bài 14: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau? ĐS: 480.
Bài 15: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho:
a/ Bạn C ngồi giữa?
b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? ĐS: a/ 24 b/ 12
Bài 16: Một hội nghị bàn trịn có phái đoàn nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tịch ngồi gần nhau?
ÑS: 143327232000.
Bài 17: Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có người nhóm muốn ngồi kề nhau?
b/ Có người nhóm không muốn ngồi kề nhau? ĐS: a/ 86400 b/ 2903040.
Bài 18: Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu:
a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 34560 b/ 120960.
Bài 19: Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề nhau?
ÑS: 4838400.
Bài 20: Có đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 10 học sinh khối 12 Có cách xếp 20 học sinh vào phịng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, cịn em ngồi nối có đề?
(6)Bài 21: Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau?
ÑS: 298598400.
Bài 22: Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a/ Tập tập đứng cạnh nhau?
b/ Tập tập không đứng cạnh nhau? ĐS: a/ 2.29! b/ 28.29!.
Bài 23: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt lần?
ĐS: 3360.
Bài 24: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần
ÑS: 5880.
Bài 25: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số nếu:
a/ chữ số xếp kề nhau? b/ Các chữ số xếp tuỳ ý?
ÑS: a/ 120. b/ 3024.
III Chỉnh hợp 1 Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 k n) theo thứ
tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A. Số chỉnh hợp chập k n phần tử:
! ( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n n
A n n n n k
n k
Công thức cho trường hợp k = k = n. Khi k = n
n n
A = P
n = n!
2 Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử được lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A.
Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank nk
(7)Đại số 11
A =
2
5 10
2 A A
P P B = P A1 21P A2 32P A3 43P A4 54 P P P P1 4
C =
12 11 10
49 49 17 17
10
49 17
A A A A
A A
D =
2
5
5
4
5 5
P P P P
A
A A A A
ÑS: A = 46; B = 2750; C = 1440;
D = 42
Bài 2: Chứng minh rằng:
a/ 22 32
1 1, , 2.
n
n với n N n n
A A A
b/ Ank Ank1k A nk11 c/
2 2.
n n n
n k n k n k
A A k A
Baøi 3: Giải phương trình sau: a) An320n
b) An35An2= 2(n + 15) c) 3An2 A22n42 0.
ÑS: a) n = 6
b) n = 3 c) n = 6
Bài 4: Tìm n N cho:
a) 210 n n n P A P
b) 2(An33An2) = Pn+1
c) 2Pn6An2 P An n2 12
ÑS: a) n = 5
b) n = 4 c) n = 2; 3
Baøi 5: Giải phương trình:
a/ A10x Ax9 9 Ax8 b/ P Ax x272 6( Ax22 )Px
c/ 2Ax250A22x d/
1 1 72 y
x x y
x A P P
ÑS: a/ x = 11 b/ x = 3; c/ x = 5. d/ x = 8, y7, y N
Bài 6: Giải bất phương trình:
a)
4 15
( n2)! ( 1)! A
n n b)
4 2 143 0 n n n A
P P ÑS: a) n = 3; 4; 5 b) n 36
Bài 7: Tìm số âm dãy số x x x1, , , ,2 xn với:
4
143 ( 1, 2, 3, ) n n n n A x n
P P
ÑS: 1 2
63 23
1, ; 2,
4
n x n x
(8)ĐS: Có A A10 63 3 cách
Bài 9: Trong khơng gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ – khơng Hỏi có vectơ?
ĐS: A42 = 12 vectơ
Bài 10: Một lớp học có bàn đơi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp có học sinh, biết xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh)
ÑS: An2= 132 n = 12
Bài 11: Từ chữ số 0, 1, 2, …, 9, lập số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề phải khác nhau?
ĐS: a) 9.A94
b) Có 95 số
Bài 12: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau?
b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau?
c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5?
ÑS: a) 6.A64 b) 6.A533.5A53
c) Số gồm chữ số có dạng: abcde
Nếu a = có
4
A số
Nếu a a có cách chọn Số đặt vào vị trí b, c, d, e có 4
cách chọn vị trí cho số vị trí cịn lại chọn từ chữ số cịn lại có A53 cách chọn.
Có A644.5.A53 = 1560 số
Bài 13: Từ chữ số 0, 1, 2, …, lập biển số xe gồm chữ số (trừ số 000)?
ÑS: A103 1= 999
Bài 14: Có số tự nhiên có chữ số với: a) Chữ số đầu chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu cuối khác nhau?
c) Hai chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống nhau?
ÑS: a) 9.A104 = 9.104 số
b) Có tất cả: A106 A105 = 9.105 số gồm chữ số Có 9.105 – 9.104 số
c) Có 9.10.10.10 = 9000 số
Bài 15: Có số điện thoại có chữ số? Trong có số điện thoại có chữ số khác nhau?
ÑS: a) A106 = 106
b) A106 = 15120
(9)Đại số 11
từ 26 chữ A, B, C, …, Z Các chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Hỏi:
a) Có biển số xe có chữ khác chữ O chữ số đơi khác nhau?
b) Có biển số xe có hai chữ khác có chữ số lẻ giống nhau? ĐS: a) Số cách chọn chữ cái: 26 26 – = 675 cách
Số cách chọn chữ số: A104 = 5040 cách Số biển số xe: 675 5040 = 3.402.000 số
b) Chữ thứ nhất: có 26 cách chọn
Chữ thứ hai: có 25 cách chọn
Các cặp số lẻ giống là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9)
Có cách chọn cặp số lẻ.
Xếp cặp số lẻ vào vị trí có C42 cách Có 5.C42 cách xếp cặp số lẻ.
Cịn lại vị trí chữ số chẵn:
Chữ số chẵn thứ nhất: có cách chọn Chữ số chẵn thứ hai: có cách chọn Có 26 25
2
C
= 487500 caùch
Bài 17: a) Có số tự nhiên gồm chữ số khác mà tổng chữ số 18?
b) Hỏi có số lẻ thoả mãn điều kiện đó?
ĐS: Chú ý: 18 = + + + + + 8
18 = + + + + + 7 18 = + + + + + 6
a) 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 soá
Bài 18: Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn?
ĐS: 6840.
Bài 19: Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu:
a/ Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ môn)
b/ Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số
ÑS: a/ 55440. b/ 120
Bài 20: Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu:
a/ Người có tượng khác nhau? b/ Người có tượng khác nhau? c/ Người có tượng khác nhau?
ĐS: a/ 6!. b/ 360 c/ 20160
(10)thoả:
a/ Số chẵn b/ Bắt đầu số 24 c/ Bắt đầu số 345 d/ Bắt đầu số 1? Từ suy số khơng bắt đầu số 1?
ÑS: a/ 312. b/ 24 c/ d/ 120 ; 480
Bài 22: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau:
a/ n số chaün?
b/ Một ba chữ số phải 1?
(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2)
ÑS: a/ 3000. b/ 2280
Bài 23: a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho
b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số
(HVCN Bưu Viễn thơng, 1999) c/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số
ÑS: a/ 18. b/ 42000 c/ 13320
Bài 24: a/ Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7,
b/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng số
ÑS: a/ 37332960. b/ 96 ; 259980
Bài 25: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)
(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số cho
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)
ĐS: a/ 3024. b/ 36960
(11)Đại số 11 1 Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử.
Số tổ hợp chập k n phần tử:
! !( )!
k
n n
C
k n k
Qui ước:
0
n
C = 1
Tính chất:
0
1
1
1
1
n
n n
k n k
n n
k k k
n n n
k k
n n
C C C C
C C C
n k
C C
k
2 Tổ hợp lặp:
Cho tập A = a a1 2; ; ;an số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử là
một hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A. Số tổ hợp lặp chập k n phần tử:Cnk Cn kk 1Cn km 11
3 Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp:
Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: !
k k
n n
A k C
Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự.
Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp.
Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n):
+ Khơng thứ tự, khơng hồn lại: Cnk
+ Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank
+ Có thứ tự, có hồn lại: Ank
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp
Bài 1: Tính: A = C2523 C1513 3C107 B =
4
7
5 6
2 10 10 11
1
C C C A
P
C C C
ÑS: A = – 165,
B = 4
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
S = C C Cnn 2nn 3nn P =
8 10
2 15 15 15
10 17
n k n n k
P C C C
A P C
(12)Q =
2
1 1
2 n nk nn
n k n
n n n
C C C
C k n
C C C
ÑS: S =
(3 )! ( !)
n
n P = (n+1)(n+2) + 1
Q =
( 1) n n
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Chứng minh hệ thức sau:
a) C Cnk n kp k C Cnp pk (k p n)b)
1
r r
n n n
C C
r
Bài 2: Chứng minh hệ thức sau:
a) Cnm1Cnm12CnmCnm21 b)
1
3
3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
(3
k n) ĐS: Sử dụng tính chất: Cnk1Cnk Cnk1
Bài 3: Chứng minh hệ thức sau:
a) Cnk 4Cnk16Cnk24Cnk3Cnk4 Cn4k (4 k n) b)
1
1
p p
n n n
C C p
c) k k( 1)Cnk n n( 1)Cnk22 ( < k < n) Bài 4: Chứng minh hệ thức sau:
a) C Cr0 qpC Cr1 qp1 C Crp q0 Cr qp b)
0 2
2
( )Cn ( )Cn ( ) Cnn Cnn
c) C20pC22pC24p C22pp C21pC23p C22 1pp c2 1p
d) 1 Cn1Cn2 Cn3 ( 1) p pCn ( 1)p pCn1
ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xp vế.
b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p (x–y)2p
d) Sử dụng Cnr Cnr11Cnr1, với r lẻ nhân vế với –1.
Dạng : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp Bài 1: Chứng minh rằng: 2
1 .
2
n n
n C n
( n N, n 1)
HD: Biến đổi vế trái: 2
1 . (2 )! 1.3.5 (2 1) 2.4.6 (2 ) 2 ! !
n n n n n n C n n n
Vậy ta phải chứng minh:
1.3.5 (2 1) 2.4.6 (2 ) 2 1
n n n Ta coù: 2 2
2 ( 1) ( 1)
2 4 4 1 2 1
k k k k
k k k k
(13)Đại số 11
Bài 2: Chứng minh rằng: C2nn k C2nn k (C2nn)2 (với k, n N, k n)
HD: Đặt uk =
n n
n k n k
C C (k = 0;1;…;n)
Ta chứng minh: uk > uk+1 (*)
Thật vậy, (*) C2nn k C2nn k C2nn k 1 2.Cnn k 1 n + 2nk > 0 Điều luôn đpcm.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức tổ hợp
Bài 1: a) Chứng minh: Cnk1Cnk với n = 2m, k m Từ suy Cnm lớn nhất.
b) Chứng minh: Cnk1Cnk với n = 2m + 1, k m.
Từ suy C Cnm; nm1 lớn nhất.
HD: a) Theo tính chất:
1
k k
n n k n
C C
k
1
k n k n
C n
k C
Với k m 2k n 1 n
k
Cnk Cnk1
Vì Cnk Cnn k nên Cnk lớn nhất.
b) Tương tự
Bài 2: Cho n > 2, p [1; n] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ p n
C .
HD: Vì CnpCnn p nên ta chi cần xét p 2
n
Ta coù: Cnp Cnp1
1
p n p n
C n p
p C
> p < n
Vậy Cnp nhỏ p = p = n – 1, ứng với C1n Cnn1= n p
n
C lớn p = n21 (nếu n lẻ) p = 2n (nếu n chẵn)
Bài 3: Với giá trị p Cnp lớn nhất.
HD: Ta coù:
1 1 1
p m p m
C m p m
p p
C
Tỉ số giảm p tăng.
1
p p
m m
C C
1
m p p
, đó: p m
Nếu m chẵn: m = 2k p k +
1 Để Cmp Cmp1 ta phải có: p k +
1
2, p, k N nên chọn p = k
(14)1 p m p m C C
p = k +
1
2 ((2 1)! !1)!
p k
m k k
C C k k
* Áp dụng toán ta giải nhiều tốn khác Ví dụ:
Có 25 học sinh Muốn lập thành nhóm gồm p học sinh Tìm giá trị p để số cách chia nhóm lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó.
* Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm lập C25p .
Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 C25p lớn p = k + = 13. Vậy p = 13, đó: số nhóm tối đa lập: C2513 = 5200300.
Dạng : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp Bài 1: Giải phương trình sau:
a) 4 24 23 n n n n A A C
b) 4 5 6
1 1
x x x
C C C c) Cxx1 Cxx2 Cxx3 Cxx10 1023
ÑS: a) n = 5 b) x = 2
c) x = 10
Bài 2: Giải phương trình sau: a) C10x4x C102 10xx b)
2
4x 3
x C x C C c) A2x2Cxx2 101
d) C8xx35Ax36 e)
1 6 6 9 14
x x x
C C C x
ÑS: a) x = 14 b) x = 3 c) x = 10
d) x = 17 e) x = 7
Bài 3: Giải bất phương trình:
a) 1 14 n n n C P A b) 60 ( n )! nk
P
A n k
c)
4
1 54
n n n
C C A
ÑS: a) ñk: n 3, n2 + n – 42 > n
b) ( 5)( 4)( 1)
k n
n n n k
Xét với n 4: bpt vô nghiệm
Xét n {0,1,2,3} ta nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)
c) ñk: n 5, n2 – 9n – 22 < n = 6; 7; 8; 9; 10
Bài 4: Giải phương trình bất phương trình: a/ Cxx122Cx317(x1) b/
3 x 14
x x
A C x
c/ 5 336 x x x A C d/ 28 24 225 52 x x C C
e/
4
1 54
n n n
C C A
(15)Đại số 11 g/ 2Cx213Ax230 h/
2
2
1 10.
2 A x Ax xCx ÑS: a/ x = b/ x = c/ x = d/ x =
e/ 5 n 10,n N f/ x6,n N g/ x = 2. h/ x = 3, x = 4.
Bài 5: Giải hệ phương trình:
a) 1 126 720 x
y y x
y x x A C P P
b) Cxy1:Cxy1:Cxy16 : :
c)
1
0
4
y y x x y y x x C C C C ÑS: a) x y b) x y c) 17 x y
Bài 6: Giải phương trình hệ bất phương trình:
a/
2 90
5 80
y y x x y y x x A C A C b/ : : 24 x x y y x x y y C C C A c/
lg(3 ) lg x x
C C x y
ÑS: a/ x = 5, y = b/ x = 4, y = c/ 3 x 6; ,x y Z
Bài 7: Tìm số tự nhiên k cho C14k ,C14k1,C14k2 lập thành cấp số cộng. ĐS: k = 4; 8.
Dạng 6: Tìm số tổ hợp toán số học
Bài 1: Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi?
ĐS: Đề gồm câu lý thuyết tập:
2 36
C C
Đề gồm câu lý thuyết tập:
1 60
C C
Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu:
a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ
c) Có nam nữ
d) Có nam e) Có nam nữ
ÑS: a) C404 b) C C125 15 c) C C25 152
(16)e) C404 C254 C154
Bài 3: Cho điểm mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có vectơ tạo thành từ điểm ấy? Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy?
ĐS: 20 ; 10.
Bài 4: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy?
ÑS: 1200.
Bài 5: Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được:
a/ viên bi màu? b/ viên bi trắng, viên bi xanh?
ÑS: a/ 20. b/ 150
Bài 6: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đồn, phó đồn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn?
ĐS: 4651200.
Bài 7: Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa đó:
a/ Có bơng hồng đỏ?
b/ Có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ?
ÑS: a/ 112 b/ 150
Bài 8: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần
ĐS: 544320. (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số:
a/ Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số đứng đầu chữ số 2?
b/ Gồm chữ số khác đôi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ?
ÑS: a/ 360. b/ 2448 (ÑH Cần Thơ, 2001)
Bài 10: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số khơng có chữ số 1)
b/ Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng lần
ÑS: a/ 33600 b/ 11340 (ÑH QG, Tp.HCM, 2001)
Bài 11: Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần cịn chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy?
ĐS: 1800. (ĐH Sư phạm Vinh, 1998)
Bài 12: Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau:
a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ?
b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ?
ĐS: a/ 2974. b/ 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)
(17)Đại số 11
a/ Có cách xếp cho vị khách lên toa
b/ Có cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách nói
ĐS: a/ 99. b/ 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999)
Bài 14: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh
ĐS: 3780. (HVKT Quân sự, 2001)
Dạng 7: Tìm số tổ hợp tốn hình học
Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, khơng có đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành?
ĐS: Số giao điểm:
2 ( 1)
2
n n n
C
Số tam giác:
3 ( 1)( 2)
6
n n n n
C
Bài 2: Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm?
b) Có vectơ nối cặp điểm?
c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên?
d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành?
ÑS: a) C102 b) A102
c) C103 d) C104
Bài 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n 4)
a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh?
b) Giả sử đường chéo qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (không phải đỉnh) đường chéo ấy?
ÑS: a) Cn2 n n n = 5
b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (khơng phải đỉnh) giao điểm của đường chéo tứ giác mà đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4
Bài 4: Cho đa giác lồi có n-cạnh (n,b3).
a/ Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b/ Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác?
c/ Có giao điểm đường chéo? ĐS: a/
( 3); 5.
n n n
b/
( 2)( 1)
n n n
c/
( 1)( 2)( 3) 24
n n n n
(18)a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng 10 đường trịn trên?
ĐS: a/ 45. b/ 90 c/ 335
Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2)
ÑS: 5950. (ÑH SP Quy Nhôn, 1997)
Bài 7: Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H
a/ Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H?
b/ Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H?
ÑS: a/ 1140; 20 b/ 320 ; 80 (HVNH, 2000, khoái D)
Bài 8: Có 10 điểm A, B, C, mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng a/ Nối chúng lại ta đường thẳng? Trong có đường khơng qua A hay B?
b/ Có tam giác đỉnh điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB?
ÑS: a/ 45; 28. b/ 120 ; 36 ;
Bài 9: Có p điểm mặt phẳng có q điểm thẳng hàng, số cịn lại khơng có điểm thẳng hàng Nối p điểm lại với Hỏi:
a/ Có đường thẳng? b/ Chúng tạo tam giác? ĐS: a/ 1 ( 1) ( 1) 2;2 p p q q b/ 61 ( 1)( 2) ( 1)( 2)p p p q q q
Bài 10: Cho p điểm khơng gian có q điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng có điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa p điểm Hỏi:
a/ Có mặt phẳng khác nhau? b/ Chúng tạo tứ diện? ĐS: a/ C3p Cq31. b/ C4p Cq4
Bài 11: Cho p điểm có q điểm nằm đường trịn, ngồi khơng có điểm đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu:
a/ Đường tròn, đường qua ba điểm? b/ Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó? ĐS: a/ C3p Cq31. b/ C4p Cq4
(19)Đại số 11
1 Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có:
0
( )n n nk n k k
k
a b C a b
2 Tính chất:
1) Số số hạng khai triển n + 1
2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 =
k n k k n
C a b
( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau:
k n k
n n
C C
5) Cn0 Cnn 1, Cnk1Cnk Cnk1
* Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt thì ta thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn:
(1+x)n = C xn0 nC x1n n1 Cnn
n 2n
n n n
C C C
(x–1)n = C xn0 n C x1n n1 ( 1) n nCn
( 1)n n 0
n n n
C C C
Dạng 1: Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton Bài 1: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức:
a)
10 x
x
b)
12
4 x
x
c)
5
2 x
x
d)
6 x
x
ÑS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15
Bài 2: a/ Tìm hệ số x y12 13 khai trieån (2x3 ) y 25
b/ Tìm số hạng khai triển (x3 xy) 15
ĐS: a) 3 13 12 13C25 b) T86435x y T31 , 6435x y29 Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m <n)
ĐS: Trước hết tìm tất số hạng chứa xk.
Ta coù: (x + y + z)n =
n k k n k
n
x y z C x y z
maø (y + z)n–k = Cn km y zm n k m
(20)Bài 4: Khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng đa thức:
9 10 14
( ) (1 ) (1 ) (1 ) P x x x x
ta đa thức: P x( )a0a x a x1 2 a x14 14. Hãy xác định hệ số a9? ĐS: a9 3003
Bài 5: Cho đa thức P x( ) (1 x) 2(1 x)23(1x)3 20(1 x)20
được viết dạng: P x( )a0a x a x1 2 a x20 20 Tìm hệ số a15?
ĐS: a15400995.
Bài 6: Khai triển P x( ) ( x 2)80a0a x a x1 2 a x80 80. Tìm hệ số a78? ĐS: a7812640
Bài 7: Khai trieån P x( ) (3 x)50 a0a x a x1 2 a x50 50
a/ Tính hệ số a46? b/ Tính tổng S a 0a a1 2 a50 ÑS: a/ a46 = 18654300 b/ S4 50
Bài 8: a) Tìm số hạng khơng chứa thức khai triển nhị thức: 33 2
b) Tìm số mũ n biểu thức 12
n
b
Biết tỉ số hệ số số hạng thứ 5
và thứ khai triển nhị thức 7:2 Tìm số hạng thứ 6? ĐS: a) C52.3.2 60
b) n = T6 =
5
5
9 312 1263 2 C b
b b b
Bài 9: Trong khai triển nhị thức:
21
3
a b
b a
, tìm số hạng chứa a, b với luỹ
thừa giống nhau?
ÑS: Ta coù: Tk+1 =
21
21 3
k k
k a b
C
b a
=
21 21
3 6
21
k k k k
k
C a b
21 21
3 6
k k k k
k = Vậy số hạng cần tìm laø: T10 =
5 2 2 21 C a b
Bài 10: a/ Tìm số hạng thứ khai triển
15 . x
x
b/ Tìm số hạng chứa a7 khai triển
12
3 .
64 a a
(21)Đại số 11
c/ Tìm số hạng khai triển
10
1 x .
x
d/ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức:
12 x x
.
e/ Tìm hạng tử độc lập với x khai triển
16 3x .
x
ÑS: a/ T6 C155 b/ 924 a7 30 c/ T16 C x y15 30 1530 d/ 495. e/ 1820.
Bài 11: Số hạng chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau:
a/ (4x x ) 10 b/
13
1 . x
x
ÑS: a/ C x C x C x102 , 106 7, 1010 10 b/ C x130 13,C x C x C x133 9, 136 5, 139 Bài 12: a/ Tìm số hạng khai triển ( 332)9 số nguyên.
b/ Tìm số hạng hữu tỉ khai triển ( 3 15)
c/ Xác định số hạng hữu tỉ khai triển ( 35 37) 36
d/ Có hạng tử nguyên khai triển ( 345) 124
ÑS: a/ T44536,T108 b/ T127,T32005,T510125,T7 3375 c/ T T7, 22,T37 d/ 32 số hạng
Bài 13: a/ Tìm số hạng thứ ba khai triển 13
1
n
a a
a
neáu C Cn3: n24 :1
b/ Trong khai triển (1x)n theo lũy thừa tăng x, cho biết :
3
4
4 40
3
T T
T T
Tìm n x?
ĐS: a/ n14,T39113 51a b/
1
6,
2 n x
Bài 14: a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai triển
2 n. x
x
b/ Cho biết tổng hệ số 11 Tìm hệ số x2. ĐS: a/
0 1, , ( 1).
n n n n n
C C n C
b/ n4,C42 6
Baøi 15: a/ Trong khai trieån n a a
a
cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba và
(22)b/ Cho biết khai triển
2 ,n x
x
tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai,
thứ ba 46 Tìm hạng tử khơn g chứa x
c/ Cho biết tổng hệ số số hạng khai triển
2
n
x
laø 97 Tìm
hạng tử khai triển chứa x4.
ÑS: a/ n = 11 b/ n = ; 84 c/ n = 8; 1120x4.
Dạng : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Tính tổng sau:
a/ S1Cn0C1nCn2 Cnn b/ S2 Cn0Cn2Cn4
c/ S3C1nCn3Cn5 d/ S4 Cn02Cn122 2Cn 2 k kCn 2 n nCn
e/ S5Cn022Cn224 4Cn
ÑS: a/ 2n. b/ 2n-1. c/ 2n-1. d/ 3n. e/
3 ( 1)
n n
Bài 2: Biết tổng tất hệ số khai triển thị thức (x2 + 1)n 1024, tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển đó.
ĐS: a = 210. (HV hành QG, 2000)
Bài 3: Tính tổng sau:
a/ S1C116 C117 C118 C119 C1110C1111 (ĐHQG Hà Nội, 97, Khối D) b/ S2 316 0C16 315 1C16314 2C16 C1616 (ĐHBK Hà Nội, 98)
ĐS: a/ 1024. b/ 216.
Bài 4: Chứng minh hệ thức sau:
a/ C20nC22n C24n C22nn C21n C23n C25n C22 1nn
Tổng hệ số chẵn tổng hệ số lẻ có khơng?
b/ 10. C12n10 2C2n 10 3C2n 10 2 1n C2nn 102n 81 n
c/ C20nC22 2n3 C24 4n3 C22nn32n 22 1n (22n1) (ĐH Hàng Hải, 2001)
Bài 5: Dùng đẳng thức (1x) (1m x)n (1 x)m n , chứng minh rằng:
a/ C Cm0 nkC Cm n1 k1C Cm2 nk2 C Cmm nk m Cm nk ,m k n
(23)Đại số 11 c/
0. 1. 2. . (2 )! ( )!( )!
k k k n k n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C
n k n k
Bài 6: Tính giá trị biểu thức:
A = 22nC20n22 2n C2n 2 2C2nn B = 22 1n C2n22 3n C2n 2 1C2nn
ÑS : Ta coù : (2x+1)2n =
2
2
n k
n k
n k
C x
Thay x = ta A + B = 32n = 9n
Mặt khác, (2x–1)2n =
2 2
2
n n k k
k n k
C x
Thay x = ta A – B = 1 Từ suy ra: A = 1 12
n
, B = 1 12
n
Bài 7: Chứng minh đẳng thức sau:
a) Cn06C1n62 2Cn 6 n nCn 7n b) 317 0C174 16 1C17 4 17 17C17 717 ĐS: a) Khai triển (1+x)n = Cn0C x C x1n n2 2 C xnn n; thay x = 6
b) Khai trieån (3x+4)17; thay x = 1
Dạng 3: Toán chia hết Nếu a chia cho b có số dư r a = bq + r
neân an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + … + nbqrn–1 + rn
Do an rn có số dư chia cho b Tức là: an rn(mod b)
Vậy a r (mod b) an rn (mod b)
Ví dụ 1: Chứng minh với n Z+, ta có:
a) 4n + 15n – 9 b) 16n – 15n – 225
HD: a) Ta coù 4n = (3+1)n = 3n + n.3n–1 + … + 3n + 3n + (mod 9)
(vì 3k , k 2)
4n + 15n – 3n + + 15n – (mod 9) = 18n (mod 9)
Vaäy 4n + 15n – 9
b) 16n = (1 + 15)n = + n.15 +
2 ( 1) 15
2 n n
+ … + n.15n–1 + 15n
+ 15n (mod 152)
Do đó: 16n – 15n – + 15n – 15n – (mod 225)
Vaäy 16n – 15n – 225
Ví dụ 2: Chứng minh với n Z+, ta có: 26n+1 + 36n+1 + 56n +
HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + = 2(26)n + 3(36)n + (56)n + 1
= 2.64n + 3.729n + 15625n +
(24)Do với số tự nhiên p q thì:
(7p+1)q – = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+ … + (7p+1) + 1]
nên biểu thức cho ln chia hết cho 7.
I Biến cố xác suất 1 Biến cố
Khơng gian mẫu : tập kết xảy phép thử. Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A .
Biến cố không:
Biến cố chắn:
Biến cố đối A: A\A
Hợp hai biến cố: A B Giao hai biến cố: A B (hoặc A.B) Hai biến cố xung khắc: A B =
Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến
coá kia. 2 Xác suất
Xác suất biến cố: P(A) =
( ) ( ) n A n
(25)Đại số 11
P(A) 1; P() = 1; P() = 0
Qui tắc cộng: Nếu A B = P(A B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B) P(A) = – P(A)
Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B)
Bài 1: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất
b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn ĐS: a) n() = 36 n(A) = P(A) =
5
36 b)
4 c)
3
Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, có 15 em học mơn Tốn, 16 em học mơn Văn
a) Tính xác suất để chọn em học mơn
b) Tính xác suất để chọn em học mơn Tốn khơng mơn Văn ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +15 – 25 = 17 P(AB)
2 25 C
b) 25 C
Bài 3: Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất
b) Các mặt xuất có số chấm ĐS: a)
1
6 b)
1
Bài 4: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh
ÑS:
Bài 5: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi xanh
ÑS:
Bài 6: Hai người săn độc lập với bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ
3
5, người thứ hai
2 Tính xác suất để thú bị bắn trúng. ĐS:
4
Bài 7: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau:
(26)c) Ít lần xuất mặt chấm d) Không lần xuất mặt chấm ĐS: a)
1
6 b)
1
6 c)
11
36 d) 25 36
Bài 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Cả đồng xu ngửa
b) Có đồng xu lật ngửa c) Có hai đồng xu lật ngửa ĐS: a)
1
16 b)
4 c)
11 16
Bài 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được:
a) bóng tốt b) bóng tốt
Bài 10: Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi môn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi
Bài 11: Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen Bài 12: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ
Tính xác suất để em khác phái
Bài 13: Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để :
a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình
Bài 14: Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để:
a) Số số lẻ b) Số chia hết cho c) Số chia hết cho
II Biến ngẫu nhiên rời rạc 1 Biến ngẫu nhiên rời rạc
X = {x1, x2, …,xn}
P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = 1
2 Kì vọng (giá trị trung bình)
= E(X) = n
i i ix p
3 Phương sai độ lệch chuẩn
V(X) =
2
( )
n
i i
i
x p
=
2
1
n i i i
x p
(X) = V X( )
(27)Đại số 11
người thứ 0,8 Tính xác suất làm bàn người thứ hai, biết xác suất để hai người làm bàn 0,56 xác suất để bị thủng lưới lần 0,94
Bài 2: Một cặp vợ chồng có người Gọi X số lần sinh trai Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X
Bài 3: Một hộp đựng viên bi xanh viên bi đỏ Chọn ngẫu nhiên viên bi Gọi X số lần lấy bi đỏ Lập bảng phân phối biến ngẫu nhiên X
Baøi 4: Cho bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhieân X:
X
P 0,3 0,5 0,2
Tìm kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X
Bài 5: Một hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Gọi X số bi đỏ lấy Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X