phim minh họa-Thach Sanh

giíi h¹n lµ mét phÇn rÊt quan träng mµ thêng xuyªn häc sinh ph¶i sö dông. Tuy nhiªn giíi h¹n d·y sè thêng khã víi häc sinh kh¸ vµ häc sinh trung b×nh[r]

Lời nói đầu

Trong chơng trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn ứng dụng cña

giới hạn phần quan trọng mà thờng xuyên học sinh phải sử dụng Tuy nhiên giới hạn dãy số thờng khó với học sinh học sinh trung bình Nhng đề thi đại học thờng có giới hạn hàm số chứa tỷ lệ lớn nên

c¸c em gặp thờng em làm tốt

Tụi viết chuyên đề nhằm mục đích đa phơng pháp tính giới hạn thờng đợc sử dụng rộng dãi ; để thầy cô em tham khảo góp ý cho tác giả

Rất mong quý thầy em học sinh quan tâm góp ý cho đề tài hồn thiện Tơi xin trõn trng cm n !

Tác giả

Hoàng quý - Thpt lơng tài SĐT:01686.909.405

Mục lục Phần I giới hạn dÃy số.

A - Các kiến thức cần nhớ

B - Giíi h¹n d·y sè

Dạng I : Các toán giới hạn

Dạng Tìm giới hạn biÕt biĨu thøc truy håi cđa d·y sè

Phần ii : Giới hạn hàm số A - Các kiến thức cần nhớ

B- Các dạng toán

I / dạng bản

II/ Giới hạn d¹ng :

sin

lim

x

x x

 

III/ Giíi h¹n d¹ng:  1



iV/ Giới hạn dạng Mũ lôgarit

V/ SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

PhÇn iII : øng dơng cđa giíi h¹n

A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận hàm số:

B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục

Phần iV Giới thiệu số đề thi

Phần I giới hạn dÃy số.

A - Các kiến thức cần nhớ.

1) Định nghĩa

DÃy số un có giới hạn a với số d¬ng  cho tríc

( nhá tuỳ ý ) tồn số tự nhiên N cho víi mäi n > N th× un  a  Ta viÕt nlim un a hc viÕt limun a

2 Các nh lý.

+) Định lý 1.

Nếu (un) dÃy số tăng bị chặn có giới hạn Nếu (un) dÃy số giảm bị chặn dới có giới hạn

+) Định lý 2. Các phép toán giới hạn dÃy sè

vn≤un≤ wn víi ∀n∈N❑ vµ lim

n →∞vn

=lim

n →∞wn

=a th× lim

n un

=a

3 Các giới hạn bản. +) n limC=C n limq

n

=0 víi q 1.

+) NÕu un→0 th× u1

n

→ ∞

+) NÕu un→ ∞ th×

un→0

4 CÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n.

+) Cho u1,u2, ,un, cấp số cộng với cơng sai d Khi đó: un=un −1+d=u1+(n −1)d

Sn=u1+u2+ .+un=

n

2[u1+un]=

n

2[2u1+(n −1)d] +) Cho ⋅⋅u1,u2, , un,

¿

là cấp số nhân với công bội q với q Khi đó: un=un −1q=u1q

n −1 vµ

Sn=u1+u2+ .+un=u1(1− q

n

)

1−q

B - Giíi h¹n d·y sè

D¹ng I : Các toán giới hạn

Phơng pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hỵp

+) Sử dụng định lý giới hạn +) Sử dụng tổng

Lu ý : Ta sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song đề thi đại học

việc sử dụng định nghĩa khơng có , nên chun đề đề cập vấn đề liên quan thi đại học toán bám sát đề thi đại học thờng sử dụng định lý quan trọng giới hạn

1/ lim ( )

n  n   n n  

3

2 / lim 2009

n  n  n   n

3 3

4

1

3/ lim

5

n

n n

 

  

 2

1 1

4/ lim

1

n  n n n n

 

  

 



Giải : Nhân với biểu thức liên hợp n2 n n

2

2

1

1

1/ lim ( ) lim lim

2

1

1 1 1

n n n

n n

n n n

n n n

n n

     

 

     

     

3 

3

3 2 2

3

3 2009

2 / lim 2009 lim

( 2009) ( 2009 )

n n

n

n n n

n n n n n n n

   



   

      

=1

 

 

2

3 3

4

1

1

3/ lim lim

4

5

n n

n n n

n n

   



  

 

 

2 2

1 1

4/ lim

1

n  n n n n

 

  

 

  

 

Ta cã 2

1 1

1

n n  n   n

2

1 1

2

n n  n   n 



2

1 1

n n  n n  n

Céng l¹i : 2 2

1 1

1

n n

n n  n   n    n n  n

Ta cã : 2

lim 1; lim

1

n n

n n

n n

   

   

 

   



   

VËy 2

1 1

lim

1

n  n n n n

 

   

 

  

 

1

2009 2008

1/ lim

2009 2010

n n

n n

 

 



 2/ Cho d·y  xn cho

 

2 2

1

1 1 *

n

n

x n n

n n n n

       

             

       

TÝnh nlim ln  xn

Gi¶i :

1

2008 2008

2009 2008 2009

1/ lim lim

2009

2009 2010

2009 2010

2009

n

n n

n n

n n

 

   

 

  

  

 

  

  

 

Gi¶i : 2/ Cho d·y  xn cho

 

2 2

1

1 1 *

n

n

x n n

n n n n

       

             

       

TÝnh nlim ln  xn

Ta ®i chøng minh    

2

ln

2

x

x  x x  x (*)

ThËt vËy xÐt      

ln

2

x

f x  x  x  x

vµ g x   x ln 1 x  x 0

Dễ dàng chứng minh hàm số đồng biến với x > suy điều phải chứng minh (*)

Ta cã : 2 2

1

lnxn ln ln ln ln n

n n n n

       

             

       

¸p dơng (*)  

2

2 ln 2 1,

i i i i

i n

n n n n

 

      

 

VËy

       

2

1 1 1

ln

6

2 n

n n n n n n n

x

n n n

   

  

Ta cã

     

2

1 1 1

lim

6

2

x

n n n n n

n n

 

  

 

Vµ

 

2

1

lim

2

x

n n n

 

 

VËy  

1 lim ln

2

n n  x 

Dạng Tìm giới hạn biÕt biĨu thøc truy håi cđa d·y sè

Phơng pháp chung :

+) Ta xác định số hạng tổng quát d ãy số

Để xác định số hạng tổng quát ta thờng sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phơng pháp quy nạp toán học ; phơng trình tuyến tính sai phân phép rút gọn đơn giản

Cho dãy số (un) xác định bởi:

1

1

1

n

n n

u

u  u   

  

   



 

 víi

∀n∈N❑

T×m nlim un.

Gi¶i

Theo gi¶ thiÕt ta cã:

1

1

n

n n

u u

 

 

   

  ;

2

1

1

n

n n

u u



 

 

   

  ;

3

2

1

n

n n

u u



 

 

   

  ;…… ;

1

2

1

u u       . Cộng vế đẳng thức ta có:

2

1

1 1

5 5

n n

u u



     

        

      =

2

1 1

1

5 5

n

     

       

     

=

1 1

5 5 1

1

1 4 5

1

n

n

   



   

 

 

   

   

   

 

 

 



Ta cã: nlim un nlim 

5

1

4

n

   

 

   

 

 

 

u1 Cho dãy số  un xác định :

un1 un 2 n N*

T×m nlim un

Gi¶i Ta cã d·y sè  un chÝnh lµ d·y

2 2

n

n dau

u



    

           Ta chứng minh đợc dãy số  un có giới hạn Đặt xlim un a

Chun qua giíi h¹n ta có a a2 a1;a2 un 0 nên xlim un 2

Cho    

2 1 1

f n  n  n 

XÐt d·y

       

         

1

*

2

n

f f f f n

u n N

f f f f n



  

Tìm nlim n un

Giải :       

2 2

2 1 1 1 1 1

f n  n  n   n   n  

 

 

 

 

 

2

2

2 1

2 2 1 1

f n n

f n n

  



 

Suy :

 

 

2

2

2 2

2 1

1 1

3 1 2

n

n u

n n

n

 

 

 

     

Suy :

1 lim

2

n n n u 

Cho dãy số (un) xác định bởi:

2

1

2009

n

n n

u

u

u  u

   

 



 víi

n1 a) CMR: (un) dÃy tăng

b) CMR: (un) dÃy không bị chặn

c) Tính giới hạn:

1

2

lim n

n n

u u u

u u u

 



 

  

 

 .

Gi¶i.

a) Ta cã:

2

1

2009

n

n n

u

u   u  

víi

∀n≥1 ⇒ {un}

lµ d·y tăng b) (Phơng pháp phản chứng)

Giả sử (un) dÃy bị chặn Do dÃy tăng nên có giới hạn, tøc lµ: ∃lim

n → ∞un

=a ⇒ a ≥1

Mặt khác lấy giới hạn vế đẳng thức cho ta có:

VÝ dơ 2

VÝ dơ 3

2

2009

a

a a ⇔ a=0

(v« lý)

Chứng tỏ (un) dÃy không bị chặn trên, tức là: n limun=+

c)T giả thiết ta biến đổi:

2

1 2009n

n n

u

u   u  ⇔

1

1

2009

n

n n n

u

u  u   u  ⇔

1

1

2009( )

n

n n n

u

u   u  u 

Suy ra:

2

1

2009( )

u

u  u  u ;

2

3

1

2009( )

u

u  u  u ;; 1 1

1

2009( )

n

n n n

u

u   u  u 

VËy

1

2

lim n

n n

u u u

u u u

 



 

  

 

 = 1

1

lim 2009

n  u un 

 



 

 =2009

Cho dãy số (un) xác định bởi:

  

1

1

5; *

5

n n n

u  u   u u nN

Đặt

 

1

1

*

n n

k k

v n N

u



  





T×m xlim vn

Gi¶i : Ta cã  

1

3

5

n n n

u   u  u  

un u15 ( dÃy bị chặn có giới hạn ) Giả sử dÃy xlim un aa5 (Phơng pháp phản chứng)

Từ giả thiết chuyển qua giới hạn  

1

9

5

a a  a  a

v« lý xlim un

Mặt khác :        

2

1

1

9 3

5

k k k k k k

u   u  u   u    u  u 

   

1 1

3 3

k k k k k

u  u u u u

   

    

1 1

2 3

k k k

u u u 

  

  

Do 1 1

1 1 1

2 3

n n

k k n n

v

u u u u

  

    

   



VËy

1 lim

2

n x v

Các tập t ơng tù

Bài Cho dãy số (un) xác định bởi:

¿

u1=0;u2=1

un+2=

un+1+un

2

¿{

¿

a) CMR: un+1=−1

2un+1

b) Xác định công thức tổng quát (un) theo n

c) T×m lim

n →∞un

Bài Cho dãy số (xn) xác định bởi:

¿

0<xn<1,∀n ≥1

xn+1(1− xn)≥14 ¿{

¿

a) CMR: (xn) lµ dÃy số tăng b) Tìm lim

n xn

Bài Tính giới hạn sau:

2

1/ lim ( )

n  n  n  n

2

2 / lim (2 1)

n  n n  n

3

3/ lim (2 1)

n  n n 

2 2

3

1

4 / lim

3 2009

n

n n

 



Bài Tính giíi h¹n sau: a) lim

n →∞(

1 2+

1

2 3+ +

n.(n+1)) b) n →∞lim

(1−

22)(1−

32) (1−

n2)

PhÇn ii : Giới hạn hàm số

A - Các kiến thức cần nhớ.

1) §Þnh nghÜa

Cho hàm số f(x) xác định K trừ điểm aK Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L ( hay dần tới L) x dần tới a với dãy số   xn xnK x, n   a n N* cho

limxn a th×

  lim f xn L Ta viÕt : lim f xxa  L hay  

x a

f x  L

  

2) Cỏc nh lý

Định lý 1 (Cỏc phép tốn giới hạn hàm số ) ( víi limx a f x  A;limx a f x  B) lim f (x) g(x)xa   lim f (x) lim g(x)xa  xa

lim f (x).g(x)x a   lim f (x).lim g(x)x a x a

x a

x a x a

x a

lim f (x) f (x)

lim lim g(x)

g(x) lim g(x)



 



 

   

 

lim f (x)x a  lim f (x) f xx a   0 Định lý 2:Nếu hàm số có giới hạn giới hạn nhất

Định lý 3:Cho hàm số g(x),f(x),h(x) xác định khoảng K chứa a g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) Lxa x a  lim f (x) Lxa 

Định lý 4: Nếu x a x a

1 lim f (x) lim

f (x)

Nếu x a x a

1 lim f (x) lim

f (x)

   

Định lý 5:(giới hạn đặc biệt) x

sinx

lim

x

  ; x

x

lim

sinx

  ; x

sin kx

lim

kx

  ; x

kx

lim

sin kx

 

*Các dạng vô định:

1) D¹ng

0

   

  2) D¹ng 

 

 



 

3) D¹ng    4) D¹ng 0

Phơng pháp chung : Khử dạng vơ định

+) Ph©n tÝch thõa số

+) Nhân với biểu thức liên hợp thờng gặp

A B có biểu thức liên hợp A B A B có biểu thức liên hợp A B

3 A B cã biểu thức liên hợp 3 A2 AB B2 3 A B cã biĨu thøc liªn hỵp 3 A2 B A B3  +) Đặt biến phụ

+) Thêm bít mét sè hc mét biĨu thøc

B- Các dạng toán I ) dạng bản

Tìm giới hạn sau :  

 

2

1

lim *

1

n x

x nx n

M n N

x



  

  



Gi¶i : M=    

2

1

1 ( 1) ( 1)

lim lim

1

n n

x x

x nx n x n x

x x

 

     



 

 

1

1

lim

1

n n

x

x x x n

M

x

 



    



  

1

1

( 1) ( 1) ( 1)

lim

1

n n

x

x x x

x

 



     



 M=

 1

n n

Tìm giới hạn sau :

2

lim

1

x

x

Q x

x 

 

 

 Gi¶i : Đây dạng 0

Ta có 

  

 

2

lim 1

( 1)

x

x

Q x x x

x x



 

   

 

Do x  1



 

nªn  

     

2

1

1

lim

( 1)

x

x x

Q x x

x x



 



  

 

D¹ng I : Ph©n tÝch thõa sè

VÝ dô 1

   

 

2

1

lim

( 1)

x

x x

Q x x

x 

 



   

Lu ý : Đây toán nhng học sinh dễ viết sai viÕt :

 

    

1

1

lim 1

1

x

Q x x x x

x 

 

 

      



 

T×m giíi h¹n sau :

3

1

lim

x

x x

N

x



  



Gi¶i :

   

2

1 2

lim

x

x x x x

N

x



      



   

2

0

1 2

lim

x

x x x x

N

x x



       

   

 

Nhân biểu thức liên hỵp

       

2

2 2 2

0 2 3 3

4 12

lim

( ) 1 2 1 2 1 6 1 2

x

x x x

N

x x x x x x x x



 

  

   

 

  

       

 

 

 

Rót gän vµ Kq : N =

Tìm giới hạn sau :        

lim

x

P x a x b x c x m x n

 

 

      

 

Giải : Đây dạng   Ta chuyển dạng vô định khác

         

3

lim ( ) ( )

x

P x a x b x c x x x m x n

 

 

        

 

Xét giới hạn sau :    

1 xlim ( )

P x a x b x c x

 

 

   

Đặt

1

x y 

Ta cã

     

3

1 0

( 1 1

lim

y

ay by cy

P

y



     

  

 

 

P2 xlim  x x m x n  

 

   

Nhân với biểu thức liên hỵp a b c

P   

vµ 2 m n

P  

VËy a b c m n

P    

Ta có toán tổng quát :

     

1

1

lim n n

n x

a a a

P x a x a x a x

n

 

 

 

     

 

D¹ng II Thêm bớt nhân liên hợp

Ví dụ 3

VÝ dô 4

Tìm giới hạn sau :

1

limn *; *

x

ax

R n N a R

x



 

   

Giải : Đặt

1

n

n ax y x y

a 

   

x th× y1

Ta cã :

1

1

1

lim lim

1 11

n n n

y y

y a

R

n

y y y

a a

 

 



  

 

Dạng tổng quát : Tìm giới h¹n

1

1/ limm n

x

ax bx

x



  

 

1 1

2 / limm n *

x

ax bx

n n x



  

 

Gi¶ sư    

2

1 n *

P x a x a x  a x  n N

TÝnh

1 ( )

3/ limm

x

P x x



 

II/ Giíi h¹n d¹ng :

sin

lim

x

x x

Tổng quát :

    sin

lim

x a

f x f x

 

(*) víi  

x a f x 

  

1) Các toán :

Các giới hạn ( với a0;b0):

0

sin 1/ lim

x

ax a x

 

sin / lim

sin

x

ax a bx b

 

tan 3/ lim

x

ax a x

 

2

0

1 cos 4/ lim

2

x

ax a x







2) Phơng pháp

a) Phơng pháp :

B1) NhËn d¹ng giíi h¹n

B2) Sử dụng công thức lợng giác ; nhân với biểu thức liên hợp Thêm bớt ;đặt biến phụ

B3) Đa toán dạng (*) B4) Tỡm kt qu

b) Yêu cầu :

+) Học sinh nhớ công thức lợng giác - Công thức cộng

- Công thức nhân đôi ; nhân ba ; hạ bc

- Công thức biến tổng thành tÝch ; tÝch thµnh tỉng +) Häc sinh nhớ biểu thức liên hợp

3) áp dông

A- Loại 1( sử dụng phép bin i lng giỏc ) Ph

ơng pháp : Trong phơng pháp tác giả hớng dẫn học sinh chủ yếu phơng pháp sử dụng công thức lợng giác ; thêm bớt ;nhuần nhuyễn ; đua dạng (*)

Ví dụ 1 Tìm giới hạn sau :

VÝ dô 5

2

1 cos lim

x

x A

x



Gi¶i : Ta cã

2

2

0 0

2sin sin

1 cos 2 2

lim lim lim

2

2

x x x

x x

x

x

x x

  

 

 



   

 

 =1/2

( Có thể nhân liên hợp với 1+cosx )

Ví dụ 2 Tìm giới hạn sau :

cos cos

lim

x

ax bx

B

x



 

Gi¶i : Ta cã 2

sin sin

cos cos 2 2

lim 2lim

x x

a b a b

x x

ax bx

x x

 

 





=

2

2

b  a

Ví dụ 3 Tìm giới hạn sau :

1 cos cos cos3 lim

x

x x x

C

x



 

Gi¶i :

1 cos cos cos cos2 cos cos2 cos cos2 cos3

lim

x

x x x x x x x x x

C

x



    



 

2 2

0

1 cos3 cos cos2 cos (1 cos2 )cos

lim

x

x x x

x x x

C

x x x





   

    

 

Lµm tơng tự C =

Ví dụ 4 Tìm giới hạn sau :

2

2

4 lim

cos

x

x D

x 



 

Gi¶i :

   

 

2

2

2

4

lim lim

cos sin

4

x x

x x

x D

x

x

 

 

 



 

 



 

  suy ra

16

D 

Ví dụ 5 Tìm giới hạn sau :

sin lim

1 2cos

x

x E

x

 



 Gi¶i:

   

2

3 3

sin cos sin 4cos

sin 4sin

lim lim lim

1 2cos 2cos 2cos

x x x

x x x x

x x

E

x x x

  

  

   

     

     

  

 

Rút gọn E Các tập t ơng tự 1/Tính giới h¹n sau:

2

x x x 2

2

x x

4

1 cos x 1 sin x cos x x cos x x

1/ lim ;( ) / lim ; lim ;(1);

x

x sin 2x sin x cos x 2sin x cos

2 sin(x 1) sin x cos x

lim ; lim ;(1)

x 4x 4x

  



 

   

 

 

   

; (-1); 3/

4/ 5/

x

3 / lim(x 4)sin ;(3);

x

 

2/Tính giới hạn sau:

 

1 cos cos2 cos3 cos

1/ lim *

x

x x x nx

n N x





 

0

cos cos 2 / lim

sin(tan )

x

x x 



 

 

 

cos 3/ lim

1

x

x x 



 

 

 



2

0

tan( )tan( ) tan

4 / lim

x

x a x a a

x



  

 

1

5/ lim tan

x

x

x 

 

6 / lim tan tan( )

x

x x









B-Loại (Nhân với biểu thức liên hợp) Ph

ơng pháp : Trong phơng pháp tác giả hớng dẫn học sinh chủ yếu phơng pháp sử dụng biểu thức liên hợp ; thêm bớt nhân liên hợp chứa bậc 2;3 chủ yếu (có thể làm cách khác)

Ví dụ 1 Tìm giới hạn sau :

2 cos

lim

sin

x

x C

x



 



Gi¶i : Nhân tử mẫu với biểu thức liên hỵp 2 cos x

   

   

2 2

0 0

2 cos cos

2 cos cos

lim lim lim

sin cos sin cos sin

x x x

x x

x x

x x x x x

  

   

  

 

   

2

2

0

2sin

2 cos 2

lim lim

sin ( cos )sin

x x

x x

x x x

 

 



  suy KQ: C =

2

VÝ dơ 2 T×m giíi h¹n sau :

1 cos cos lim

x

x x

B

x



 

Giải : Thêm bớt nhân liên hợp

2 2

0

1 cos cos cos cos cos (1 cos )cos

lim lim

x x

x x x x x x x

B

x x x

 

 

    

    

 

   

2

0

(1 cos ) cos2 cos (1 cos ) cos

lim

(1 cos ) (1 cos )

x

x x x

x x

B

x x x x



     

 

 



  

 

2

2

0

sin sin cos

lim

(1 cos ) (1 cos2 )

x

x x x

B

x x x x



 

   

 

  B=5/2

Các tập t ơng tự Tính giới hạn sau:

3

cos2 cos

1/ lim

sin

x

x x

x





3

0

1 cos 2/ lim

1 cos

x

x x







1 cos 3/ lim

1 cos

x

x x



2

cos( 1) cos2( 1)

4/ lim

1

x

x x

x



  



2

1

sin 5/ lim

1 cos

2

x

x x 





 

2

2 6/ lim

sin sin

x

x x



 



1 cos cos2 / lim

1

x

x x

x





 

C-Loi (t bin ph) Ph

ơng pháp : Trong phơng pháp tác giả hớng dẫn học sinh chủ yếu phơng pháp sử dụng c¸c biÕn phơ

VÝ dơ 1 Tìm giới hạn sau :

cos lim

1

x

x A

x 



 

 

 





GiảI: Đặtx-1= y Ta có x=y+1 : x1 th× y

Ta cã 0

cos ( 1) cos sin

2 2

lim lim lim

2

y y y

y y y

A

y y y

   



  

     

 

     

     

   



VÝ dô 2 Tìm giới hạn sau :

lim tan tan( )

x

B x x







Giải: Đặt x y

Ta cã x y 

: x

y Ta cã

 

0 0

lim tan tan( ) lim tan tan lim cot tan

4

y y y

B y  y y  y y y

  

   

         

   

0

cos sin cos 1

lim lim

sin cos 2cos cos

y y

y y y

B

y y y y

 

  

VÝ dô 3 Tìm giới hạn sau : lim 1x 1 tan

x

A x 



 

Gi¶i : Đặt y x Ta có x= 1-y x 1th× y

 

0 0

1

lim tan lim tan lim cot

2 2

y y y

y y y

A y  y   y 

  

  

     

 

0

cos 2

2 lim

sin

y

y

A y

y



 



 

C¸c tập t ơng tự

3

x x

x x

2

x 2

x

1 tgx sin x 1 cos3x

lim tgx ;(0) ;lim ;( ); lim x tgx;(1); lim ;( )

cos x x 2 sin xtgx

1 1

lim tg2xtg x ;( ); lim ;( ); x

4 tgx sin

2

   

 

  



  

   

 

   

   

 

 

  

    

 

   

 

 

 

2 x 1

x

sin x x

lim tgx ;( ); lim x tg ;( )

2

cos x

 





 

 

 



 

III/ Giíi h¹n d¹ng:  1



Ph

ơng pháp : Dạng tổng quát  

 

lim g x

x a

S f x



  

1) NÕu limx a f x  A vµ limx a g x  B th× S AB

2) Nếu A1 B ta có kết 3) Nếu A=1 B ta đặt f(x)=1+h(x) Ta có :  

 

lim ( ) g x

x a

S h x



 

KÕt qu¶ : e ( -bất kỳ) 4) Đặc biệt :

1 lim

x x  x e

 

 

 

  vµ  

1

0

lim x

x x e

Tỉng qu¸t :  

 

1 lim

f x

x a f x e

 

 

 

  víi f x   x a    

 

1

lim f x

x a   f x  e víi  

x a f x 

  

T=0 nÕu a1a2

Ta cã kÕt qu¶ sau :

 

1

1

2

lim ;

x x

a x b

T a a

a x b

 

  

    



  T  nÕu a1a2

1

b b a

T e



 nÕu a1a2

Ví dụ 1 Tìm giới hạn :

3

1 lim

x x

x A

x

  



 

  

 

Gi¶i :

3

3 2

3

1 1

lim lim 1

x x

x x

A e

x x x



   

 

     

            

      

VÝ dụ 2 Tìm giới hạn :

2

1

0

cos lim

cos2

x x

x B

x



 

  

 

Gi¶i :

2

1 cos2 cos cos2

cos cos cos

0

cos cos2 cos cos2

lim ( ) lim ( )

cos cos2

x x x

x x x

x x

x x

x x x x

B

x x

 

 

 

   

       

XÐt giíi h¹n: 2

3 2sin sin

cos cos2 2 2

lim lim x x x x x x x x      VËy

B e

VÝ dơ 3 T×m giíi h¹n :

 tan

2

lim sin x

x

C x

 



Gi¶i : Ta cã

 tan

2

lim sin x

x

C x

 



Đặt 2

y x x y

và

x

thì y

Khi

 

2

2

2sin

1 2 cos

sin

cot 2 2sin

2

0

lim cos lim 2sin

2 y y y y y y y y C y           

  rót gän KQ: C=1

Bµi TËp Tính giới hạn

x x 1

h x

x x x

h x

1) lim ;(e ); lim ;(e ); lim sin x ;(e)

x x

                 

  2)   3)

 

10x

x x

x x x

x

4) lim cos 4(x ; lim ; lim cos3x x                

5) 6)

iV/ Giíi h¹n d¹ng Mũ lôgarit:

Ph ơng pháp : +) Dạng tổng quát :



     

1

lim

f x

x a x a

e

P f x

f x                   ln

lim x a

x a

f x

Q f x

f x

 



 

+) Dạng bản:

1 1/ lim x

x e x    ;   ln

2/ lim

x x x   

+) KÕt qu¶ :  

1

1/ lim ln 0;

x x

a

a a a

x          

log 1

2 / lim 0;

ln a x x a a x a     

VÝ dơ 1 T×m giíi h¹n :

lim ax bx x e e A x   

Gi¶i : Ta cã 0

1 1

lim lim

ax bx ax bx

x x

e e e e

A a b

x x x

 

 

    

      

 

VÝ dô 2 Tìm giới hạn :

2 cos lim x x e x B x    Gi¶i : Ta cã

2

2

0

cos 1 cos

lim lim

x x

x x

e x e x

B

x x

 

   

2

2

0

1 cos

lim x x e x B x x             

Ví dụ 3 Tìm giới hạn : 

lim 0;

x a

x a

a x

C a a

x a





   



Gi¶i : Ta cã

 

1

lim lim( ) ln

x a x a a a

a a

x a x a

a x a a x

C a a a

x a x a x a

                   

VÝ dơ 4 T×m giíi h¹n :  

ln ln

lim 0;

x a

x a

D a a

x a





  



Gi¶i : Ta cã

1

1

limln limln

a x a

x a x a a x a

x a x a

x x a

D

a a a

                     

Ví dụ 5 Tìm giới hạn :  

ln cos

lim ;

ln cos

x

ax

E a b

bx



 

Gi¶i : Ta cã

 

 

 

 

0

ln cos

ln cos cos 1 cos

lim lim

ln cos

ln cos cos

cos

x x

ax

ax ax ax

E bx bx bx bx                       2 a E b 

VÝ dô 6 Tìm giới hạn : F xlim ln0x x

Gi¶i : Ta cã lim ln0 lim ln0 lim ln 10  1

x x

x x x

F x x x x

  

  

    

   

 1

1 1

1 1

0

lim ln 1 lim ln 1

x x x x

x x

x x

F x x

                  

Bài tập Tính giới hạn Dạng - L«garit

2 3

x ax bx

2

x x x

(x 1)

x e e

1) lim lim lim

x x sin ax sin bx

          log e

(DHGT) 2) 3)

 

 m

x x

4) lim lim

           n

x sin x

x a a>0 5) sin x 6)limxe

lnx-1 x-e

x x

2

7) lim lim

          sin x x-sin x

sin x lnsin x

8) x x-2  

x x x x x

x x

a b c b c

9) lim lim

3 a b c

                      1 x+1

x a x

a;b;c>0 10)

x x x

ax

ln cos ax

11) lim lim lim

sin bx ln cos bx

  

  

  

   

   

2

1 x x x

lntan

1+x2

12) 13) 1+x3

14)lim

x b

x b

a a

x b



 

V- SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

Bài toán: Tính giới hạn

   





0

lim

x x

P x L

Q x D¹ng (

0

0). 1)Ph -

ơng pháp chung:

Ta biến đổi giới hạn dạng sau:

Dạng 1: Ta đợc L =

0

0

( ) ( )

lim '( )

x x

f x f x

f x

x x







 ( công thức tính đạo hàm x0)

Dạng 2: Ta đợc L = 



 

0

0

0

0 ( ) ( )

lim ( ) '( ) ( )

x x

f x f x

R x f x R x

x x víi R( )x0 .

Dạng 3: Ta đợc L =

0

0

0

0 0

0

( ) ( )

'( ) lim

( ) ( ) '( )

x x

f x f x

x x f x

g x g x g x

x x



 

 

 với g x'( 0) 0 . Chú ý: Một số tốn có dạng vơ định ta dùng cách biến đổi nh sau:

D¹ng 0.

( ) ( ) ( )

1 ( )

f x f x g x

g x



D¹ng   

1

( ) ( )

1

( ) ( )

f x g x

f x g x

  

1

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x

 

D¹ng



0

1 , , . Cho hµm sè

( ) [ ( )]g x

y  f x , để tính giới hạn limxx0y mà:

1)lim ( ) 1xx0 f x  xlim ( )x0g x Dạng 1

2)xlim ( )x0 f x vµxlim ( )x0g x 0 D¹ng   

3)xlim ( )x0 f x xlim ( )x0g x 0 D¹ng  

0

Chun vỊ d¹ng

0 , ta áp dụng dạng

Để tính giới hạn cụ thể ta làm bớc sau :

B1/ Xét hàm số f x phù hợp với biểu thức toán

B2/ Tính f a =? Vµ f x'  ? Vµ f a'  ?

B3/ Viết biểu thức theo cơng thức tính đạo hàm. B4/ Kết

2)C¸c vÝ dơ minh ho¹:

VÝ dơ 1 : TÝnh giíi h¹n sau 

  



3

2

lim

1

x

x x

A

x

Gi¶i: B1) XÐt  

3

2

f x  x  x

B2) f(1)=0 ;

   

2

2

' '

3

2

f x x f

x



   



B3)

       



 

 

  



   

 

    3

1

1

(

1

lim lim '

1

f f x

x x

x x

f x f

A f

x x

B4) KL:A=5/3

VÝ dơ 2: TÝnh giíi h¹n sau B = 

 



3

1

3

lim

1

x

x x

x

Gi¶i:

XÐt

3

( )

f x  x x , ta cã: f(1) 0 ,

     



2 3

'( ) '(1)

2

2

f x x f

x

Khi đó:

( ) (1)

L = lim '(1)

1

x

f x f

f x





 

 .

C =

1 sin

lim

3

x

x x

x x



  

  

Gi¶i:

ViÕt lại giới hạn dới dạng:

C =



  

  

0

1 sin

lim

3

x

x x

x

x x

x

XÐt f x( ) 1  2x 1 sinx, ta cã f(0) 0;

   



1

'( ) cos '(0)

2

f x x f

x

Đặt g x( ) 3x4  2 x, ta cã g(0)0;

   



3

'( ) '(0)

4

2

g x g

x

Khi đó: C =

0

( ) (0)

'(0)

lim

( ) (0) '(0)

x

f x f

f x

g x g g

x 

 

 



 .

Nhận xét: Để tính giới hạn phơng pháp thông thờng ta phải làm nh sau











  

  

     



   

  



  

   



  

   

0

0

0

0

0

1 sin

lim

3

1 sin

lim ( ):( )

1 sin

lim ( ):( 1)

2 sin

lim ( ) : ( 1)

(1 1) ( 2)

2 sin

lim ( ) : ( 1)

1

x

x

x

x

x

x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x

x x x x

x x

x x

Do C =

1 sin

lim

3

x

x x

x x



  





   

   

0

2 sin

lim( ) : ( 1)

1

x

x x

x x

VÝ dơ 4: TÝnh giíi h¹n

1 sin

lim

x

x D

x



 



Gi¶i:

XÐt f x   sin x  vµ f(0)=0 ; f’(x)=

cos sin

x x

 f’(0)=1/2

¸p dơng c«ng thøc  

   

0

0 ' lim

0

x

f x f

f

x



 

 =1/2

VÝ dơ 5: TÝnh giíi h¹n E=

1

0

lim( x )x

x e x

Gi¶i:

XÐt  

1 ( x )x

y e x LÊy logarit ta cã

  

1

ln(e + )

( ) ln =

x

x x x

y e x y

x

XÐt ( ) ln(e + ). x

f x x Ta cã: f(0)= 0,

 



     



0

e + ln(e + ) ( ) (0)

'( ) , '(0) lim lim '(0)

e +

x x

x x x

x f x f

f x f f

x x x

VËy E = e2

VÝ dơ 6: TÝnh giíi h¹n

 

2

2

2

ln cos2

lim

1

x x

x x x

F

e x



   



 

Gi¶i:

Đối với ta dùng phép thêm bớt hay nhân liên hợp khó dài Nên phơng pháp sử dụng đạo hàm có hiệu

 

2

2

2

1

0 2

2

ln cos

lim

1

x x

x x x

F x

F

F

e x

x



   

 

 

   

1 0 0 2

ln cos ln 1 1 cos2

lim lim

x x

x x x x x x

F

x x x

 

 

           



 

   

  

 

   

XÐt

 

3 0

ln 1

lim

x

x x

F

x



     

 



 

 đặt x2 tkhi x 0thì t

Ta cã

 

3 0

ln 1

lim

t

t t

F

t



     

  

 

XÐt

  ln 1 1 ;  0 0; '  1 ;  0

1

t t

f t f f t f

t t

     

     

 

 

VËy F32

4 0

1 cos2

lim

x

x F

x





 

   

 

  VËy F14

2 2

2 0

1 lim x

x

e x

F

x



   

 



 

Đặt x2 t tơng tự

1

F

 

KL : F=8

Bài Tập t ơng tự

Bµi Tính giới hạn sau:

1)

2)

3) 4)

Bµi 2: Tìm giới hạn sau

1) 4)

2

2

2

5 lim

2

x x

x D

x x

 

  

  

2)

3) 5)

2

3

1 cos3 lim

3 cos3

x

x x

E

x x



  

 

PhÇn iII : øng dơng cđa giíi h¹n

A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận hàm số:

I )KiÕn thøc cÇn nhí

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

y = y0 tiệm cận ngang (C) hai điệu kiÖn sau thoả mãn:

0

lim ( ) , hc lim ( )

x  f x y x   f x y

x = x0 tiệm cận đứng (C) điều kiện sau đựơc thoả mãn:

0 0

lim , lim , lim , lim

xx  xx  xx   xx  

Đường thẳng y = ax + b ( a0) gọi tiệm cận xiên hai điều kiện

sau thoả mãn: xlim [ ( ) (ax + b)] = hc lim [ ( ) (ax+b)]=0  f x  x   f x 

II ) Ph ¬ng ph¸p chung

Dạng 1:Tiệm cận hàm số hữu tỉ

( ) ( )

P x y

Q x



1) Phương pháp

 Tiệm cận đứng: Nghiệm mẫu nghiệm tử cho phép xác định

tiệm cận đứng

 Tiệm cận ngang, xiên:

+ Deg(P(x)) < Deg (Q(x)): Tiệm cận ngang y =

+ Deg(P(x)) = Deg(Q(x)): Tiệm cận ngang tỉ số hai hệ số bậc cao tử mẫu

+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Khơng có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên xác định cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + ( )x với lim ( )x  x 0 y = ax + b tiệm cận xiên

2) C¸c vÝ dơ

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận hàm số:

2

2

2x- x x +

y = b y = c y =

x + x

x a

x

 

 

Gi¶i

a Ta thấy 2

2

lim ; lim

2

x x

x x

x x

 

   

 

  

  nên đường thẳng x = tiệm cận đứng.

+) Vì

1 2

lim lim

2

1

x x

x x

x

x

   

 

 





nên y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số b +)

2

7 lim

3

x

x x

x





 

 

 Nên x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số.

+)

1

3

y x

x

  

 Ta thấy

1 lim[y - (x + 2)]= lim

3

x  x x

 

 Vậy y = x+ tiệm cËn

c Ta thấy +)

2

lim

1

x

x x







 

 Nên x = đường tiệm cận đứng.

+)

2 lim

1

x

x x



 





 Nên x = -1 tiệm cận đứng.

+)

2

2

1 2

lim

1

1

x

x x x

x

x

 

 

 





Nên y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Dạng 2.Tiệm cận hàm vô tỉ : y ax2bxc a ( 0)

1) Phương pháp Ta phân tích

2

ax ( )

2

b

bx c a x x

a 

    

Với xlim ( )  x 0

( )

2

b

y a x

a

 

có tiệm cận xiên bên phải Với xlim ( )   x 0

( )

2

b

y a x

a

 

có tiệm cận xiên bên tr 2) Các ví dụ

Ví dụ2 Tìm tiệm cận xiên hàm số: y 4x2 8x1 Giải :Gọi tiệm cân xiên y=ax+b

+) Tiệm cận xiên bên phải :

lim lim

x x

f x x x

a

x x

   

 

 

=2

 

  

2

2

4 8

lim lim

4

x x

x x x x x x

b x x x

x x x

   

     

    

  

8

lim

4

x

x b

x x x

 

 

 

  

Vậy tiệm cận xiên bên phải y=2x-2 +) Tiệm cận xiên bên trái

  4 8 1

lim lim

x x

f x x x

a

x x

     

 

  

 

  

2

2

4 8

lim lim

4

x x

x x x x x x

b x x x

x x x

     

     

    

  

8

lim

4

x

x b

x x x

  

 

 

Bµi Tìm tiệm cận hàm số sau:

2x - - 2x -4

y = b y = c y = d y =

x + 3x + - 3x x +

x+ 1

e y = f y = +

2x + x-

a

-x + - x g y = h y =

x 3x +

Bµi Tìm tiệm cận hàm số sau:

2 2

2 2

2

x 12 27 x x 2- x

y = b y = c y = d y =

4 ( 1) x

1 x

y = 2x -1 + f y =

x

x x x

a

x x x x x

x e

x

    

     

 

3

2

1 2x

g y = x- + h y =

2(x- 1)

x x

 

Bài Xác định m để đồ thị hàm số: 2

3

2( 2)

x y

x m x m

 

    có tiệm cận đứng.

Bài Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thị tạo với hai trục toạ độ hàm số:

2

3x -3x

y = b y =

1

x x

a

x x

   

 

Bài 5.(ĐHSP 2000) Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số

2( 1)

x m x m

y

x

    

 t¹o

với hai trục toạ độ tam giác có diện tích (đvdt)

Bµi Cho hµm sè:

(3 2) 3

x x m m

y

x

    

 (1)

a Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị qua điểm A(4; 3)

b Tìm m để đờng tiệm cận xiên (1) cắt Parabol yx2 hai điểm phân biệt

B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục

I) Các kiến thức cần nhớ

a) Các định nghĩa

Định nghĩa 1: )x0TXD

*Hàm số f(x) liên tục xo 

x xo o

) lim f (x) f (x )



 

*Hàm số f(x) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm xo (a;b)

*Hàm số f(x) gọi liên tục đoạn [a;b] liên tục khoảng [a;b] xlim f (x) f (a) lim f (x) f (b)a  xb 

Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác hàm số liên tục tập xác định chúng

Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương hàm liên tục hàm liên tục

Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < tồn nhất số c  (a;b) cho f(c) = 0

HƯ qu¶: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) <

phương trình f(x) = có nghim trờn khong (a;b)

II)Ph ơng pháp chung: 1) Ph ơng pháp

+) S dng định nghĩa định lý

+) Tại x0 mà f(x) không liên tục gọi gián đoạn vi phạm ®iỊu kiƯn sau :

*) f(x) không xác định x0

*) Không tồn giới hạn x0 ( giới hạn phía khác nhau) *)    0

lim

x x f x f x

2) C¸c vÝ dô

2

2009x x x



(víi x0)

VÝ dơ 1 Cho hµm sè f(x)= XÐt tính liên tục x=0

1 ( với x=0) Giải +)TXĐ : R

+)Ta cã :    

2

0 0

2009 2009

lim lim lim lim 2009 1

x x x x

x x x x

f x x

x x

   

   

 

    

=f(0)

   

2

0 0

2009 2009

lim lim lim lim 2009 1

x x x x

x x x x

f x x

x x

   

   

 

    

VËy hµm số không liên tục x=0( nhng liên tục bên phải x=0)

4

1

x x

x

 

 víi x1

VÝ dơ 2 Cho hµm sè f(x)=

x+2a+1 víi x<1

Tìm a để hàm số liên tục x=1 Giải +)TXĐ : R

+)Ta cã : f(1)=1/2 vµ  

2

4

1 1

1 1

lim lim lim

2

x x x

x x x x

f x

x x

  

  

   

  

xlim1 f x  xlim1x2a1 2a2 §Ĩ hàm số liên tục x=1thì

1

2

2

VËy

3

a

tho¶ mÃn toán Bài Tập t ơng tự

1.Xét liên tục hàm số sau: a) f(x) = x2 + x – b) f(x) =

2.Xét liên tục hàm số sau: f(x) =

¿

x2−3x+4 x <1

2x −3 x≥1

¿{

¿

xo = 1

3.Tìm a để hàm số sau liên tục x0

f(x) =

¿

3x2+2x −1 x <1

2x+a x≥1

¿{

¿

x0 = 1

Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – = b) x5 + x3 – = 0

c) x3 + x2 + x + 2/3 = d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0

Chứng minh phương trình

a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3)

b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2)

Lời tác giả: Giới hạn phần quan trọng tốn phổ thơng nên có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học nh mơn học khác (Tính đạo hàm ; tính tích phân định nghĩa ; hay vật lý ….) Song thời lợng chuyên đề tác giả đa hai ứng dụng quan trọng mong góp ý ; trao đổi bổ xung thầy cô giáo em học sinh để chuyên đề đợc hoàn thiện

Phần iV Giới thiệu số đề thi

Lời tác giả:Trong phần xin đa số đề thi năm trớc cách giải khác để thầy cô em tham kho

Ví dụ Tìm giới hạn sau  

2 3

2

2

1 lim

ln

x x

e x

A

x

 

 





(ĐHGT_2001)

Giải :

Cách (Thêm bớt nhân liên hợp)

    

2

2

3

2 2

3

2 2 2

2 2

0 0

2

1 1

1

lim lim lim

ln ln ln

x x

x

x x x

e x e x

e x x x

A

x x x

x x

 



  

     

 

  

 

 

 

2

2

2

2

2 2 3 2 2

3

2

2

0

2

1

1 1 1 1 1

7

lim lim

3

ln ln

x x

x x

e x

x

e x x x x

x x

A

x x

x x

 

 

 



 

      

  

 

  

 

Cách 2( Sử dụng đạo hàm)

   

2

3

2

3

2 2

2

0

2

1

lim lim

ln ln

x x

x x

e x

e x x

A

x x

x

 

 

 

 



Đặt

2

y x Khi x 0th× y  0 Ta cã

 

2 3

0

1 lim

ln

y y

e y

y A

y y





 





XÐt      

2

2 31 ' 2 1 3

3

y y

f y e y f y e y 

      

vµ    

7 0; '

3

f  f

áp dụng công thức

   

0

0 ' lim

0

x

f y f

f

y



 

 =-7/3

Ví dụ Tìm giới hạn sau

sin lim

1 2cos

x

x E

x

 



(HSG Bắc ninh)

Giải :

Cách 1(biến đổi)

sin lim

1 2cos

x

x E

x

 





   

2

3 3

sin cos sin 4cos

sin 4sin

lim lim lim

1 2cos 2cos 2cos

x x x

x x x x

x x

E

x x x

  

  

   

     

     

  

  

Rót gän E

Cách 2( Sử dụng đạo hàm)

3

sin 3 lim

1 2cos

x

x x E

x x









 

 

XÐt f x  sin 3x f x'  3cos3x vµ

0; '

3

f   f  

áp dụng công thức

3

3

' lim

3

3

x

f x f

f

x



 





 

  

     

 

  

XÐt g x   1 2cosx g x'  2sinxvµ

0; '

3

g   g   



áp dụng công thức

 

3

3

' lim

3

3

x

g x g

g

x



 





 

  

     

 

  

VËy E 

Chuyên đề tiếp tục đợc bổ sung sửa chữa

Chuyên đề cha đầy đủ cịn sai sót q trình làm nên mong trao đổi góp ý thầy cụ v cỏc em hc sinh

Tác giả