Đang tải... (xem toàn văn)
§êng cao CH.[r]
(1)Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp Thời gian làm 150 phút
Bài 1.(6đ) Cho biểu thức: P= xx 5x+34x 240
x −3√x −10 − √x+1 √x+2+
√x+5 √x −5 a) Rót gän biĨu thøc P
b) Tìm số a lớn để P > a
c) Tìm x để P (√x+2)=4√x −4√x −4+41
Bài 2.(3đ) Cho điểm A(-1;-1) B(1;2m-3) ( m số cho trớc) a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua Avà B
b)Tìm m để khoảng cách từ O đến (d) lớn
Bài 3.(3đ) Tìm số thực a để phơng trình sau có nghiệm nguyên 3x2-(6a+ 11
4 ¿x+4a
2
+3
2=0
Bài 4.(6đ) Cho tam giác ABC có AB > AC > BC nội tiếp đờng trịn (O) Trên cạnh AB, AC lần lợt lấy 2điểm M N cho BM = CN = BC I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC AI cắt đờng tròn (O) cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN lần lợt E F Chứng minh rằng:
a)Tø gi¸c AMIC néi tiÕp b)IE = IF
Bài 5.(2đ) Cho tam giác ABC vuông C Đờng cao CH Các tia phân giác góc ACH BCH cắt cạnh AB lần lợt E F Chứng minh rằng:
SABC SCEF
≥√2+1
BiĨu ®iĨm chÊm môn toán lớp
(2)Điều kiện {x ≥0 x ≠25
P=x√x −5x+34√x −240 (√x+2) (√x −5) −
(√x+1)(√x −5) (√x+2) (√x −5)+
(√x+5)(√x+2) (√x+2) (√x −5)
P=x√x −5x+34√x −240− x+4√x+5+x+7√x+10 (√x+2)(√x −5)
P=x√x −5x+45√x −225 (√x+2)(√x −5)
P=(x+45)(√x −5) (√x+2)(√x −5)
P=x+45 √x+2
a) Ta cã:
x+45
√x+2=
x −4+49
√x+2 =
x −4
√x+2+ 49
√x+2=√x −2+ 49
√x+2
¿√x+2+49
√x+2−4
áp dụng bất đẳng thức Cô si với số dơng √x+2 49
√x+2 ta cã)
√x+2+49
√x+2≥2√(√x+2) 49
x+2=14
Suy P144=10
Đẳng thức x¶y √x+2=49
√x+2⇔(√x+2)
2
=49
x+2=7
x=25
(Không thoả mÃn ®iỊu kiƯn ) VËy P > 10
§Ĩ P > a th× a ≤10 VËy a lín nhÊt lµ 10 c) P(√x+2)=4√x −4√x −4+41
⇔ x+45
√x+2(√x+2)=4√x −4√x −4+41
⇔x+45=4√x −4√x −4+41
⇔x −4√x+4+4√x −4=0
⇔(√x −2)2+4√x −4=0
Do(√x 2)20;4x 40
Đẳng thức xảy {x 2=0
x 4=0x=4 (Thoả mÃn điều kiện )
Vậy x=4 Bài 2.
a) Giả sử (d) có phơng trình y = ax +b Vì A(-1;-1) (d)
B(1;2m-3) (d) nên a b nghiệm hệ phơng trình:
{ a+b=1
a+b=2m3
Giải hệ đợc {a=m−1 b=m−2
Vậy đờng thẳng (d) có phơng trình y=(m-1)x+m-2
(0,5®) (0,5®) (0,25®)
(0,25®)
(0,25®) (0,25®) (0,5®) (0,25®)
(0,25®) (0,25®)
(0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®)
(0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®)
(3)b)Nếu m=1 y= -1.Khoảng cách từ O đến (d) (1)
Nếu m=2 y=1 Khoảng cách từ O đến (d) 1(2) Nếu m≠1 m≠2 (d) cắt Ox
P(m−2
1 m;0) cắt Oy Q ( 0;m-2) Kẻ OH PQ Ap dụng hệ thức lợng tam giác vu«ng POQ ta cã
1
OH2=
1
OP2+
1
OQ2
⇔
OH2=
1 (m−2)2+
1 (m−m−21)
2
⇔
OH2=
1+ (m−1)2
(m −2)2 =
(m−2)2+2(m−2)+2 (m −2)2 =
2 (m−2)2+
2 (m2)+1
Đặt
(m2)=t ta có
OH2 ≥
1
2⇒OH≤√2 (3)
So sánh (1),(2),(3) ta đợc OH √2 Đẳng thức xảy m =
Vậy khoảng cách từ O đến (d) lớn √2 m = Bài 3.Viết phơng trình thành phơng trình bậc a ta đợc:
4a2−6 xa+3x2−11
4 x+
3
2=0 (1)
Phơng trình có nghiệm Δ'≥0
Tính đợc Δ'
=−3x2+11x −6
Giải bất phơng trình đợc 3≤ x ≤3
Để phơng trình có nghiệm nguyên th× x∈{1;2;3}
Thay x=1 vào phơng trình (1) đợc a=3±√2 Thay x=2vào phơng trình (1) đợc a=1 a=2 Thay x=3vào phơng trình (1) đợc a=9
4 Vậy a nhận giá trị 1;2;
4;
3+√2
4 ;
3−√2
4 Bµi 4
y Q H
x O
P
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®) (0,5®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®)
c
O
B
C A
M
N
I
(4)a)Học sinh chứng minh đợc AIC =
ABC 90
2
AMC =
ABC 90
2
Suy AIC = AMC
Kết luận AMIC tứ giác nội tiếp b)Chứng minh đợc EB = EC = EI
Chứng minh đợc ΔMFN đồng dạng với ΔBEC
Suy BE
BC=
MF
MN(1)
Do tứ giác AMIC nội tiếp nên AIM =ACM Do tứ giác AMFN nội tiếp nên MFO = MNC Từ suy ΔMIF đồng dạng với MCN Suy MF
MN=
IF
CN (2)
Tõ (1) vµ (2) suy BE
BC=
IF CN
KÕt hỵp víi BC=CN vµ IE = BE suy IE = IF Bµi 5.
Đặt BC = a, CA = b, AB = c, Ta cã SABC
SCEF
= c EF
Chứng minh đợc tam giác ACF BEC cân A B Suy AC = AF = b; BC = BE = a
EF = BE + AF -AB = a+b-c
⇒SABC
SCEF
= c
a+b − c
(0,25®)
(0,5®)
(0,5®) (0,25®) (0,25®) (1®) (0,5®)
(0,25®) (0,25®)
(0,25®) (0,5®) (0,25®) (0,5®) (0,5®)
A B
C
H
E F
(0,25đ)
(5)Tam giác ABC vuông C nên c2=a2+b2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2 1
c ab a b
b ab
c c ab a b
c a b
c a b c
2 Mµ a
1
2 1 2 1
2 1
c a b c
ABC
CEF
S S
Đẳng thức xảy a = b hay tam giác ABC vuông cân C *Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa
(0,25®) (0,25®)
(0,25®)
(0,25®)