english 6 new ki 2 track 51

Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N lần lượt laø trung điểm của OA, OB.. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AM vaø K laø ñieåm treân caïnh AC sao cho. 3) B[r]

CHUYÊN ĐỀ : VEC – TƠ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1/Định nghóa:

 Vec tơ đoạn thẳng có hướng

 Độ dài vec tơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vec tơ Ký hiệu độ dài vec tơ AB là: AB



 Vec tơ – không (Ký hiệu: 

) vec tơ có điểm đầu điểm cuối trùng 0 

 Hai vec tơ phương hai vec tơ có giá hai đường thẳng song song trùng nhau.

 Hai vec tơ hai vec tơ hướng độ dài Ký hiệu a b a b

2/ Tổng hai vec tơ:

a) Định nghĩa: Cho a b Từ điểm A đó, vẽ AB=a, từ B vẽ BC b  Khi đó: AC gọi tổng a b Ký hiệu :AC a b 

  

a

a b b

a+b

Phép tốn tìm tổng hai véctơ cịn gọi phép cộng véctơ b) Các tính chất phép cộng vectơ : Với ba véctơ a b c, ,

  

tuỳ y, ta có :  Tính chất giao hốn : a b b a  

  



 Tính chất kết hợp ( a+ b¿+c=a+( b+ c)  Tính chất vec tơ – khơng: a+ 0=0+ a=a 3/ Hiệu hai vec tơ:

a) Véctơ đối vec tơ: Véctơ có độ dài ngược hướng với a gọi là véctơ đối véctơ a Ký hiệu véctơ đối véctơ a là: -a

* a b  0 ab

* Véctơ đối véctơ 0 véctơ 0 b) Định nghĩa hiệu hai vec tơ :

Hiệu a btheo thứ tự tổng a vec tơ đối b Kí hiệu : a b a     ( )b



Phép tốn tìm hiệu hai véctơ cịn gọi phép trừ véctơ 4/ Tích số với vec tơ:

a) Định nghóa : Cho số k 0và vectơ a0

Tích số k với vectơ a mộât vectơ Kí hiệu ka.

+ Vectơ kacùng hướng với a k>0, ngược hướng với a k<0. B

+ |ka| = |k| |a|

* Quy ước: a =0 , ka =0

b) Tính chất phép nhân số với vec tơ: a,b; k, hR, ta có: 1) k(ab



) = kakb  2) (h k)a



= haka  3) h(ka) = (hk) a

4) a= a ; (-1) a = -a.

5/ Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C tùy ý:  AB BC AC

  

(qui tắc cộng)  AB



- AC CB  

(qui tắc trừ) 6/ Qui tắc hình bình hành:

Tứ giác ABCD hình bình hành AB AD AC   

7/ Các ứng dụng:

a) I trung điểm đoạn AB :  IA IB 0

  

 MA MB 2MI

  

(Với điểm M) b) G trọng tâm tam giác ABC :  GA GB GC  0

   

 MA MB MC  3MG    

                                                   

(Với điểm M) c) a

 b

 (b



) phương  k / a 

=kb 

d) A, B, C phân biệt thẳng hàng  k≠0 / AB=kAC 

B.BÀI TẬP:

1) Phương pháp : AB AB 

Ví dụ: Cho hình vng ABCD cạnh a điểm E cho DB CE  

Gọi I trung điểm đoạn CE a) Tính DE



b) Chứng minh

1

BI  BD

 

Giải:

a) Xét tứ giác DBEC: Vì DB CE  

(gt) nên DBEC hình bình hành Gọi O giao điểm DE BC O trung điểm DE BC

2

DE DI

 



Xét tam giác vng DCO, ta có: DO2=DC2+CI2

2

2 5

4

a a

DO a DI

    

Vậy DE=a

b) Vì DBEC hình bình hành nên BE=DC=a  ∆BCE vuông cân B.

BI trung tuyến ứng với cạnh huyền CE Do : BI=

1

2BD

1

BI BD

 

 

2) Phương pháp xác định tính độ dài a 

+b 

,a 

-b  : 1/ Xác định: a

 +b

 =AB

 , a

 -b

 =CD

2/Tính độ dài đoạn AB, CD: Gắn AB, CD vào đa giác đặc biệt: tam giác vuông, tam giác đều, hình vng, … để tính cạnh phương pháp tính trực tiếp.

3) Các ví dụ:

Bài1: Chứng minh rằng: |a+b|  |a|+|b|

Giaûi: Giả sử:AB



= a, BC = b. + Nếua

 b



khơng phương A, B, C

đỉnh tam giác nên AC< AB+BC B

A C

Vì a 

+ b 

= AB 

+BC 

=AC 

nên |a 

+b 

| < | a|+|b|

+ Nếua 

b 

khơng hướng, ta có : |a

 +b

 | < |a

 |+|b

 | + Nếua

 b



hướng, ta có: |a  +b  | = |a  |+|b  | Vậy : |a

 +b

 |  |a

 |+|b



| (đpcm) Bài 2: Cho tam giác ABC, cạnh a Tính :

a) |AB AC  

| b) |AB AC  

| Giaûi:

a) |AB AC  

| =? * Xác định AB AC

  :

Vẽ hình bình hành ABEC, Theo qui tắc hình bình hành ta có: AB AC

 

=AE 

*Tính |AB AC  

|= AE 

=AE=? Vì ABEC hình bình hành mà AB=ACnên ABEC hình thoi Gọi I=AE BC, ta có: AE=2AI

Mà AI= a

neân AE= a Vaäy: |AB AC

 

| = a b) ĐS: |AB AC

 

| = CB 

= a 4) Bài tập tương tự:

1/ Cho tam giác ABC tam giác cạnh 2a Tính độ dài vectơ BA−BC,CA+CB.

2/ Cho hình vng ABCD cạnh a, O giao điểm hai đường chéo Tính :OA CB AB DC CD DA ,  , 

                                                                                   

3/ Cho hình thoi ABCD có BAD600và cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính :

, ,

AB AD BA BC OB DC                                                                                      

1) Phương pháp:

Dùng quy tắc ba điểm tìm tổng, hiệu hai vec tơ, tìm vec tơ đối, … để thực trong cách sau:

C1: Biến đổi vế thành vế kia

C2: Biến đổi hai vế đẳng thức để hai vế nhau.

C3: Biến đổi đẳng thức cần CM tương đương với đảng thức vec tơ công nhận đúng.

2) Các ví dụ: VD1:

A

B C

E

Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AC DB   AB DC (1) Giải:

C1: Biến đổi vế trái: AC DB AB BC DB  AB DC       

C2:Biến đổi vế phải: AB DC AC CB DC  AC DB       

C3: Ta có : (1) AC AB DC DB    BC BC

     

là đẳng thức đúng. Vậy (1) chứng minh

VD2:

Cho G trọng tâm tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA Chứng minh :AM BN CP  0

    Giải: Biến đổi vế trái:

 

1 1

0

2 2

AM BN CP   AB BC CA AB BC CA  

                                                                                                                                           

3) Bài tập tương tự:

Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi M, N, I trung điểm đoạn AB, CD, MN.CMR:

a)AB CD AD CB    

b)IA IB IC ID   0     

c) OA OB OC OD   4OI     

Bài 2: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh :AD BE CF  AE BF CD 

     

Bài

: Cho điểm M, N, P, Q, R, S Chứng minh:

a/ MN+PQ=MQ+PN . b/ MP+NQ+RS=MS+NP+RQ . Bài

: Cho G trọng tâm tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA Chứng minh :

a)AN BP CM   0 b)GM GN GP  0    

c)Tam giác ABC tam giác MNP có trọng tâm Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: a/ AB+2AC+AD=3AC

b/ Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh: 2MN  AC  BD BCAD Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác I tâm đường trịn qua trung điểm ba cạnh tam giác CMR:

a/ GA+GB+GC=0 b/ MA+MB+MC=3MG với M điểm

c/ OA+OB+OC=OH=3OG d/ HA+HB+HC=2HO=3HG e/ OH=2OI

f/ v=3MA−5MB+2MC không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm M

1) Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Cho a b,  

không phương, x,k h,  /x ka hb    

R

Hoặc quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , tính chất trung điểm đoạn thẳng, tính chất trọng tâm tam giác.

2) Ví dụ:

Cho AK vàBM hai trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vec tơ                             AB BC CA, , theo hai vec tô uAK v BM; 

   Giải:

Vì K, M trung điểm BC AC nên ta có:

2AKAB AC  ; 2BM BA BC (1)

2 (2)

AB CA u

AB BC v

   

 

  

 

     

Từ (1) (2), ta có: CA BC   2u 2v (3) Mà: AB BC CA  0

   

(4)

Từ (2) (4), ta có:2BC CA 2v   

(5) Từ(3) (5), ta có:

2

3

3

BC u v BC u v

                                                                                   

(6) Từ (5) (6), ta có:

4

3

CA u v

  

Từ (7) (1) ta có:

2

3

AB u v

  

3) Bài tập : Bài

:Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC, K trung điểm BI. Chứng minh: a)

1

2

AK  AB AI

  

b)

3

4

AK  AB AC

  

Bài : Tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Phân tích AM 

theo BA 

CA HD:Sử dụng tính chất trung điểm  

1

AM  AB AC

  

Bài : Cho tam giác ABC Gọi I điểm thỏa mãn điều kiện IA+2IB+3IC=0 a/ Chứng minh rằng: I trọng tâm tam giác BCD, D trung điểm cạnh AC b/ Biểu thị vectơ AI theo hai vectơ AB AC .

Bài

: Cho t/giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự t/điểm AD, BC, DB, AC CMR: a/ MN=1

2(AB+DC) ; b/ PQ=

2(AB−DC) ; c/ OA+OB+OC+OD=0 (O t/điểm MN)

d/ MA+MB+MC+MD=4MO (O trung điểm MN)

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Hãy xác định điểm M, N, P cho: a) OM =OA OB

 

b) ON 

=OB OC  

c) OP =OC OA  

Hướng dẫn:

Các điểm M, N, P tương ứng điểm đối xứng C,A,B

Bài 6: Cho tam gíac OAB Gọi M, N laø trung điểm OA, OB Tìm số m, n cho: a) OM mOA nOB

  

b) AN mOA nOB   

c) MN mOA nOB   

d) MB mOA nOB    

ÑS:

1

/

2

a OM  OA  OB /

2

b AN  OB OA

   1 1

/

2

c MN  OB OA

   1

/

2

d MB OA OB

   C

B

A

DẠNG4 : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, HAI ĐƯỜNG

1) Phương pháp: Sử dụng tính chất:  Ba điểm A B C thẳng hàng AB



vaø AC



phương  ABk AC  

.

 Neáu ABkCD  

hai đường thẳng AB, CD phân biệt AB // CD

2) 1Ví dụ : AK AC

3 

Ví dụ : Cho tam giác ABC trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải: Đặt uBA v, BC  

ta phân tích BK BI theo hai vec tô u v, 

1

( )

3

u BC BA

     1

3

u  AC

BK BA AK

                                          = 1 ( ) 3

u v u

    2 1

3u 3v

 

= (1)1

( )

2

BI  BA BM

                                         

1 1 1 1

( )

2 u 2v 2u 4v      

(2)

2u v   3BK u v,2   4BI Từ (1) (2) 4 

3

BK  BI                            

Vaäy3BK  4BI hay

Do đó: Ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Ví dụ : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định biểu thức :

0,

BC MA  AB NA  AC 

                                                                                                 

Chứng minh : MN // AC. Giải: Ta có: BC MA AB NA      3AC 0

 BC AB MA AN   3AC 0      

 AC MN  3AC0    

 MN 2AC  

Vậy MN phương với AC



.

Theo giả thiết ta có BC AM  

, mà A, B, C không thẳng hàng nên ABCM hình bình hành.  M  AC MN // AC

3) Bài tập tương tự

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm đối xứng với A qua B, J điểm cạnh AC cho AJ=

2

5AC Chứng minh I, J, G thẳng hàng.

Bài 2: Gọi G, O, H trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác ABC Chứng minh G, O, H thẳng hàng

HD: Gọi D trung điểm cạnh BC; A’ điểm đối xứng với A qua O CM: BHCA’ hình bình hành

2 ;

OB OC        OD AH OH  OG

                                                     

(OD đường trung bình ∆AHA’, tính chất trọng tâm tam giác) Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi D, I điểm xác định hệ thức:

3DB 2DC0;IA3IB 2IC0

       a) Tính AD theo AB

 

b) Chứng minh ba điểm I, A D thẳng hàng

1) Phương pháp:

Để dựng điểm M thỏa mãn đẳng thức vec tơ, ta biến đổi đẳng thức vec tơ dạng AM v  

(Với điểm A cố định; v vec tơ biết)

2) Ví dụ : Cho tam giác ABC Hãy dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: IA2IB0    Giải:

2

1

3

IA IB IB BA IB

BI BA BI BA

     

   

          

Dựng điểm I đoạn AB cho

BI  AB

Vậy I điểm cần dựng 3) Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Dựng điểm M cho :4MA3MB2MC MD 0    

Baøi 2: Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M, N, P cho:

/

/

/

a MA MB MC

b NA NB NC

c PA PB PC

  

  

  

           

Bài 3:Cho tam giác ABC M điểm tùy ý Hãy dựng điểm D cho

CD MA  MB MC

   

HD: Biến đổi MA2MB 3MC MA MC  2MB MC CA2CB         

Bài 4: Cho hai điểm A, B phân biệt Hãy xác định điểm P, Q, R bieát :

2PA3PB0; 2 QA QB 0; RA 3RB0

        

Bài 5:Cho tứ giác ABCD Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức:

2

MA MB MD  MC

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

HD: Gọi I, J trung điểm AD, BC

BàI TậP Về NHà Dạng 1

1/ Cho tam giác ABC tam giác cạnh 2a Tính độ dài vectơ BA−BC,CA+CB.

2/ Cho hình vng ABCD cạnh a, O giao điểm hai đường chéo Tính :OA CB AB DC CD DA ,  , 

                                                                                   

3/ Cho hình thoi ABCD có BAD600và cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính :

, ,

AB AD BA BC OB DC        

                                                                             

D¹ng 2

Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi M, N, I trung điểm đoạn AB, CD, MN.CMR:

a)AB CD   AD CB b)IA IB IC ID   0     

c) OA OB OC OD   4OI     

Bài 2: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh :AD BE CF  AE BF CD 

     

Bài

: Cho điểm M, N, P, Q, R, S Chứng minh:

a/ MN+PQ=MQ+PN . b/ MP+NQ+RS=MS+NP+RQ . Bài

: Cho G trọng tâm tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA Chứng minh :

a)AN BP CM  0    

b)GM GN GP  0    

c)Tam giác ABC tam giác MNP có trọng tâm Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: a/ AB+2AC+AD=3AC

b/ Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh: 2MN  AC  BD BCAD Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác I tâm đường trịn qua trung điểm ba cạnh tam giác CMR:

a/ GA+GB+GC=0 b/ MA+MB+MC=3MG với M điểm

c/ OA+OB+OC=OH=3OG d/ HA+HB+HC=2HO=3HG e/ OH=2OI

f/ v=3MA−5MB+2MC không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm M D¹ng 3

Bài

Chứng minh: a)

1

2

AK  AB AI

                                         

b)

3

4

AK  AB AC

  

Bài : Tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Phân tích AM 

theo BA 

CA HD:Sử dụng tính chất trung điểm  

1

AM  AB AC

                                         

Bài : Cho tam giác ABC Gọi I điểm thỏa mãn điều kiện IA+2IB+3IC=0 a/ Chứng minh rằng: I trọng tâm tam giác BCD, D trung điểm cạnh AC b/ Biểu thị vectơ AI theo hai vectơ AB AC .

Bài

: Cho t/giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự t/điểm AD, BC, DB, AC CMR: a/ MN=1

2(AB+DC) ; b/ PQ=

2(AB−DC) ; c/ OA+OB+OC+OD=0 (O t/điểm MN)

d/ MA+MB+MC+MD=4MO (O trung điểm MN)

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Hãy xác định điểm M, N, P cho: a) OM =OA OB

 

b) ON 

=OB OC  

c) OP =OC OA  

Hướng dẫn:

Các điểm M, N, P tương ứng điểm đối xứng C,A,B

Bài 6: Cho tam gíac OAB Gọi M, N trung điểm OA, OB Tìm caùc số m, n cho: a) OM mOA nOB

  

b) AN mOA nOB   

c) MN mOA nOB   

d) MB mOA nOB    

ÑS:

1

/

2

a OM  OA  OB /

2

b AN  OB OA

   1 1

/

2

c MN  OB OA

   1

/

2

d MB OA OB

  

D¹ng 4

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm đối xứng với A qua B, J điểm cạnh AC cho AJ=

2

5AC Chứng minh I, J, G thẳng hàng.

Bài 2: Gọi G, O, H trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác ABC Chứng minh G, O, H thẳng hàng

HD: Gọi D trung điểm cạnh BC; A’ điểm đối xứng với A qua O CM: BHCA’ hình bình hành

2 ;

OB OC  OD AH OH  OG

     

(OD đường trung bình ∆AHA’, tính chất trọng tâm tam giác) Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi D, I điểm xác định hệ thức:

3DB 2DC              0;IA3IB 2IC0 a) Tính AD theo AB vaø AC

b) Chứng minh ba điểm I, A D thẳng hàng D¹ng 5

C B

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Dựng điểm M cho :4MA3MB2MC MD 0    

Baøi 2: Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M, N, P cho:

/

/

/

a MA MB MC

b NA NB NC

c PA PB PC

  

  

  

           

Bài 3:Cho tam giác ABC M điểm tùy ý Hãy dựng điểm D cho

CD MA  MB MC

   

HD: Biến đổi MA2MB 3MC MA MC  2MB MC CA2CB         

Baøi 4: Cho hai điểm A, B phân biệt Hãy xác định điểm P, Q, R biết :

2PA3PB0; 2 QA QB 0; RA 3RB0

        

Bài 5:Cho tứ giác ABCD Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức:

2

MA MB MD  MC

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    