Điểm O như trên được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD.. Trọng tâm này là duy nhất và luôn thỏa mãn các hệ thức ở phần c.[r]
(1)Chuyên đề VECTƠ Và CáC PHéP TOáN VECTƠ
I TãM T¾T KIÕN THøC 1 Vectơ
Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa rõ điểm mút
điểm đầu (gốc), điểm mút điểm cuối (ngọn), đặc trưng yếu tố:
(*) Phương
(**) Hướng (chiều) (***) Độ lớn (độ dài)
A B
Hướng từ điểm đầu tới điểm cuối vectơ gọi hướng vectơ Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu AB
* Ngoài ra, vectơ cịn kí hiệu chữ in thường , , , , , ,
a b c x y u v
vectơ tự
Độ dài vectơ AB AB AB
Vectơ-không vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối Do độ dài vectơ-khơng vectơ-khơng có hướng tùy ý
Vectơ-khơng kí hiệu 0 khơng phải 0.
Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ đó, ví dụ giá vectơ AB đường thẳng AB.
Hai vectơ gọi cùng phương giá chúng hai đường thẳng song song trùng Ví dụ hai vectơ AB CD hai vectơ cùng
phương (vì AB // CD) kí hiệu AB // CD A B
D C
Hai vectơ phương cùng hướng, ngược hướng
// AB CD
AB CD
AB CD
(2) Hai vectơ gọi bằng nhau chúng hướng có độ
dài:
AB CD AB CD
AB CD
2 Các phép toán vectơ
a Phép cộng hai vectơ
Cho hai vectơ a b Tổng hai vectơ xác định sau:
(1) Lấy điểm A
(2) Dựng vectơ AB a , BC b .
Vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b: ACAB BC a b
Từ đó, ta có quy tắc sau đây:
Quy tắc ba điểm (Quy tắc chèn điểm) Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN MP PN
Mở rộng ra, ta có quy tắc n điểm: A A1 n A A1 2A A2 3 A An1 n
Quy tắc hình bình hành:
Với hình bình hành MNPQ bất kì, ta có: MP MN MQ
Các tính chất phép cộng vectơ:
(1) Tính giao hốn: a b b a
(2) Tính kết hợp: ab c a b c
(3) Cộng với vectơ-không: a 0 a
Ta có bất đẳng thức quan trọng sau đây:
a b a b
(Dấu “=” xảy a b)
(3) Vectơ đối: Vectơ a
gọi vectơ đối vectơ b a b hai
vectơ ngược hướng có độ dài:
a b a b
a b
Hiệu hai vectơ a
b tổng vectơ a với vectơ đối vectơ b:
a b a b
Các quy tắc:
Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN PN PM Quy tắc chuyển vế:
Với ba vectơ a b,
c ta có: a b c a c b
3. Phép nhân vect với số thực
Tích số thực k với vectơ a vectơ, kí hiệu ka, xác định như
sau:
Nếu k 0 a0
ka0 Nếu k 0 a0
ka a ka k a
Nếu k0 a0
ka avà k a k a
Từ ta có hệ sau đây:
0
0 k ka
a
k a k a
Các tính chất phép nhân vectơ với số thực: 1a a
; 1a a k ma km a
(4) k a b ka kb
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng
k :AB k AC , : AB AC 0
4. Hệ thức trung điểm - trọng tâm
a. Hệ thức trung điểm:
Cho đoạn thẳng AB, M trung điểm đoạn AB O điểm Ta có: M trung điểm AB
AM = MB AM MB
AM MB MA MB
MA MB 0 (1)
MI IA MI IB 0
(theo quy tắc ba điểm) 2IM IA IB
(theo quy tắc chuyển vế)
IA IB IM
(2) Từ hệ thức (1) (2) ta suy ra:
Điều kiện cần đủ để M trung điểm AB MA MB 0
Điều kiện cần đủ để M trung điểm AB tồn điểm I cho
IA IB IM
* Chú ý: Khi cho điểm I M, ta có hệ thức (2) hệ thức (1)
b. Hệ thức trọng tâm:
Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác, ta có: G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
(5)(Chứng minh: Có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hệ thức (2)) Với điểm O bất kì, ta có hệ thức (1) biến đổi sau:
(3) GO OA GO OB GO OC 0
3GO OA OB OC 0 OA OB OC 3OG
OA OB OC OG
(4) Từ hệ thức (3) (4) ta suy ra:
Điều kiện cần đủ để G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0 Điều kiện cần đủ để G trọng tâm tam giác ABC tồn điểm
O cho OA OB OC OG
* Chú ý: Khi cho điểm O G, ta có hệ thức (4) hệ thức (3)
Dạng toán 1: Chứng minh đẳng thc vect
1. Phơng pháp
Ta la chọn hớng biến đổi sau:
Hớng 1: Biến đổi vế thành vế lại (VT VP VP VT) Khi đó:
Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực việc đơn giản biểu thức
Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích vectơ
Hớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết
Hớng 3: Biến đổi đẳng thức vectơ biết thành đẳng thức cần chng minh
Hớng 4: Tạo dựng hình phụ
Khi thực phép biến đổi ta sử dụng: Quy tắc ba điểm:
AB
= AC + CB
Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD cã: AC
= AB + AD HiƯu hai vect¬ cïng gèc
AB
- AC = CB
TÝnh chÊt trung ®iĨm: Víi ®iĨm M t ý I trung điểm AB có:
MI
=
(6)Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC cã träng t©m G ta cã: GA
+ GB + GC = 0 MA
+ MB + MC = 3MG
, víi M t ý
C¸c tính chất phép cộng, trừ vectơ phép nhân mét sè víi mét vect¬ B i 1.à Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng AB + CD + BC = AD
Gi¶i
Ta trình bày theo ba cách sau:
Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta cã: VT = (AB
+ BC
) + CD
= AC
+ CD
= AD , đpcm
Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: VT = AB + (BC
+ CD
) = AB + BD = AD , ®pcm
Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta cã: AD
= AC + CD
= AB
+ BC + CD
, ®pcm
Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: AD
= AB
+ BD
= AB
+ BC
+ CD
, ®pcm
*
NhËn xét: Việc trình bày thí dụ theo bốn cách mang tính chất minh hoạ cho ý tởng sau:
1 Với cách cách 2, gom hai vectơ có "điểm cuối
ca vect thứ trùng với điểm đầu vectơ thứ hai" từ sử dụng chiều thuận quy tắc ba im
2 Với cách cách 4, sử dụng chiều ngợc lại quy tắc ba ®iĨm, thĨ "víi mét vect¬ AB
bất kì xen thêm vào điểm tuỳ ý để từ phân tích đợc vectơ AB
thµnh tỉng cđa hai vectơ"
B i 2. Cho điểm A, B, C, D Chøng minh r»ng AB + CD
= AD + CB
Giải
Ta trình bày theo c¸c c¸ch sau:
C¸ch 1: Ta cã: VT = (AD
+ DB ) + CD
= AD
+ CD
+ DB
= AD + CB
= VP
C¸ch 2: Ta cã: VT = (AC
+ CB
) + CD
= AC
+ CD
+ CB
= AD + CB
= VP
Cách 3: Biến đổi tơng đơng biểu thức dạng: AB
AD
= CB
CD
DB DB
, Điều phải chứng minh.
Cách 4: Biến đổi tơng đơng đẳng thức dạng: AB
CB
= AD CD AB + BC = AD + DC AC = AC , luụn đỳng Nhận xét: Để thực chứng minh đẳng thức vectơ cho lựa
chọn hớng biến đổi VT thành VP hai cách giải có chung ý tởng, cụ thể việc lựa chọn vectơ xuất phát
AB ta cã:
Trong cách 1, ta ý thức đợc cần tạo xuất vectơ AD ta xen vào điểm D
(7)A B
C
D N
M
2 Từ nhận xét hẳn em học sinh thấy đợc thêm cịn có cách khác để giải toán, cụ thể:
Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát CD Hai cách theo hớng biến đổi VP thành VT
B i 3.à Cho M vµ N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB vµ CD Chøng minh r»ng:
2MN = AC + BD = AD + BC
Gi¶i
a Ta trình bày theo cách sau:
Cách 1: Ta có phân tích: AC
= AM + MN + NC , (1) BD
= BM + MN
+ ND
(2)
Céng theo vÕ (1) vµ (2) víi lu ý AM
+ BM
=
vµ NC
+ ND =
(vì M N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đợc:
AC
+ BD
= 2MN
, đpcm (*)
Cách 2: Ta cã ph©n tÝch: MN MA AC CN
, (3)
MN MB BD DN
, (4)
Céng theo vÕ (3) vµ (4) víi lu ý MA MB 0 vµ NC ND 0
(vì M N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đợc:
2MN
= AC
+ BD
, ®pcm b Ta cã:
AC
+ BD = AD + DC
+ BC
+ CD
= AD + BC
, ®pcm (**)
Từ (*) (**) ta đợc đẳng thức cần chứng minh
B i 4.à Cho O là tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M
bất kì, ta có:
MO
=
4(MA + MB + MC + MD ).
Gi¶i
Ta cã: MA
+ MB
+ MC + MD
= MO
+ OA
+ MO
+ OB
+ MO
+ OC
+ MO
+ OD
= 4MO
+ (OA + OC
) + (OB + OD
) = 4MO
4(MA + MB + MC + MD ) = MO , đpcm. ã
Chỳ ý: Cú thể biến đổi VT thành VP
B i 5.à Cho ABC Gọi M, N, P lần lợt trung ®iĨm cđa BC, CA, AB Chøng minh r»ng:
AM
(8) Gi¶i
Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi: VT =
1
2 (AB AC)
+
2 (BA BC)
+
2 (CA CB)
=
2 (AB BA AC CA BC CB)
, đpcm
B i 6. Cho A1B1C1và A2B2C2lần lợt có trọng tâm là G1, G2 Chứng minh rằng:
1
A A
+ B B1
+ C C1
= 3G G1
Gi¶i
Víi G1, G2 tâm A1B1C1 A2B2C2, ta có:
1
G A
+ G B1
+ G C1
=
(1)
2
G A
+ G B2
+ G C2
= (2)
Mặt khác, ta cã:
1
A A
= A G1
+ G G1
+ G A2
(3)
1
B B
= B G1
+ G G1
+ G B2
(4)
1
C C
= C G1
+ G G1
+ G C2
(5)
Cộng theo vế (3), (4), (5) sử dụng kết (1) (2), ta đợc:
1
A A
+ B B1
+ C C1
= 3G G1
, ®pcm
B i 7.à Cho ABC Gäi M là trung điểm của AB và N là điểm cạnh AC,
sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm của MN a Chứng minh rằng AK
=
4 AB + AC .
b Gäi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng KD =
4 AB + AC .
Gi¶i
a Tõ gi¶ thiÕt ta nhËn thÊy: AB 2AM AB AM
AB = 2AM ;
AC 3AN AC AN
AC = 3AN V× K trung điểm MN nên:
AK
=
2(AM + AN ) = 2(
1
2 AB +
3 AC ) =
4 AB +
6 AC , đpcm. b Vì D trung điểm BC nên:
AD
=
(9)từ đó, suy ra: KD
= AD AK =
2(AB + AC )(
4 AB +
6 AC ) =
4 AB +
3 AC , ®pcm.
Bài 8. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD BC O trung
điểm MN Chứng minh đẳng thức sau: a AB DC AC DB
b
1
2
MN AB DC AC BD
c OA OB OC OD 0
d
IA IB IC ID IO
với I điểm
Giải.
a AB DC AC CB DC ACDC CB AC DB
b Ta có:
= 2 0
1
2
AB DC AM MN NB DM MN NC
MN AM DM NB NC MN MN
MN AB DC AC DB
c Ta thấy:
= 2
OA OB OC OD OA OD OB OC
OM ON OM ON
d Từ kết câu c ta có:
0
0
OA OB OC OD
OI IA OI IB OI IC OI ID IO IA IB IC ID
(10) Điểm O gọi trọng tâm tứ giác ABCD Trọng tâm thỏa mãn hệ thức phần c d
Ta chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, EF đồng quy O trung điểm đường, M, N, P, Q, E, F trung điểm đoạn AD, BC, AB, CD, AC BD
O nằm đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác với trọng tâm tam giác tạo ba đỉnh lại
Bài 9. Cho điểm A, B, C, D, E, F mặt phẳng Chứng minh: a AB CD AD CB b AB CD EA ED CB
c AD BE CF AE BF CD AF BD CE
d AB CD EF GA CB ED GF
Giải.
a AB CD AD CB AB AD CB CD DB DB
(đúng) b AB CD EA ED CB AB BC CD DE EA 0 AA0
(đúng) c AD BE CF AE BF CD AD AE BE BF CF CD 0
ED FE DF 0 EE0
(đúng) d AB CD EF GA CB ED GF
AB BC CD DE EF FG GA 0 AA0
(đúng)
Bài 10. Cho tam giác ABC, AM, BN, CP trung tuyến D, E, F trung điểm AM, BN CP Chứng tỏ rằng: 3OA OB OC 4OD OE OF
với O điểm
Giải. Ta có: 2OA OB OC 2OA2OM 2OA OM 2.2OD4OD
(11)Cộng vế bất đẳng thức trên, ta thu đccm
2. Bài tập
Bµi 1. Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR :
a) ABCDAD CB
b) AB CD ACDB
c) ADBE CF AE BFCD
Bµi 2. Cho tam giác ABC với M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA
Chứng minh :
a) ANBP CM O
b) ANAMAP
c) AMBNCPO
Bµi 3. (Hệ thức trung điểm) Cho hai điểm A, B
a) Cho M trung điểm A, B Chứng minh với điểm I ta có :
IAIB IM
b) Với điểm N cho NA 2NB CMR với I : IA2 IB 3IN
c) Vơi điểm P cho PA 3PB
CMR với I bất ki : IA 3 IB 2IP.
d) Tổng qt tính chất
Bµi 4. (Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC G trọng tâm tam
giác
a) Chứng minh AGBGCGO
Với I ta có : IAIBIC3IG
b) M thuộc đoạn AG
1
MG GA
CMR : 2MAMB MCO Với I bất
kì: 2IAIBIC4IM
c) Tổng quát tính chất
d) Cho hai tam giác ABC DEF có trọng tâm G G1 Chứng minh
rằng :
+ ADBECE3GG1
+ Tìm điều kiện để hai tam giác có trọng tâm
Bµi 5. (Hệ thức hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O
a) CMR : AOBO CO DO O, Với I IAIBICID4IO
b) M điểm thoả mãn:
(12)a) ADBC 2MN b) ACBD2MN
c) Tìm vị trí điểm I cho IAIBICIDO
d) Với M bất kì, CMR : MAMBMCMD4MI
Bài 7. (Một số đẳng thức trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)
Cho tam giác ABC, G, H, O, I trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp
a) 3OGOA OB OC
b) OHOA OB OC
c) 2HOHAHBHC
Bài (Nhấn mạnh toán mở rộng nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN
a) CMR :
1
4
AK AB AC
b) D trung điểm BC CMR :
1
4
KD AB AC