Ôn tập Chương I. Vectơ

 Điểm O như trên được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD.. Trọng tâm này là duy nhất và luôn thỏa mãn các hệ thức ở phần c.[r]

Chuyên đề VECTƠ Và CáC PHéP TOáN VECTƠ

I TãM T¾T KIÕN THøC 1 Vectơ

 Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa rõ điểm mút

điểm đầu (gốc), điểm mút điểm cuối (ngọn), đặc trưng yếu tố:

(*) Phương

(**) Hướng (chiều) (***) Độ lớn (độ dài)

A B

 Hướng từ điểm đầu tới điểm cuối vectơ gọi hướng vectơ  Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu AB

* Ngoài ra, vectơ cịn kí hiệu chữ in thường , , , , , ,

a b c x y u v     

                          

     

vectơ tự

 Độ dài vectơ AB AB AB



 Vectơ-không vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối Do độ dài vectơ-khơng vectơ-khơng có hướng tùy ý

Vectơ-khơng kí hiệu 0 khơng phải 0.

 Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ đó, ví dụ giá vectơ AB đường thẳng AB.

 Hai vectơ gọi cùng phương giá chúng hai đường thẳng song song trùng Ví dụ hai vectơ AB CD hai vectơ cùng

phương (vì AB // CD) kí hiệu AB //  CD A B

D C

 Hai vectơ phương cùng hướng, ngược hướng

// AB CD

AB CD

AB CD

    

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Hai vectơ gọi bằng nhau chúng hướng có độ

dài:

AB CD AB CD

AB CD      

   

                           

 

 

2 Các phép toán vectơ

a Phép cộng hai vectơ

Cho hai vectơ a b Tổng hai vectơ xác định sau:

(1) Lấy điểm A

(2) Dựng vectơ AB a , BC b .

Vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b: ACAB BC a b    

Từ đó, ta có quy tắc sau đây:

 Quy tắc ba điểm (Quy tắc chèn điểm) Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN MP PN 

  

Mở rộng ra, ta có quy tắc n điểm: A A1 n A A1 2A A2 3 A An1 n

   

 Quy tắc hình bình hành:

Với hình bình hành MNPQ bất kì, ta có: MP MN MQ   

Các tính chất phép cộng vectơ:

(1) Tính giao hốn: a b b a      

(2) Tính kết hợp: ab c   a b c      

(3) Cộng với vectơ-không: a  0 a

Ta có bất đẳng thức quan trọng sau đây:

a b  a b

(Dấu “=” xảy  a  b)

 Vectơ đối: Vectơ a 

gọi vectơ đối vectơ b a b hai

vectơ ngược hướng có độ dài:

a b a b

a b       

  

   

 

 Hiệu hai vectơ a 

b tổng vectơ a với vectơ đối vectơ b:  

a b a     b

Các quy tắc:

 Quy tắc ba điểm:

Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN  PN PM   Quy tắc chuyển vế:

Với ba vectơ a b,  

c ta có: a b c    a c b  

3. Phép nhân vect với số thực

Tích số thực k với vectơ a vectơ, kí hiệu ka, xác định như

sau:

 Nếu k 0 a0  

ka0  Nếu k 0 a0

 

ka  a ka k a

 

 Nếu k0 a0  

ka  avà k a  k a

 

Từ ta có hệ sau đây:



0

0 k ka

a     

   

 

 k a k a

 

Các tính chất phép nhân vectơ với số thực:  1a a

 

;  1a a  k ma  km a

 

 k a b   ka kb    

 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng

 k :AB k AC    , : AB AC 0

          

4. Hệ thức trung điểm - trọng tâm

a. Hệ thức trung điểm:

Cho đoạn thẳng AB, M trung điểm đoạn AB O điểm Ta có: M trung điểm AB

 AM = MB AM   MB

 AM MB  MA  MB

 MA MB   0 (1)

 MI IA   MI IB  0     

                                                                

(theo quy tắc ba điểm)  2IM IA IB

  

(theo quy tắc chuyển vế)



IA IB IM  

                           



(2) Từ hệ thức (1) (2) ta suy ra:

 Điều kiện cần đủ để M trung điểm AB MA MB 0                                          

 Điều kiện cần đủ để M trung điểm AB tồn điểm I cho

IA IB IM  

                           



* Chú ý: Khi cho điểm I  M, ta có hệ thức (2)  hệ thức (1)

b. Hệ thức trọng tâm:

Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác, ta có: G trọng tâm tam giác ABC  GA GB GC  0

   

(Chứng minh: Có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hệ thức (2)) Với điểm O bất kì, ta có hệ thức (1) biến đổi sau:

(3)  GO OA   GO OB   GO OC  0       

                                                                                          

 3GO OA OB OC      0  OA OB OC     3OG

 OA OB OC OG  

                                         



(4) Từ hệ thức (3) (4) ta suy ra:

 Điều kiện cần đủ để G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC    0  Điều kiện cần đủ để G trọng tâm tam giác ABC tồn điểm

O cho OA OB OC OG  

   

* Chú ý: Khi cho điểm O  G, ta có hệ thức (4)  hệ thức (3)

Dạng toán 1: Chứng minh đẳng thc vect

1. Phơng pháp

Ta la chọn hớng biến đổi sau:

Hớng 1: Biến đổi vế thành vế lại (VT  VP VP  VT) Khi đó:

 Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực việc đơn giản biểu thức

 Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích vectơ

Hớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết

Hớng 3: Biến đổi đẳng thức vectơ biết thành đẳng thức cần chng minh

Hớng 4: Tạo dựng hình phụ

Khi thực phép biến đổi ta sử dụng:  Quy tắc ba điểm:

AB



= AC + CB

 Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD cã: AC



= AB + AD  HiƯu hai vect¬ cïng gèc

AB



- AC = CB



 TÝnh chÊt trung ®iĨm: Víi ®iĨm M t ý I trung điểm AB có:

MI



=

Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC cã träng t©m G ta cã: GA



+ GB + GC = 0 MA



+ MB + MC = 3MG



, víi M t ý

 C¸c tính chất phép cộng, trừ vectơ phép nhân mét sè víi mét vect¬ B i 1.à Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng AB + CD + BC = AD

 Gi¶i

Ta trình bày theo ba cách sau:

Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta cã: VT = (AB



+ BC



) + CD



= AC



+ CD



= AD , đpcm

Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: VT = AB + (BC



+ CD



) = AB + BD = AD , ®pcm

Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta cã: AD



= AC + CD



= AB



+ BC + CD



, ®pcm

Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: AD



= AB



+ BD



= AB



+ BC



+ CD



, ®pcm

*

NhËn xét: Việc trình bày thí dụ theo bốn cách mang tính chất minh hoạ cho ý tởng sau:

1 Với cách cách 2, gom hai vectơ có "điểm cuối

ca vect thứ trùng với điểm đầu vectơ thứ hai" từ sử dụng chiều thuận quy tắc ba im

2 Với cách cách 4, sử dụng chiều ngợc lại quy tắc ba ®iĨm, thĨ "víi mét vect¬ AB



bất kì xen thêm vào điểm tuỳ ý để từ phân tích đợc vectơ AB



thµnh tỉng cđa hai vectơ"

B i 2. Cho điểm A, B, C, D Chøng minh r»ng AB + CD



= AD + CB



Giải

Ta trình bày theo c¸c c¸ch sau:

C¸ch 1: Ta cã: VT = (AD



+ DB ) + CD



= AD



+ CD



+ DB



= AD + CB



= VP

C¸ch 2: Ta cã: VT = (AC



+ CB



) + CD



= AC



+ CD



+ CB



= AD + CB



= VP

Cách 3: Biến đổi tơng đơng biểu thức dạng: AB



 AD



= CB



 CD



DB DB

   ,  Điều phải chứng minh.

Cách 4: Biến đổi tơng đơng đẳng thức dạng: AB



CB



= AD CD  AB + BC = AD + DC  AC = AC , luụn đỳng Nhận xét: Để thực chứng minh đẳng thức vectơ cho lựa

chọn hớng biến đổi VT thành VP hai cách giải có chung ý tởng, cụ thể việc lựa chọn vectơ xuất phát

AB ta cã:

 Trong cách 1, ta ý thức đợc cần tạo xuất vectơ AD ta xen vào điểm D

A B

C

D N

M

2 Từ nhận xét hẳn em học sinh thấy đợc thêm cịn có cách khác để giải toán, cụ thể:

 Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát CD  Hai cách theo hớng biến đổi VP thành VT

B i 3.à Cho M vµ N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB vµ CD Chøng minh r»ng:

2MN = AC + BD = AD + BC

 Gi¶i

a Ta trình bày theo cách sau:

Cách 1: Ta có phân tích: AC

= AM + MN + NC , (1) BD



= BM + MN



+ ND



(2)

Céng theo vÕ (1) vµ (2) víi lu ý AM



+ BM



=



vµ NC



+ ND =



(vì M N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đợc:

AC



+ BD



= 2MN

, đpcm (*)

Cách 2: Ta cã ph©n tÝch: MN MA AC CN  

                                                        , (3)

MN MB BD DN  

                                                        , (4)

Céng theo vÕ (3) vµ (4) víi lu ý MA MB 0     vµ NC ND 0 

  

(vì M N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đợc:

2MN



= AC



+ BD



, ®pcm b Ta cã:

AC



+ BD = AD + DC



+ BC



+ CD



= AD + BC



, ®pcm (**)

Từ (*) (**) ta đợc đẳng thức cần chứng minh

B i 4.à Cho O là tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M

bất kì, ta có:

MO



=

4(MA + MB + MC + MD ).

 Gi¶i

Ta cã: MA



+ MB



+ MC + MD



= MO



+ OA



+ MO



+ OB



+ MO



+ OC



+ MO



+ OD



= 4MO



+ (OA + OC



) + (OB + OD



) = 4MO





4(MA + MB + MC + MD ) = MO , đpcm. ã

Chỳ ý: Cú thể biến đổi VT thành VP

B i 5.à Cho ABC Gọi M, N, P lần lợt trung ®iĨm cđa BC, CA, AB Chøng minh r»ng:

AM



 Gi¶i

Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi: VT =

1

2 (AB AC)  

+

2 (BA BC)  

+

2 (CA CB) 

=

2 (AB BA AC CA BC CB)          

, đpcm

B i 6. Cho A1B1C1và A2B2C2lần lợt có trọng tâm là G1, G2 Chứng minh rằng:

1

A A



+ B B1



+ C C1



= 3G G1 

 Gi¶i

Víi G1, G2 tâm A1B1C1 A2B2C2, ta có:

1

G A



+ G B1 

+ G C1 

=



(1)

2

G A



+ G B2 

+ G C2

= (2)

Mặt khác, ta cã:

1

A A



= A G1



+ G G1 

+ G A2



(3)

1

B B



= B G1 

+ G G1 

+ G B2 

(4)

1

C C



= C G1 

+ G G1 

+ G C2 

(5)

Cộng theo vế (3), (4), (5) sử dụng kết (1) (2), ta đợc:

1

A A



+ B B1 

+ C C1 

= 3G G1 

, ®pcm

B i 7.à Cho ABC Gäi M là trung điểm của AB và N là điểm cạnh AC,

sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm của MN a Chứng minh rằng AK



=

4 AB + AC .

b Gäi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng KD =

4 AB + AC .

 Gi¶i

a Tõ gi¶ thiÕt ta nhËn thÊy: AB 2AM AB AM                                    

 AB = 2AM ;

AC 3AN AC AN                                    

 AC = 3AN V× K trung điểm MN nên:

AK

=

2(AM + AN ) = 2(

1

2 AB +

3 AC ) =

4 AB +

6 AC , đpcm. b Vì D trung điểm BC nên:

AD



=

từ đó, suy ra: KD



= AD AK =

2(AB + AC )(

4 AB +

6 AC ) =

4 AB +

3 AC , ®pcm.

Bài 8. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD BC O trung

điểm MN Chứng minh đẳng thức sau: a AB DC   AC DB

b    

1

2

MN  AB DC  AC BD

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

c OA OB OC OD      0

d

IA IB IC ID IO   

                                                       



với I điểm

 Giải.

a AB DC AC CB DC ACDC CB  AC DB          

                                                                                                                                 

b Ta có:

   

   

   

= 2 0

1

2

AB DC AM MN NB DM MN NC

MN AM DM NB NC MN MN

MN AB DC AC DB

      

       

    

       

        

    

c Ta thấy:

   

 

= 2

OA OB OC OD OA OD OB OC

OM ON OM ON

      

   

                                                                                                               

    

d Từ kết câu c ta có:

       

0

0

OA OB OC OD

OI IA OI IB OI IC OI ID IO IA IB IC ID

   

        

    

                                                                     

             

 Điểm O gọi trọng tâm tứ giác ABCD Trọng tâm thỏa mãn hệ thức phần c d

 Ta chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, EF đồng quy O trung điểm đường, M, N, P, Q, E, F trung điểm đoạn AD, BC, AB, CD, AC BD

 O nằm đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác với trọng tâm tam giác tạo ba đỉnh lại



Bài 9. Cho điểm A, B, C, D, E, F mặt phẳng Chứng minh: a AB CD AD CB    b AB CD EA ED CB   

    

c AD BE CF  AE BF CD AF BD CE             

d AB CD EF GA CB ED GF            

Giải.

a AB CD AD CB    AB AD CB CD    DB DB          

(đúng) b AB CD EA ED CB     AB BC CD DE EA     0 AA0

            

(đúng) c AD BE CF  AE BF CD   AD AE BE BF CF CD     0

            

 ED FE DF   0 EE0      

(đúng) d AB CD EF GA CB ED GF     

      

 AB BC CD DE EF FG GA       0 AA0          

(đúng)

Bài 10. Cho tam giác ABC, AM, BN, CP trung tuyến D, E, F trung điểm AM, BN CP Chứng tỏ rằng: 3OA OB OC   4OD OE OF  

     

với O điểm

 Giải. Ta có: 2OA OB OC  2OA2OM 2OA OM 2.2OD4OD

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

Cộng vế bất đẳng thức trên, ta thu đccm

2. Bài tập

Bµi 1. Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR :

a) ABCDAD CB

   

b) AB CD ACDB

   

c) ADBE CF AE BFCD

Bµi 2. Cho tam giác ABC với M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA

Chứng minh :

a) ANBP CM O

   

b) ANAMAP

  

c) AMBNCPO

   

Bµi 3. (Hệ thức trung điểm) Cho hai điểm A, B

a) Cho M trung điểm A, B Chứng minh với điểm I ta có :

IAIB IM

                                         

b) Với điểm N cho NA  2NB CMR với I : IA2 IB 3IN

c) Vơi điểm P cho PA 3PB

 

CMR với I bất ki : IA  3 IB 2IP.

d) Tổng qt tính chất

Bµi 4. (Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC G trọng tâm tam

giác

a) Chứng minh AGBGCGO

   

Với I ta có : IAIBIC3IG

    b) M thuộc đoạn AG

1

MG GA

CMR : 2MAMB  MCO Với I bất

kì: 2IAIBIC4IM

                                                       

c) Tổng quát tính chất

d) Cho hai tam giác ABC DEF có trọng tâm G G1 Chứng minh

rằng :

+ ADBECE3GG1

                                                       

+ Tìm điều kiện để hai tam giác có trọng tâm

Bµi 5. (Hệ thức hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O

a) CMR : AOBO CO DO    O, Với I IAIBICID4IO

     b) M điểm thoả mãn:

a) ADBC 2MN b) ACBD2MN

  

c) Tìm vị trí điểm I cho IAIBICIDO

    

d) Với M bất kì, CMR : MAMBMCMD4MI

    

Bài 7. (Một số đẳng thức trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)

Cho tam giác ABC, G, H, O, I trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp

a) 3OGOA OB OC

   

b) OHOA OB OC

   

c) 2HOHAHBHC

   

Bài (Nhấn mạnh toán mở rộng nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN

a) CMR :

1

4

AK AB AC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

b) D trung điểm BC CMR :

1

4

KD AB AC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  