ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY CÓ TÍNH ĐẾN ĐỘ ĐÀN HỒI

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA PHẠM MINH TUẤN ĐỀ TÀI: ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY CĨ TÍNH ĐẾN ĐỘ ĐÀN HỒI LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA Đà Nẵng - Năm 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA PHẠM MINH TUẤN ĐỀ TÀI: ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY CĨ TÍNH ĐẾN ĐỘ ĐÀN HỒI Chuyên ngành: KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA Mã số : 8520216 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Hoàng Mai Đà Nẵng - Năm 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Phạm Minh Tuấn ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY CĨ TÍNH ĐẾN ĐỘ ĐÀN HỒI Học viên: Phạm Minh Tuấn Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển tự động hóa Mã số: 60.52.60 Khóa: K33.DL.TDH Trường Đại học Bách khoa - ĐHĐN Tóm tắt - Trong nhiều năm qua, nhiều nhà nghiên cứu nghiên cứu phương trình động lực học hệ thống chuyển động có vật thể đàn hồi Gần đây, nghiên cứu xem xét cánh tay robot đàn hồi Đây kết mong muốn có robot hoạt động mức cao tốc độ độ xác, đồng thời giảm nhu cầu tiết kiệm nguyên vật liệu Một điều hiển nhiên cách để tăng tốc độ hoạt động với nhu cầu điện thấp giảm trọng lượng cánh tay robot Khi tốc độ tăng giảm trọng lượng, tính linh hoạt cấu trúc Robot trở nên quan trọng Với lý trên, tác giả lựa chọn việc xây dựng mơ hình phân tích cho hệ thống robot hai cánh đàn hồi trường hấp dẫn Mơ hình bao gồm hiệu rút ngắn đàn hồi lệch hướng cánh tay Các phương trình chuyển động bắt nguồn từ hai phương pháp; phương trình Lagrange_Euler mở rộng phương pháp chế độ giả định Chế độ giả định hình dạng phát triển cho phương pháp chế độ giả định Độ xác giả định chế độ hình dạng thể cách so sánh giá trị từ phương pháp giả định để giá trị riêng tính từ giải pháp xác có nguồn gốc luận án Phân tích mơ hình xác nhận thực nghiệm cách so sánh giá trị riêng với giá trị thu từ phép đo thực nghiệm Từ khóa – Robot Công Nghiệp; Biến dạng đàn hồi; Tay máy cứng; Tay máy mềm; Điều khiển trượt (SMC) SLIDING MODE CONTROLLER FOR MANIPULATOR WITH ELASTIC LINK Abstract – Over the years, many researchers have studied the dynamic equations of elastic object mobility systems Recently, these studies have looked at the elastic robot arm This is the result of the desire for robots to operate at a higher rate of speed and accuracy, while reducing the need to save materials One obvious way to speed up the operation with lower power demand is to reduce the robot arm weight As the speed increases and decreases, the flexibility of the robot structure becomes important For the above reasons, the author chose to build an analytical model for the elastic double-wing robot system in a gravitational field The model includes the shortened elasticity due to the deflection of the arm The equations of motion derive from two methods; The Lagrange_Euler equation extension and the hypothetical method approach Shape preset mode is developed for the presumed mode method The accuracy of the shape mode assumption is expressed by comparing the values from the assumed methods to their own values calculated from a correct solution derived in this thesis Analyze the empirical models by comparing individual values with the values obtained from empirical measurements Key words – Industrial Robot; Elastic deformation; Rigid manipulator; Flexible manipulator; Sliding Mode Controller MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ROBOT CÔNG NGHIỆP 1.1 Động lực học robot 1.1.1 Động học Robot công nghiệp 1.1.1.1 Xác định trạng thái Robot điểm tác động cuối 1.1.1.2 Mơ hình động học 1.1.1.3 Thiết lập hệ tọa độ 1.1.1 Mơ hình biến đổi 10 1.1.1.5 Phương trình động học 10 1.1.2 Tổng hợp chuyển động Robot công nghiệp 11 1.1.2.1 Nhiệm vụ 11 1.1.2.2 Bài toán động học ngược 11 1.1.2.4 Các phương pháp giải toán động học ngược 12 1.2 Phương trình động lực học Robot 13 1.3 Mộ số nghiên cứu tay máy có tính đến độ đàn hồi phương pháp điều khiển trượt giới 16 1.3.1 Trong nước 16 1.3.2 Ngoài nước 17 1.4 Kết luận chương 21 CHƯƠNG XÂY DỰNG MƠ HÌNH TÍNH TỐN CHO TAY MÁY HAI BẬC TỰ DO CĨ TÍNH ĐẾN ĐÀN HỒI 22 2.1 Tay máy có tính đến độ đàn hồi 22 2.1.1 Biến dạng 21 2.1.2 Uốn 24 2.1.3 Đàn hồi 23 2.2 Động lực học Robot 24 2.2.1 Phương trình Lagrange – Euler 25 2.2.2 Phương trình động lực học tay máy 27 2.3 Xây dựng mơ hình tốn học cho tay máy hai bậc tự có tính đến đàn hồi 36 2.4 Kết luận chương 48 CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY CĨ TÍNH ĐẾN ĐỘ ĐÀN HỒI 49 3.1 Lý thuyết điều khiển trượt 49 3.1.1 Lý thuyết điều khiển trượt (SMC) 49 3.1.2 Hiện tượng rung khắc phục 51 3.1.3 Điều khiển tiến mặt trượt: 54 3.2 Ổn định Lyapunov 60 3.3 Thiết kế điều khiển trượt: 62 3.3.1 Hệ phi tuyến có ổn định 62 3.3.2 Bộ điều khiển trượt cho tay máy tính đến độ đàn hồi 64 3.4 Mơ hình động lực học tay máy hai bậc tự 68 3.5 Kết luận chương 69 CHƯƠNG IV MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 70 4.1 Các thơng số mơ hình robot hai bậc tự có tính độ đàn hồi 70 4.2 Kết mô 71 4.2.1 Kết mơ mơ hình tay máy có tính đến độ đàn hồi 71 4.2.2 Khi có nhiễu nhỏ tác động: 72 4.2.3 Khi có nhiễu lớn tác động: 75 4.3 Kết luận chương 78 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 79 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) 80 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt 2DoF Tên Two-Degree-of-Freedom Trang RoEL Robot with Elastic SMAC Sliding Mode Adaptive Control DH Denavit – Hartenberg 13 PID Proportional Integral Derivative 18 PD Proportional Derivative 18 Sliding Mode Control 48 SMC DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng 1.1 Tên bảng Ảnh hưởng điều khiển Kp, Ki, Kd Trang 17 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Số hiệu Tên hình vẽ Trang 1.1 Các hệ toạ độ khâu động liên tiếp 2.1 Vật liệu bị biến dạng 23 2.2 Vật liệu biến dạng uốn 24 2.3 Sự thay đổi mạng tinh thể biến dạng đàn hồi 25 2.4 Hệ trục tọa độ tay máy 27 2.5 Hệ robot đàn hồi 37 3.1 Hiện tượng rung 48 3.2 Sai lệch e 48 3.3 Đồ thị sai lệch e=qd -q 49 3.4 Sơ đồ khối điều khiển trượt 50 3.5 Nguyên nhân tượng rung 51 3.6 Giải pháp chống rung 51 3.7 Xác định tín hiệu điều khiển tiến mặt trượt 54 3.8 Sơ đồ cấu trúc Bộ điều khiển trượt cho Robot bậc tự có tính đến độ đàn hồi 68 4.1 Mơ hình tay máy có tính đến độ đàn hồi 69 4.2 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay 70 4.3 Nhiễu nhỏ tác động vào hệ thống 70 4.4 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay pi/6 71 4.5 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay pi/4 72 4.6 Nhiễu tác động lớn vào hệ thống 73 4.7 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay pi/3 73 4.8 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay pi/2 74 68 Với tín hiệu mong muốn r(t), y(t) tín hiệu đặt (tín hiệu vào), e(t) sai số,  số dương chọn trước Khi hàm trượt s(t) = 0, nghiệm phương trình  t có dạng e(t )  exp    Do t  , e(t )  Với  xem thời   hàm trượt  nhỏ, hệ thống chậm tiến mặt trượt ngược lại Hàm trượt có dạng: s(t )  x (t )  r(t )  ( x (t )  r (t )) 21  11 (3.75) Theo lý thuyết ổn định Lyapunov, chọn hàm xác định dương V (t )  s (t ) (3.76) Suy ra: V  s (t )  s(t ) Để V (t ) xác định âm, chọn s(t )   k sign( s (t )) Thay s(t )   k sign( s (t )) vào V (t ) cho hàm V (t )   sk.sign( s(t )) với k số dương chọn trước Nhận xét: s(t) > V (t )  Nếu s(t) < V (t )  Nếu s(t) = V (t )  Từ nhận xét cho thấy hệ thống ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov Luật điều khiển trượt thiết kế sau: u (t )  Bx21 (t )  (ml  Mlc ) g sin( x1 (t ))   ( J  ml )  r (t )  (r(t )  x21 (t ))  ksign(s(t ))     (3.77) 3.4 Mô hình động lực học tay máy hai bậc tự Xây dựng điều khiển trượt biến đổi điều khiển cho tay máy bậc tự có tính đến độ đàn hồi (RoEF) 69 Hình 3.8: Sơ đồ cấu trúc Bộ điều khiển trượt cho Robot bậc tự có tính đến độ đàn hồi 3.5 Kết luận chương Chương trình bày lý thuyết điều khiển trượt (SMC), giải pháp chống rung trở vị trí cân bằng, ổn định Lyapunop cho hệ để từ thiết kế điều khiển trượt cho hệ tay máy có tính đến độ đàn hồi thu kết mong muốn 70 CHƯƠNG IV MƠ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 4.1 Các thơng số mơ hình robot hai bậc tự có tính độ đàn hồi Ta thực mơ tay máy robot hai bậc tự có thông số vật lý sau: - Chiều dài khớp 1: l1 = 0.4 m - Chiếu dài khớp 2: l2 = 0.25 m - Khối lượng khớp 1: m1 = 21.8 kg - Khối lượng khớp 2: m2 = 15kg - Momen quán tính khớp 1: J1 = 0,728 kgm - Momen quán tính khớp 2: J2 = 0,196 kgm - Chiều dài từ trục quay đến trọng tâm khớp 1: lg1 = 0,02 m - Chiều dài từ trục quay đến trọng tâm khớp 2: lg2 = 0,0125 m - Khối lượng tải: mt = 10 kg - Momen quán tính tải: Jt = 0.1 kgm - Gia tốc trọng trường: g = 9,81 m/s - Mật độ khối lượng: ρ1 = ρ2 = 0.2 kg m1 - Hệ số biến dạng đàn hồi: (EI)1 = (EI)2 = 1N m2 71 Hình 4.1: Mơ hình tay máy có tính đến độ đàn hồi 4.2 Kết mô 4.2.1 Kết mơ mơ hình tay máy có tính đến độ đàn hồi Thay đổi góc quay q1 q2 vị trí (q1,q2) = (0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2) 72 Hình 4.2 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay Nhận xét: Nhìn vào hình 4.2 ta thấy đáp ứng đầu Teta1 Teta theo phương pháp sử dụng điều khiển trượt bám sát giá trị đặt mong muốn với thời gian độ 4s khơng có q chỉnh Kết luận: Hệ thống hoạt động ổn định, theo phương pháp điều khiển trượt hoạt động tốt, thời gian độ 4s không điều chỉnh (độ vọt lố phạm vi cho phép) 4.2.2 Khi có nhiễu nhỏ tác động: Khi có nhiễu nhỏ tác động vào hệ thống điều khiển 73 Hình 4.3 Nhiễu nhỏ tác động vào hệ thống - Đáp ứng điều khiển trượt có kết mơ hình: Hình 4.4 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay pi/6 Nhận xét: Nhìn vào hình 4.4 ta thấy đáp ứng đầu Teta1 Teta theo phương pháp sử dụng điều khiển trượt bám sát giá trị đặt mong muốn với thời gian q độ 4s khơng có chỉnh 74 Kết luận: Hệ thống hoạt động ổn định, theo phương pháp điều khiển trượt hoạt động tốt, thời gian độ 4s không điều chỉnh (độ vọt lố phạm vi cho phép) Hình 4.5 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay pi/4 Nhận xét: Quan sát đáp ứng điều khiển có nhiễu nhỏ tác động sử dụng điều khiển trượt (hình 4.5), ta thấy chất lượng đáp ứng đầu Teta1, TeTa2 Mặc dù có tác động nhiễu, đáp ứng đầu khâu sử dụng điều khiển trượt ổn định đạt chất lượng tốt (về thời gian độ độ chỉnh) Kết luận: Đồ thị vận tốc biến khớp thấy tốc độ thay đổi giá trị biến khớp hai khâu 4(s) lớn, sau giảm dần ổn định sau t=4s với khâu 1, t=5s với khâu 75 4.2.3 Khi có nhiễu lớn tác động: Khi có nhiễu lớn tác động vào hệ thống điều khiển Nhiễu có dạng hình 4.6 Hình 4.6 Nhiễu lớn tác động vào hệ thống - Đáp ứng điều khiển trượt kết mơ hình 4.7 Hình 4.7 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay pi/3 76 Nhận xét: Nhìn vào hình 4.7 ta thấy đáp ứng đầu Teta1 Teta theo phương pháp sử dụng điều khiển trượt bám sát giá trị đặt mong muốn với thời gian độ 3s khơng có q chỉnh Kết luận: Hệ thống hoạt động ổn định, theo phương pháp điều khiển trượt hoạt động tốt, thời gian độ 4s không điều chỉnh (độ vọt lố phạm vi cho phép) - Đáp ứng điều khiển trượt kết mơ hình 4.8 Hình 4.8 Quỹ đạo khớp 1- vị trí có góc quay pi/2 Nhận xét: Quan sát đáp ứng điều khiển có nhiễu lớn tác động sử dụng điều khiển trượt ta thấy: Chất lượng đáp ứng đầu Teta1, TeTa2 sử dụng điều khiển trượt tốt Nhưng với tác động nhiễu lớn điều khiển trượt có khả đưa góc Teta1 giá trị xác lập ổn định 77 Kết luận: Đồ thị vận tốc biến khớp hình 4.8 cho thấy tốc độ thay đổi giá trị biến khớp hai khâu 4s lớn, sau giảm dần ổn định sau t=3s với khâu 1, t=5s với khâu Nhận xét chung: Ta thấy đối tượng nghiên cứu đối tượng phi tuyến, có tác động khớp trình chuyển động điều khiển trượt thực tốt điều khiển cho hệ bám với tín hiệu điều khiển, đạt hiệu cao Đáp ứng hệ thống nhanh q chỉnh Tín hiệu điều khiển không bị rơi vào trạng thái làm việc xấu, biên độ tín hiệu điều khiển biến đổi khơng q lớn Chất lượng điều khiển tốt Các nhiễu xét chiều dài cánh tay Robot, khối lượng cánh tay Robot (khối lượng cánh tay Robot thay đổi vài trường hợp: thay đổi góc quay, nâng cấp, thay mới…), khối lượng tải Trong đó, thay đổi khối lượng tải cánh tay Robot ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng điều khiển Khi tải nhỏ, thay đổi khối lượng tải thường ảnh hưởng đến chất lượng điều khiển, chất lượng điều khiển tốt bị ảnh hưởng Khi tải lớn thay đổi khối lượng ảnh hưởng đến chất lượng điều khiển không cịn tốt Khi cần hiệu chỉnh điều khiển trượt phù hợp với ngưỡng tải cho phép Như vậy, luận văn trình bày mơ hình động lực học tổng quát cho hệ tay máy có hai khâu đàn hồi Hệ phương trình động lực học xây dựng sở phương pháp phần tử hữu hạn cách tiếp cận Lagrange có tính đến yếu tố ma sát đàn hồi, mơ men qn tính động cơ, tải trọng giúp đưa mơ hình động lực học sát với thực tế Kết mô thể chất ứng xử động lực học tay máy có khâu đàn hồi 78 Kết luận văn có ý nghĩa quan trọng việc tạo sở nghiên cứu ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi tới độ xác định vị đưa giá trị chuyển vị đàn hồi cụ thể phục vụ việc thiết kế hệ điều khiển bù sai số, nâng cao độ xác, giảm thời gian dao động, thời gian xác lập hệ thống 4.3 Kết luận chương Bộ điều khiển trượt hoạt động ổn định sau thời gian độ có thời gian qúa độ ngắn có độ điều chỉnh nhỏ nên hệ thống hoạt động hiệu thực tế mà không gian làm việc yêu cầu xác với sai lệch điều khiển nhỏ Đảm bảo yêu cầu trình điều khiển Vì điều khiển trượt có phạm vi ứng dụng rộng hơn, ứng dụng hệ thống có yêu cầu chất lượng cao, ổn định Định hướng nghiên cứu phát triển đề tài tiếp tục nghiên cứu thực nghiệm để tiến điều khiển trượt nhằm đạt tiêu chất lượng tốt hơn, hoàn thiện điều khiển việc điều khiển vị trí cánh tay máy Phát triển nhằm nâng cao phạm vi ứng dụng, khả kháng nhiễu, nâng cao tiêu chất lượng ứng dụng rộng rãi hệ thống thực tế 79 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau thời gian nghiên cứu làm việc nghiêm túc, giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Hồng Mai thầy giáo Tổ mơn Tự động hóa, Đại học Bách Khoa Đà Nẵng, đến tác giả hoàn thành luận văn thời gian dự kiến Luận văn nghiên cứu ứng dụng phương pháp điều khiển trượt để nâng cao chất lượng điều khiển chuyển động cho tay máy hai bậc tự có tính đến đàn hồi đưa hệ thống trạng thái xác lập nhanh Các kết nghiên cứu tóm tắt sau: - Tổng quan tay máy công nghiệp hai bậc tự - Xây dựng phương trình động lực học tay máy công nghiệp, cụ thể tay máy hai bậc tự có tính đến đàn hồi - Tổng hợp điều khiển trượt cho tay máy hai bậc tự - Kết nghiên cứu kiểm chứng phần mềm mô matlab simulink cho tay máy hai bậc tự cho thấy tính đắn xác lý thuyết Việc xây dựng điều khiển trượt để áp dụng cho tay máy công nghiệp để phù hợp với môi trương làm việc khắc nghiệt nhiệt độ, rung lắc, nhiễu bên ngồi… q trình nghiên cứu thử nghiệm phức tạp Nội dung luận văn dừng lại mức độ mô Trong thời gian tới, có điều kiện tác giả xin tiếp tục tiếp cận ứng dụng vào mơ hình thực nghiệm để kiểm chứng lại phương pháp điều khiển mở rộng việc thiết kế điều khiển 80 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hoàng Mai, Bùi Tuấn Việt Linh, Thiết kế điều khiển mờ lai điều khiển vị trí tay máy có tính đến module đàn hồi cánh tay, Đại học Bách Khoa Đà nẵng, 2017 [2] Nguyễn Hoàng Mai, Nguyễn Thị Khánh Thùy, Điều khiển mờ trượt cho tay máy bậc tự do, Tạp chí KHCN ĐHĐN; 2011 [3] Trần Đức Thuận, Trần Xuân Kiên, Bùi Hồng Huế, Tổng hợp hệ điều khiển tay máy có khớp đàn hồi ứng dụng vi cảm biến vi quán tính”, Viện Khoa Học Công Nghệ Quân Sự, 2016: [4] Dương Xuân Biên, Chu Anh Mỳ, Phan Bùi Khôi, Xây dựng hệ phương trình động lực học hệ tay máy có khâu đàn hồi, Học viện Kỹ Thuật Quân Sự, 2017 [5] Phạm Thành Long, Nguyễn Văn Tùng, Phạm Thành Đức, Điều khiển động học robot có xét đến biến dạng đàn hồi theo chế bù kép, Tạp chí khí Việt Nam Số Năm 2012 [6] Nguyễn Doãn Phước, Phân tích điều khiển hệ phi tuyến, Nxb Bách Khoa, Hà Nội [7] Nguyễn Doãn Phước, Báo cáo seminar chuyên môn Điều khiển trượt trượt bậc cao, Bộ môn Điều khiển tự động, Viện Điện, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tháng năm 2014 [8] Nguyễn Doãn Phước (2002), Lý thuyết điều khiển tuyến tính, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [9] Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh, Hán Thành Trung (2003), Lý thuyết điều khiển phi tuyến, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tiếng Anh [10] Alessandro De Luca, Modeling and Control of Robots with Elastic Joints, 2011 [11] Jose Alvarez-Ramirez, Ilse Cervantes, PID regulation of robot manipulators with elastic joint, Asian Journal of Control, Vol 5, No 1, pp 32-38, March 2003 81 [12] Valdecir Bottega, Rejane Pergher, Jun S O Fonseca, Simultaneous Control and Piezoelectric Insert Optimization for Manipulators with Flexible Link, J of the Braz Soc of Mech Sci & Eng, April-June 2009, Vol XXXI, No / 105 [13] Chaeyoun Oh, “Modeling and control of a two-arm elastic robot in gravity” 1990, Retrospective Theses and Dissertations Paper 9402 [14] Mark W Spong, “CONTROL OF FLEXIBLE JOINT ROBOTS”, UNIVERSITY OF ILLINOIS AT URBANA-CHAMPAIGN, 2-1990 [15] R.H Cannon Jr and E Schmitz, Initial experiments on the end-point control of a flexible one-link robot, Internat J Robotics Research 3(3) (1984) 62-75 [16] W.J Book, Modeling, design and control of flexible manipulators arms:Status and trends, NASA Conf on Space Telerobotics, Vol (1989) I1-24 [17 ]E Bayo and M.A Serna, Penalty formulation for the dynamic analysis of elastic mechanisms, J Mechanisms, Transmission and Automation in Design (1989) 321-327 [18] S.K Biswas and R.D Klafter, Dynamic modeling and optima control of a flexible robotic manipulators, 1988 IEEE Internat Conf on Robotics and Automation, Vol (1988) pp 15-20 [19] C Chevallereau and Y Aoustin, Non-linear control laws for a two flexiblelink robot: Comparison of applicability domains, 1992 IEEE Internat Conf on Robotics and Automation 2(1992) 748-753 [20] D.S Kwon and W.J Book, An inverse dynamic method yielding flexible manipulator state trajectories, American Control Conf., San Diego, California, 1990 [21] Malik Loudini, Modelling and Intelligent Control of an Elastic Link Robot Manipulator, First Published January 1, 2013 82