Về véctơ trọng số rbf cho phương pháp không lưới rbf fd trong không gian ba chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— VŨ XUÂN HIỂN VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 6/2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— VŨ XUÂN HIỂN VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG THỊ OANH Thái Nguyên, 6/2020 ii Mục lục Lời cảm ơn iv Danh mục ký hiệu v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Cơ sở toán nội suy hàm số với liệu phân tán Một số định nghĩa khái niệm 1.3 Lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng khơng gian chiều 10 1.4 Kết luận 14 Chương Phương pháp không lưới RBF – FD giải phương trình Poisson khơng gian ba chiều 15 2.1 Bài toán mở đầu 15 2.2 2.3 Véctơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính 2.2.1 Véctơ trọng số từ vi phân số tâm phân bố không 2.2.2 Nội suy khơng có thành phần đa thức 2.2.3 Nội suy có thành phần đa thức 16 16 18 20 2.2.4 Véctơ trọng số RBF không gian ba chiều 23 Thuật toán chọn tâm dựa góc khối 26 2.4 Lược đồ RBF-FD giải tốn Elliptic khơng gian ba chiều 27 2.5 Thử nghiệm số 27 Kết luận 31 iii Tài liệu tham khảo 32 iv Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy, khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đặng Thị Oanh - Người tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Ân Thi, Hưng Yên tập thể thầy giáo tổ Tốn Tin Trường tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian tác giả tham gia học cao học Cuối xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K12A6, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Vũ Xuân Hiển v Danh mục ký hiệu Ω Miền hình học Ξ Ξint Tập các tâm miền biên Ω Tập tâm nằm miền Ω ∂Ω ζ Tập tâm nằm biên ∂Ω Tâm thuộc tập Ξint g f Hàm biên Hàm vế phải phương trình Poisson w u véc tơ trọng số Nghiệm giải tích u˜ Nghiệm xấp xỉ ∞ Rn Vô Không gian n chiều λ φ Giá trị riêng ma trận Hàm sở bán kính A Tham số hình dạng Ma trận hệ phương trình đại số tuyến tính b x Véc tơ vế phải hệ phương trình đại số tuyến tính Nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính E X Ma trận đơn vị Bộ tâm gồm ξ ζ Ký hiệu: X = {ζ, ξ1 , , ξk } k Số điểm ξi cần thiết tập Ξζ Mở đầu Trong suốt kỷ XX, loạt phương pháp số hình thành phát triển phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference - FD), phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM), phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method -FVM), phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM) Những phương pháp đem lại đóng góp to lớn việc ứng dụng toán học vào thực tiễn Tuy nhiên, chúng nhiều hạn chế áp dụng vào lớp tốn thực tế có cấu trúc phức tạp như: lưới biến dạng phạm vi rộng, số chiều không gian cao, hàm vế phải hàm điều kiện biên có kì dị (có độ dao động lớn) Khó khăn lớn sinh lưới, trì lưới cập nhật lưới Đó lý thúc đẩy nhà khoa học thuộc lĩnh vực khác nhau, tìm kiếm phương pháp nhằm khắc phục hạn chế phương pháp lưới Để khắc phục số nhược điểm phương pháp lưới, người ta đưa phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng [4, 5, 9, 11, 12, 14] Một cách tiếp cận không lưới phương pháp RBF – FD (Radial Basis Funcion - Finite Difference) [9, 11, 12, 14] - Hàm sở bán kính Φ : Rd → R hàm xác định dương giá trị phụ thuộc vào chuẩn véctơ biến, tức Φ(x) = φ(||x||2 ) với x ∈ Rd φ : [0; ∞) → R hàm cho trước [6, 10] Sử dụng thay đổi hàm để xây dựng nội suy hàm sở bán kính (RBF – Interpolation) [6, 10] Tiếp nội suy hàm sở bán kính sử dụng xấp xỉ tốn tử vi phân, nhằm tạo phương pháp xấp xỉ giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương pháp RBF – FD xây dựng theo lược đồ Phương pháp RBF – FD phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm sở bán kính với cách tiếp cận địa phương, dựa rời rạc hóa giống phương pháp FD để tính xấp xỉ nghiệm số điểm rời rạc miền xác định Khi sử dụng phương pháp RBF – FD giải toán d chiều với d lớn tùy ý, thay phải làm việc với hàm d biến, ta cần làm việc với hàm biến Một lợi kỹ thuật rời rạc không lưới cần dựa tập điểm ... ————— o0o ————— VŨ XUÂN HIỂN VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF- FD TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN... 16 16 18 20 2.2.4 Véctơ trọng số RBF không gian ba chiều 23 Thuật toán chọn tâm dựa góc khối 26 2.4 Lược đồ RBF- FD giải toán Elliptic không gian ba chiều ... lĩnh vực khác nhau, tìm kiếm phương pháp nhằm khắc phục hạn chế phương pháp lưới Để khắc phục số nhược điểm phương pháp lưới, người ta đưa phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng