Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÍCH LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TỐN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÍCH LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TỐN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii Lời mở đầu 1 Một số vấn đề 1.1 Không gian Hilbert số ví dụ 1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi không gian Hilbert 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với tốn tử đơn điệu 11 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật tốn điểm gần kề tìm khơng điểm toán tử đơn điệu 17 2.1 Một số bổ đề bổ trợ 17 2.2 Mô tả phương pháp 19 2.3 Sự hội tụ phương pháp 22 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người tận tình bảo, định hướng, chọn đề tài truyền đạt kiến thức để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, đặc biệt thầy Khoa Tốn - Tin, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu học tập Qua xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Hưng Yên, tập thể lớp Cao học K7Y, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, góp ý cho tơi nhận xét quý báu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015 Tác giả Nguyễn Bích Lương iii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R không gian số thực H không gian Hilbert thực X∗ không gian đối ngẫu X domA miền hữu hiệu A D(T ) miền xác định T R(T ) miền ảnh T NC (x) nón pháp tuyến điểm x tập C Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S tích vơ hướng hai vectơ x y x, y hàm C δC (.) chuẩn vectơ x x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn x dãy {xn } hội tụ yếu tới x x := y x gán y ∀x x ∃x tồn x ∅ tập rỗng I ánh xạ đơn vị Lời mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bên cạnh kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, tốn tử đơn điệu công cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn bất đẳng thức biến phân Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ gradient gradient, chứng minh tồn nghiệm cho nhiều lớp toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tốn tối ưu Mục đích luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề để chứng minh dãy lặp {xn } hội tụ mạnh đến x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân F x∗ − u, x∗ − p ≤ Luận văn trình bày hai chương: Trong Chương chúng tơi xin trình bày khái niệm khơng gian Hilbert, số ví dụ minh họa tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Thuật tốn điểm gần kề, khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa phương trình với tốn tử đơn điệu trình bày chương Chương dành cho việc mô tả phương pháp hiệu chỉnh cải biên thuật toán điểm gần kề chứng minh nghiệm bất đẳng thức biến phân dựa số kết bổ trợ Chương Một số vấn đề Chương nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi tốn đặt khơng chỉnh Khơng gian Hilbert số ví dụ xét mục 1.1 Mục 1.2 nhắc lại toán cực tiểu phiếm hàm lồi không gian Hilbert Trong mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với tốn tử đơn điệu Kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Khơng gian Hilbert số ví dụ Trong mục này, tơi xin trình bày khái niệm khơng gian Hilbert số ví dụ khơng gian Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính trường R Một tích vơ hướng H ánh xạ , : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau đây: i x, y = y, x với x, y ∈ H ii x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H iii λx, y = λ x, y với x, y ∈ H; λ ∈ R iv x, x ≥ với x ∈ H x, x = x = Số x, y gọi tích vơ hướng hai vectơ x y Cặp (H, ·, · ) gọi khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi không gian Unita) Từ định nghĩa ta thấy tích vơ hướng ·, · dạng song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lí 1.1 Cho H khơng gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta ln có bất đẳng thức sau | x, y |2 ≤ x, x y, y Dấu xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Hiển nhiên bất đẳng thức với y = Giả sử y = Với số λ, ta có x + λy, x + λy ≥ tức x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y ≥ Lấy λ = − x, y , ta y, y x, x − x, y y, y ≥ 0, từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Định lí 1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi x = x, x 1/2 ,x∈H xác định chuẩn H Chứng minh Từ điều kiện d) Định nghĩa 1.1 suy x = x = Từ a) c) suy λx = λx, λx = |λ|2 x , từ λx = |λ| x , với x ∈ H, λ ∈ R Với x, y ∈ H x+y = x + y, x + y = x + y, x + x, y + y ≤ x + 2| x, y | + y 2 (vì x, y + y, x = 2Re x, y ≤ | x, y |) Do đó, theo bất đẳng thức Schwarz x+y ≤ x +2 x y + y = ( x + y )2 tức x + y ≤ x + y Như vậy, không gian tiền Hilbert khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng gọi không gian Hilbert Sau số ví dụ khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng x, y = n i=1 xi yi , đó: x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn Ví dụ 1.2 Xét khơng gian: ∞ l = |xn |2 < +∞ x = (xn )n ⊂ K : n=1 Ta biết l2 không gian Banach với chuẩn ∞ (1.1) |xn |2 x= n=1 Với x = (xn )n∈R , y = (yn )n∈R ∈ l2 , nhờ bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ∞ xn yn ≤ x y < +∞ n=1 Dễ kiểm tra rằng: x, y = ∞ n=1 xn yn xác định tích vơ hướng l2 cảm sinh (1.1) Vậy l2 khơng gian Hilbert Ví dụ 1.3 Cho (X, A, µ) khơng gian độ đo E ∈ A Xét không gian     2 L (E, µ) = f : E → R |f | dµ < ∞   E ta biết L2 (E, µ) khơng gian Banach với chuẩn  12  |f |2 dµ f = E Hơn nữa, với f, g ∈ L2 (E, µ), t bt ng thc Hăolder v tớch phõn, ta cú   12  |f g|dµ ≤  |f |2 dµ  E E  12 |g|2 dµ < +∞ E Ta dễ dàng kiểm tra f, g = f gdµ, E xác định tích vơ hướng L2 (E, µ) L2 (E, µ) khơng gian Hilbert thực 1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi không gian Hilbert Trước hết ta nhắc lại số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, vi phân, Định nghĩa 1.3 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.4 i Một tập C ⊆ H gọi nón có đỉnh ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C 22 hiệu chỉnh cho thuật toán điểm gần kề Cho điểm tùy ý x0 ∈ H, zn = (I − tn F )xn + tn u + en , xn+1 = JcT zn , (2.14) n ≥ 0, F tốn tử k - Lipschitz η đơn điệu mạnh H u điểm bất động H Nếu khơng có dãy tham số {tn } hội tụ không, chứng minh dãy {xn } (2.14) hội tụ mạnh đến x∗ ∈ T −1 (0), nghiệm bất đẳng thức biến phân F x∗ − u, x∗ − p ≤ với p ∈ T −1 (0) 2.3 Sự hội tụ phương pháp Cho F toán tử k - Lipschitz η - đơn điệu mạnh H với < η ≤ k JcT toán tử giải T Giả sử t ∈ (0, η/k ) τt = − t(2η − tk ) ∈ (0, 1) xét ánh xạ Vt H xác định Vt x = JcT [(I − tF )x + tu], x ∈ H, (2.15) c > số cố định u ∈ H điểm bất động Dễ thấy Vt toán tử co Từ Bổ đề 2.2, ta có Vt x − Vt y = JcT [(I − tF )x + tu] − JcT [(I − tF )y + tu] (2.16) ≤ (I − tF )x − (I − tF )y ≤ τt x − y , với ∀x, y ∈ H Do đó, có điểm bất động nhất, kí hiệu vt nghiệm phương trình vt = JcT [(I − tF )vt + tu], vt ∈ H (2.17) Định lí 2.1 Với c > u ∈ H, cho mạch (net) {vt } tạo (2.17) Khi đó, cho t → mạch (net) {vt } hội tụ mạnh đến v S nghiệm 23 bất đẳng thức biến phân F v ∗ − u, v ∗ − p ≤ 0, ∀p ∈ S (2.18) Chứng minh Đầu tiên chứng minh tính nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.18) Giả sử v ∗ ∈ S v ∈ S hai nghiệm (2.18), F v ∗ − u, v ∗ − v ≤ 0, (2.19) F v − u, v − v ∗ ≤ (2.20) F v ∗ − F v, v ∗ − v ≤ (2.21) Cộng (2.19) vào (2.20) ta có Tính đơn điệu mạnh F v ∗ = v tính chứng minh Sau đây, chúng tơi sử dụng v ∗ ∈ S nghiệm (2.18) Tiếp theo chứng minh {vt } giới nội Lấy p ∈ S , từ (2.17) sử dụng Bổ đề 2.2, ta có: vt − p = JcT [(I − tF )vt + tu] − p ≤ (I − tF )vt − (I − tF )pt (u − F p) (2.22) ≤ τt vt − p + t u − F p , Nên vt − p ≤ t u − Fp − τt (2.23) Ta thấy t = (2.24) t→0 − τt η Cho t → ∞, giả sử mà khơng tính tổng quát t < t η/k − ε, ε số dương nhỏ Khi liên tục, với − τt t ∈ [0, η/k − ε] Do đó, ta có: lim+ sup η t : t ∈ 0, − ε − τt k < +∞ (2.25) 24 Từ (2.23) (2.25) có {vt } {F vt } giới nội Mặt khác, từ (2.17) ta có vt − JcT vt = JcT [(I − tF )vt + tu] − JcT vt (2.26) ≤ (I − tF )vt + tu − vt ≤ t u − F vt → (t → 0) Để chứng minh vt → v ∗ với p ∈ S ta sử dụng Bổ đề 2.2, ta có: vt − p = JcT [(I − tF )vt + tu] − p ≤ (I − tF )vt − (I − tF )p + t(u − F p) ≤ τt2 vt − p 2 + t2 u − F p + 2t (U − tF )vt − (I − tF )p, u − F p ≤ τt vt − p + t2 u − F p + 2t vt − p, u − F p + 2t v + t − p, u − F p (2.27) + 2t2 F p − F vt , u − F p ≤ τ vt − p + 2t2 k p − vt ≤ τ vt − p + t2 u − F p u − Fp + 2t2 M + 2t vt − p, u − F p , M = max |u − F p|2 , 2k |p − vt | |u − F p| Do vt − p ≤ 2t 2t2 M+ vt − p, u − F p − τt − τt t2 Từ τt = − t(2η − − τt ta có lim((2t/(1 − τt )) vt − p, u − F p ) = tk ), ta có lim t→0 (2.28) = Ngoài ra, vt → p, t→0 Do {vt } giới nội, thấy {tn } dãy (0, η/k − ε] cho tn → vtn → v , kết hợp với (2.28) ta có vtn → v Ngồi ra, từ (2.26) sử dụng Bổ đề 2.4, ta có v ∈ S Tiếp theo chứng minh v nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.18) 25 Từ (2.17) p ∈ S , ta có vt − p ≤ (I − tF )vt + tu − p = vt − p +t 2 u − F vt (2.29) + 2t vt − p, u − F vt , Có nghĩa F vt − u, vt − p ≤ t u − F vt 2 (2.30) Bây thay t (2.30) tn cho n → ∞, ta có: F v − u, v − p ≤ (2.31) Khi v ∈ S nghiệm (2.18) v = v ∗ tính v ∗ Tóm lại, điểm tụ mạch {vt } (tại t → 0) v ∗ Vì vt → v ∗ t → Giả sử F = A Định lí 2.1, có kết sau Hệ 2.1 Với c > u ∈ H Cho A tốn tử tuyến tính, giới nội, dương, mạnh với hệ số < γ ≤ A Với t ∈ (0, γ/ A ), giả sử mạch {vt } tạo vt = JcT [(I − tA)vt + tu] Khi đó, cho t → mạch (net) {vt } hội tụ mạnh đến v ∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân Av ∗ − u, v ∗ − p ≤ 0, ∀p ∈ S (2.32) Giả sử F = I v ∗ = Ps u Định lí 2.1, ta có kết sau Hệ 2.2 Với c > u ∈ H Cho t ∈ (0, 1), mạch (net) {vt } tạo vt = JcT [(1 − t)vt + tu] Khi đó, cho t → 0, {vt } hội tụ mạnh đến hình chiếu điểm u lên S Ngoài ra, giới hạn đạt c > Kết cho định lí hội tụ mạnh Thuật tốn 2.14 với điều kiện yếu dãy {tn } 26 Định lí 2.2 Cho T tốn tử tuyến tính cực đại khơng gian Hilbert H với S = ∅ Giả sử F toán tử k - Lipschitz η - đơn điệu mạnh với < η ≤ k Cho {tn } dãy (0,1), (cn ) dãy (0, ∞) ε số dương nhỏ tùy ý Giả sử điều kiện (C1’), (C3’), (C4’), (C5’) cố định {tn }, (cn ), (en ) (C1’): < tn ≤ η/k − ε với n ≥ n0 , với số nguyên n0 ≥ Cho điểm tùy ý x0 ∈ H, dãy xn tạo (2.14) cho zn → x∗ ↔ tn (u − F xn ) → 0(n → ∞), (2.33) x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân F x∗ − u, x∗ − p ≤ 0, ∀p ∈ S (2.34) Chứng minh Một mặt giả sử tn (u − F xn ) → (n → ∞) Chúng tiến hành bước sau Bước Chúng cho {xn } bị giới nội Thật vậy, lấy p ∈ S , từ (2.14) (C1’) sử dụng Bổ đề 2.5, ta có xn+1 − p = JcTn zn − p ≤ (I − tn F )xn + tn u + en − p ≤ (I − tn F )xn − (I − tn F )p + tn (u − F p) + en ≤ τtn xn − p + tn (u − F p) + en ≤ [1 − (1 − τtn )] xn − p tn u − F p + en + (1 − τtn ) − τtn tn ≤ max |xn − p| , |u − F p| + en , − τtn với n ≥ n0 , với số nguyên n0 ≥ τtn = − tn (2η − tn k ) ∈ (0, 1) (2.35) 27 Tương tự, có n−1 xn − p ≤ max { x0 − p u − F p M1 } + ej , (2.36) j=0 với n ≥ n0 , với số nguyên n0 ≥ 0, M1 = sup tn /(1 − τtn ) : < tn ≤ η/k − ε < +∞ Vì {xn } giới nội Chúng ta có {zn } {F xn } giới nội Bước Chúng cho lim xn+1 − xn = n→∞ Trong thực tế, viết Jn = JcTn Tn = 2Jn − I Khi đó, Jn khơng giãn mạnh Tn không giãn (xem Bổ đề 2.6) Chú ý I + Tn zn 1 = zn + Tn zn 2 1 = xn + [tn (u − F xn ) + en + Tn zn ] 2 1 = xn + yn , 2 yn = tn (u − F xn ) + en + Tn zn Vì thế, xn+1 = Jn zn = (2.37) yn+1 − yn = tn+1 (u − F xn+1 ) + en+1 + Tn+1 zn+1 − tn (u − F xn ) − en − Tn zn (2.38) ≤ tn+1 (u − F xn+1 ) + tn (u − F xn ) + en+1 + en + Tn+1 zn+1 − Tn zn Dựa vào đẳng thức tốn tử giải ta có Tn+1 x − Tn x = Jn+1 x − Jn x = Jn cn x+ 1− cn cn+1 cn+1 cn ≤2 1− Jn+1 x − x cn+1 cn ≤ 1− Tn+1 x − x cn+1 Jn+1 x − Jn x (2.39) 28 với x ∈ H Từ (2.14), ta có zn+1 − zn = (I − tn+1 F )xn+1 + tn+1 u + en+1 − (I − tn F )xn − tn u − en (2.40) ≤ xn+1 − xn + tn+1 (u − F xn+1 ) + tn (u − F xn ) + en+1 + en Từ (2.39) (2.40) ta có Tn+1 zn+1 − Tn zn ≤ Tn+1 zn+1 − Tn zn+1 + Tn zn+1 − Tn zn ≤ 1− cn cn+1 cn ≤ 1− cn+1 Tn+1 zn+1 − zn+1 + zn+1 − zn Tn+1 zn+1 − zn+1 + xn+1 − xn (2.41) + tn+1 (u − F xn+1 ) + tn (u − F xn ) + en+1 + en Thay (2.41) vào (2.38) ta nhận yn+1 − yn ≤ tn+1 (u − F xn+1 ) + tn (u − F xn ) + en+1 + en + − cn cn+1 (2.42) + M2 + xn+1 − xn , hay yn+1 − yn − xn+1 − xn ≤ tn+1 (u + F xn+1 ) + tn (u − F xn ) (2.43) cn M2 , + en+1 + en + − cn+1 M2 = sup { Tn+1 zn+1 − zn+1 , n ≥ 0} Ta nhận thấy tn (u − F xn ) → 0, en → − (cn /cn+1 ) → 0(n → ∞), suy lim sup ( yn+1 − yn − xn+1 − xn ) ≤ n→∞ (2.44) Từ (2.37) sử dụng Bổ đề 2.5 , ta có lim yn − xn = Do n→∞ yn − xn = n→∞ lim xn+1 − xn = lim n→∞ (2.45) 29 Bước Chúng cho lim xn − JcT xn = Do lim inf cn > 0, có n→∞ n→∞ tồn α > số nguyên N cho với n ≥ N, cn ≥ α Từ Bổ đề 2.5, với c ∈ (0, α), ta có: c c xn + − Jn xn − JcT xn cn cn c c xn + − Jn xn − xn ≤ cn cn c Jn xn − xn = 1− cn Jn xn − JcT xn = JcT (2.46) ≤ Jn xn − xn+1 + xn+1 − xn Ta thấy Jn xn − xn+1 ≤ xn − zn ≤ tn (u − F xn ) + en → (2.47) Vì vậy, từ (2.46), (2.47) Bước suy (2.48) lim Jn xn − JcT xn = n→∞ Từ xn − JcT xn+1 ≤ xn − xn+1 + xn+1 − Jn xn + Jn xn − JcT , (2.49) lim xn − JcT xn = n→∞ Bước Chúng cho lim sup xn − x∗ , u − F x∗ ≤ 0, n→∞ x = lim vt vt xác định (2.17) Do {xn } giới nội nên tồn ∗ t→0 dãy {xnk } {xn } hội tụ yếu đến ω Từ Bước 3, ta nhận JcT ω Từ Bổ đề 2.4, ta có ω ∈ S Do Định lí 2.1, ta có lim sup xn − x∗ , u − F x∗ = lim xnk − x∗ , u − F x∗ n→∞ k→∞ ∗ = ω − x ,u − Fx ∗ (2.50) ≤ Bước Chúng cho {zn } hội tụ mạnh tới x∗ ∈ S Từ (2.14), cho 30 số γ > không đổi, ta có xn+1 − x∗ = Jn zn − x∗ ≤ zn − x∗ 2 = (I − tn F )xn + tn u + en − x∗ ≤ (I − tn F )xn + tn u − x∗ + γ en ≤ (I − tn F )xn − (I − tn F )x∗ + tn (u − F x∗ ) ≤ τtn xn − x∗ + t2n u − F x∗ + γ en + 2tn (I − tn F )xn − (I − tn F )x∗ , u − F x∗ + γ en ≤ τtn xn − x ∗ + t2n u − Fx (2.51) ∗ + 2tn xn − x∗ − tn F xn + tn u, u − F x∗ + 2tn F x∗ − u, u − F x∗ + γ en ≤ τtn xn − x∗ + 2tn xn − x∗ , u − F x∗ + 3tn tn (u − F xn ) u − F x∗ + γ en ≤ [1 − (1 − τtn )] xn − x∗ + 2M1 tn (u − F xn ) + (1 − τtn )[2M1 xn − x∗ , u − F x∗ u − F x∗ + γ en , với n ≥ n0 , số nguyên n0 ≥ Cho n ≥ n0 , đặt µn = − τtn δn = 2M1 xn − x∗ , u − F x∗ + 2M1 tn (u − F xn ) u − F x∗ Suy xn+1 − x∗ ≤ (1 − µn ) xn − x∗ Dễ dàng thấy ∞ n=1 µn + µn δn + γ en , ∀n ≥ n0 (2.52) = ∞ lim δn ≤ Do đó, từ Bổ đề 2.6, dãy n→∞ {xn } hội tụ mạnh đến x ∈ S Ta nhận thấy ∗ zn − x∗ = (I − tn F )xn + tn u + en − x∗ ∗ ≤ xn − x + tn (u − F xn ) + en (2.53) 31 Do đó, dãy {xn } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ S Mặt khác, giả sử zn → x∗ ∈ S n → ∞ Từ (2.14) ta có xn+1 − x∗ = Jn zn − x∗ ≤ zn − x∗ → (2.54) Vì tn (u − F xn ) = zn − xn − en (2.55) ≤ zn − xn + en ≤ zn − x∗ + xn − x∗ + en → Giả sử F = I x∗ = Ps u Định lí 2.2, ta có kết sau Hệ 2.3 Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert H với S = ∅ Cho {tn } dãy (0, 1), {cn } dãy (0, +∞) ε số dương nhỏ tùy ý Giả sử điều kiện (C1"), (C3’), (C4’) (C5) thỏa mãn {tn }, {cn } {en } (C1"): < tn ≤ − ε với n ≥ n0 , số nguyên n0 ≥ Với thành phần x0 ∈ H, cho dãy {xn } tạo zn = (1 − tn )xn + tn u + en , xn+1 = JcTn zn , (2.56) n ≥ Khi zn → Ps u ⇔ tn (u − xn ) → (n → ∞) (2.57) Hệ 2.4 ([Wang [8],Theorem 4]) Cho {tn } , {cn } {en } thỏa mãn (C1), (C3) (hoặc (C3’)), (C4’) (C5) Ngoài ra, S = ∅ dãy tạo (2.13) hội tụ mạnh đến Ps u Chứng minh Từ lim tn = 0, dễ thấy tn ≤ η/k − ε với n ≥ n0 , n→∞ số nguyên n0 ≥ Khơng tính tổng qt, giả thiết ≤ 32 tn ≤ η/k − ε với n ≥ n0 , số nguyên n0 ≥ Nhắc lại chứng minh Định lí Wang [8], biết {xn } giới nội Do đó, ta có tn (u − xn ) → Vì tất điều kiện Hệ 2.3 thỏa mãn Sử dụng Hệ 2.3, ta có {zn } hội tụ mạnh đến Ps u ∈ S với zn = (1 − tn )xn + tn u + en Vì xn+1 − Ps u ≤ zn − Ps u → (2.58) Chú ý 2.2 Hệ 2.3 tổng quát Định lí Wang [8] Ví dụ sau đưa để minh họa cho tính hiệu khái quát , với n ≥ Xác định toán tử đơn điệu cực đại T sau: T x = 2x, với x ∈ R Dễ 1 dàng thấy JcTn = I S = Cho dãy {tn } {en }, tn = en = 0, 2 với n ≥ Cho tùy ý x0 ∈ R, cho {xn } xác định (2.56), Ví dụ 2.1 Cho H = R tập số thực, u = cn = zn = xn , 1 xn+1 = zn = xn , (2.59) n ≥ Quan sát xn+1 − = 1 xn − = xn − 4 (2.60) n+1 Do đó, ta có xn+1 − = xn − , ∀n ≥ Điều ngụ ý {xn } hội tụ mạnh đến = PS Do đó, tn (u − xn ) = xn → (n → ∞) (2.61) 33 Hơn nữa, dễ dàng thấy điều cịn với: (B1) < tn = ≤ − ε, với n ≥ n0 , số nguyên n0 ≥ 0, ∞ = ∞, (B2) ∞ n=0 tn = n=0 cn (B3) lim inf cn = > lim − = 0, n→∞ n→∞ cn+1 ∞ (B4) ∞ n=0 en = n=0 = < ∞ Do khơng có nghi ngờ tất điều kiện Hệ 2.3 thỏa mãn Từ tn = → 0, điều kiện tn → Wang [8], Định lí khơng thỏa mãn Vì vậy, từ Hệ 2.3, có dãy {xn } {zn } hội tụ mạnh đến Định lí Wang [8] khơng suy {xn } {zn } ví dụ Kết luận: Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh cải biên, chứng minh định lí hội tụ đến điểm bất đẳng thức biến phân đưa ví dụ minh họa cho tính hội tụ phương pháp 34 Kết luận Luận văn trình bày kết phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật tốn điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu bao gồm: • Sơ lược không gian Hilbert số kiến thức giải tích lồi • Phát biểu tốn cực tiểu phiếm hàm lồi thuật toán điểm gần kề để giải tốn • Phát biểu tốn đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải phương trình với tốn tử đơn điệu • Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Lehdili N and Moudafi A (1996), "Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization", Optimization, vol.37, No3, pp 239-252 [5] Rockafellar R T (1976), "Monotone operators and the proximal point algorithm", SIAM Journal on Control and Optimization, vol.14, No5, pp 877-898 [6] Song Y and Yang C (2009), "A note on a paper a regularization method for the proximal point algorithm", Journal of Global Optimization, vol.43, No1, pp 171-174 36 [7] Stampacchia G (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes", Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, vol.258, pp 4413-4416 [8] Wang F H (2011), "A note on the regularization proximal point algorithm", Journal of Global Optimization, vol.50, No3, pp 531-535 [9] Wang S (2012), "A Modified Regularization Method for the Proximal Point Algorithm", Journal of Applied Mathematics, DOI: 10.1155/2012/567948 [10] Xu H K (2006), "A regularization method for the proximal point algorithm", Journal of Global Optimization, vol.36, No1, pp 115-125 [11] Yao Y H., Noor M A and Liou Y C (2010), "A new hybrid iterative algorithm for variational inequalities", Applied Mathematics and Computation, vol.216, No3, pp 822-829 ... biên cho thuật toán điểm gần kề Mục 2.1 số bổ đề bổ trợ Mô tả phương pháp hiệu chỉnh trình bày mục 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu. .. sở cho việc nghiên cứu chương 17 Chương Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật tốn điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu Chương nội dung luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh cải biên. .. điểm gần kề để giải tốn • Phát biểu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải phương trình với tốn tử đơn điệu • Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật tốn điểm gần kề tìm