Năng lượng đa phức có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ THANH HƢƠNG NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ THANH HƢƠNG NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chƣa đƣợc công bố cơng trình Tác giả Trần Thị Thanh Hương ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn đƣợc hoàn thành Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên dƣới hƣớng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hƣớng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Phổ thơng Dân tộc nội trú THPT Tỉnh Hồ Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn đƣợc hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Thanh Hương iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.2 Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.3 Hàm cực trị tƣơng đối 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10 Chƣơng NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG 16 2.1 Lớp Cegrell ( ) 16 2.2 Dung lƣợng tập mức dƣới 20 2.3 Các lớp lƣợng có trọng 25 2.4 Miền giá trị toán tử Monge-Ampere phức 37 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đa vị phức đƣợc hình thành phát triển dựa cơng trình Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta nhiều tác giả khác Tuy nhiên lý thuyết thực phát triển mạnh mẽ sau E Berfod B A.Taylor, xây dựng thành cơng tốn tử Monge-Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dƣới bị chặn địa phƣơng đƣa khái niệm dung lƣợng tập Borel tập mở n Có thể xem tốn tử Monge-Ampere công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa vị Các kết đạt đƣợc liên quan đến tốn tử Monge - Ampère phức đóng vai trò quan trọng trung tâm lý thuyết đa vị Năm 1998, U Cegrell giới thiệu nghiên cứu toán tử MongeAmpere phức (dd c )n lớp đặc biệt hàm đa điều hòa dƣới không bị chặn , gọi lớp lƣợng Năm 2004, Cegrell cho định nghĩa tổng quát toán tử Monge-Ampere đạt đƣợc nhiều kết đẹp đẽ Năm 2005, Cegrell đƣa lớp hàm trùng với hàm lớp ( ) mà compact ( ) Tiếp tục mở rộng lớp lƣợng năm 2009, S Benelkourchi đƣa lớp lƣợng có trọng , ( ), ( ) nghiên cứu toán tử Monge-Ampere lớp lƣơng đa phức hữu hạn trƣờng hợp tổng quát Đồng thời giải thích lớp theo nghĩa tốc độ giảm dung lƣợng tập mức dƣới mơ tả đầy đủ miền giá trị tốn tử MongeAmpere (dd c )n lớp ( ) Theo hƣớng nghiên cứu chọn đề tài: "Năng lượng đa phức có trọng" 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu lớp lƣợng có trọng ( ) nghiên cứu tốn tử Monge- Ampere lớp lƣợng đa phức hữu hạn trƣờng hợp tổng quát 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, hàm cực trị tƣơng đối, toán tử Monge-Ampère vài tính chất - Trình bày kết gần Slimane Benelkourchi số tính chất lớp lƣợng U.Cegrell số kết lớp lƣợng có trọng n , dung lƣợng tập mức dƣới ( ) , miền giá trị toán tử Monge-Ampere phức Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phƣơng pháp giải tích phức kết hợp với phƣơng pháp giải tích hàm đại, phƣơng pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, có phần mở đầu, hai chƣơng nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, hàm cực trị tƣơng đối, tốn tử Monge-Ampère vài tính chất Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết gần Slimane Benelkourchi số tính chất lớp lƣợng U.Cegrell n lƣợng có trọng , dung lƣợng tập mức dƣới số kết lớp ( ) , miền giá trị toán tử Monge-Ampere phức Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt đƣợc Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, hàm u : X gọi nửa liên tục trên X với x X : u(x ) tập mở hàm nửa liên tục không trùng với b n n u : , thành phần liên Hàm u gọi đa điều hoà với a u(a , hàm b) điều hoà trùng :a phần tập hợp u tập hợp mở X 1.1.2 Định nghĩa Cho thông , b ( ) (Ở kí hiệu thành Trong trường hợp này, ta viết ( ) lớp hàm đa điều hoà ) Sau vài tính chất hàm đa điều hồ dƣới: 1.1.3 Mệnh đề Nếu u, v u ( ) u v hầu khắp nơi , v 1.1.4 Mệnh đề Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức u tập mở liên thông bị chặn PSH ( ), u với z u(z ) , y y n gọi đa cực với điểm a E có lân cận V a hàm u E V V : u(z ) sup lim sup u(y ) 1.1.5 Định nghĩa Tập hợp E z n (V ) cho 1.1.6 Hệ Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) khơng 1.1.7 Định lý Cho (i) Họ u, v ( ) nón lồi, tức ( ) , u (ii) Nếu u v uj ( ) u lim u j j (iii) Nếu u : , số khơng âm , u ( ) dãy giảm, j , u j tập compact Khi ( ) liên thông (iv) Giả sử u n tập mở ( ) hội tụ tới u j ( ) ( ) cho bao u A sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà 1.1.8 Hệ Cho khác rỗng Nếu u y , cơng thức tập mở thực ( ), lim v(x ) ( ), v max u, v u x trong xác định hàm đa điều hoà 1.1.9 Định lý Cho n tập mở u(y ) với \ n tập mở v (i) Cho u, v hàm đa điều hồ lồi, v (u / v) đa điều hoà y Nếu : (ii) Cho u ( ), v ( ), v Nếu : lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà (iii) Cho u, v : 0, ( ), u 0, lồi (0) 1.1.10 Định lý Cho , v , v (u / v) n tập mở F z tập đóng Nếu ( ) : v(z )  v ( ) Nếu u ( \ F ) bị chặn trên, hàm u xác định u(z ) (z lim sup u(y ) (z u (z ) \ F) F) y z y F đa điều hoà n 1.1.11 Định nghĩa Một miền bị chặn tồn hàm đa điều hòa liên tục c z : (z ) c : gọi miền siêu lồi ( , 0) cho với c 1.2 Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.2.1 Định nghĩa Cho tập mở n u : hàm đa điều hoà Ta nói u cực đại với tập mở compact tương đối G v (G) v , với hàm nửa liên tục v G cho u G , có v u G Một số tính chất tƣơng đƣơng tính cực đại 29 (m (z )) ( j (z )) Ta chứng minh lim sup j s z Thật vậy, với z , đặt (z ) Giả sử ngƣợc lại (ms )) ( js ) lim sup sup j z s Khi tồn dãy s j j (ms j ) ms j ( js j ) js j j z Vậy g j ( j )))n hàm lồi nên ta có , điều mâu thuẫn với (2.8) Vậy lim sup g j hầu khắp nơi j hàm lõm, nên hàm (dd c max(v, hàm lõm Ta sửa đổi chút chứng minh Thật Bây giờ, vậy, Vì j (m (z )) ( j (z )) Do lim sup Vì ms j ( js j ) j m j (2.8) (ms j ) cho , nên suy js j v v (j ) (j ) (dd cv)n ( ) với j v (j ) tuỳ ý Khi (dd c max(v, ( j )))n ( ) thoả mãn (dd c g j )n (j ) (dd c max(v, ( j )))n Khi lặp lại chứng minh giống nhƣ ta đƣợc điều phải chứng minh ‚ 2.3.6 Bổ đề Nếu u lim j ( ( ) ) u j (dd cu j )n dãy giảm u j ( ( ) với lim u j ) u(dd cu)n u 30 , uj Chứng minh Từ [12] suy với j (dd cu j )n j (dd cu j )n u j dãy giảm lim u j (dd cu j )n Theo nguyên lý so sánh suy u Theo định lý hội tụ đơn điệu ta có j ) u j (dd cu j )n ( ) uj u ) u (dd cu)n ( ( ) cho (dd cu)n , ( ) hàm xác định với Chú ý (dd cu )n ( 1u (dd cu)n j ‚ Ƣớc lƣợng dung lƣợng sau tập mức dƣới đƣợc sử dụng sau: : 2.3.7 Mệnh đề Cho ( ) (0) Cap với s hàm tăng lồi lõm cho Khi 2s s n ( s) ( ( )(dd c )n s) ( ) Chứng minh Suy từ Bổ đề 2.1.3 cách xấp xỉ j ( ) đƣợc cho bổ đề 2.3.8 Mệnh đề Cho ( ) (0) Cap với s : s 0, ( ) hàm tăng lồi lõm cho Khi tồn số C C sn s (dd c )n C ( ) cho 31 Chứng minh Trƣớc tiên ta chứng minh cho trƣờng hợp n K Lấy s tập compact, ký hiệu uK hàm cực trị tƣơng đối Chọn : hàm tăng cho dd c 1( ) dc ( )d ( )dd c 1 (0) Khi ( )dd c , (2.9) dd c 1( ) dc ( )d Từ [14] suy tồn dãy giảm j ( )dd c ( )dd c ( ) C ( ) cho (2.10) Khi j tích phân phần đồng thời kết hợp với bất đẳng thức ta đƣợc c K n (dd uK ) K ( 1) lim j lim C s lim C s lim C s lim C s2 j j j j C s2 ( / s) c (dd uK )n ( 1) 1 lim j uK dd c uK 1 ( / s )dd c ( / s )dd c j ( / s )(dd c ( / s )(dd c j )2 K (dd cuK )n (dd cuK )n j j )2 ( j / s) ( 1) ( / s ) (dd cuK )n uK dd c 1( / s ) dd c 1 j 1 (dd cuK )n (dd cuK )n (dd cuK )n 2 (dd cuK )n 32 Đối với trƣờng hợp tổng quát, ta chứng minh tƣơng tự Thật vậy, xét hàm tăng : (n ) cho (0) Khi đó, áp dụng liên tiếp bất đẳng thức (2.9), (2.10) tích phân phần nhận đƣợc ƣớc ‚ lƣợng cần chứng minh Bây cho j \ j Lấy u Khi u j dãy tăng miền giả lồi chặt cho j ( ) đặt u sup j (lim u )* ( ) dãy tăng, nên u j j nghĩa u độc lập với việc chọn dãy (dd cu)n u ( ):u a điều hoà dƣới Ký hiệu ) ( ) : 2.3.9 Mệnh đề Cho ( j j ( ) Định cực đại, tức u hàm đa điều hoà dƣới cực đại bé u ( ) Đặt u ( ): (0) Lớp tƣơng tự vị hàm a ( ) ( ) Ta có kết sau: hàm tăng lồi lõm cho Khi ( ) a ( ) Nói riêng, độ đo Monge-Ampere (dd cu )n hàm u ( ) xác định tốt triệt tiêu tập đa cực Chính xác hơn, ta có ( ) u Chứng minh Cố định u sup j ( ): u L1((dd cu)n ) ( ) u j (u j )(dd cu j )n ( ) dãy cho 33 (u)(dd cu)n bị chặn, điểm Từ tính nửa liên tục u suy (u j )(dd cu j )n Do tụ dãy bị chặn riêng (dd cu )n triệt tiêu tập ( ) u(dd cu)n ( (u ) , nói , trùng với tập u , Từ Định lý 2.1 [4] suy (dd cu )n triệt tiêu ) tập đa cực Bây điều lại chứng minh u ( ) tức hàm cực đại nhỏ u Giả sử u hàm nhƣ Khi u ˆ( ) ˆ u ˆ với lim u j u , nhƣ ( ) Từ Bổ đề 2.3.6 suy tồn dãy giảm u j ( ) u j lim ) u j (dd cu j )n ( j Bổ đề 2.1.3 suy ) u j (dd cu)n ( t n ( t / 4)Cap ( u t )dt Do u Để chứng minh khẳng định sau cùng, phải bao hàm thức ngƣợc lại ( ) u ( ): u L1((dd cu)n ) Điều hệ trực tiếp Bổ đề 2.3.6 Vậy ta có điều phải chứng minh ‚ Cho : hàm tăng Ta nói chấp nhận đƣợc lồi lõm tồn số M ( 2s ) Chú ý: hàm (t ) M ( s ), s ( t )p , p 0 cho (2.11) chấp nhận đƣợc Hàm số 34 ( t )p (log( t (t ) e)) , p 1, chấp nhận đƣợc nhƣng hàm 2.3.10.Mệnh đề Nếu hàm tăng chấp nhận được, ta có ( ) ( ): t n ( t )Cap t dt Chứng minh Suy từ Bổ đề 2.1.3 (2.11) : 2.3.11 Định lý Cho ( ) hàm tăng chấp nhận cho (0) Khi với tập Borel B j j (dd cu )n B B (u j )(dd cu j )n lim j B ( ) hội tụ đến u (u j )(dd cu j )n Chứng minh Lấy B j (u)(dd cu)n B Hơn nữa, u j dãy giảm lim tuỳ ý ta có B max(u, j ) , ta có (dd cu j )n lim ( ) đặt u j Cố định u (u)(dd cu)n tập Borel Nếu (dd cu j )n B (dd cu )n Do ta giả sử B (dd cu )n Từ Bổ đề 2.2.3 Mệnh đề 2.3.7 suy B (dd cu j )n B (dd cu)n u j (dd cu j )n u j (dd cu)n với 35 j nCap 2n ( j / 2) u u j u (u) (dd cu )n ( j) j (u)(dd cu)n j /2 , j u (dd cu )n tƣơng tự nhƣ u j (dd cu j )n hội tụ mạnh đến Chứng minh trên, trƣớc tiên ý từ Bổ đề 2.2.3 ta có u j ) u j (dd cu j )n ( ( j) u j (dd cu j )n ( j )j nCap Vì (2.12) u j hàm chấp nhận đƣợc, nên suy tồn số C ( 2s ) C ( s ), s (2.13) cho Do ta có lim j ( j )j nCap u lim 2n j lim 2n 1C j lim C ( j / 2)j nCap j j ( j )j nCap u j u (u )(dd cu)n Khi (2.13) (2.14) với Mệnh đề 2.3.7 suy lim j u j u j (dd cu j )n Nhƣ khẳng định thứ hai đƣợc chứng minh đầy đủ u j 2j (2.14) 36 Bây giờ, ta áp dụng chứng minh tƣơng tự nhƣ Định lý 3.4 [4] suy khẳng ‚ định cuối Chúng ta kết thúc mục với đặc trƣng hàm bị chặn lớp ( ) , mở rộng kết Y Xing [14] 2.3.12.Mệnh đề Cho u ( ) Khi u bị chặn miền tồn số A Cap (u với k1 k) k và B cho số thực k , ta tìm dãy tăng k k1 B với ks B s j (u k j ) (dd cu )n Cap (u 1/n A kj 1) Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Để điều kiện đủ, ta giả sử ngƣợc lại u không bị chặn Khi Cap (u k) với k Từ Bổ đề 2.1.3 suy s B k j Từ B k s kj kj A với k j (u k j ) (dd cu )n Cap (u kj 1) 1/n A B , điều xảy Suy điều phải chứng minh ‚ 37 2.4 Miền giá trị toán tử Monge-Ampere phức Ảnh toán tử Monge-Ampere tác động lớp p ( ) đƣợc nghiên cứu mở rộng U Cegrell Kết U Cegrell đạt đƣợc [6], phát biểu nhƣ sau: Cho độ đo dƣơng p , tồn hàm (dd c )n tồn số C ( ) cho p ( u) d p C c p n n p ( u) (dd u) u , E0( ) cho (2.15) Chú ý điều kiện cần đủ tƣơng đƣơng với: Toán tử u ( u )p d p bị chặn “giả cầu” u ( ) p ( ): ( u)p (dd cu)n Định lý sau mở rộng kết U Cegrell [6] 2.4.1 Định lý Cho : hàm lồi tăng cho ( ) Khi mệnh đề sau tương đương: (1) tồn hàm (2) tồn số C ud ud với u ( ) cho C 1, với u (3) tồn số C (dd c )n ; ( ) cho ˆ( ) (2.16), cho C max 1, c n u(dd u ) 1/n (2.17) 38 Ở ˆ0 ( ) u Chứng minh (1) u(dd cu )n ( ): (2) Lấy u ( ) Chú ý với s ( ) tuỳ ý ta có (u s) s ) ( (u s ) Từ u(dd c )n Do 0 ( s) ( s) (u ( 2s) (u s ) s) (u s) (dd c )n ds (dd c )n ds (dd c )n ds ( s) (2.18) ( ( 2s) s ) ( (dd c )n ds s) (dd c )n ds hàm lồi nên suy ( 2s ) M ( s ), s Theo nguyên lý so sánh, với s (u s) (dd c )n (2.19) ta có (u s) (dd cu )n (u s) (dd cu )n (2.20) Kết hợp đồng thời (2.18), (2.19) (2.20) suy tồn số C độc lập với u cho (2) u(dd c )n (3) Lấy tức E ( ) định C , với u ( ) , đặt E ( ) ( )d ( ) ( )(dd c )n Nếu C Nếu E ( ) , Hàm ( ), đƣợc xác 39 E ( )1/n Thật vậy, từ tính đơn điệu ( ) ta có n 1/n E ( ) dd c 1/n E ( ) Từ (2.16) tính lồi Từ ta nhận đƣợc (3) với C E ( ) (1) Từ [4] Mệnh đề 2.3.10 suy lớp Từ [7] suy tồn u C 1E ( )1/n d 1/n max(1,C ) Khi khẳng định (2.17) Xét ( )(dd c )n suy E ( )1/n ( )d (3) E ( ) ( ) đặc trƣng tập đa cực nói riêng suy triệt tiêu tập đa cực ( ) f f (dd cu )n L1loc (dd cu )n cho min( f , j )(dd cu )n Đó độ đo hữu hạn bị chặn độ đo Monge- j Ampere phức hàm bị chặn Vì từ [12] suy (dd c j )n j )n j lim dãy giảm Đặt ( j )(dd c C max 1,( j ( j )(dd c j )n C 2n /n j j Từ ta có sup ( ) cho min( f , j )(dd cu )n Theo nguyên lý so sánh ta có ( j )(dd c j j Từ (2.17) suy )n )1/n 40 Do từ Mệnh đề 2.3.10 suy sup j t n ( t )Cap j t dt , điều kéo theo Khi t n ( t )Cap Vậy t dt ( ) Bây tính liên tục toán tử Monge-Ampere phức với dãy giảm ta kết luận (dd c )n so sánh Tính suy từ nguyên lý 41 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, hàm cực trị tƣơng đối, toán tử MongeAmpère vài tính chất n - Một số tính chất lớp lƣợng U.Cegrell lớp ( ) Các kết gần Slimane Benelkourchi lƣợng có trọng hàm đa điều hoà dƣới lớp Cegrell lớp lƣợng có trọng Cụ thể định lý sau: :R + Cho (0) R hàm tăng, lồi lõm, cho ( (dd cu )n hàm u xác + Nếu ( ) Nói riêng, độ đo Monge-Ampere ( ) xác định tốt triệt tiêu tập đa cực, u ( ) / L1((dd cu)n ) u hàm lồi giảm, ta có ( ) + Cho a ( ) Khi ) ( )/ :R ( ): ud t n ( t )Cap ( t )dt R hàm lồi tăng cho ( (dd c )n C max 1, tồn số C u(dd cu) 1/n ) Khi cho với u ( ) ! 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] N.Q.Diệu L.M.Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học Sƣ phạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Bedford E (1993), "Survey of pluripotential theory, Several complex variables", Mittag-Leffler institute 1987-1988, Math Notes, 38, 48 - 95, Princeton Univ, Press, Princeton [3] Bedford E., and Taylor B A (1982), "A new capacity for plurisubharmonic funtions", Acta Math, 149, no.1-2, pp - 40 [4] Benelkourchi S., Guedj V., and Zeriahi A (2006), "Plurisubharmonic functions with weak singularities", Proceedings from the Kisslmanfest, Acta Universitatis Upsaliensis, Proceedings of the conference in honor of C.Kiselman [5] Benelkourchi S (2009), "Weighted pluricomplex energy", Potential Analysis, Volume 31, Issuel, pp 1-20 [6] Blocki Z (2000), "Equilibrium measure of a product subset of n ", Proc Amer Math Soc 128, no12, pp 3595-3599 [7] Cegrell U (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math 180, no2, pp 187 - 217 [8] Cegrell U (2004), The general definition of the complex Monge - Ampère, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, no1, pp 159 - 179 [9] Cegrell U (2008), "A general Dirichle problem for of the complex MongeAmpere operator", Ann Polon Math.94, pp 131-147 [10] Cegrell U., Kolodziej S., and Zeriahi A., (2005), "Subextention of plurisubharmonic functions with weak singularities", Math Z 250, pp - 22 43 [11] Demailly J P (1993), "Monge-Ampere operators, Lelong numbers and intersection theory" Complex analysis àn geometry, 115-193, Univ Ser Math Plenum, New York [12] Kolodziej S (1994), "The range of the complex Monge-Ampere operator", Indiana Univ Math J 43, no 4, pp 1321-1338 [13] Kolodziej S (2005), "The complex Monge-Ampere equation and pluripotential theory", Mem Amer Math Soc 178, no 840, x+64 pp [14] Xing Y (2000), "Complex Monge - Ampère measures of plurisubharmonic functions with bounded values near the boundary", Canad J Math 52, pp.1085-1100 ... đẳng thức cần chứng minh ‚ 16 Chƣơng NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG Trong chƣơng nghiên cứu toán tử Monge-Ampere phức ( ) trƣờng hợp tổng lớp lƣợng đa thức phức có trọng quát ( (0) tức khối lƣợng Monge-Ampere... nghiên cứu chọn đề tài: "Năng lượng đa phức có trọng" 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu lớp lƣợng có trọng ( ) nghiên cứu... 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.2 Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.3 Hàm cực trị tƣơng đối 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10 Chƣơng NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG