Một số phương pháp giải toán tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đặng Thị Thủy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP Chuyên Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.HÀ HUY KHỐI Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cơng trình hoàn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.HÀ HUY KHOÁI Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2013 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Ngun Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mục lục Mở đầu Chương PHƯƠNG PHÁP ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN 1.1 Giới thiệu phương pháp đại lượng bất biến 1.2 Một số toán 1.2.1 Dạng 1: Phát bất biến toán 1.2.2 Dạng 2: Giải toán đại lượng bất biến 6 6 11 Chương PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 2.1 Tóm tắt lí thuyết 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Một số đẳng thức liên quan đến hàm sinh 2.2 Một số toán 2.2.1 Dạng 1: Sử dụng hàm sinh việc giải toán đếm tổ hợp nâng cao 2.2.2 Dạng 2: Sử dụng hàm sinh để tính tổng biểu thức tổ hợp chứng minh đẳng thức tổ hợp 16 16 16 16 20 Chương NGUYÊN TẮC CỰC HẠN 3.1 Cơ sở lí thuyết 3.1.1 Khái niệm điểm cực hạn 3.1.2 Một số định lí 3.2 Mô tả nội dung phương pháp 3.3 Một số toán 31 31 31 32 32 33 20 28 Chương SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 39 4.1 Kiến thức 39 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.1.1 Ánh xạ 4.1.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 4.1.3 Ánh xạ ngược ánh xạ 4.1.4 Ánh xạ hợp 4.2 Phương pháp ánh xạ 4.2.1 Nguyên lý ánh xạ 4.2.2 Định lý (Bài toán chia kẹo Euler) 4.3 Một số toán 4.3.1 Dạng 1: Sử dụng song ánh vào toán đếm nâng cao 4.3.2 Dạng 2: Sử dụng song ánh vào toán chứng minh tính biểu thức tổ hợp Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa trung tâm học liệu 39 39 40 40 40 40 41 42 42 49 52 53 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Có thể nói tư tổ hợp đời từ sớm, nhiên lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học vào khoảng kỷ 17 loạt cơng trình nghiên cứu nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler Mặc dù vậy, suốt hai kỷ rưỡi, tổ hợp khơng đóng vai trị nhiều việc nghiên cứu tự nhiên Đến với hỗ trợ đắc lực máy tính, tổ hợp chuyển sang lĩnh vực toán ứng dụng với phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng cho người Nhận thức vai trò lý thuyết tổ hợp đời sống đại, lý thuyết tổ hợp đưa vào chương trình tốn trung học phổ thơng Các tốn tổ hợp ngày chiếm vị trí quan trọng kì thi học sinh giỏi tốn, olympic tốn, vơ địch tốn Tốn tổ hợp dạng tốn khó, địi hỏi tư lơgic, tư thuật tốn cao, tính hình tượng tốt, phù hợp với mục đích tuyển chọn học sinh có khả khiếu tốn học Hơn nữa, nội dung toán kiểu ngày gần với thực tế, điều hoàn toàn phù hợp với xu hướng toán học đại Giải tốn tổ hợp khơng đơn giản Khi làm quen với giải tích tổ hợp, liên tục đếm nhầm vụ đếm lặp, đếm thiếu, không phân biệt đối tượng tổ hợp cần áp dụng, nên sử dụng công cụ để giải tốn Khi vượt qua khó khăn ban đầu này, ta lại gặp toán mà việc áp dụng trực tiếp quy tắc đếm đối tượng tổ hợp không đem lại kết mong muốn Với toán vậy, ta cần đến phương pháp đếm nâng cao Để giải tốn tổ hợp-rời rạc có nhiều phương pháp Luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày "Một số phương pháp Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ giải tốn tổ hợp" Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương Chương PHƯƠNG PHÁP ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN Trong chương trình bày Chương PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH Trong chương trình bày Chương NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Trong chương trình bày Chương SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Trong chương trình bày Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình GS.TSKH Hà Huy Khối-Trường Đại học Thăng Long.Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Từ đáy lịng mình, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin trân trọng gửi tới Thầy khoa Tốn, phịng Đào tạo sau Đại học Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ thầy, suốt q trình giáo dục, đào tào nhà trường Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K5C Trường Đại Học Khoa Học động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm ln văn Tôi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Lý Thường Kiệt Bắc Ninh giúp đỡ tạo điều kiện cho học tập hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người quan tâm tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ Tuy nhiên hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu cho theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn trình xử lý văn hiểu biết thân nên chắn không tể tránh khỏi Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cơ độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013 Tác giả Đặng Thị Thủy Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương PHƯƠNG PHÁP ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN 1.1 Giới thiệu phương pháp đại lượng bất biến Nhiều toán cho biết thực số thao tác hệ đối tượng số, quân bài, quân cờ biến cho.Tuy tốn có phức tạp ẩn chứa đại lượng bất biến tính chẵn lẻ tổng, tích biến khơng thay đổi, Nhờ phát ra, xây dựng biến cố có tính chất bất biến tốn, ta dựa vào bất biến để đến lời giải Phương pháp gọi phương pháp sử dụng bất biến, thường dùng toán tổ hợp Những toán liên quan đến bất biến chia làm hai loại: Những tốn lấy bất biến làm kết luận phải tìm Những toán lấy bất biến làm phương pháp giải Thực khơng có lý thuyết chung cho tốn mà có đại lượng bất biến Phương pháp hình thành cách phân loại tập có ý tưởng chung lời giải Vì tốt tìm hiểu phương pháp bất biến thông qua số tập cụ thể Những tập lựa chọn phù hợp với trình độ THPT, đặc biệt học sinh giỏi Mặt khác, lựa chọn ví dụ điển hình, chúng tơi cố gắng làm bật thao tác thường dùng sử dụng phương pháp bất biến tình khác 1.2 1.2.1 Một số toán Dạng 1: Phát bất biến toán Bài toán 1.3.1 Trên bảng ta viết 10 dấu cộng (+) 15 dấu trừ (-) vị trí Thực xóa hai dấu viết vào dấu cộng (+) hai dấu vừa xóa giống dấu trừ (-) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ hai dấu vừa xóa khác Làm bảng dấu Hỏi bảng cịn lại dấu gì? Lời giải: Cách Ta thay dấu cộng số 1, dấu trừ số -1.Thao tác thực xóa hai số viết lại số tích chúng.Vì tích tất số viết bảng không thay đổi Ở thời điểm xuất phát, tích số bảng -1, nên cuối lại số -1, nghĩa bảng lại dấu trừ Cách Ta thay dấu cộng số 0, dấu trừ số Thao tác thực là: tổng hai số xóa số chẵn ta viết lại số 0, tổng lẻ ta viết số Như tổng số bảng sau thực thao tác không thay đổi giảm Đầu tiên tổng số bảng số lẻ ( 15), nên số cuối bảng lại số lẻ, số 1, nghĩa bảng dấu trừ Cách Sau thực thao tác, ta thấy số dấu trừ không đổi, giảm đơn vị Như tính chẵn lẻ số dấu trừ bất biến.Tại trạng thái ban đầu số dấu trừ số lẻ ( 15), nên cịn lại dấu, phải dấu trừ Phân tích ba cách giải ta thấy: Trong Cách ta thay dấu số, lợi dụng tính bất biến tích số viết bảng; cách sử dụng bất biến tính chẵn lẻ tổng số cách bất biến tính chẵn lẻ số dấu trừ Như cách giải ta sử dụng tính bất biến tích, tổng, tính chẵn lẻ số Qua cách giải ta thấy gặp lớp toán mà thao tác lặp đi, lặp lại, ta phải biến đổi tìm đại lượng bất biến thao tác ta thực Chú ý thao tác ta thực không phụ thuộc vào thứ tự đối tượng chọn Bài toán 1.3.2.Trên bảng ta viết tập hợp số gồm số 0; Cho phép xóa hai số khác điền vào số lại số ( Nghĩa thay cho 1; thay cho 2; thay cho 1) Chứng minh sau số lần thực thao tác trên, bảng cịn lại số số khơng phụ thuộc vào thứ tự thực thao tác Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời giải: Ta thực lần thao tác số lượng loại ba loại số tăng lên giảm 1, suy số lượng số thay đổi tính chẵn lẻ Khi bảng lại số, nghĩa hai số 0, có số lượng số thứ ba Như từ đầu số lượng hai số ba số bảng phải có tính chẵn lẻ số lượng loại số cịn lại có tính chẵn lẻ khác Vì khơng phụ thuộc vào thứ tự thực thao tác, cuối số 0, 1, 2, số số thuộc loại mà số lượng loại số khác tính chẵn lẻ với số lượng hai loại số Nhận xét Trong chứng minh toán trên, số lượng ba loại số bảng có tính chẵn lẻ dù có thực thao tác nữa, cuối khơng thể cịn số bảng Bài tốn 1.3.3 Một hình vng có cạnh cm chia thành 16 vng, vng có cạnh cm Tại 15 ta đánh dấu cộng (+), cịn lại đánh dấu trừ (-) Những dấu vng thay đổi đồng thời theo hàng, cột theo đường chéo Có khả sau hữu hạn lần đổi dấu theo nguyên tắc dẫn đến tất ô vuông có dấu cộng (+) hay khơng? Lời giải: Ta thay dấu cộng (+), trừ (-) số tương ứng -1 Trạng thái ban đầu giả sử mơ tả Hình1.1 Có thể thấy tích số tơ màu Hình1.2 đại lượng bất Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 39 Chương SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 4.1 4.1.1 Kiến thức Ánh xạ * Định nghĩa Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với (và một) phần tử Y Phần tử gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu f(x) (i) Tập X gọi tập xác định f Tập hợp Y gọi tập giá trị f (ii) Ánh xạ f từ X đến Y kí hiệu f : X → Y x → y = f (x) (iii) Khi X Y tập số thực, ánh xạ f gọi hàm số xác định X (iv) Cho a ∈ X, y ∈ Y Nếu f (a) = y ta nói y ảnh a a nghịch ảnh y qua ánh xạ f (vi) Tập hợp Y = {y ∈ Y |∃x ∈ X, y = f (x)} gọi tập ảnh f Nói cách khác, tập ảnh f (X) tập hợp tất phẩn tử Y mà có nghịch ảnh 4.1.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh * Định nghĩa Ánh xạ: f : X → Y gọi đơn ánh với a ∈ X, b ∈ X mà a = b f (a) = f (b), tức hai phần tử phân biệt có hai ảnh phân biệt Từ định nghĩa ta suy ánh xạ f đơn ánh với a ∈ X, b ∈ X mà f (a) = f (b), ta phải có a = b Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 * Định nghĩa.Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh với phần tử y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho y = f (x) Như f toàn ánh y = f (X) * Định nghĩa Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Như ánh xạ f : X → Y song ánh với y ∈ Y , tồn phần tử x ∈ X để y = f (x) 4.1.3 Ánh xạ ngược ánh xạ * Định nghĩa Ánh xạ ngược f, kí hiệu f −1 , ánh xạ từ Y đến X gán cho phần tử y ∈ Y phần tử x ∈ X cho y = f (x) Như f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y * Chú ý Nếu f song ánh ta khơng thể định nghĩa ánh xạ ngược f Do nói đến ánh xạ ngược f song ánh 4.1.4 Ánh xạ hợp * Định nghĩa Nếu g : A → B f : B → C g(A) ⊂ B ánh xạ hợp f ◦ g : A → C xác định (f ◦ g)(a) = f (g(a)) Kí hiệu pn = p ◦ p ◦ ◦ p n 4.2 4.2.1 Phương pháp ánh xạ Nguyên lý ánh xạ Cho A B tập hữu hạn khác rỗng f : A → B ánh xạ Khi đó, a) Nếu f đơn ánh |A| ≤ |B| b) Nếu f tồn ánh |A| ≥ |B| c) Nếu f song ánh |A| = |B| Phương pháp ánh xạ dựa vào ý tưởng đơn giản: * Nếu tồn song ánh từ tập hữu hạn A vào tập hữu hạn B Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 |A| = |B| Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng Hơn nữa, ta đếm số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A vào tập hợp B mà ta biết cách đếm dễ đếm * Nếu tồn đơn ánh (tương ứng toàn ánh) từ A vào B |A| ≤ |B| (tương ứng |A| ≥ |B| ) Do đó, đơn ánh tồn ánh chủ yếu sử dụng để chứng minh toán liên quan đến bất đẳng thức tổ hợp Chuyển toán cần chứng minh việc so sánh số phần tử hai tập hợp, có tập hợp biết cách đếm dễ đếm Tương tự nguyên lý Dirichle, mặt ý tưởng đơn giản nhiên thực khơng phải đơn giản Để sử dụng phương pháp ta cần xác định song ánh tập cần đếm vào tập biết cách đếm việc làm lúc thực dễ dàng Sau số tập áp dụng phương pháp 4.2.2 Định lý (Bài toán chia kẹo Euler) Cho k, n số nguyên dương Số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + + xn = n Ck−1 n+k−1 Chứng minh: Ta cho tương ứng nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + + xn = n (1) với xâu nhị phân độ dài n+k-1 có n bit k-1 bit 0, cụ thể xâu gồm x1 bit 1, sau bit 0, x2 bit 1, sau bit 0, thế, cuối xk bit Dễ dàng chứng minh song ánh từ tập A nghiệm nguyên không âm (1) vào tập hợp B xâu nhị phân độ dài n+k-1 với n bit k-1 bit Từ đó, theo nguyên lý song ánh ta có |A| = |B| = Ck−1 n+k−1 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42 4.3 4.3.1 Một số toán Dạng 1: Sử dụng song ánh vào toán đếm nâng cao Bài toán 4.3.1.Xác định số cách chọn số từ tập 18 số nguyên dương cho cặp số số chọn có hiệu số số lớn số bé lớn Lời giải: Kí hiệu A tập hợp số (a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 ) thỏa mãn u cầu tốn Kí hiệu B tập hợp số phân biệt 14 số nguyên dương Ta xây dựng ánh xạ φ : A → B theo quy tắc sau: φ(a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 ) = (a1 ; a2 − 1; a3 − 2; a4 − 3; a5 − 4) a1 < a2 < a3 < a4 < a5 Vì a2 − a1 ≥ ⇒ a2 − ≥ a1 + > a1 a3 − a2 ≥ ⇒ a3 − ≥ a2 > a2 − a4 − a3 ≥ ⇒ a4 − ≥ a3 − > a3 − a5 − a4 ≥ ⇒ a5 − ≥ a4 − > a4 − a1 ≥ 1, a5 − ≤ 18 − = 14 ⇒ (a1 , a2 − 1, a3 − 2, a4 − 3, a5 − 4) Như với phần tử A ứng với phần tử B qua ánh xạ φ Tương tự với (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) ∈ B tồn (b1 , b2 + 1, b3 + 2, b4 + 3, b5 + 4) = (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) Suy φ phép tương ứng - A B Vậy số phần tử A số phần tử B C514 Đáp số d = C514 Bài toán 4.3.2 Có n người xếp hàng dọc Hỏi có cách chọn k người cho khơng có hai người liên tiếp chọn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 Lời giải: Ta đánh số n người số thứ tự 1, 2, , n Một cách chọn thích hợp số ≤ a1 < a2 < < ak ≤ n thỏa mãn điều kiện ai+1 − > (tức ≥ 2) Vậy ta cần tìm số phần tử A = {(a1 , a2 , , ak )|1 ≤ a1 < a2 < < ak ≤ n, ai+1 − ≥ 2} với i = 1, 2, , k-1 Xét ánh xạ f (a1 , a2 , , ak ) = (b1 , b2 , , bk ) với bi = − i + rõ ràng ta có 1) b1 = a1 ≥ 2) bi+1 − bi = (ai+1 − (i + 1) + 1) − (ai − i + 1) = ai+1 − − > 3) bk = ak − k + ≤ n − k + Suy (b1 , b2 , , bk ) phần tử tập hợp B: B = {(b1 , b2 , , bk )|1 ≤ b1 < b2 < < bk ≤ n − k + 1} Dễ thấy f đơn ánh Ngoài ánh xạ g(b1 , b2 , , bk ) = (a1 , a2 , , ak ) với = bi + i − cho đơn ánh từ B vào A Vậy |A| = |B| = Ckn−k+1 Bài tốn 4.3.3.Có n người xếp thành vịng trịn Có cách chọn k người, cho khơng có hai người kề chọn? Lời giải: Bài tốn giải kết tốn phương pháp « cắt đường trịn » Giả sử n người đánh số 1, 2, , n Ta xét trường hợp sau : 1) Người số chọn Khi người số số n khơng chọn Như ta phải chọn thêm k-1 người từ đến n-1 cho khơng có hai người kề chọn Vì n-1 khơng kề nên coi n-3 người xếp theo hàng dọc Theo kết toán trên, số cách k−1 chọn Ck−1 n−3−(k−1)+1 = Cn−k−1 2) Người số khơng chọn Khi ta cần chọn k người từ số đến n cho người kề chọn Vì n khơng kề nên coi n-1 người xếp theo hàng dọc Theo kết toán trên, số cách chọn Ckn−k Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 44 Vậy đáp số toán k Ck−1 n−k−1 + Cn−k = (n − k − 1)! (n − k)! (n − k − 1)! n + = (k + n − k) = Ck−1 (k − 1)!(n − 2k)! k!(n − 2k)! k!(n − 2k)! k n−k−1 Bài toán 4.3.4 Có nhóm người mà đó, cặp khơng quen có hai người quen chung, cặp quen khơng có người quen chung Chứng minh số người quen người Lời giải: Giả sử a,b hai người tuỳ ý * Nếu a quen b a, b khơng có người quen chung Gọi A, B tập người quen a, b tương ứng Ta tương ứng 1-1 A, B sau: Với người tuỳ ý a ∈ A ’ a khơng quen b nên ’ a b có hai người quen chung Một hai người a người lại c, người quen b (hay c ∈ B) * Nếu a không quen b họ có người quen chung c Khi |A| = |B| = |C| Bài tốn 4.3.5.Cho tập A = {1, 2, , 2n} Một tập B A gọi tập cân tập số số chẵn số số lẻ (Tập rỗng tập cân số số chẵn số số lẻ tập rỗng 0) Hỏi A có chứa tập cân? Chẳng hạn với n = 2, A = {1, 2, 3, 4} A có tập cân tập: φ, {1, 2} , {1, 4} , {2, 3} {3, 4} , {1, 2, 3, 4} Lời giải: Kí hiệu X = {2, 4, , 2n} tập hợp tất số chẵn A Y = {1, 3, , 2n − 1} tập hợp tất số lẻ A Gọi C họ tất tập cân A D họ các tập A có n phần tử Ta lập ánh xạ f từ C vào D sau: Giả sử B tập cân Kí hiệu B1 , B2 tương ứng tập số chẵn tập số lẻ B Khi đặt f (B) = B1 ∩ (Y \B2 ) Do B tập cân nên |B1 | = |B2 | Thành thử Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 45 |f (B)| = |B1 | + |Y \B2 | = |B1 | + |Y | − |B2 | = |Y | = n Vậy f (B) ∈ D Tiếp theo ta chứng minh f song ánh + f đơn ánh: Giả sử f (B) = f (C), suy B1 ∩ (Y \B2 ) = C1 ∩ (Y \C2 ) Vì B1 , C1 tập số chẵn; (Y \B2 ), (Y \C2 ) tập số lẻ nên từ suy B1 = C1 ; Y \B2 = Y \C2 Do B1 = C1 ; B2 = C2 hay B = C + f toàn ánh: Giả sử M ∈ D tập A có n phần tử Kí hiệu M1 , M2 tương ứng tập số chẵn tập số lẻ M Đặt B1 = M1 ; B2 = Y \M2 B = B1 ∪ B2 Ta có |B1 | = |M1 | ; |B2 | = |Y | − |M2 | = n − |M | − |M2 | = |M1 | Vậy nên |B1 | = |B2 |, tức B tập cân Rõ ràng f (B) = B1 ∩ (Y \B2 ) = M1 ∪ M2 = M Vì có song ánh họ tập cân họ tập có n phần tử A nên số tập cân A số tập có n phần tử A Vậy A có tất Cn2n tập cân Bài tốn 4.3.6.Một cửa hàng có bán ba loại kem: kem xồi, kem sơcơla kem sữa Một nhóm có người vào ăn kem gọi cốc kem Hỏi a) Họ có tất lựa chọn? b) Họ có tất lựa chọn, ba loại kem có mặt? Lời giải: a) Mỗi lựa chọn: " a kem xoài, b kem sơcơla c kem sữa " kí hiệu ba (a, b, c), a, b, c số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=6 Chẳng hạn bốn lựa chọn + kem xồi, kem sơcơla, kem sữa; + kem xồi, kem sơcơla, kem sữa; + kem sơcơla, kem sữa; + kem xồi, kem sữa kí hiệu (2,1,3); (1,4,1); (0,2,4); (3,0,3) Với (a,b,c) vậy, ta đặt tương ứng với dãy nhị phân (dãy gồm chữ số 1) theo quy tắc sau: viết từ trái sang phải a Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 46 số liên tiếp,số 0, b số liên tiếp, số 0, c số liên tiếp 11 11 11 a b c Như vậy, ba (a,b,c) tương ứng với dãy nhị phân độ dài ( tức gồm kí tự), có kí tự kí tự Chẳng hạn, (2, 1, 3) → 11010111 (1, 4, 1) → 10111101 (0, 2, 4) → 01101111 (3, 0, 3) → 11100111 Rõ ràng, phép tương ứng đơn Ngược lại, với dãy kí tự với kí tự kí tự ta đếm từ trái sang phải mà có a số liên tiếp, số 0, b số liên tiếp, số c số liên tiếp dãy ứng với (a,b,c) thỏa mãn a+b+c = Chẳng hạn, dãy 10110111 ứng với (1,2,3), tức ứng với lựa chọn: kem xoài, kem sôcôla kem sữa Dãy 01011111 ứng với (0,1,5), tức ứng với lựa chọn kem sôcôla kem sữa Như vậy, ta thiết lập song ánh tập hợp lựa chọn với tập hợp dãy nhị phân độ dài 8, có kí tự kí tự Do đó, số lựa chọn số dãy nhị phân độ dài 8, có kí tự kí tự Mặt khác dãy nhị phân độ dài với kí tự kí tự tương ứng với cách chọn vị trí vị trí để ghi số (6 vị trí cịn lại ghi số 1) Thành thử có C82 = 28 đãy nhị phân độ dài với kí tự kí tự Do đó, số lựa chọn 28 b) Mỗi lựa chọn: "a kem xồi, b kem sơcơla c kem sữa" kí hiệu ba (a,b,c), a,b,c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a+b+c = Với (a,b,c) thỏa mãn điều kiện ta cho tương ứng với (x,y,z) với x = a-1; y = b-1; z = c-1 Khi (x,y,z) số ngun khơng âm thỏa mãn điều kiện x+y+z = a+b+c - = Để kiểm tra phép song ánh tập ba (a,b,c), a, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 47 b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a+b+c = ứng với tập ba (x,y,z) số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện x+y+z = a+b+c - = Bằng suy luận tương tự câu a), ta tìm số lựa chọn C25 = 10 Nhận xét Ta có tốn tổng quát sau: Một cửa hàng có bán m loại kem Một nhóm có n người vào ăn kem gọi n cốc kem Hỏi a) Họ có tất lựa chọn? b) Họ có tất lựa chọn, m loại kem có mặt? m−1 Đáp số a) Cm−1 n+m−1 , b) Cn−1 Bài tốn 4.3.7(Vơ địch Trung Quốc - 1997).Trong xâu nhị phân có độ dài n, gọi an số xâu không chứa số liên tiếp 0, 1, bn số xâu không chứa số liên tiếp 0,0,1,1 1,1,0,0 Chứng minh bn+1 = 2an Lời giải: Ta gọi xâu thuộc loại A khơng chứa số liên tiếp 0, 1, gọi xâu thuộc loại B khơng chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0,0 Với xâu X = (x1 , x2 , , xn ), ta xây dựng f (X) = (y1 , y2 , , yn+1 ) sau: y1 = 0, yk ≡ x1 + x2 + + xk−1 (mod2) Rõ ràng X chứa số liên tiếp 0, 1, f(X) chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, tức X thuộc loại A f(X) thuộc B Vậy f song ánh từ tập xâu loại A độ dài n đến tập xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu Nhưng từ xâu X thuộc B ta nhận xâu X thuộc B cách đổi phần tử X theo quy tắc → 0, → nên số xâu loại B độ dài n+1 gấp đôi số xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu số Từ ta có điều phải chứng minh Bài tốn 4.3.8(Vơ địch Ucraina - 1996).Gọi M số số nguyên dương viết hệ thập phân có 2n chữ số, có n chữ số n chữ số Gọi N số tất số viết hệ thập phân có Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 48 n chữ số, có chữ số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số Chứng minh M = N = Cn2n Lời giải: Hiển nhiên M =Cn2n Ta cần chứng minh M = N Với số có n chữ số gồm chữ số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số 2, ta “nhân đơi” thành số có 2n chữ số theo quy tắc sau: đầu tiên, hai phiên số viết kề thành số có hai chữ số, sau chữ số n chữ số đầu chữ số n chữ số sau đổi thành chữ số 1, chữ số n chữ số sau chữ số n chữ số đầu đổi thành chữ số ví dụ 1234142 → 12341421234142 → 12121221221112 Như thế, ta thu số có n chữ số n chữ số Rõ ràng đơn ánh từ tập số n chữ số sang tập số 2n chữ số Để chứng minh song ánh, ta xây dựng ánh xạ ngược sau: với số có n chữ số n chữ số 2, ta cắt n chữ số đầu n chữ số cuối cộng chúng theo cột với quy tắc: 1+1=1, 2+2=2, 1+2=3, 2+1=4, ta thu số có n chữ số gồm chữ số 1, 2, 3, với số chữ số số số Ví dụ 1212122 12121221221112 → 1221112 → 1234142 1234142 Như song ánh hai tập hợp thiết lập ta có M=N Bài tốn 4.3.9(VMO 2012).Cho nhóm gồm gái, kí hiệu G1 ,G2 ,G3 ,G4 ,G5 12 chàng trai Có 17 ghế xếp thành hàng ngang Người ta xếp nhóm người cho ngồi vào ghế cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: 1/ Mỗi ghế có người ngồi; 2/ Thứ tự ngồi cô gái, xét từ trái qua phải, G1 ,G2 ,G3 ,G4 ,G5 ; 3/ Giữa G1 G2 có chàng trai; 4/ Giữa G4 G5 có chàng trai nhiều chàng trai Hỏi có tất cách xếp vậy? (Hai cách xếp coi khác Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 tồn ghế mà người ngồi ghế hai cách xếp khác nhau) Lời giải: Bài toán giải phần trước cách dùng hàm sinh Ở ta dùng phương pháp sử dụng ánh xạ để giải tốn Đánh số thứ tự ghế từ trái sang phải 1,2, ,17 Gọi g1 ,g2 ,g3 ,g4 ,g5 vị trí chỗ ngồi gái G1 ,G2 ,G3 ,G4 ,G5 tương ứng Khi ta có ≤ g1