Kết thức biệt thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DNG LUN VN THC S TON HC thái nguyên - năm 2014 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên, 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên, Năm 2014 i Lời nói đầu Trong đời sống, khoa học kỹ thuật nói chung tốn học nói riêng, ln ln xuất phương trình, hệ phương trình Việc nghiên cứu giải tường minh chúng cơng việc có từ xa xưa phát triển mạnh mẽ Một công cụ nghiên cứu lĩnh vực kết thức Thuật ngữ RESULTANT (kết thức) giới thiệu Bézout "Histoire de I’Academie de Paris." Sau đó, Karl Fink đưa khái niệm "Geschichte der Elementar-Mathematik 1764" hay Salmon "Modern Higher Algebra 1859." Ngày kết thức có mặt nhiều lĩnh vực toán học xa vật lý học Trong chương trình bậc đại học, kết thức xuất giáo trình Đại số sơ cấp, làm việc với hai đa thức biến vài ứng dụng Luận văn viết với mục đích sâu vào khái niệm kết thức Mở rộng từ trường hợp biến thành nhiều biến Hơn nữa, luận văn rõ việc áp dụng kết thức vào giải hệ phương trình đại số Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị, kết có liên quan đến phần sau Các kiến thức quen thuộc tìm nhiều tài liệu, nhiên để tiện cho việc theo dõi luận văn tơi trình bày lại Nội dung chương việc xây dựng vành đa thức biến, vành đa thức nhiều biến vành giao hốn có đơn ii vị cho trước, vành Noether chứng minh định lý quan trọng Định lí Hilbert Chương chương nội dung luận văn Trong chương tập trung xây dựng khái niệm kết thức biệt thức xây dựng khái niệm kết thức cho hai đa thức biến, hai đa thức hai biến cuối trường hợp n biến Biểu diễn kết thức qua nghiệm phép khử ẩn Nội dung cịn lại chứng minh mối liên hệ kết thức hệ phương trình đa thức Trong phần chứng minh định lý quan trọng, định lý Bézout số giao điểm siêu mặt Từ trình bày số ứng dụng kết thức giải hệ phương trình, tìm giao điểm biện luận số giao điểm hai đồ thị Định lý 3.3.1 kết quan trọng mà phần trình bày Nội dung định lý mở cho chúng phương pháp giải hệ phương trình đa thức Giả thiết giải phương trình đa thức biến, hệ phương trình đa thức giải Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun hướng dẫn tận tình Phó giáo sư Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, tiến sĩ công tác Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức để nâng cao trình độ Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới tất thầy, cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội , Ban giám hiệu, tổ chức Đồn thể, tổ Tốn trường THPT Trương Định Hà Nội bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Hồng Thị Hồn iv Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Mục lục i iii iv KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức nghiệm đa thức 1 KẾT THỨC VÀ BIỆT THỨC 2.1 Kết thức phép khử 2.1.1 Đặc biệt hóa 2.1.2 Khái niệm kết thức biệt thức 9 9 1.2 1.3 2.2 1.1.1 1.1.2 Vành Vành Khái niệm vành đa thức biến Nghiệm đơn nghiệm bội đa thức nhiều ẩn Noether 2.1.3 Biểu diễn kết thức qua nghiệm 2.1.4 Phép khử ẩn 2.1.5 Phép biến đổi Tschirnhaus Kết thức hệ dạng 2.2.1 2.2.2 2.2.3 16 22 25 29 Kết thức hai dạng hai ẩn Kết thức hệ dạng hai ẩn U-Kết thức 29 31 40 v ỨNG DỤNG 3.1 Khử ẩn giải hệ phương trình 3.1.1 Hệ phương trình đa thức hai ẩn 3.1.2 Tọa độ giao điểm hai đồ thị 3.2 Giải hệ u-kết thức 3.3 Giải hệ phương trình kết thức Kết luận 42 42 42 46 49 51 55 Tài liệu tham khảo 56 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần tập trung vào việc trình bày cách xây dựng vành đa thức biến, nhiều biến; chứng minh hai kết quan trọng: Nếu R vành nhân tử hóa (tương ứng Noether) vành đa thức biến, nhiều biến vành nhân tử hóa (tương ứng Noether) 1.1 1.1.1 Vành đa thức nghiệm đa thức Khái niệm vành đa thức biến Giả sử R vành giao hoán với đơn vị Ký hiệu P ⊂ RN tập tất dãy f = (a0 , a1 , , an , 0, 0, ) với ∈ R có số hữu hạn thành phần khác 0, lại tất Vậy phần tử thuộc P có dạng (0, , 0, 0, ) (a0 , , an , 0, 0, ) với thành phần cuối an = Ta đưa phép toán vào P để biến P thành vành Với f = (a0 , , an , 0, ), g = (b0 , , bm , 0, ) ∈ P, định nghĩa: f = g = bi , i = 0, 1, 2, f + g = (a0 + b0 , a1 + b1 , , ak + bk , , 0, ) f.g = (a0 b0 , a1 b0 + a0 b1 , a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 , , 0, ) Bổ đề 1.1.1 Tập (P, +, ) vành giao hoán với đơn vị (1, 0, 0, ) 42 Chương ỨNG DỤNG Chương tập trung trình bày vài ứng dụng kết thức biệt thức Toán sơ cấp 3.1 Khử ẩn giải hệ phương trình 3.1.1 Hệ phương trình đa thức hai ẩn    f (x, y) =   Ta coi f (x, y) g(x, y) hai đa thức Xét hệ g(x, y) =    f, g ∈ R[x, y] biến x thuộc vành  R[y][x] Từ Res(f, g) = suy giá trị y = yi f (x, y ) = i Sau giải hệ g(x, y ) = i  f = xy − = Ví dụ 3.1.1 Giải hệ phương trình R g = x2 + y − = biểu diễn Res(f, g) qua xy − 1, x2 + y − R[x, y] 43 Bài giải: Giải phương trình kết thức hệ phương trình cho y −1 y 0 = y − 4y + = −1 y2 − √ Khi y = ± ± 3, x = Như vậy, hệ cho có hai nghiệm y   √ x = + x = − √3 y = − √3 y = + √3 Khi y −4y +1 = ước chung lớn f, g R(y)[x] Dễ dàng (−xy − 1)f + y g = y − 4y + = Res(f, g)  x3 − xy − y + y = R Ví dụ 3.1.2 Giải hệ phương trình x2 + x − y − = Bài giải: Giải phương trình kết thức hệ phương trình cho 1 0 −y −y + y −y −y + y = 5y − 7y + 6y − 2y − y − = −y − 0 1 −y − 0 1 −y − Khi y = 5y − 2y + 4y + 2y + = hay y − y + y + + 4y + 2y =0 : khơng có nghiệm thực x3 − x = Khi y = có hệ Vậy x = 1, y = x2 + x − =  f = x4 + 2x3 y − x2 y − 4xy − 2y = Ví dụ 3.1.3 Giải hệ g = x4 + x3 y − x2 y − 2xy − 2y = 44 2y −y −4y −2y R 0 1 2y −y 2y 0 y −y −2y y −y 0 0 y −4y −y 2y −2y −2y 0 −2y 0 −4y −2y −y −4y −2y = 0 0 −2y 0 −y −2y −2y y −y −2y −2y Bài giải: Theo thuật toán Euclid, dễ dàng (x4 + 2x3 − x2 − 4x − x 2)(−x − 1) + (x4 + x3 − x2 − 2x − 2)(x + 2) = x2 − Thế x qua y 2 quy đồng ta nhận (x + 2x y − x y − 4xy − 2y )(−x − y) + (x4 + x3 y − x2 y − 2xy − 2y )(x + 2y) = y (x2 − 2y ) Do vậy, y = √ √ x = 0; y = x = ±y Tóm lại x = ±t 2, y = t với t ∈ R Coi đa thức f g đa thức fy , gy biến x với hệ tử thuộc vành R[y] Kết thức fy gy 0 Res(fy , gy ) = 2y −y −4y 2y −y 2y 0 y −y −2y 0 0 y −2y 0 −4y −2y 0 −y −4y −2y 2y −y −4y −2y −2y 0 −y −2y −2y 0 y −y −2y −2y y −y −2y −2y Vì hai dạng f g có nhân tử chung, chẳng hạn x2 −2y nên Res(fy , gy ) = ta nhận điều cần chứng minh  f = x5 + 3x4 y + x3 y + x2 y + 3xy + y = Ví dụ 3.1.4 Giải hệ g = x4 + 2x3 y + xy + 2y = 45 3y y y 3y y 0 R tính định thức 0 2y 0 0 0 0 y3 y2 3y 2y y3 3y y 0 y 3y y y y 3y y 0 0 2y 0 2y 0 2y 0 y 2y 0 y 2y 2y y 2y 3y 0 2y y2 3y y3 0 Bài giải: Dễ dàng −(x5 +3x4 +x3 +x2 +3x+1)+(x+1)(x4 +2x3 + x x + 2) = x3 + Thế x qua quy đồng ta nhận −(x5 + 3x4 y + y 2 x y + x y + 3xy + y ) + (x + y)(x4 + 2x3 y + xy + 2y ) = y (x3 + y ) Ta có x = t, y = −t với t ∈ R Coi đa thức f g đa thức fy , gy biến x với hệ tử thuộc vành R[y] Kết thức fy gy 0 3y 0 y2 3y y3 y2 3y 3y y3 y2 3y Res(fy , gy ) = 0 2y 0 2y y 2y 0 0 y 2y 0 2y y 2y 2y y 2y 0 0 y5 0 3y y 0 y 3y y y y 3y y 2y 0 0 y 2y Vì hai dạng f g có nhân tử chung, chẳng hạn x3 +y nên Res(fy , gy ) = ta nhận điều cần chứng minh 46 3.1.2 Tọa độ giao điểm hai đồ thị Với đa thức f (x, y) ∈ R[x, y], tập tất điểm (a, b) thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy thỏa mãn f (a, b) = gọi đồ thị Giả sử điểm (a, b) thuộc đồ thị ( ) : f (x, y) = Điểm (a, b) gọi điểm ∂f ∂f fy = đơn đồ thị ( ) đạo hàm riêng fx = ∂x ∂y đồng thời điểm (a, b) Điểm (a, b) gọi điểm bội hay điểm kỳ dị đồ thị ( ) đạo hàm riêng fx fy đồng thời điểm (a, b), có nghĩa: f (a, b) = fx (a, b) = fy (a, b) = Như vậy, điểm bội không điểm đơn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đồ thị ( ) : f (x, y) = ( ) : g(x, y) = với f, g ∈ R[x, y] Ta xác định tọa độ điểm giao ( ) ( ) Mệnh đề 3.1.5 Giả sử hai đa thức f (x, y), g(x, y) ∈ R[x, y] Nếu hai đa thức f g khơng có nhân tử chung R[x, y] giao hai đồ thị ( ) : f (x, y) = ( ) : g(x, y) = tập hữu hạn điểm Chứng minh: Vì hai đa thức f g khơng có nhân tử chung R[x, y] = R[x][y] nên chúng khơng có nhân tử chung R(x)[y] Theo Mệnh đề 2.1.17, có hai đa thức a(x, y), b(x, y) ∈ R(x)[y] thỏa mãn a(x, y)f (x, y) + b(x, y)g(x, y) = Chọn d(x) ∈ R[x, y] để A(x, y) = a(x, y)d(x), B(x, y) = b(x, y)d(x) ∈ R[x, y] thỏa mãn A(x, y)f (x, y) + B(x, y)g(x, y) = d(x) Giả sử (α, β) ∈ ( ) ∩ ( ) Khi d(α) = Nếu phương trình d(x) = vơ nghiệm tập giao ( ) ∩ ( ) = ∅ Nếu phương trình d(x) = có nghiệm d(x) = có mọt số hữu hạn nghiệm nên tập tất hoành độ tất điểm giao thuộc ( ) ∩ ( ) hữu hạn Tương tự, tập tất tung độ tất 47 điểm giao thuộc ( ) ∩ ( ) hữu hạn Do vậy, tập ( ) ∩ ( ) tập hữu hạn điểm Mệnh đề 3.1.6 Giả sử f (x, y) ∈ R[x, y] đa thức bất khả quy Khi đồ thị ( ) : f (x, y) = có số hữu hạn điểm bội  x = x + λy Chứng minh: Với số λ ta thực phép biến đổi tọa độ: y = y Ta có f (x, y) = f (x +λy , y ) = b(λ)y n + hạng tử theo y có bậc thấp Vì R trường nhiều vơ hạn phần tử nên có số λ để b(λ) = Vậy, ta biến đổi biến để đa thức f (x, y) chuyển g(x , y ) = f (x + λy , y ) = y d + a1 (x )y d−1 + · · · + ad (x ) với (x ) ∈ R[x] Ký b(λ) hiệu lại, cần thiết, viết f (x, y) = y d + a1 (x)y d−1 + · · · + ad (x) với (x) ∈ R[x] Vì f đa thức bất khả quy nên f fy khơng có nhân tử chung Theo Mệnh đề 3.1.5, giao ) ( ) : fy = tập hữu hạn Do vậy, đồ thị ( ) có số hữu hạn điểm bội Ví dụ 3.1.7 Xác định tọa độ điểm giao hai đồ thị sau R2 :  ( ) : 4x2 − 7xy + y + 13x − 2y − = ( ) : 9x2 − 14xy + y + 28x − 4y − = Bài giải: Xét hai đa thức f = 4x2 − (7y − 13)x + y − 2y − g = 9x2 − 14(y − 2)x + y − 4y − Kết thức Res(f, g) = 13 − 7y y − 2y − 0 13 − 7y y − 2y − 28 − 14y y − 4y − 0 28 − 14y y − 4y − =0 có bốn nghiệm y1 = −1, y2 = 1, y3 = y4 = Từ suy hai đồ thị cắt bốn điểm với tọa độ (0, −1), (−2, 1), (1, 2) (2, 3) 48 Ví dụ 3.1.8 Xác định tọa độ điểm giao hai đồ thị sau R2 :  ( ) : x2 + xy + y − 2x − 4y + = ( ) : x3 + y − x2 + xy − 5y − 5x + 7y − = Bài giải: Xét hai đa thức f = x2 + x(y − 2) + y − 4y + g = x3 − x2 + (y − 5)x + y − 5y + 7y − Kết thức Res(f, g) = y − y − 4y + 0 y − 4y + =0 y−2 y − 4y + y − 5y + 7y − y−5 y − 5y + 7y − √ có bốn nghiệm y1 = 1, y2 = 2, y3 = y = ± i Từ suy hai đồ thị cắt bốn điểm với tọa độ (0, 1), (1, 2), (1, 3) (0, 3) 0 1 −1 y−2 y−5 −1 Ví dụ 3.1.9 Chứng minh đồ thị (P ) : y − x2 = khơng có điểm bội Bài giải: Đặt f = y − x2 Khi fx = −2x, fy = Như điểm thuộc (P) điểm đơn Ví dụ 3.1.10 Chứng minh đồ thị (H) : y − x3 = có điểm bội 2 Bài giải:  Đặt f = y − x Khi fx = −3x , fy = 2y Vì hệ phương   y − x3 =   trình 2y = có nghiệm (0, 0) nên (H) có    −3x2 = điểm bội Ví dụ 3.1.11 Chứng minh đồ thị (H) : y − x3 − x2 = có điểm bội 49 Bài giải: Đặtf = y − x3 − x2 Khi fx = −3x2 − 2x, fy = 2y Vì hệ   y − x3 − x2 =   có nghiệm (0, 0) nên (H) phương trình 2y =    −3x2 − 2x = có điểm bội 3.2 Giải hệ u-kết thức Xét hệ phương trình đa thức khơng    f (x , x , , xn−1 ) =   1    f (x , x , , x ) = n n−1 Với đa thức fi bậc li , đặt Fi (x1 , , xn−1 , xn ) = xlni fi (3.1) x1 xn−1 , , xn xn Khi Fi fi (x1 , x2 , , xn−1 ) = Fi (x1 , x2 , , xn−1 , xn , 1) Hệ phương trình sau    F (x , x , , xn−1 , xn ) =   1    F (x , x , , x , x ) = n n−1 n (3.2) gọi hệ tương ứng với hệ (3.1) Ta thấy (ξ1 , , ξn−1 ) nghiệm hệ (3.1) (ξ1 , , ξn−1 , 1) nghiệm hệ (3.2) Ngược lại (ξ1 , , ξn−1 , ξn ) nghiệm (3.2) thỏa mãn ξn−1 ξ1 ξn = , , Do nghiệm (3.2) gọi nghiệm ξn ξn xạ ảnh (3.1) Trường hợp ξn = ta nói (ξ1 , , ξn−1 ) nghiệm 50 vô hệ (3.1) Kết thức n đa thức không fi định nghĩa kết thức n đa thức tương ứng Ký hiệu Res(f1 , , fn ) Như cột ma trận hệ số khơng cịn tương ứng với đơn thức bậc t mà với đơn thức bậc lớn t Từ định nghĩa hệ (3.1) có nghiệm Res(fi ) = nhiêu điều ngược lại không Từ kết luận mệnh đề ta có cách giải hệ r phương trình n ẩn Trong thực hành ta làm theo bước sau: (i) Tính u-kết thức tính Du hệ (ii) Phân tích u-kết thức Du thành nhân tử tuyến tính (iii) Từ nhân tử tuyến tính lấy hệ số tọa độ nghiệm hệ ban đầu Ví dụ 3.2.1 Giải hệ phương trình sau:  x2 + x x + 2x + x − = 2 x2 + 3x − x2 + 2x − = 1 2 Bài giải: Bổ xung thêm phương trình fu = fu = x − u1 x1 − u2 x2 Ma trận Macaulay Du  1  0 1  0   1 −1  0 0  Du =  0  0 −u −u2   0 −u1  0 0  0 0 hệ −1 2 0 0 −1 0 −1 −1 x −u2 x −u1 0 −u1 0 0 0 0 −u2 0   −1   −1 −1   0  −1    −1  0   0  x 0  −u2 x 51 Thực tính tốn ta det(Du ) = (x − u1 + u2 )(x + 3u1 − u2 )(x − u2 )(−u1 + u2 ) (3.3) Từ suy nghiệm hệ ban đầu (1, -1), (-3, 1), (0, 1) nghiệm vô (1, -1) 3.3 Giải hệ phương trình kết thức Ở ta giải hệ r phương trình n ẩn Dưới ta xem trường hợp hệ phương trình khơng Nhận thấy Resxi1 ,xi2 , ,xir (F1 , F2 , , Fn ) đa thức liên hệ biến xir+1 , , xin Như ta tìm mối liên hệ biến xir+1 , , xin Bằng cách xem xét cách giải hệ n phương trình đa thức n biến F1 = F2 = = Fn = (I) Trước hết chứng minh định lý sau Định lý 3.3.1 Nếu (x10 , x20 , , xn0 ) nghiệm hệ (I) (x10 , x20 , , xn0 ) nghiệm hệ sau    Resx1 (F1 , F2 ) =     Res (F , F ) = x1 (II)       Res (F , F ) = x1 n−1 n đa thức F1 , F2 , , Fn coi đa thức biến biến x1 52 Chứng minh: Vì (x10 , x20 , , xn0 ) nghiệm chung hệ (I) nên x10 nghiệm hệ hai phương trình đa thức ẩn x1  F (x , x , , x ) = 1 20 n0 F (x , x , , x ) = 20 n0 Theo Định lý 2.2.8 Resx1 (F1 , F2 ) = Nhưng Resx1 (F1 , F2 ) lại đa thức biến x2 , x3 , , xn Resx1 (F1 , F2 ) (x20 , , xn0 ), hay (x20 , , xn0 ) nghiệm phương trình Resx1 (F1 , F2 ) = Lập luận hoàn toàn tương tự (x20 , , xn0 ) nghiệm hệ (II) Nhận xét Như muốn giải trọn vẹn hệ (I) trước hết cần giải trọn vẹn hệ (II) Hệ (II) hệ n − phương trình đa thức n − biến Bằng cách hoàn toàn tương tự ta đưa hệ (II) hệ (III) gồm n − phương trình đa thức n − biến Cứ sau n bước ta đưa hệ phương trình đa thức biến xn Giả sử ta quen thuộc với cách giải phương trình đa thức biến trường số phức C Khi phương trình cuối giải hồn tồn Thay giá trị tìm xn vào hệ phương trình n − ta tìm xn−1 Khi hệ phương trình thứ n − trở thành hệ hai phương trình đa thức ẩn xn−1 Tiếp tục trình hết ta thu tất nghiệm hệ cho Ví dụ 3.3.2 Tìm giao điểm hai đường cong sau (C1 ) : x2 − xy + y − = 0, (C2 ) : 2x2 + y − y − = Bài giải: Đặt f (x, y) = x2 − xy + y − g = 2x2 + y − y − Khi giao điểm hai đường cong nghiệm hệ phương trình f = g = (I) 53 Theo lý thuyết trình bày trên, để tìm nghiệm hệ (I) ta tính Resy (f, g) Ta có Resy (f, g) = −x x2 − 1 −x x2 − 1 −1 2x2 − 0 −1 2x2 − = (x2 − 1)(3x2 − 3x) Resy (f, g) = ⇔ x = 0, x = −1, x = 1,  y − = ⇒ y = −1 Với x = hệ (I) trở thành y − y − =  y + y = Với x = −1 hệ (I) trở thành ⇒ y = y − y =  y − y = Với x = hệ (I) trở thành ⇒ y = 0, y = y − y = Vậy hai đường cong cắt giao điểm (0, −1), (−1, 0), (1, 0), (1, 1) Ví dụ 3.3.3 Sử dụng Resx (f, g) giải lại tốn Bài giải: Ta có −y y2 − 0 −y y2 − Resx (f, g) = y2 − y − 0 y2 − y − = 3y (y + 1)(y − 1) 54 Thay giá trị tìm vào hệ ban đầu ta giao điểm giống Ví dụ 3.3.4 Tìm giá trị thực m để hai phương trình sau x3 + mx − = x2 + mx − = có nghiệm chung Bài giải: Đặt f = x3 + mx − = g = x2 + mx − = f g có nghiệm chung Res(f, g) = 0 ⇔ Res(f, g) = 0 m −6 m −6 m −2 0 = m −2 0 m −2 ⇔ 4m3 + 4m2 + 28m + 28 = ⇔ (m2 + 7)(m + 1) = ⇔ m = −1 Mặc dù ví dụ đơn giản kể bậc đa thức, số biến số phương trình, nhấn mạnh cho thấy, mặt lý thuyết, giải hoàn toàn hệ phương trình đa thức 55 Kết luận Luận văn trình bày nội dung sau: Một số kiến thức cần thiết vành đa thức biến, vành đa thức nhiều biến, vành Noether Các định lý bổ đề có liên quan Luận văn xây dựng khái niệm kết thức biệt thức, chứng minh định lý quan trọng từ mở phương pháp giải hệ phương trình Đến mục đích luận văn hồn thành Tuy nhiên cịn tính thực hành Hướng nghiên cứu tìm cách biểu diễn khác cho kết thức mà có thể.Xây dựng truy hồi để lập trình máy Giảm đến mức thấp thời gian dung lượng máy vi tính thực hành Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nội dung, ý nghĩa thực tiễn kết thức vào toán học sống 56 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục 2003 [2] Dương Quốc Việt Đàm Văn Nhỉ, Cơ sở Lý thuyết số Đa thức, Nhà xuất ĐHSP Hà Nội 2008 [B] Tiếng Anh [3] Robert B Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, University of Illlinois, 2000 [4] Phillip A Griffiths, Introduction to Algebraic Curvers, American Mathematical Society, 1989 [5] F S Macaulay, On some formula in elimitation, Proc London Math Soc, 1902 [6] F S Macaulay, The algebraic theory of modular system, Cambridge University Press, 1916 [7] B L Van Der Waerden, Modern Algebra, Springer - Verlag, 1930 ... HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên... KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức nghiệm đa thức 1 KẾT THỨC VÀ BIỆT THỨC 2.1 Kết thức phép khử 2.1.1 Đặc biệt hóa 2.1.2 Khái niệm kết thức. .. khái niệm kết thức biệt thức xây dựng khái niệm kết thức cho hai đa thức biến, hai đa thức hai biến cuối trường hợp n biến Biểu diễn kết thức qua nghiệm phép khử ẩn Nội dung cịn lại chứng minh