Các sóng nhỏ với dải tần số bị chặn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU CÁC SÓNG NHỎ VỚI DẢI TẦN SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU CÁC SÓNG NHỎ VỚI DẢI TẦN SỐ BỊ CHẶN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Phép chiếu trực giao sở trực chuẩn 1.1.3 Không gian L2 (R) 10 Biến đổi Fourier L2 (R) 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Một số tính chất 11 Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 13 2.1 Khái niệm sóng nhỏ trực chuẩn L2 (R) 13 2.2 Tính trực chuẩn sóng nhỏ 14 2.3 Tính đầy đủ sóng nhỏ 18 Đặc trưng vài sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27 3.1 Điều kiện cần đủ sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27 3.2 Một số ví dụ 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Trong năm gần đây, lý thuyết sóng nhỏ (wavelet) nhiều nhà khoa học sâu vào nghiên cứu thú vị tính ứng dụng lớn thực tế Hơn cịn cầu nối với ngành khoa học khác như: Sinh học, Vật lý, Tin học, Người ta ứng dụng lý thuyết phép biến đổi sóng nhỏ xử lý ảnh, nén tín hiệu video, hay ứng dụng sóng nhỏ vào kỹ thuật phân tích tín hiệu điện tim, dịch vụ liệu đa phương tiện di động, nhiều ứng dụng thực tế khác Chính việc xây dựng sóng nhỏ có vai trị quan trọng lý thuyết ứng dụng thực tế, sóng nhỏ có dải tần số bị chặn (band-limited wavelet) loại dùng nhiều Một hàm f ∈ L2 (R) gọi có dải tần số bị chặn giá fˆ chứa khoảng hữu hạn (biến đổi Fourier có giá compact), giá fˆ suppfˆ={ξ; fˆ(ξ) = 0} Nội dung dựa chủ yếu tài liệu [7], luận văn trình bày cách hệ thống sóng nhỏ có dải tần số bị chặn khơng gian L2 (R), mơ tả đầy đủ tính chất đặc trưng phương pháp để xác định chúng Luận văn gồm có phần Mở đầu, chương phần kết luận Chương 1: Trình bày kiến thức bổ xung, hỗ trợ cho nghiên cứu nội dung sóng nhỏ có dải tần số bị chặn chương 3, bao gồm số khái niệm sở trực chuẩn, phép chiếu trực giao, biến đổi Fourier không gian Hilbert, đặc biệt khơng gian L2 (R) Chương 2: Trình bày định lý điều kiện cần đủ cho tính trực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chuẩn tính đầy đủ sở sóng nhỏ mà sinh hàm sóng mẹ phép tốn dịch chuyển co dãn Một tính chất đặc biệt loại sóng nhỏ biến đổi Fourier khơng có giá compact mà cịn khơng lân cận gốc tọa độ Chương 3: Trình bày phương pháp cụ thể để xây dựng hàm sóng nhỏ có dải tần số bị chặn Cụ thể sóng nhỏ trực chuẩn mà biến đổi Fourier có giá chứa [− 83 π, 83 π] với số ví dụ điển hình Luận văn hồn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình hướng dẫn suốt thời gian tác giả làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng xêmina, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu giáo sư Viện Toán học thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, cô, Ban Giám hiệu Nhà trường, Ban chấp hành Đồn, phịng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả thời gian học tập làm luận văn cao học Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp theo sát, động viên tác giả vượt qua khó khăn để có điều kiện tốt học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong góp ý, bảo Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp độc giả quan tâm Xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Thu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa ví dụ Giả sử X khơng gian tuyến tính trường số K (K = R C ) Định nghĩa 1.1 Một dạng song tuyến tính đối xứng dương xác định X ánh xạ ϕ : X × X → K thoả mãn điều kiện: a) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z) (∀x, y, z ∈ X); b) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) (∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K); c) ϕ(y, x) = ϕ(x, y) (∀x, y ∈ X), ϕ(x, y) số phức liên hợp số ϕ(x, y); d) ϕ(x, x) ≥ (∀x ∈ X) Khi ta ký hiệu ϕ(x, y) = x, y Nhận xét 1.1 Từ a) - d) suy ra: a’) x, y + z = x, y + x, z (∀x, y ∈ X); ¯ x, y b’) x, λy = λ Định nghĩa 1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng dương , xác định khơng gian tuyến tính X gọi tích vơ hướng X , thoả mãn thêm điều kiện: x, x > 0, x = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.2 Tích vơ hướng , thoả mãn điều kiện: 1) x, x ≥ (∀x ∈ X), x, x = ⇐⇒ x = 0; 2) x, y = y, x (∀x, y ∈ X); 3) λx + µy, z = λ x, z + µ y, z (∀x, y, z ∈ X), ∀λ, µ ∈ K Định nghĩa 1.3 Khơng gian tuyến tính X với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Mệnh đề 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz) | x, y |2 ≤ x, x y, y (∀x, y ∈ X) (1.1) Định nghĩa sơ chuẩn Một sơ chuẩn khơng gian tuyến tính X ánh xạ p : X → R thỏa mãn: a) p(αx) = αp(x), (∀x ∈ X, ∀α > 0); b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), (∀x, y ∈ X) Nhận xét: + Nếu p sơ chuẩn, p(0) = Định nghĩa nửa chuẩn Một nửa chuẩn khơng gian tuyến tính X ánh xạ p : X → R thỏa mãn: a) p(αx) = |α|p(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ K); b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), (∀x, y ∈ X) Nhận xét: 1) p nửa chuẩn ⇒ p sơ chuẩn 2) Nếu p nửa chuẩn X , p(x) ≥ Mệnh đề 1.2 Giả sử x, y dạng song tuyến tính đối xứng dương khơng gian tuyến tính X Khi p(x) = x, x 1/2 nửa chuẩn X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.3 Không gian tiền Hilbert X không gian định chuẩn với chuẩn: x = x, x 1/2 (x ∈ X) 1/2 Thật theo Mệnh đề 1.2 x, x (1.2) nửa chuẩn Vì , tích vơ hướng nên x, x = ⇔ x = Điều tương đương với x = ⇔ x = Vì vậy, x = x, x 1/2 chuẩn X Do đó, lý thuyết khơng gian định chuẩn áp dụng cho không gian tiền Hilbert Nhận xét 1.4 a) Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz trở thành: | x, y | ≤ x y b) Ta có đẳng thức hình bình hành: x+y + x−y = 2( x + y 2) Mệnh đề 1.3 Giả sử X không gian tiền Hilbert, dãy {xn } {yn } hội tụ đến x y X Khi đó, lim xn , yn = x, y n→∞ Nhận xét 1.5 Tích vơ hướng , hàm liên tục xác định X × X Định nghĩa 1.4 Không gian tiền Hilbert X đầy đủ gọi không gian Hilbert Chú ý ta coi không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn (1.2) không gian định chuẩn đầy đủ ta nhận khơng gian Hilbert X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.1 Trong Rn với x = (ξ1 , , ξn ), y = (η1 , ηn ), ta đặt n x, y = ξi ηi i=1 Khi đó, Rn khơng gian Hilbert Ví dụ 1.2 Trong L2 [a, b], ta xét tích vơ hướng: b x(t)y(t)dt (x(t), y(t) ∈ L2 [a, b]) x, y = a Khi đó, b |x(t)| dt x = 1/2 (1.3) a Không gian L2 [a, b] với chuẩn (1.3) đầy đủ, khơng gian Hilbert Ví dụ 1.3 Trong khơng gian l2 , ta đưa vào tích vơ hướng ∞ ξn η¯n , (x = (ξ1 , ξ2 ) ∈ l2 , y = (η1 , η2 , ) ∈ l2 ) x, y = n=1 Khi đó, ∞ | ξn |2 x = 1/2 n=1 Không gian l2 đầy đủ chuẩn Vậy l2 không gian Hilbert 1.1.2 Phép chiếu trực giao sở trực chuẩn A: Phép chiếu trực giao Định nghĩa 1.5 Giả sử X không gian tiền Hilbert, đó: a) Hai vectơ x, y ∈ X gọi trực giao, x, y = 0; ký hiệu : x⊥y b) Hệ S ⊂ X gọi hệ trực giao, vectơ S trực giao với đơi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn b2 (ξ) + b2 ( 21 ξ) = (i) với hầu hết ξ ∈ [ 43 π, 83 π] , (ii) b2 (ξ) + b2 (ξ + 2π) = (iii) b(ξ) = b( 21 ξ + 2π) với hầu hết ξ ∈ [− 34 π, − 23 π] , với hầu hết ξ ∈ [− 83 π, − 43 π] , ˆ = eiα(ξ) b(ξ), α thỏa mãn (iv) ψ(ξ) α (ξ) + α (2 (ξ − 2π)) − α (2ξ) − α (ξ − 2π) = (2m (ξ) + 1) π với m(ξ) ∈ Z hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 43 π]∩ supp (b) ∩ ( supp (b) ) Chứng minh Từ tính trực chuẩn hệ {ψj,k : j, k ∈ Z} suy ra: σψ2 (ξ) = b2 (ξ + 2kπ) = với hầu hết ξ ∈ R k∈Z Điều suy từ tính tuần hồn chu kỳ 2π σψ (ξ) tức đủ để kiểm tra đoạn [ 23 π, 83 π] Nếu ξ ∈ [ 23 π, 83 π] ξ + 2kπ nằm giá b k k −3 Do điều kiện σψ2 (ξ) = (với hầu hết ξ ∈ R) tương đương với b2 (ξ − 4π) + b2 (ξ − 2π) + b2 (ξ) = với hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 83 π] (3.1) Trên [ 23 π, 43 π] từ (3.1) suy b2 (ξ − 2π) + b2 (ξ) = điều kiện (ii) Trên [ 34 π, 83 π], từ (3.1) suy ra: b2 (ξ − 4π) + b2 (ξ) = với hầu hết ξ ∈ [ 43 π, 83 π] (3.2) Nhận thấy ψ có dải tần số bị chặn nên ta sử dụng Định lý 2.3 để viết b2 (2j ξ) = với hầu hết ξ ∈ R j∈Z Nếu ξ ∈ [ 23 π, 43 π] 2j ξ nằm ngồi giá b j = j = Suy b2 (ξ) + b2 (2ξ) = với hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 43 π] 28 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Đó điều kiện (i) Điều kiện (iii) suy cách sử dụng (i) (3.2) Thật vậy, từ hai điều kiện suy với hầu hết ξ ∈ [ 43 π, 38 π] b2 (ξ − 4π) = b2 ( ξ) suy điều kiện (iii) Còn lại ta phải điều kiện (iv) Từ tính trực chuẩn hệ {ψj,k : j, k ∈ Z} suy (2.2), tức với j = ψˆ (2 (ξ + 2kπ))ψˆ (ξ + 2kπ) = ζj (ξ) = với hầu hết ξ ∈ R k∈Z Nếu ξ ∈ [ 32 π, 83 π] 2(ξ + 2kπ) nằm giá ψˆ k < −1 k > Vì ˆ ψˆ (ξ) ψˆ (2ξ) + ψˆ (ξ − 2π) ψ(2(ξ − 2π)) = với hầu hết ξ ∈ [ 23 π, 83 π] (3.3) Hệ hai vectơ ˆ ˆ − 2π)) (ψ(2ξ), ˆ ˆ (ψ(ξ), ψ(ξ ψ(2(ξ − 2π))) hệ trực chuẩn với hầu hết ξ ∈ [ 23 π, 83 π] Tính trực giao suy từ (3.3), tính chuẩn hóa suy từ (ii) (3.2) Do tồn δ(ξ) cho, với hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 43 π], eiδ(ξ) eiα(ξ) b (ξ) , eiα(ξ−2π) b (ξ − 2π) = −b (2 (ξ − 2π)) e−iα(2(ξ−2π)) , b (2ξ) e−iα(2ξ) với ξ ∈ [ 32 π, 43 π] ; 2(ξ − 2π) ∈ [− 83 π, 34 π] Hơn nữa, từ (iii) suy ra: b(2(ξ − 4π)) = b(ξ) với hầu hết ξ ∈ [ 23 π, 43 π] (3.4) Cũng vậy, với ξ ∈ [ 23 π, 34 π], ta có ξ − 2π ∈ [− 43 π, − 32 π] nên từ (ii) suy b2 (ξ − 2π) + b2 (ξ) = Áp dụng đẳng thức (3.2) cho 2ξ ta suy b2 (2(ξ − 4π)) + b2 (2ξ) = 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ hai đẳng thức (3.4) suy ra: với hầu hết ξ ∈ [ 23 π, 34 π] b(ξ − 2π) = b(2ξ) (3.5) Do ta có: eiδ(ξ) eiα(ξ) = e−iα(2(ξ−2π))+iπ với hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 43 π]∩ supp (b) , eiδ(ξ) eiα(ξ−2π) = e−iα(2ξ) với hầu hết ξ ∈ [ 23 π, 43 π]∩ supp (b) Suy α (ξ) + α (2 (ξ − 2π)) − α (ξ − 2π) − α (2ξ) = (2m (ξ) + 1) π với m(ξ) ∈ Z hầu hết ξ ∈ [ 23 π, 43 π]∩ supp (b) ∩ ( supp (b) ) Bây ta giả sử (i), (ii), (iii) (iv) chứng minh ψ hàm sóng nhỏ trực chuẩn Do ψ có dải tần số bị chặn ψˆ = lân cận ξ = nên thử lại (2.1), (2.2) (tính trực chuẩn) (2.13), (2.14) (tính đầy đủ) ta suy điều phải chứng minh Dễ dàng suy hệ (i), (ii) (iii) là: (a) b(2(ξ − 2π)) = b(ξ) (b) b(ξ − 2π) = b(2ξ) với hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 43 π], với hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 34 π] (a) tương đương với (iii) (xem (3.4) ) (b) suy từ (i) (ii) Bây ta chứng minh (2.1), tức chứng minh σψ2 (ξ) = hầu hết đoạn có độ dài 2π [ 23 π, 83 π] Ta nhắc lại ˆ + 2kπ)|2 = |ψ(ξ σψ2 (ξ) = k∈Z b2 (ξ + 2kπ) k∈Z Nếu ξ ∈ [ 32 π, 43 π] tất số hạng chuỗi không, trừ số hạng tương ứng với k = k = Do đó, theo (ii) σψ2 (ξ) = hầu hết đoạn Nếu ξ ∈ [ 32 π, 34 π] có số hạng ứng với k = k = khác khơng Vì sử dụng (iii) (i) ta σψ2 (ξ) = trên[ 43 π, 83 π] Kết hợp hai trường hợp ta (2.1) 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Để chứng minh (2.2) ta nhắc lại (2.3) ψˆ 2j (ξ + 2kπ) ψˆ (ξ + 2kπ) ζj (ξ) = k∈Z Nếu j 2j (ξ + 2kπ) ξ + 2kπ nằm giá ψˆ Vì ta cần xét với trường hợp j = Nhưng ζ1 tuần hoàn với chu kỳ 2π nên ta cần kiểm tra đoạn [ 23 π, 38 π] Trong trường hợp 2(ξ + 2kπ) nằm giá ψ k < −1 k > Suy ζ1 (ξ) = ψˆ (2ξ) ψˆ (ξ) + ψˆ (2 (ξ − 2π)) ψˆ (ξ − 2π) = eiα(2ξ) b (2ξ) e−iα(ξ) b (ξ) + eiα(2(ξ−2π)) b (2 (ξ − 2π)) e−iα(ξ−2π) b (ξ − 2π) Sử dụng (a) (b) ta ζ1 (ξ) = b (ξ) b (2ξ) ei{α(2ξ)−α(ξ)} + ei{α(2(ξ−2π))−α(ξ−2π)} Nếu ξ ∈ / [ 32 π, 43 π]∩ supp (b) ∩ ( supp (b) ), b(ξ) = b(2ξ) = trường hợp ζ1 (ξ) = Nếu ξ ∈ [ 23 π, 43 π]∩ supp (b) ∩ ( 12 supp (b)) ta sử dụng (iv) có ζ1 (ξ) = b (ξ) b (2ξ) ei{α(2ξ)−α(ξ)} + ei(2m(ξ)+1)π = Như tính trực chuẩn sóng nhỏ ψ chứng minh Để (2.13) ta biểu diễn ω qua số hạng b ˆ j ξ)| = |ψ(2 ω (ξ) = j∈Z b 2j ξ j∈Z π, π , [ 34 π, 83 π) Sử Nhận thấy (0, ∞) hợp rời nửa khoảng ∈ Z Nếu ξ ∈ [ 23 π, 43 π) 2− ξ ∈ [ 23 π, 43 π) 21− ξ ∈ dụng (i) ta được: ω(ξ) = b2 (2− ξ) + b2 (21− ξ) = với hầu hết ξ ∈ [ 23 π, 34 π) Điều chứng tỏ ω(ξ) = (0, ∞) Tương tự ta chứng minh ω(ξ) = (−∞, 0) Từ suy (2.13) 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cuối ta cần (2.14), tức hk (ξ) = hầu hết R với số nguyên lẻ k Trong ∞ ψˆ 2j ξ ψˆ (2j (ξ + 2kπ)), j=0 ˆ , điểm 2j (ξ + 2kπ) định nghĩa (2.12) Nếu 2j ξ ∈ supp (ψ) nằm giá ψˆ k k −3; Vì ta cần chứng minh h1 (ξ) = h−1 (ξ) với hầu hết ξ ∈ R Với k = −1 ξ ∈ [ 32 π, 43 π] ta sử dụng (a), (b) để được: h−1 (ξ) = ψˆ (ξ) ψˆ (ξ − 2π) + ψˆ (2ξ) ψˆ (2 (ξ − 2π)) = b (ξ) b (2ξ) ei{α(ξ)−α(ξ−2π)} + ei{α(2ξ)−α(2(ξ−2π))} Sử dụng (iv) dễ dàng thấy h−1 (ξ) = với hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 43 π] Đối với ξ ∈ / [ 32 π, 34 π] dễ thấy h−1 (ξ) = sử dụng điều kiện giá b Tương tự ta h−1 (ξ) = R Có cách khác để chứng minh kết này, ta thấy ∞ ψˆ 2j ξ ψˆ (2j (ξ + 2π)) h1 (ξ) = j=0 ∞ ψˆ 2j (ξ + 2π − 2π) ψˆ (2j (ξ + 2π)) = h−1 (ξ + 2π) = = j=0 với hầu hết ξ ∈ R Hình 3.1: Hình a 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 3.2: Hình b Hình 3.3: Hình c Hình 3.4: Hình d Hình 3.5: Từng bước xác định hàm b(ξ) theo Định lý 3.1 Chú ý 3.1 Điều kiện (i), (ii) (iii) suy b(ξ) hoàn toàn xác định giá trị đoạn [ 23 π, 43 π] Chọn hàm đo b xác định [ 23 π, 34 π] cho b (xem Hình a) Điều kiện (i) thác triển b đến [ 34 π, 38 π] Hình b Điều kiện (ii) thác triển b đến [− 43 π, − 32 π] Hình c Cuối điều kiện (iii) xác định b [− 83 π, − 34 π] (xem Hình d) Chú ý 3.2 α (ξ) = 12 ξ nghiệm phương trình mà phase α thỏa mãn Nếu supp(b) ∩ 12 supp(b) có phần rỗng [ 23 π, 43 π], ta chọn α hàm đo Trong trường hợp đặc biệt đơn giản chọn α(ξ) = 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ˆ có giá chứa [− π, − π] ∪ Mệnh đề 3.1 Giả sử ψ ∈ L2 (R), b = |ψ| 3 [ 23 π, 83 π] ψ sóng nhỏ trực chuẩn Khi b chẵn hầu khắp nơi b2 (ξ) + b2 (2π − ξ) = với hầu hết ξ ∈ [ 32 π, 43 π] (3.6) Chứng minh: Nếu b chẵn ξ ∈ [ 32 π, 43 π] từ (ii) Định lý 3.1 suy = b2 (−ξ) + b2 (−ξ + 2π) = b2 (ξ) + b2 (2π − ξ), (3.6) Giả sử (3.6) Khi ta có b2 (−ξ) + b2 (2π + ξ) = với ξ ∈ [− 34 π, − 32 π]; đối chiếu với (ii) ta với hầu hết ξ ∈ [− 43 π, − 23 π] b(ξ) = b(−ξ) (3.7) Với ξ ∈ [ 43 π, 83 π] ta áp dụng (ii) cho − 12 ξ b2 (− 21 ξ) + b2 (− 12 ξ + 2π) = Theo (3.7) ta có b(− 12 ξ) = b( 21 ξ) −ξ ∈ [− 83 π, − 43 π] nên sử dụng (iii) ta có b(−ξ) = b(− 21 + 2π) Suy b2 ( ξ) + b2 (−ξ) = với hầu hết ξ ∈ [ 34 π, 83 π] Đối chiếu với (i) ta b(ξ) = b(−ξ) hầu hết [ 43 π, 83 π] Vậy b chẵn ˆ = hầu Trong định lý chứng minh kết ψ(ξ) khắp nơi đoạn [− 23 , 23 ] Chúng ta bắt đầu với bổ đề đơn giản sau: Bổ đề 3.1 Với sóng nhỏ trực chuẩn ψ đại lượng ∞ ˆ j (ξ + 2kπ))| |ψ(2 D(ξ) ≡ k∈Z j=1 xác định hữu hạn với hầu hết ξ ∈ R Hơn nữa, D(ξ)dξ = 2π I với I khoảng có độ dài 2π R 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.8) Chứng minh: D(ξ) xác định tiến vô tập có độ đo dương kết thứ hai bổ đề Vì D(ξ) tuần hồn với chu kỳ 2π kết thứ hai suy ta chứng minh I = [0, 2π] Dựa vào tính tuần hồn ta có chứng minh đơn giản sau: 2π 2π ∞ ˆ j (ξ + 2kπ))| dξ |ψ(2 D(ξ) = j=1 k∈Z 2(k+1)π ∞ |ψˆ 2j ξ |2 dξ = j=1 k∈Z ∞ ∞ = ∞ |ψˆ 2j ξ |2 dξ = −∞ j=1 = ψˆ 2kπ 2 −j j=1 ∞ 2−j = 2π ψˆ j=1 ∞ |ψˆ (ξ)|2 dξ −∞ 2 = 2π Định lí 3.2 Cho ψ sóng nhỏ trực chuẩn cho ψˆ có giá chứa ˆ = với hầu hết ξ ∈ [− , ] [− , ] Khi ψ(ξ) 3 3 Chứng minh: Cho D(ξ) xác định (3.8) Từ điều kiện giá hàm ψˆ Định lý 2.3 ta có ∞ ∞ ˆ j ξ)|2 = − |ψ(2 D(ξ) = j=1 ˆ j ξ)|2 hầu khắp nơi [− , ] |ψ(2 3 j=1 (3.9) ˆ j Nếu ξ ∈ [ 23 , 34 ] 2j (ξ + 2kπ) ∈ / supp(ψ) ˆ k > k < −1; Suy ra, supp(ψ) ˆ ˆ D(ξ) = |ψ(2ξ)| + |ψ(2(ξ − 2π))|2 2(ξ + 2kπ) ∈ / với hầu hết ξ ∈ [ 23 , 34 ] Bây sử dụng (2.1) với ξ thay 2ξ để ˆ ˆ ˆ |ψ(2ξ)| + |ψ(2ξ − 2π)|2 + |ψ(2ξ − 4π)|2 = hầu khắp nơi [ 23 , 43 ] 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Suy ra, ˆ D(ξ) = − |ψ(2ξ − 2π)|2 hầu khắp nơi [ 32 , 43 ] (3.10) Vì D(ξ) khơng âm (hầu khắp nơi) theo Bổ đề 3.1 3π D(ξ)dξ = 2π, − 32 π Từ (3.9), (3.10) ta có: ˆ j ξ)|2 = |ψ(2 hầu khắp nơi [− 32 , 32 ], j=−∞ ˆ |ψ(2ξ − 2π)| = hầu khắp nơi [ 23 , 43 ] Một hai điều kiện ˆ = với hầu hết ξ ∈ [− , ] suy ψ(ξ) 3 3.2 Một số ví dụ Ví dụ A : Ta chọn b(ξ) = X[π, 34 π] (ξ) [ 23 π, 43 π] Dựa vào điều kiện (i), (ii), (iii) Định lý 3.1, ta có: b (ξ) = X[−2π,−π]∪[π,2π] (ξ) Từ [ 32 π, 43 π]∩ supp (b) ∩ ( R supp (b) ) = {π} ta chọn α(ξ) làm hàm đo Trường hợp cụ thể ˆ = b(ξ) ψ(ξ) ˆ = ei 2ξ b(ξ) ψ(ξ) làm cho ψ trở thành sóng nhỏ trực chuẩn Ví dụ B : Trên R+ chọn b hàm hình chng liên kết [π, 2π] với số ε ε = 2ε, ε thỏa mãn < ε < 13 π ; b thỏa mãn (ii) có tính chất hàm hình chng Thác triển chẵn b R ξ (ii) (iii) thỏa mãn Nếu ψ(ξ) = ei b(ξ) ψ sóng nhỏ Lemarie’-Meyer (xem Hình 3.6) 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 3.6: Đồ thị hàm hình chng liên kết [π, 2π] với số ε ε = 2ε ˆ hàm chẵn Định lý Ví dụ C : Trong ví dụ A B b = |ψ| ˆ 3.1 cung cấp nhiều ví dụ sóng nhỏ mà b = |ψ| chẵn Và ví dụ Lấy b(ξ) = [ 32 π, 43 π] b thác triển R theo điều kiện Định lý 3.1 Khi b(ξ) = X[− 43 π,− 23 π]∪[ 43 π, 83 π] (ξ) không hàm chẵn Ta cho α(ξ) = trường hợp [ π, π] ∩ supp (b) = 3 ˆ = b(ξ) ψ sóng nhỏ trực chuẩn (xem Hình 3.7) Nếu ψ(ξ) ˆ = X 4 (ξ) Hình 3.7: Đồ thị Re(ψ) Im(ψ) với ψ(ξ) [− π,− π]∪[ π, π] 3 3 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ D : Chúng ta dễ dàng xây dựng sóng nhỏ ψ ˆ rời Cho b(ξ) = X (ξ) [ π, π] Để thỏa cho supp(ψ) [ π,π] 3 mãn điều kiện Định lý 3.1 ta cần chọn (xem Hình 3.8) b(ξ) = X[− 83 π,−2π]∪[−π,− 23 π]∪[ 23 π,π]∪[2π, 83 π] (ξ) R ˆ Do đó, ψ(ξ) = eiα(ξ) b(ξ) với α(ξ) hàm đo bất kỳ, ψ sóng nhỏ trực chuẩn ˆ với b(ξ) = X (ξ) [ π, π] Hình 3.8: |ψ| [ π,π] 3 Ví dụ E : Nếu b(ξ) = √1 X (ξ) [ π, π] [ 23 π, 34 π], b(ξ) = √ X[− 83 π,− 23 π]∪[ 23 π, 43 π] (ξ) R , ˆ = số B = [− 38 π, − 23 π] ∪ [ 32 π, 43 π] Khi ψ(ξ) eiα(ξ) b(ξ) ψ sóng nhỏ trực chuẩn Nó sóng nhỏ ˆ (có thể sai khác pha) mà biến đổi Fourier ψˆ có giá B |ψ| số khoảng B (xem Hình 3.9) Ví dụ F : Cho C tập thật [ 32 π, 43 π] có độ đo dương; Đặt b(ξ) = XC (ξ) [ 32 π, 43 π] Hàm thác triển lên [− 83 π, − 32 π] ∪ [ 23 π, 83 π] cách sử dụng (i), (ii) (iii) Định lý 3.1 b(ξ) = XC (ξ) với C tập hợp đoạn thẳng Khi ˆ = ei 2ξ b(ξ) ta có sóng nhỏ ψ với ψ(ξ) 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ˆ ψ với |ψ| ˆ = Hình 3.9: Đồ thị |ψ| √1 X 2 [− π,− π]∪[ π, π] 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: - Khái niệm sở trực chuẩn không gian Hilbert - Khái niệm sóng nhỏ với dải tần số bị chặn không gian L2 (R) - Các điều kiện đặc trưng cho tính trực chuẩn đầy đủ sóng nhỏ trực chuẩn có dải tần số bị chặn - Mô tả bước xây dựng sóng nhỏ trực chuẩn có dải tần số bị chặn không gian L2 (R) Mặc dù có cố gắng nỗ lực song hẳn đề tài khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] Hoàng Tụy (2003) Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010) Giáo trình Giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm Tài liệu tiếng Anh [4] P Auscher, Remarks on local Fourier bases, in Wavelets: Mathematics and Applications (J.J Benedetto and M W Frazier, Ed.) CRC Press, (1994), 203-218 [5] L Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier serie, Acta Mat., 116, (1966), 135-157 [6] I Daubechies, S Jaffard, J.L Journé, Asimple Wilson orthonormal basis with exponential decay, SIAM J Math Anal., 22,(1991), 554-572 [7] Eugenio Hernández and Guido Weiss, A First Course on Wavelets, CRS Press, Boca Raton, New York, (1996) [8] Yves Meyer, Wavelet, Algorithms and Applications SIAM, (1993) 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn chỉnh sửa theo yêu cầu Hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại Học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Xác nhận giáo viên hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... sóng nhỏ với dải tần số bị chặn không gian L2 (R) - Các điều kiện đặc trưng cho tính trực chuẩn đầy đủ sóng nhỏ trực chuẩn có dải tần số bị chặn - Mô tả bước xây dựng sóng nhỏ trực chuẩn có dải. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đặc trưng vài sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 3.1 Điều kiện cần đủ sóng nhỏ với dải tần số bị chặn Bây phát biểu kết đặc trưng cho tất ˆ chứa sóng nhỏ ψ có supp(ψ) 8 K = − π, −... 14 2.3 Tính đầy đủ sóng nhỏ 18 Đặc trưng vài sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27 3.1 Điều kiện cần đủ sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27 3.2 Một số ví dụ