THÔNG TIN TÀI LIỆU
ta suy xn+1 = (1 − γn )xn + γn zn , 27 Sn+1 Fn+1 (xn ) − Sn Fn+1 (xn ) = n+1 s˜n+1 i=1 si Ti (Fn+1 (xn )) − s˜n 1 − s˜n s˜n+1 = + s˜n+1 n si Ti (Fn+1 (xn )) i=1 n si Ti (Fn+1 (xn )) i=1 sn+1 Tn+1 (Fn+1 (xn )) sn+1 (M1 + Tk+1 (Fn+1 (xn )) − Tn+1 p + p ) s˜n+1 sn+1 (2M1 + p ) ≤ s˜n+1 ≤ Vì zn+1 − zn = Sn+1 Fn+1 (xn+1 ) − Sn Fn (xn ) ≤ Sn+1 Fn+1 (xn+1 ) − Sn+1 Fn+1 (xn ) + Sn+1 Fn+1 (xn ) − Sn Fn+1 (xn ) + Sn Fn+1 (xn ) − Sn Fn (xn ) ≤ Fn+1 (xn+1 ) − Fn+1 (xn ) + sn+1 (2M1 + p ) s˜n+1 + Fn+1 (xn ) − Fn (xn ) ≤ xn+1 − xn + 2λn+1 M1 sn+1 + (2M1 + p ) + |λn+1 − λn |M1 s1 Kết hợp bất đẳng thức với điều kiện (i) định lý sn+1 → n → ∞ suy lim sup( zn+1 − zn − xn+1 − xn ) ≤ n→∞ Sử dụng Bổ đề 2.1.2 ta nhận lim xn − zn = n→∞ Mặt khác từ zn − Sn xn = Sn Fn (xn ) − Sn xn ≤ Fn (xn ) − xn ≤ λ1 M1 , (2.7) 28 λn → với n → ∞, zn − Sn xn → kết hợp với (2.7) suy lim xn − Sn xn = (2.8) n→∞ Bây ta = với S = s˜ lim xn − Sxn n→∞ ∞ si Ti (2.9) i=1 Thật với x ∈ D-tập hợp bị chặn E ta có đánh giá Sn x − Sx = s˜n ≤ s˜n n i=1 n i=1 s˜ − s˜k ≤ s˜n s˜ si Ti x − s˜ si Ti x − s˜ M s˜ si Ti x i=1 n i=1 ∞ si Ti x + si Ti x s˜ i=n+1 ∞ n i=1 si Ti x + si Ti x s˜ i=n+1 M (˜ s − s˜n ) M + ≤ s˜ s˜ =2 ∞ ∞ si i=n+1 ∞ si i=n+1 Ở M := x + p ≥ Ti x − Ti p + p ≥ Ti x với p ∈ C với i ≥ Do lim sup Sn x − Sx = n→∞ x∈D với tập hợp D bị chặn E Đặt D := {xn }, ta nhận Sn xn − Sxn → với n → ∞ Kết hợp với (2.8) ta suy đẳng thức thứ (2.9) Tiếp theo S ánh xạ khơng giãn nên ánh xạ liên tục giả co X Sử dụng Mệnh đề 1.2.5 Mệnh đề 2.1.3 với T thay S ta nhận (2.3) Bây ta đánh giá giá trị 29 xn+1 − p∗ xn+1 − p∗ sau: ≤ (1 − γn ) xn − p∗ + γn Sn Fn (xn ) − p∗ = (1 − γn ) xn − p∗ + γn Sn Fn (xn ) − Sn p∗ ≤ (1 − γn ) xn − p∗ + γn Fn (xn ) − p∗ = (1 − γn ) xn − p∗ + γn Fn (xn ) − Fn (p∗ ) − λn A(p∗ ) ≤ (1 − γn ) xn − p∗ + γn (1 − λn τ ) (xn ) − p∗ 2 2 −2λn A(p∗ ), j(xn − p∗ − λn A(xn )) ] = (1 − γn λn τ ) xn − p∗ + 2γn λn [ A(p∗ ), j(p∗ − xn ) + A(p∗ ), j(p∗ − xn + λn A(xn )) − j(p∗ − xn ) ] ≤ (1 − γn λn τ ) xn − p∗ + γn λn τ 2[ A(p∗ ), j(p∗ − xk + A(p∗ ), j(p∗ − xn + λn A(xn )) − j(p∗ − xn ) ]/τ ≤ (1 − bn ) xn − p∗ + bn cn Ở bn = γn λn τ, cn = 2[ F (p∗ ), j(p∗ − xn ) ] + F (p∗ ), j(p∗ − xn + λn F (xn )) − j(p∗ − xn ) τ (2.10) ∞ ∞ λn = ∞, Vì n=0 bn = ∞, nên sử dụng Bổ đề 2.1.1, (2.3) sử dụng n=0 ∗ tính liên tục yếu ánh xạ j ta suy limn→∞ xn − p∗ = Định lý chứng minh 30 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số kiến thức không gian Banach, giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach Tác giả tổng hợp trình bày lại phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ không giãn không gian Banach báo [3] [5] Đồng thời tác giả trình bày chứng minh định lý hội tụ mạnh phương pháp lặp tới nghiệm bất đẳng thức biến phân 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] R.P Agarwal, D O’Regan D., D.R Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [3] L.C Ceng, Q.H Ansari, J.-Ch Yao (2008), "Mann-type steepestdescent and modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities in Banach spaces", Numer Funct Anal Optim., 29(9-10), 987-1033 [4] I Cioranescu (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [5] Ng Buong, Ng.T.H Phuong, Ng.T.T Thuy (2015), "Explicit iteration methods for a class of variational inequalities in Banach Spaces", Russian Math., 59(10), 16-22 [6] T Suzuki (2007), "Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mappings in Banach spaces", Proc Amer Math Soc., 135, 99–106 [7] H.K Xu (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", J Optim Theory Appl., 116, 659–678 ... phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ không giãn không gian Banach báo... tính liên tục yếu ánh xạ j ta suy limn→∞ xn − p∗ = Định lý chứng minh 30 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số kiến thức khơng gian Banach, giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân không gian Banach... x − Sx = n→∞ x∈D với tập hợp D bị chặn E Đặt D := {xn }, ta nhận Sn xn − Sxn → với n → ∞ Kết hợp với (2.8) ta suy đẳng thức thứ (2.9) Tiếp theo S ánh xạ khơng giãn nên ánh xạ liên tục giả co X
Ngày đăng: 26/03/2021, 07:30
Xem thêm: