Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện

Bộ giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - CHẾ THỊ KIM PHỤNG VỀ MỞ RỘNG PHÂN BẬC CỦA NHÓM PHẠM TRÙ BỆN LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc NGHỆ AN - 2014 Bé giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - CHẾ THỊ KIM PHỤNG VỀ MỞ RỘNG PHÂN BẬC CỦA NHÓM PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Ln ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: PGS TS NGUYỄN TIẾN QUANG PGS TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN - 2014 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu đồng tác giả Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả Chế Thị Kim Phụng ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Tiến Quang Thầy Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin cảm ơn NCS Phạm Thị Cúc cộng tác viết báo chung thảo luận tốn có liên quan Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, thành viên Bộ mơn Đại số, Khoa Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Vinh nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Sư phạm Tốn học Phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh, - Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gịn, - Khoa Tốn học, Trường Đại học Đồng Tháp, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Chế Thị Kim Phụng MỤC LỤC Mục lục Một số ký hiệu dùng luận án Bảng thuật ngữ Sơ đồ mối liên hệ khái niệm Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù monoidal 16 16 1.2 Nhóm phạm trù bện phạm trù Picard 1.3 Nhóm phạm trù phân bậc 19 22 1.4 Đối đồng điều Γ-môđun 25 1.5 Nhóm phạm trù phân bậc bện phạm trù Picard phân bậc 26 1.6 Kết luận Chương 29 Hệ nhân tử phạm trù Picard phân bậc 30 2.1 Hệ nhân tử lấy hệ tử phạm trù Picard 31 2.2 Hệ nhân tử lấy hệ tử phạm trù Picard (M, N, h) 35 2.3 Mở rộng Γ-môđun 41 2.4 Kết luận Chương 46 Mơđun chéo bện nhóm phạm trù chặt chẽ bện 47 3.1 Mơđun chéo bện nhóm phạm trù chặt chẽ bện 48 3.2 Môđun chéo aben phạm trù Picard chặt chẽ 55 3.3 Mở rộng aben kiểu môđun chéo aben 59 3.4 Kết luận Chương 66 Γ-mơđun chéo bện nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện 67 4.1 Γ-môđun chéo bện nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện 68 4.2 Mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben 77 4.3 Kết luận Chương 84 Mở rộng nhóm đẳng biến nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 85 5.1 Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 5.2 Hạt nhân đẳng biến 86 87 5.3 Phân lớp mở rộng nhóm đẳng biến mở rộng tâm 90 5.4 Hợp thành nhóm phạm trù phân bậc với Γ-đồng cấu 93 5.5 Kết luận Chương 96 Kết luận chung 97 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 98 Tài liệu tham khảo 99 Chỉ mục 103 MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ký hiệu AbCross BrCross n HΓ,ab Nghĩa phạm trù môđun chéo aben phạm trù môđun chéo bện phạm trù rời rạc mở rộng tích chéo hệ nhân tử F tập lớp tương đương mở rộng nhóm A Π hàm tử monoidal nhóm phạm trù phân bậc nhóm phạm trù Γ-phân bậc kiểu (M, N, h) tập lớp đồng luân hàm tử từ C đến C tập mũi tên từ vật X đến vật Y nhóm đối đồng điều aben thứ n nhóm nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n nhóm nhóm đối đồng điều aben thứ n Γ-mơđun n HΓ,s nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n Γ-môđun idX n ZΓ,ab mũi tên đồng vật X (Γ-)môđun chéo bện (aben) tập mũi tên phạm trù C tập vật phạm trù C nhóm phạm trù bện nhóm phạm trù bện kiểu (M, N, h) nhóm phạm trù phân bậc bện tập lớp vật đẳng cấu phạm trù C tập tự mũi tên vật đơn vị I phạm trù thu gọn phạm trù P phạm trù thu gọn nhóm n-đối chu trình aben nhóm nhóm n-đối chu trình aben Γ-mơđun n ZΓ,s nhóm n-đối chu trình đối xứng Γ-mơđun Zsn nhóm n-đối chu trình đối xứng nhóm kết thúc chứng minh Dis M ∆(F) Ext(Π, A) (F, F , F∗ ) G Γ (M, N, h) Hom[C, C ] Hom(X, Y ) n Hab Hsn M Mor(C) Ob(C) P (M, N, h) P π0 (C) π1 (C) = Aut(I) P(h) Red N n Zab ✷ BẢNG THUẬT NGỮ Tiếng Việt cản trở định lý phân lớp đối đồng điều đối xứng Γ-môđun chéo Γ-môđun chéo aben Γ-môđun chéo bện Γ-môđun chéo đối xứng giả hàm tử hàm tử monoidal hàm tử monoidal đối xứng hạt nhân đẳng biến hệ nhân tử lý thuyết cản trở lý thuyết Schreier môđun chéo môđun chéo aben môđun chéo bện môđun chéo đối xứng môđun chéo đẳng biến môđun chéo đẳng biến aben môđun chéo đẳng biến bện môđun chéo đẳng biến đối xứng mở rộng Γ-môđun mở rộng nhóm đẳng biến mở rộng tâm nhóm phạm trù nhóm phạm trù bện nhóm phạm trù phân bậc bện nhóm phạm trù chặt chẽ nhóm phạm trù đối xứng Tiếng Anh obstruction classification theorem symmetric cohomology Γ-crossed module abelian Γ-crossed module braided Γ-crossed module symmetric Γ-crossed module pseudofunctor monoidal functor symmetric monoidal functor equivariant kernel factor set obstruction theory Schreier theory crossed module abelian crossed module braided crossed module symmetric crossed module equivariant crossed module abelian equivariant crossed module braided equivariant crossed module symmetric equivariant crossed module Γ-module extension equivariant group extension central extension categorical group braided categorical group braided graded categorical group strict categorical group symmetric categorical group nhóm phạm trù phân bậc đối xứng nhóm phạm trù phân bậc nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện phạm trù monoidal phạm trù monoidal đối xứng phạm trù Picard phạm trù Picard chặt chẽ phạm trù Picard phân bậc phạm trù Picard phân bậc chặt chẽ phạm trù tenxơ bện phép biến đổi tự nhiên ràng buộc ràng buộc đơn vị ràng buộc giao hốn ràng buộc kết hợp tích chéo tương đương monoidal symmetric graded categorical group graded categorical group strict graded categorical group braided strict graded cate-group monoidal category symmetric monoidal category Picard category strict Picard category graded Picard category strict graded Picard category braided tensor category natural transformation constraint unit constraint commutativity constraint associativity constraint crossed product monoidal equivalence SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHÁI NIỆM Nhóm phạm trù phân bậc bện o o Nhóm phạm trù bện Nhóm phạm trù bện o O ? o Phạm trù Picard ? _ Phạm trù Picard phân bậc ?_ ?_ Nhóm phạm trù o chặt chẽ O bện ? o ? _ Phạm trù Picard Phạm trù Picard / Môđun chéo bện O ? / Môđun chéo aben chặt chẽ Mở rộng aben o ? _ Mở rộng aben kiểu mơđun chéo aben Nhóm phạm trù phân bậc bện o O ? Phạm trù Picard phân bậc o Nhóm phạm trù phân ? _ bậc chặtO chẽ bện o / Γ-môđun chéo bện O ? ? _ Phạm trù Picard o ? / Γ-môđun chéo aben phân bậc chặt chẽ Mở rộng Γ-môđun o ? _ Mở rộng Γ-mơđun kiểu Γ-mơđun chéo aben 90 Do ta có (p∗ h)(x, y, σ) + σf (x, y) + f (xy, σ) = f (x, σ) + σϕx f (y, σ)f (σx, σy) (5.2.2) Điều chứng tỏ (p∗ h)(x, y, σ) = k(x, y, σ) Cuối cùng, ta dựa vào tính hàm tử H để chứng minh (p∗ h)(x, τ, σ) = (0,σ) (0,τ ) k(x, τ, σ) Với hợp thành r −−−→ s −−−→ t, ta có H[(0, τ ) ◦ (0, σ)] (1.3.1) = H[(h(r, τ, σ), τ σ)] = H[h(r, τ, σ), 1) ◦ (0, τ σ)] = H[(h(r, τ, σ), 1)] ◦ H[(0, τ σ)] = (h(r, τ, σ), 1) ◦ (g(r, τ σ), τ σ) (5.1.1) = (g(r, τ σ) + h(r, τ, σ), τ σ) Mặt khác, (g(r,σ),σ) (g(s,τ ),τ ) H(0, τ ) ◦ H(0, σ) = H(r) −−−−−−→ H(s) −−−−−−→ H(t) (5.1.1) = (τ g(r,σ)+g(σr,τ ),τ σ) H(r) −−−−−−−−−−−−−→ H(t) Hơn h(r, τ, σ) ∈ ZG tính hàm tử H nên h(r, τ, σ) + g(r, τ σ) = τ g(r, σ) + g(σr, τ ), nghĩa h(r, τ, σ) = δg Vì ta (p∗ h)(x, τ, σ) = h(px, τ, σ) = δg(px, τ, σ) = δf (x, τ, σ) (5.2.3) = k(x, τ, σ) Định lý chứng minh 5.3 Phân lớp mở rộng nhóm đẳng biến mở rộng tâm Trong mục này, phân lớp mở rộng nhóm Γ-đẳng biến A Π với A ⊂ ZE qua tự đồng cấu Γ-nhóm phạm trù Γ E (Π, A, 0) Để trình bày kết này, ta ký hiệu ExtcΓ (Π, A) tập lớp tương đương mở rộng nhóm Γ-đẳng biến A E Π với A ⊂ ZE 91 5.3.1 Định lý (Lý thuyết Schreier cho mở rộng tâm nhóm đẳng biến) Giả sử Π Γ-nhóm A Π-mơđun Γ-đẳng biến Khi tồn song ánh ExtcΓ (Π, A) ↔ Endid Γ (Π, A, 0) , Γ Endid Γ Γ phân bậc (F, F ) từ (Π, A, 0) tập lớp đồng luân hàm tử monoidal Γ (Π, A, 0) đến thỏa mãn F (x) = x, x ∈ Π, F (b, 1) = (b, 1), b ∈ A Chứng minh Giả sử (F, F ) ∈ Endid Γ Γ (Π, A, 0) Khi (F, F ) xác định hàm ϕ : (Π × Π) ∪ (Π × Γ) → A với (ϕ(x, y), 1) = Fx,y , (0,σ) (ϕ(x, σ), σ) = F (x −−−→ σx), ϕ(x, 1Γ ) = Tính tương thích (F, F ) với ràng buộc kéo theo ϕ(x, 1) = = ϕ(1, y) ϕ(x, y) + ϕ(xy, z) = x(ϕ(y, z)) + ϕ(x, yz) (5.3.1) Tính tự nhiên F tính hàm tử F suy σϕ(x, y) + ϕ(xy, σ) = ϕ(x, σ) + (σx)ϕ(y, σ) + ϕ(σx, σy), (5.3.2) ϕ(x, τ σ) = σϕ(x, τ ) + ϕ(τ x, σ), (5.3.3) với x, y, z ∈ G, σ, τ ∈ Γ Từ hàm ϕ ta dựng tích chéo Eϕ = A ×ϕ Π với phép toán (a, x) + (b, y) = (a + xb + ϕ(x, y), xy) Hệ thức (5.3.1) tính chuẩn tắc hàm ϕ suy cấu trúc nhóm Eϕ Các hệ thức (5.3.2) (5.3.3) đảm bảo Eϕ Γ-nhóm với Γ-tác động σ(a, x) = (σa + ϕ(x, σ), σx) Khi tồn dãy khớp i q 0→A→ − Eϕ → − Π→1 92 với i(a) = (a, 1) q(a, x) = x Hơn nữa, dễ thấy A ⊂ ZEϕ Ngược lại, giả sử ta có mở rộng đẳng biến q i 0→A→ − E→ − Π→1 với A ⊂ ZE Khi với x ∈ Π, ta chọn phần tử đại diện ux ∈ E với u1 = Hệ đại diện {ux } cảm sinh hàm chuẩn tắc ϕ, nhận giá trị A cho ux + uy = ϕ(x, y) + uxy , σux = ϕ(x, σ) + uσx Các hệ thức ux + (uy + uz ) = (ux + uy ) + uz , σ(ux + uy ) = σ(ux ) + σ(uy ), τ (σux ) = τ σux kéo theo hệ thức (5.3.1)-(5.3.3) Do ta xác định hàm tử monoidal phân bậc (F, F ) ∈ Endid Γ F x = x, Γ (Π, A, 0) sau: F (b, 1) = (b, 1), (0,σ) F (x −−−→ σx) = (ϕ(x, σ), σ), Fx,y = (ϕ(x, y), 1) Hơn nữa, mở rộng tâm E tương đương với mở rộng tích chéo Eϕ liên kết với hàm tử monoidal phân bậc (F, F ) đẳng cấu α : a + ux → (a, x) Tiếp theo ta chứng minh hai mở rộng thuộc ExtcΓ (Π, A) tương đương hai hàm tử monoidal phân bậc tương ứng đồng luân Giả sử F, F : Γ (Π, A, 0) → Γ (Π, A, 0) hai hàm tử monoidal phân bậc đồng luân đồng luân ε : F → F xác định (e(x),1) εx = (x −−−−→ x), x ∈ Π với e : Π → A Vì ε đồng luân hệ thức (1.3.1), (1.3.2) nên e(1) = 0, (5.3.4) ϕ(x, σ) + e(σx) = σe(x) + ϕ (x, σ), (5.3.5) ϕ(x, y) + e(xy) = e(x) + xe(y) + ϕ (x, y) (5.3.6) với x, y ∈ Π σ ∈ Γ Khi tương ứng β : Eϕ → Eϕ (a, x) → (a + e(x), x) 93 tương đương hai mở rộng tâm điều kiện (5.3.4)(5.3.6) thỏa mãn Mặt khác, β : Eϕ → Eϕ đẳng cấu β(a, x) = (a + e(x), x), e : Π → A hàm thỏa mãn e(1) = Do vậy, từ lập luận ta có εx = (e(x), 1) đồng luân F F 5.4 Hợp thành nhóm phạm trù phân bậc với Γ-đồng cấu Theo S MacLane [26, tr 113], với đồng cấu nhóm γ : Π → Π mở rộng i q E:0→A→ − B→ − Π → 1, A nhóm aben tồn mở rộng E A Π cho E = Eγ Trong định lý sau đây, chúng tơi xét tốn tương tự cho trường hợp nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 5.4.1 Định lý Giả sử H nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với bất biến Π, C , h p : Π → Π đồng cấu nhóm đẳng biến Khi tồn nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ G tương đương với Γ (Π , C, h ), C Π -môđun với tác động xc = p(x)c với x ∈ Π , c ∈ C h = p∗ h Chứng minh Ta xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ G sau Tập vật G Ob(G) = {(x, X)| x ∈ Π , X ∈ p(x)} Một σ -mũi tên (x, X) → (x, Y ) ba (x, u, σ), u : X → Y (x,u,σ) (x,v,τ ) σ -mũi tên H Hợp thành hai mũi tên (x, X) −−−−→ (x, Y ) −−−−→ (x, Z) (x, v, τ ) ◦ (x, u, σ) = (x, v ◦ u, τ σ) Tích tenxơ vật mũi tên G xác định (x, X) ⊗ (y, Y ) = (xy, X ⊗ Y ), 94 (x, u, σ) ⊗ (y, v, σ) = (xy, u ⊗ v, σ) Đối với mũi tên (x, u, σ) G , ta có (x, u, σ)−1 = (x, u−1 , σ −1 ) Hai hàm tử phân bậc gr : G → Γ I : Γ → G cho (x, u, σ) → σ, (1,idI ,σ) σ → ((1, I) −−−−−→ (1, I)) Vật đơn vị G (1, I) với I vật đơn vị H Các ràng buộc kết hợp ràng buộc đơn vị đồng Giả sử H có hệ nhân tử qui {FH σ, σ ∈ Γ} Khi G có hệ nhân tử qui {FG σ, σ ∈ Γ} với FG σ(x, X) = (x, FH σX), FG σ(x, u, τ ) = (x, FH σ(u), τ ) Vì G nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ Tiếp theo ta chứng minh G tương đương với nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ Γ (Π , C, h ) Ta xác định cặp ánh xạ (λ, f ), λ : π0 (G) → Π , [(x, X)] → x, f : π1 (G) → π1 (H) = C (1, c, σ) → (c, σ) Khi λ đẳng cấu Γ-nhóm f đẳng cấu Π -mơđun Γ-đẳng biến, C có cấu trúc Π -mơđun xc = p(x)c, x ∈ Π , c ∈ C Hàm tử monoidal phân bậc (F, F ) : G → H cho F (x, X) = X, F (x, u, σ) = (u, σ), F = id Khi (F, F ) cảm sinh hàm tử monoidal phân bậc (φ, φ) : G(hG ) → H(h) với H(h) = Γ (Π, C, h) φ[(x, X)] = F0 [(x, X)] = [F (x, X)] = [X] = p(x) = pλ[(x, X)], φ(1, c, σ) = F1 (1, c, σ) = γF−1(1,I) F (1, c, σ) = γI−1 (c, σ) = (c, σ) = f (1, c, σ), (c, σ) mũi tên H(h) Vì (φ, φ) hàm tử kiểu (pλ, f ) 95 Giả sử hG ∈ ZΓ3 (π0 (G), π1 (G)) Theo [11, Định lý 3.2], cản trở cặp (pλ, f ) phải triệt tiêu H (π0 G, π1 H) = H (π0 G, C), nghĩa (pλ)∗ h = f∗ hG + δ φ Nếu ta đặt h = f∗ hG cặp J = (λ, f ) J = id lập thành hàm tử monoidal phân bậc từ G(hG ) đến J = Γ (Π , C, h ) Khi hợp thành (G,G) (J,J) G −→ G(hG ) −→ J tương đương từ G đến J Cuối cùng, ta chứng minh h thuộc lớp đối đồng điều với p∗ h Thật vậy, giả sử K = (λ−1 , f −1 ) : J → G(hG ) Khi K với K = id hàm tử monoidal phân bậc hợp thành (φ, φ) ◦ (K, K) : J → H(h) hàm tử monoidal phân bậc làm cho biểu đồ sau giao hoán φ G(hG ) ✲ ❅ ■ ❅ H(h) ✒     K ❅   φ◦K J Rõ ràng φ ◦ K hàm tử monoidal phân bậc kiểu (p, id) cản trở φ ◦ K triệt tiêu Do ta có p∗ h − h = ∂g, nghĩa h = p∗ h 5.4.2 Nhận xét (i) Trong trường hợp đặc biệt Γ = 1, từ Định lý 5.4.1 ta thu Mệnh đề 14 [35] (ii) Nhóm phạm trù phân bậc G gọi nhóm phạm trù phân bậc hợp thành nhóm phạm trù phân bậc H với Γ-đồng cấu p ký hiệu G = H ◦ p Theo Định lý 5.4.1, G ◦ idπ0 G = G, G ◦ (p ◦ p ) = (G ◦ p) ◦ p nên G hàm tử phản biến theo biến π0 (G) cố định π1 (G) 96 5.5 Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Chỉ mối liên hệ bất biến thứ ba nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ HolΓ G với cản trở hạt nhân đẳng biến; - Trình bày lý thuyết Schreier cho mở rộng nhóm đẳng biến A Π mở rộng tâm nhờ vào tự hàm tử monoidal phân bậc nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ Γ (Π, A, 0); - Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ từ nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với Γ-đồng cấu 97 KẾT LUẬN CHUNG Luận án thu kết sau đây: - Đưa cách tiếp cận phạm trù Picard phân bậc thông qua khái niệm giả hàm tử (hệ nhân tử) để giải thích nhóm đối đồng điều đối xứng thứ thứ Γ-mơđun Từ đó, thu lại kết phân lớp phạm trù Picard phân bậc A M Cegarra E Khmaladze, thu kết phân lớp mở rộng Γ-môđun; - Xây dựng tương đương phạm trù phạm trù môđun chéo bện với phạm trù nhóm phạm trù chặt chẽ bện; Xây dựng tương đương phạm trù cho phạm trù môđun chéo aben phạm trù phạm trù Picard chặt chẽ; - Đưa định nghĩa nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện xây dựng tương đương phạm trù phạm trù nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện với phạm trù Γ-mơđun chéo bện; - Phát biểu giải tốn mở rộng aben kiểu mơđun chéo aben tốn mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben; - Ứng dụng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ vào tốn phân lớp mở rộng nhóm đẳng biến mở rộng tâm 98 DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN N T Quang, P T Cuc and C T K Phung (2013), Factor sets in graded Picard categories, Universal Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 4(2), 253-284 N T Quang, C T K Phung and N S Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories, Albanian Journal of Mathematics, 7(1), 37–48 N T Quang and C T K Phung (2013), Some results on strict graded categorical groups, Algebra, Vol 2013, Article ID 306978, pages N T Quang, C T K Phung and P T Cuc, Braided equivariant crossed modules and cohomology of Γ-modules, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 21 pages (to appear) Các kết luận án báo cáo tại: • Hội thảo khoa học nghiên cứu sinh Trường Đại học Vinh (Trường Đại học Vinh, 12/2010) • Xemina Bộ mơn Đại số, Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh • Xemina Bộ mơn Đại số, Khoa Tốn - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gịn • Xemina Hội đồng Khoa học Đào tạo, Khoa Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Vinh • Đại hội Tốn học Việt Nam lần thứ (Trường Sĩ quan Thông tin, 8/2013) 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] E Aldrovandi and B Noohi (2009), Butterflies I Morphisms of 2-group stacks, Adv Math., 221(3), 687–773 [2] J C Baez and A D Lauda (2004), Higher-dimensional algebra V 2-groups, Theory Appl Categ., 12, 423–491 [3] R Brown and N D Gilbert (1989), Algebraic models of 3-types and automorphism structures for crossed modules, Proc London Math Soc., 59(1), 51–73 [4] R Brown and O Mucuk (1994), Covering groups of nonconnected topological groups revisited, Math Proc Cambridge Philos Soc., 115(1), 97–110 [5] R Brown and C B Spencer (1976), G-groupoids, crossed modules and the fundamental groupoid of a topological group, Nederl Akad Wetensch Proc Ser A 79=Indag Math., 38(4), 296–302 [6] M Bullejos, P Carrasco and A M Cegarra (1993), Cohomology with coefficients in symmetric cat-groups An extension of Eilenberg-MacLane’s classification theorem, Math Proc Cambridge Philos Soc., 114(1), 163–189 [7] M Calvo, A M Cegarra and N T Quang (2012), Higher cohomologies of modules, Algebr Geom Topol., 12(1), 343–413 [8] P Carrasco, A M Cegarra and A R.-Grandjeán (2002), (Co)homology of crossed modules Category theory 1999, J Pure Appl Algebra, 168(2-3), 147–176 [9] A M Cegarra and A R Garzón (2003), Some algebraic applications of graded categorical group theory, Theory Appl Categ., 11(10), 215–251 [10] P Carrasco and A R Garzón (2004), Obstruction theory for extensions of categorical groups Homotopy theory, Appl Categ Structures 12(1), 35–61 100 [11] A M Cegarra, J M García-Calcines and J A Ortega (2002), On graded categorical groups and equivariant group extensions, Canad J Math., 54(5), 970–997 [12] A M Cegarra, J M García-Calcines and J A Ortega (2002), Cohomology of groups with operators, Homology Homotopy Appl., 4(1), 1–23 [13] A M Cegarra, A R Garzón and J A Ortega (2001), Graded extensions of monoidal categories, J Algebra, 241(2), 620–657 [14] A M Cegarra and E Khmaladze (2007), Homotopy classification of braided graded categorical groups, J Pure Appl Algebra, 209(2), 411–437 [15] A M Cegarra and E Khmaladze (2007), Homotopy classification of graded Picard categories, Adv Math., 213(2), 644–686 [16] S Eilenberg and S MacLane (1947), Cohomology theory in abstract groups II, Group extensions with a non-Abelian kernel, Ann Math 48(2), 326-341 [17] S Eilenberg and S MacLane, Cohomology theory of Abelian groups and homotopy theory I, II, III, Proc Nat Acad Sci U S A., 36, (1950), 443– 447; 36, (1950), 657–663; 37, (1951), 307–310 [18] S Eilenberg and S MacLane, On the groups H(Π, n) I, II, Ann of Math., 58, (1953), 55–106; 60, (1954), 49139 [19] A Frăohlich and C T C Wall (1974), Graded monoidal categories, Compositio Math., 28, 229–285 [20] L Fuchs (1970), Infinite abelian groups Vol I Pure and Applied Mathematics, Academic Press, New York-London [21] A R Garzón and A Del Río (2005), Equivariant extensions of categorical groups, Appl Categ Structures, 13(2), 131–140 [22] A Joyal and R Street (1993), Braided tensor categories, Adv Math., 102(1), 20–78 [23] M L Laplaza (1983), Coherence for categories with group structure: an alternative approach, J Algebra, 84(2), 305–323 [24] S MacLane (1952), Cohomology theory of Abelian groups, Amer Math Soc., Providence, R I., 2, 8–14 101 [25] S MacLane (1963), Natural associativity and commutativity, Rice Univ Studies, 49(4), 28–46 [26] S MacLane (1963), Homology, Springer-Verlag, New York [27] B Noohi (2007), Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules, Homology, Homotopy Appl., 9(1), 75–106 [28] B Noohi (2011), Group cohomology with coefficients in a crossed module, J Inst Math Jussieu, 10(2), 359–404 [29] K Norrie (1990), Actions and automorphisms of crossed modules, Bull Soc Math France, 118(2), 129–146 [30] N T Quang (1994), Ann-categories and the Mac Lane-Shukla cohomology of rings Abelian groups and modules, No 11, 12 (Russian), 166–183, Tomsk Gos Univ., Tomsk [31] N T Quang (2010), The factor sets of Gr-categories of the type (Π, A), Int J Algebra, 4(14), 655–668 [32] N T Quang and P T Cuc (2012), Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math Commun., 17(2), 575–598 [33] N T Quang and P T Cuc, Equivariant crossed modules and Cohomology of group with operators, arXiv:1320.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013 [34] N T Quang, P T Cuc and N T Thuy (2014), Crossed modules and strict Gr-categories, Communications of the Korean Mathematical Society, 29(1), 9–22 [35] N T Quang, N T Thuy and P T Cuc (2011), Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J Math., 13(2), 163–186 [36] N T Quang, P T Cuc and C T K Phung (2013), Factor sets in graded Picard categories, Universal Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 4(2), 253-284 [37] N T Quang and C T K Phung (2013), Some results on strict graded categorical groups, Algebra, Vol 2013, Article ID 306978, pages 102 [38] N T Quang, C T K Phung and P T Cuc, Braided equivariant crossed modules and cohomology of G-modules, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 21 pages (to appear) [39] N T Quang, C T K Phung and N S Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories, Albanian Journal of Mathematics, 7(1), 37–48 [40] R L Taylor (1953), Compound group extensions I Continuations of normal homomorphisms, Trans Amer Math Soc., 75, 106–135 [41] J H C Whitehead (1949), Combinatorial homotopy II, Bull Amer Math Soc., 55, 453–496 Tiếng Pháp [42] J Bénabou (1963), Catégories avec multiplication, C R Acad Sci Paris, 256, 1887–1890 [43] P Dedecker (1964), Les foncteurs ExtΠ , HΠ2 et HΠ2 non abéliens, C R Acad Sci Paris, 258, 4891–4894 [44] A Grothendieck (1971), Catégories fibrées et descente (SGA I, exposé VI), Lecture Notes in Math 224, Springer-Verlag: Berlin, 145–194 [45] N S Rivano (1972), Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathematics, 265, Springer-Verlag, Berlin-New York [46] H X Sinh (1975), Gr-catégories, Thèse de doctorat, Université Paris VII [47] H X Sinh (1978), Gr-catégories strictes, Acta Math Vietnam, 3(2), 47–59 CHỈ MỤC Zs2 (Coker d, Ker d ), 57 Γ (Π, A, h), 24 (F, F , F∗ ), 17 P, 19, 20 (C, gr), 23 P(h), 20 BrCross, 55 E , 60 BrGr∗ , 55 F , 31 n (M, N ), 25 HΓ,ab M, 48 ∆F , 33 π0 (P), 20 DisΓ M , 41 π1 (P), 20 ExtcΓ (Π, A), 90 ψ ∗ h, 64 ExtZΓ (M, N ), 41 gr, 23 Γ, 23 AbCross, 58 Γ-môđun chéo, 87 BrCross, 53 đối xứng, 68 BrGr∗ , 54 aben, 77 PiGr∗ , 55 bện, 68 Picstr, 58 Γ-phân bậc, 23 Γ BrCross, ổn định, 23 ∗ Γ BrGr , 75 76 Hom(ϕ,f ) [S, S ], 29 Hom(ϕ,f ) [S, S ], 22 HomΓ,s [DisΓ M, RedΓ N ], 42 đồng cấu môđun chéo Obs(p), 87 đẳng biến bện, 72 RedΓ N , 42 bện, 51 AbCross∗ , 59 Picstr∗ , 59 SymCross, 55 Γ PiGr ∗, Γ bện, 19 cản trở 77 Γ SymCross, đồng luân, 18 hàm tử, 22 77 hạt nhân đẳng biến, 87 (Π, A, 0) , 90 hàm tử phân bậc, 28 103 104 hàm tử kiểu (ϕ, f ), 21 chặt chẽ bện liên kết, 49 hàm tử monoidal, 17 chặt chẽ đối xứng, 49 đối xứng, 19 chặt chẽ bện, 49 phân bậc, 23 phân bậc, 24 phân bậc đối xứng, 27 thu gọn, 25 hạt nhân đẳng biến, 87 phân bậc bện thu gọn, 28 hệ đại diện, 21 phân bậc chặt chẽ, 86 hệ nhân tử đối xứng, 31 phân bậc chặt chẽ bện, 69 qui, 69 chặt chẽ, 32 hai mở rộng tương tương, 41 mở rộng Γ-môđun, 41 kiểu Γ-môđun chéo aben, 78 mở rộng aben kiểu môđun chéo aben, 60 phạm trù monoidal, 16 phân bậc bện, 27 bện, 19 phân bậc, 23 phân bậc đối xứng, 27 phạm trù phân bậc, 23 phạm trù Picard, 19 mở rộng phân bậc, 27 chặt chẽ, 56 mở rộng tích chéo chặt chẽ liên kết, 56 liên kết, 61 môđun chéo, 48 đẳng biến đối xứng, 68 đẳng biến bện, 68 đối xứng, 49 đẳng biến, 87 aben, 56 aben liên kết, 56 bện, 49 bện liên kết, 50 nhóm phạm trù, 18 phân bậc bện, 27 đối xứng, 19 bện, 19 bện thu gọn, 20 phân bậc, 27 phân bậc thu gọn, 28 thu gọn, 21 ràng buộc đơn vị, 17 giao hoán, 19 kết hợp, 17 tương đương monoidal, 18 phân bậc, 24 ... group nhóm phạm trù phân bậc đối xứng nhóm phạm trù phân bậc nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện phạm trù monoidal phạm trù monoidal đối xứng phạm trù Picard phạm trù. .. NIỆM Nhóm phạm trù phân bậc bện o o Nhóm phạm trù bện Nhóm phạm trù bện o O ? o Phạm trù Picard ? _ Phạm trù Picard phân bậc ?_ ?_ Nhóm phạm trù o chặt chẽ O bện ? o ? _ Phạm trù Picard Phạm trù. .. niệm kết phạm trù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc, đối đồng điều Γ-mơđun, nhóm phạm trù phân bậc bện phạm trù Picard phân bậc Đồng thời, cịn trình bày phân lớp